高三數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 2.1 映射與函數(shù)（1）

1、1第 二 章第 二 章函數(shù)函數(shù)2考考點(diǎn)點(diǎn)搜搜索索映射、一一映射的概念映射、一一映射的概念函數(shù)的概念及函數(shù)的三要素函數(shù)的概念及函數(shù)的三要素運(yùn)用排列組合知識(shí)計(jì)算映射的個(gè)運(yùn)用排列組合知識(shí)計(jì)算映射的個(gè)數(shù)數(shù)分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的概念分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的概念2.1 2.1 映射與函數(shù)映射與函數(shù)3高高考考猜猜想想 映射是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概映射是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，應(yīng)予以足夠重視，高考對(duì)它的考查念，應(yīng)予以足夠重視，高考對(duì)它的考查以選擇題型為主，主要是對(duì)概念的考查；以選擇題型為主，主要是對(duì)概念的考查；對(duì)函數(shù)的概念、函數(shù)的解析式、分段函對(duì)函數(shù)的概念、函數(shù)的解析式、分段函數(shù)的考查一直是高考考查的重點(diǎn)數(shù)的考查

2、一直是高考考查的重點(diǎn).4 一、映射的概念與判定方法一、映射的概念與判定方法 1. 設(shè)設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)關(guān)系f，對(duì)于集合，對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素，中的每一個(gè)元素，_，這，這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做從集合樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做從集合A到集合到集合B的映射，的映射，記作記作_. 2. 給定一個(gè)從集合給定一個(gè)從集合A到集合到集合B的映射，且的映射，且aA,bB,如果元素如果元素a和和b對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng),那么元素那么元素b叫做叫做元素元素a的的_，元素，元素a叫做元素叫做元素b的的_. 在集合在集合B中都有唯一的元素與它對(duì)應(yīng)中都有唯一的元素與它對(duì)應(yīng)f:AB象象原象原象5 二

3、、函數(shù)的三要素及其表示法二、函數(shù)的三要素及其表示法 1. 函數(shù)的三要素是函數(shù)的三要素是_，_，_.判斷兩個(gè)函數(shù)是否判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)只需判定兩點(diǎn)：為同一函數(shù)只需判定兩點(diǎn)：_和和_. 2. 函數(shù)的三種表示方法有函數(shù)的三種表示方法有_、11_和和12_. 三、分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)三、分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)定義域定義域解析法解析法值域值域?qū)?yīng)法則對(duì)應(yīng)法則定義域是否相同定義域是否相同對(duì)應(yīng)法則是否相同對(duì)應(yīng)法則是否相同列表法列表法圖象法圖象法6 1. 如果一個(gè)函數(shù)在定義域的不同子集中如果一個(gè)函數(shù)在定義域的不同子集中因因13_不同而用幾個(gè)不同的式子來(lái)表不同而用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù)示

4、，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù).分段函數(shù)的求分段函數(shù)的求法是分別求出法是分別求出14_再組合在一起，但要再組合在一起，但要注意各區(qū)間之間的點(diǎn)不重復(fù)、無(wú)遺漏注意各區(qū)間之間的點(diǎn)不重復(fù)、無(wú)遺漏. 2. 如果如果y=f(u)，u=g(x)，那么函數(shù)，那么函數(shù)y=fg(x)叫做復(fù)合函數(shù)，其中叫做復(fù)合函數(shù)，其中f(u) 15_叫叫做函數(shù)，做函數(shù)，g(x) 16_叫做函數(shù)叫做函數(shù).對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系解析式解析式外層外層內(nèi)層內(nèi)層7 盤(pán)點(diǎn)指南：盤(pán)點(diǎn)指南：在集合在集合B中都有唯中都有唯一的元素與它對(duì)應(yīng)；一的元素與它對(duì)應(yīng)；f:AB;象象;原象原象;定義域；值域；對(duì)定義域；值域；對(duì)應(yīng)法則應(yīng)法則;定義域是否相同；對(duì)應(yīng)法定義域是

5、否相同；對(duì)應(yīng)法則是否相同；解析法；則是否相同；解析法；11 列表法；列表法；12 圖象法；圖象法；13 對(duì)應(yīng)關(guān)系；對(duì)應(yīng)關(guān)系；14 解析式；解析式；15 外層；外層；16 內(nèi)層內(nèi)層81.在映射在映射f:AB中，下列判斷正確的是中，下列判斷正確的是( ) A. A中的元素中的元素a的象可能不止一個(gè)的象可能不止一個(gè) B. A中的元素中的元素a1和和a2的象不可能相同的象不可能相同 C. B中的元素中的元素b的原象可能不止一個(gè)的原象可能不止一個(gè) D. B中的元素中的元素b1和和b2的原象可能相同的原象可能相同 解：解：由映射的定義知，選由映射的定義知，選C.C9 2.設(shè)集合設(shè)集合M=-1,0,1,N=

6、1,2,3,4,5，映，映射射f:MN滿足條件滿足條件“對(duì)任意的對(duì)任意的xM，x+f(x)是奇數(shù)是奇數(shù)”，這樣的映射，這樣的映射f個(gè)數(shù)是個(gè)數(shù)是( ) A. 125 B. 243 C. 12 D. 7 解：解：分三步：分三步：(1)當(dāng)當(dāng)x=-1時(shí)，時(shí)，f(x)=2,4; (2)當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)，時(shí)，f(x)=1,3,5; (3)當(dāng)當(dāng)x=1時(shí)，時(shí)，f(x)=2,4, 所以這樣的映射所以這樣的映射f共有共有232=12個(gè)個(gè).C10 3.若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“天天一函數(shù)一函數(shù)”，那么解析式為，那

7、么解析式為y=2x2+1，值域?yàn)?，值域?yàn)?，1，3的的“天一函數(shù)天一函數(shù)”共有共有( ) A. 4個(gè)個(gè) B. 8個(gè)個(gè) C. 9個(gè)個(gè) D. 12個(gè)個(gè) 解：解：分三步：分三步：(1)當(dāng)當(dāng)y=1時(shí)，時(shí)，x=0; (2)當(dāng)當(dāng)y=3時(shí)，時(shí)，x=1或或x=-1或或x=1; (3)當(dāng)當(dāng)y=9時(shí)，時(shí)，x=2或或x=-2或或x=2, 所以所求的所以所求的“天一函數(shù)天一函數(shù)”共有共有133=9個(gè)個(gè).C11 1. 判斷下列對(duì)應(yīng)是否是從集合判斷下列對(duì)應(yīng)是否是從集合A到集合到集合B的映射：的映射： (1)A=R,B=x|x0，f:x|x|； (2)A=N,B=N*，f:x|x-2|； (3)A=x|x0,B=R，f:x

8、x2. 題型題型1 映射與函數(shù)的概念映射與函數(shù)的概念第一課時(shí)第一課時(shí)12 解：解：(1)0A，在法則，在法則f下，下，0|0|=0B，故該對(duì)應(yīng)不是從集合，故該對(duì)應(yīng)不是從集合A到集合到集合B的映射；的映射； (2)2A，在法則，在法則f下，下，2|2-2|=0B，故該對(duì)應(yīng)不是從集合，故該對(duì)應(yīng)不是從集合A到集合到集合B的映射；的映射； (3)對(duì)于任意對(duì)于任意xA，依法則，依法則f:xx2B，故該對(duì)應(yīng)是從集合，故該對(duì)應(yīng)是從集合A到集到集合合B的映射的映射.13 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：映射是一種特殊的對(duì)應(yīng)，函映射是一種特殊的對(duì)應(yīng)，函數(shù)是特殊的映射，即從非空數(shù)集到非空數(shù)是特殊的映射，即從非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射數(shù)

9、集的映射.對(duì)于函數(shù)：按某種對(duì)應(yīng)法則對(duì)于函數(shù)：按某種對(duì)應(yīng)法則f，從非空數(shù)集從非空數(shù)集A到非空數(shù)集到非空數(shù)集B的函數(shù)，要求的函數(shù)，要求A中的元素必須有象且唯一，而集合中的元素必須有象且唯一，而集合B中中的元素也必須有原象，可以有一個(gè)或多的元素也必須有原象，可以有一個(gè)或多個(gè)個(gè).14 下列從下列從M到到N的各對(duì)應(yīng)法則的各對(duì)應(yīng)法則fi(i=1，2，3，4)中，哪些是映射？哪些是函中，哪些是映射？哪些是函數(shù)？哪些不是映射？為什么？數(shù)？哪些不是映射？為什么？ (1)M=直線直線Ax+By+C=0，N=R，f1:求直求直線線Ax+By+C=0的斜率的斜率; (2)M=直線直線Ax+By+C=0，N=|0，f2

10、:求直線求直線Ax+By+C=0的傾斜角的傾斜角; (3)當(dāng)當(dāng)M=N=R,f3:求求M中每個(gè)元素的正切；中每個(gè)元素的正切； (4)M=N=x|x0，f4:求求M中每個(gè)元素的算中每個(gè)元素的算術(shù)平方根術(shù)平方根.15 解：解：(1)當(dāng)當(dāng)B=0時(shí)，直線時(shí)，直線Ax+C=0的的斜率不存在，此時(shí)斜率不存在，此時(shí)N中不存在與之對(duì)中不存在與之對(duì)應(yīng)的元素，故應(yīng)的元素，故f1不是從不是從M到到N的映射，的映射，也就不是函數(shù)了也就不是函數(shù)了. (2)對(duì)于對(duì)于M中任一元素中任一元素Ax+By+C=0，該直線恒有唯一確定的傾斜角該直線恒有唯一確定的傾斜角，且，且0，)，故，故f2是從是從M到到N的映射的映射.但由于但由

11、于M不是數(shù)集，從而不是數(shù)集，從而f2不是從不是從M到到N的函數(shù)的函數(shù). (3)由于由于M中元素中元素k+ (kZ)的正切無(wú)意義，即它在的正切無(wú)意義，即它在N中沒(méi)有象，中沒(méi)有象，故故f3不是從不是從M到到N的映射，自然也不的映射，自然也不是函數(shù)是函數(shù). (4)對(duì)于對(duì)于M中任一非負(fù)數(shù)，其算中任一非負(fù)數(shù)，其算術(shù)平方根唯一且確定，故術(shù)平方根唯一且確定，故f4是從是從M到到N的映射，又的映射，又M、N均為非空數(shù)集，均為非空數(shù)集，所以所以f4是從是從M到到N的函數(shù)的函數(shù).216 2. 已知映射已知映射f:AB，其中，其中A=B=R，對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)法則法則f:xy=-x2+2x，對(duì)于實(shí)數(shù)，對(duì)于實(shí)數(shù)kB，在集合，

12、在集合A中不存在原象，則中不存在原象，則k的取值范圍是的取值范圍是( ) A. k1 B. k1 C. k1 D. k1 解：解：已知象已知象k求原象求原象x，即求方程，即求方程-x2+2x=k的實(shí)數(shù)解的實(shí)數(shù)解.本題要求本題要求k在在A中無(wú)原象，即方程在中無(wú)原象，即方程在R中無(wú)實(shí)根中無(wú)實(shí)根.由題意，方程由題意，方程-x2+2x=k在在R中無(wú)實(shí)中無(wú)實(shí)根，即根，即x2-2x+k=0在在R中無(wú)實(shí)根，中無(wú)實(shí)根， 題型題型2 映射中的象或原象問(wèn)題映射中的象或原象問(wèn)題 所以所以=(-2)2-4k0，解得，解得k1， 所以當(dāng)所以當(dāng)k1時(shí)，集合時(shí)，集合A中不存在原象，故選中不存在原象，故選A.A17 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)

13、評(píng)：從集合從集合A到集合到集合B的映射，集合的映射，集合A中的元素一定在集合中的元素一定在集合B中有元素對(duì)應(yīng)，即中有元素對(duì)應(yīng)，即集合集合A中的元素有象，而集合中的元素有象，而集合B中的元素，中的元素，可以不與集合可以不與集合A中的元素對(duì)應(yīng)，即中的元素對(duì)應(yīng)，即B中的元中的元素可以沒(méi)有原象素可以沒(méi)有原象.18 在映射在映射f:AB中，已知中，已知A中元中元素素(x，y)與與B中的元素中的元素( )對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng).求：求： (1)A中的元素中的元素(1，3)的象；的象； (2)B中的元素中的元素(-5，2)的原象的原象. 解：解：(1)令令x=1，y=3，則，則 所以所以A中的元素中的元素(1，3)的象為

14、的象為(2，-1). (2)令令 則則x=-3，y=-7， 所以所以B中的元素中的元素(-5，2)的原象是的原象是(-3，-7).22x-y,yx ,-x-y,yx1222,x-y,-yx225219 3. 已知已知A=1,2,3,4,5,B=6,7,8. (1)從從A到到B的映射有多少個(gè)？的映射有多少個(gè)？ (2)從從B到到A的映射有多少個(gè)？的映射有多少個(gè)？ 解：解：(1)由映射的概念及乘法原理知從由映射的概念及乘法原理知從A到到B的映射共有的映射共有35=243(個(gè)個(gè)). (2)同理，從同理，從B到到A的映射共有的映射共有53=125(個(gè)個(gè)). 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：設(shè)集合設(shè)集合A中的元素個(gè)數(shù)是中的元

15、素個(gè)數(shù)是m，集，集合合B中的元素個(gè)數(shù)是中的元素個(gè)數(shù)是n，則從集合，則從集合A到集合到集合B的的映射個(gè)數(shù)是映射個(gè)數(shù)是nm.題型題型3 求映射的個(gè)數(shù)求映射的個(gè)數(shù)20 已知已知A=B=1，2，3，4，5，從從A到到B的映射的映射f滿足：滿足：f(1)f(2)f(5);f的象有且只有的象有且只有2個(gè)，個(gè)，則適合條件的映射的個(gè)數(shù)為則適合條件的映射的個(gè)數(shù)為( ) A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 解：解：分步：在分步：在B中選定中選定f下的兩個(gè)象，有下的兩個(gè)象，有C52種；確定種；確定A中元素在中元素在f下的原象，由條件下的原象，由條件將將1，2，3，4，5分前后兩組，分別對(duì)應(yīng)分前后兩組，分

16、別對(duì)應(yīng)較小與較大的兩個(gè)數(shù)，有較小與較大的兩個(gè)數(shù)，有C41種分法，故有種分法，故有C52C41=40個(gè)映射，選個(gè)映射，選D.21 (原創(chuàng)原創(chuàng))表中的數(shù)據(jù)表中的數(shù)據(jù)x(x0)與與y之間的對(duì)應(yīng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是關(guān)系是f：xax2+bx+c，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)填，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)填空空. 則處的數(shù)據(jù)可以是則處的數(shù)據(jù)可以是_，處的數(shù)，處的數(shù)據(jù)可以是據(jù)可以是_.題型題型 表格中的對(duì)應(yīng)關(guān)系表格中的對(duì)應(yīng)關(guān)系x1234y136505022 解：解：由題意，可求得由題意，可求得 ，所，所以以x=4時(shí)，可得時(shí)，可得y=10；由；由y=5050及及x0可可得得x=100.所以處填所以處填10；處填；處填100.21)x(xy23 1. 判斷對(duì)應(yīng)是否為映射，要考慮兩判