立體幾何中的向量方法——教學(xué)設(shè)計(jì)新部編版

1、精品教學(xué)教案設(shè)計(jì)| Excellent teaching plan教師學(xué)科教案2020學(xué)年度第_學(xué)期任教學(xué)科： _任教年級(jí)： _任教老師： _xx 市實(shí)驗(yàn)學(xué)校育人猶如春風(fēng)化雨，授業(yè)不惜蠟炬成灰精品教學(xué)教案設(shè)計(jì)| Excellent teaching plan課題： 選修（ 2-1 ） 3.2 立體幾何中的向量方法（教學(xué)設(shè)計(jì)）仁懷市茅臺(tái)高級(jí)中學(xué)楊國(guó)軍三維目標(biāo)：1、 知識(shí)與技能（ 1）在學(xué)習(xí)了方向向量的基礎(chǔ)上理解平面的法向量的概念；（ 2）能由直線的方向向量和平面的法向量的關(guān)系及向量的運(yùn)算來(lái)判斷或證明直線、平面的位置關(guān)系；（ 3）理解運(yùn)用直線的方向向量、平面的法向量及向量的運(yùn)算來(lái)解決關(guān)于直線、平面

2、的夾角及距離的問(wèn)題的方法（主要是關(guān)于角的問(wèn)題）；(4) 能初步利用向量知識(shí)解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題及綜合問(wèn)題。2、過(guò)程與方法（ 1）在初步運(yùn)用向量解決相關(guān)問(wèn)題的基礎(chǔ)上，引領(lǐng)學(xué)生對(duì)向量進(jìn)行系統(tǒng)的運(yùn)用，從而全面掌握立體幾何的向量方法；（ 2）通過(guò)探究立體幾何中的向量方法，并進(jìn)行針對(duì)性地運(yùn)用，體會(huì)向量這個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具的強(qiáng)大和廣泛的作用，從而為進(jìn)一步解決更加廣泛的問(wèn)題打好基礎(chǔ)；（ 3）通過(guò)向量方法的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)重要的數(shù)學(xué)思想方法（如：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想、類(lèi)比思想等等） 。3、情態(tài)與價(jià)值觀(1) 通過(guò)對(duì)立體幾何中的向量方法的探究和運(yùn)用，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流、善于反思、勤于總結(jié)的科學(xué)態(tài)度

3、和鍥而不舍的鉆研精神，提高參與意識(shí)和合作精神；（ 2）通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，滲透更廣泛地育人思想，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，有利于形成正確的人生觀和價(jià)值觀；（ 3）通過(guò)各種形象而具體的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹(shù)立學(xué)生求真的勇氣和自信心，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)勇于探索的精神，勇于創(chuàng)新精神，同時(shí)體會(huì)事物之間普遍聯(lián)系的辯證思想。 體驗(yàn)在學(xué)習(xí)中獲得成功的成就感， 為遠(yuǎn)大的志向而不懈奮斗。教學(xué)重點(diǎn)：立體幾何中的向量方法教學(xué)難點(diǎn)：立體幾何中的向量方法的靈活準(zhǔn)確及恰當(dāng)運(yùn)用。教具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)方法： 合作探究、分層推進(jìn)教學(xué)法教學(xué)過(guò)程：一、雙基回眸科學(xué)導(dǎo)入：前面我們

4、已經(jīng)學(xué)習(xí)了空間向量的基本知識(shí)， 并利用空間向量初步解決了一些立體幾何問(wèn)題， 已初步感受到空間向量在解決立體幾何問(wèn)題中的重要作用， 并從中體會(huì)到了向量運(yùn)算的強(qiáng)大作用。 這一節(jié)，我們將全面地探究向量在立體幾何中的運(yùn)用，較系統(tǒng)地總結(jié)出立體幾何的向量方法。 為此，首先簡(jiǎn)單回顧一下相關(guān)的基本知識(shí)和方法：1直線 l 的方向向量的含義：.2向量的特殊關(guān)系及夾角（最后的填空是用坐標(biāo)表示）育人猶如春風(fēng)化雨，授業(yè)不惜蠟炬成灰精品教學(xué)教案設(shè)計(jì)| Excellent teaching plan（ 1） a/b；（ 2） a b；（ 3） a·a=；（ 4） cos a,b=。二、 創(chuàng)設(shè)情境合作探究：前面，我

5、們主要是利用向量的運(yùn)算解決了立體幾何中關(guān)于直線的問(wèn)題，如：兩直線垂直問(wèn)題；兩直線的夾角問(wèn)題；特殊線段的長(zhǎng)的問(wèn)題等等 若再加入平面，會(huì)出現(xiàn)更多的的問(wèn)題，如：線面、面面的位置關(guān)系問(wèn)題；線面的夾角問(wèn)題； 二面角的問(wèn)題等等 而且都是立體幾何中的重要問(wèn)題， 這些問(wèn)題用向量的知識(shí)怎樣來(lái)解決呢？直線可由其方向向量確定并由其來(lái)解決相關(guān)的問(wèn)題，平面又由怎樣的向量來(lái)確定呢？這些問(wèn)題就是我們將要探究或解決的主要問(wèn)題 同學(xué)們都知道：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面。由此我們應(yīng)該會(huì)想象出怎樣的向量可確定平面的方向了 下面請(qǐng)同學(xué)們合作探究一下這方面的知識(shí)和方法：（一）平面的法向量：。（二）直線、平面的幾種重要的位置關(guān)系的充要條

6、件：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)直線的方向向量和平面的法向量的幾何意義直觀地得出直線、平面的幾種特殊的位置關(guān)系的充要條件 （用直線的方向向量或平面的法向量來(lái)表達(dá)）設(shè)直線l ,m 的方向向量分別為a，b，的法向量分別為 u，平面v ，則：l m； l m；l ； l ；?！拘≡嚺５?】1設(shè)直線 l ,m 的方向向量分別為a， b ，根據(jù)下列條件判斷 直線 l ,m的位置關(guān)系：（ 1） a= （2 ， -1 ， -2 ）， b=（6 ，-3 ，-6 ）；（ 2） a= （1 ， 2 ， -2 ）， b=（-2， 3 ， 2）；3=（0，0，1），b=（0 ， 0 ，-3 ）。（ ） a2平面，的法向量分別為 u，

7、 v，根據(jù)下列條件判斷 平面，的位置關(guān)系：（ 1） u= （-2 ，2 ， 5 ）， v=（6 ，-4 ， 4 ）；（ 2） u= （ 1 ，2 ， -2 ）， v=（-2 ，-4 ， 4 ）；（ 3） u= （ 2 ，-3 ，5）， v=（-3 ，1，-4 ）。3如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1 中， E、 F 分別是 BB1 、 CD 的中點(diǎn)，求證： D1 F平面 ADE （你能用幾種方法呢？）育人猶如春風(fēng)化雨，授業(yè)不惜蠟炬成灰精品教學(xué)教案設(shè)計(jì)| Excellent teaching plan（三）利用向量方法證明平面與平面平行的判定定理【定理 】一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面

8、平行，則這兩個(gè)平面平行已知： 直線 l ,m 和 平面，其中 l ,m， l與 m 相交，l ， m ，求證：【分析 】根據(jù)u v，所以只要證明 u v即可，那需要證明u， v都是平面的法向量【證明】 設(shè)直線 l ,m 的方向向量分別為a， b，平面，的法向量分別為 u， v，（下面留給同學(xué)們嘍）【點(diǎn)評(píng)】向量法解題“三步曲” ：（ 1）化為向量問(wèn)題 （2）進(jìn)行向量運(yùn)算 （3）翻譯向量運(yùn)算結(jié)果，回到圖形問(wèn)題 .三、互動(dòng)達(dá)標(biāo)關(guān)于兩特殊點(diǎn)間距離的問(wèn)題此類(lèi)問(wèn)題前面已經(jīng)接觸過(guò)，下面再來(lái)總結(jié)及拓展一下：?jiǎn)栴} .1 如圖 , 一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體 , 其中頂點(diǎn) A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等 , 且它們彼

9、此的夾角都是 60°, 那么以這個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對(duì)角線的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系?！痉治觥?根據(jù)前面所學(xué)的方法，可將AC1 用與棱相關(guān)的向量表示出來(lái)，通過(guò)運(yùn)算求解 D1【解析】 ABAA1 AD1， BADBAA 1DAA 1 60A1因?yàn)?AC1ABADAA1AC12AD AA1 )2D( AB222ABABADAA12( AB ADAB AA1 AD AA1 )1112(cos60cos60cos60 )6所以|AC1|6 這個(gè)晶體的對(duì)角線的長(zhǎng)是棱長(zhǎng)的6倍【點(diǎn)評(píng)】遇到空間兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題，往往把兩點(diǎn)間的距離表示為以這兩點(diǎn)為起C1B1C育人猶如春風(fēng)化雨，授業(yè)不惜蠟炬成灰精品教學(xué)教案設(shè)

10、計(jì)| Excellent teaching plan點(diǎn)和終點(diǎn)的向量的模。然后把向量進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆纸?，運(yùn)用向量u 的模滿足的關(guān)系式： u2u ? u | u |2 來(lái)進(jìn)行針對(duì)性地運(yùn)算和求解 【探究】1.本題中平行六面體的另一條對(duì)角線的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系?2.如果一個(gè)平行六面體的各棱長(zhǎng)都相等,并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都是等于,那么由這個(gè)平行六面體的對(duì)角線長(zhǎng)可以確定棱長(zhǎng)嗎?3.本題的晶體中相對(duì)的兩個(gè)面之間的距離是多少?【分析】顯然，第 1 個(gè)問(wèn)題與 問(wèn)題 .1 類(lèi)似；第個(gè)問(wèn)題是 問(wèn)題 .1 的逆向問(wèn)題 ，所列的式子應(yīng)該是一樣的， 只不過(guò)未知數(shù)的位置不同 ； 第個(gè)問(wèn)題略有挑戰(zhàn)性，可把兩個(gè)面之間

11、的距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)的距離或點(diǎn)到面的距離對(duì)于這個(gè)問(wèn)題， 同學(xué)們可在課后先探究一下， 以后在進(jìn)行總結(jié) 下面我們?cè)賮?lái)看一個(gè) 問(wèn)題 .1 的逆向問(wèn)題：?jiǎn)栴} .如圖，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)A 處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B 處。從 A， B 到直線 l（庫(kù)底與水壩的交線）的距離AC和 BD分別為 a 和 b ,CD 的長(zhǎng)為 c, AB的長(zhǎng)為 d 。求庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值。【分析】正如上面的分析，此題是問(wèn)題 .1 的逆向問(wèn)題，解決方法與 問(wèn)題 .1 一致 【解析】AC a，BDb，CDc，AB d.B根據(jù)向量的加法法則CABACCDDBDA222AB( ACCDDBd)AB2CD22CDAC DBCDDB

12、)BD2( ACa 2c 2b 22 ACDBa 2c 2b 22 CADB于是得到 2CADBa 2b2c 2d 2設(shè)向量 CA 與 DB 夾角為 ，就是庫(kù)底與水壩所成二面角。a2b2c2a 2b 2c 2d2因此 2ab cosd 2 . 所以 cos2ab.a 2b 2c 2d 2.庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值為2ab【點(diǎn)評(píng)】 由此可體會(huì)解決一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，從而以靜制動(dòng)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法應(yīng)用的本質(zhì)。育人猶如春風(fēng)化雨，授業(yè)不惜蠟炬成灰精品教學(xué)教案設(shè)計(jì)| Excellent teaching plan【探究】 1本題中如果 AC和 BD夾角可以測(cè)出，而 AB 未知，其他條件不變，可以計(jì)

13、算出 AB 的長(zhǎng)嗎？ （通過(guò)課本第頁(yè)的第題體會(huì)一下即可）2 如果已知一個(gè)四棱柱的各棱長(zhǎng)和一條對(duì)角線的長(zhǎng)，并且以同一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都相等，那么可以確定各棱之間夾角的余弦值嗎？3如果已知一個(gè)四棱柱的各棱長(zhǎng)都等于 a ，并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等于 ，那么可以確定這個(gè)四棱柱相鄰兩個(gè)夾角的余弦值嗎？【分析】 顯然，第1 個(gè)問(wèn)題又回到了 問(wèn)題 .1 的形式；第、個(gè)問(wèn)題是問(wèn)題 .1的逆向問(wèn)題 ，但第個(gè)問(wèn)題又是略有挑戰(zhàn)性，需要通過(guò)做輔助線構(gòu)出 問(wèn)題 . 的圖形模式 對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，同樣是同學(xué)們先課后探究一下，以后在進(jìn)行總結(jié) 關(guān)于直線、平面的位置關(guān)系的論證及夾角問(wèn)題問(wèn)題 .中，底面 ABC

14、D 是正方形，側(cè)棱PD 底面 ABCD，3 如圖，在四棱錐 P ABCDPD=DC ， E 是 PC 的中點(diǎn)，作 EF PB 交 PB 于點(diǎn) F。（ 1）求證： PA平面 EDB ；（ 2）求證： PB 平面 EFD ；（ 3）求二面角 C PB D 的大小?！痉治觥?此題包括：判定直線與平面平行和垂直及計(jì)算二面角的大小均可用向量方法來(lái)解決。題目中的垂直條件非常適合建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)表示向量?！窘馕觥浚?1）證明：連接 AC ， AC 交 BD 于點(diǎn) G，連結(jié) EG。依題意得 A （ 1，0， 0），P（ 0， 0，1）， E（ 0， 1 ， 1 ）。22因?yàn)榈酌?ABCD 是正方形， 所以

15、點(diǎn) G 是此正方形的中心， 故點(diǎn) G 的坐標(biāo)為 G（ 1 ， 1 ，0），且 PA =(1， 0, 1)， EG =（ 1 ，0， 1 ）所以 PA222EG ,即 PA EG22而 EG 平面 EDB ，且 PA 平面 EDB,因此 PA平面 EDB(2) 依題意得 B（ 1， 1， 0）， PB =（ 1， 1， 1）又 DE =(0, 1,1),故PB?DE =0+ 1-1=02222所以 PB DE 由已知 EF PB。且 EFDE=E所以 PB平面 EFD(3) 已知 PB EF，由（ 2）知 PBDE ，故 EFD 是二面角 C-PB-D 的平面角。設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x, y, z）

16、則PF=(x, y, z1),因?yàn)?PFk PB 所以 ( x, y, z1)=k( 1,1,1)即 xk, yk, z 1 k因?yàn)?PB ?DF0 所以 (1,1,1) ? (k ,k ,1k)kkk 1 =0育人猶如春風(fēng)化雨，授業(yè)不惜蠟炬成灰精品教學(xué)教案設(shè)計(jì)| Excellent teaching plan所以 k1，點(diǎn) F 坐標(biāo)為（1,1,2 ）311333111又點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（）所以FE()0,6,2236(111112FE ?FD,) ? (,)1因?yàn)?cosEFD366333FE FD66236所以 EFD=60 °，即二面角C-PB-D 的平面角的大小為60

17、6;?！军c(diǎn)評(píng)】 (1)此題涉及到的問(wèn)題都是立體幾何中的重點(diǎn)問(wèn)題。通過(guò)解決過(guò)程來(lái)看，若條件適合建立空間坐標(biāo)系， 建系表示向量來(lái)解決問(wèn)題還是較簡(jiǎn)潔的轉(zhuǎn)化為目標(biāo)明確的坐標(biāo)運(yùn)算 (2) 同學(xué)們可用傳統(tǒng)法（不用向量）解決一下，比較各自的特點(diǎn)，便于解決問(wèn)題時(shí)能恰當(dāng)選擇方法可大體上分為三種方法： 傳統(tǒng)法；向量法；坐標(biāo)向量法。當(dāng)然也可把這三種方法結(jié)合起來(lái)使用 直線與平面所成的角怎樣用向量來(lái)解決呢？同學(xué)們可借助此題的背景來(lái)求直線PA與平面 PBC所成角：關(guān)于點(diǎn)到平面的距離問(wèn)題利用 問(wèn)題 .3 的條件（ PD=DC 改為 PD=DC= a ）求出點(diǎn) A 到平面 PBC 的距離 總結(jié)出點(diǎn)到平面的距離的求法：關(guān)于實(shí)際

18、問(wèn)題問(wèn)題 4.500kg ，在它的頂點(diǎn)處分別受力F1F2F3，一塊均勻的正三角形面的鋼板的質(zhì)量為，每個(gè)力與同它相鄰的三角形的兩邊之間的角都是60o ，且 F1 F2 F3200kg ，這塊鋼板在這些力的作用下將怎樣運(yùn)動(dòng)？這三個(gè)力是多少時(shí)，才能提起這塊鋼板？O.若能將各頂點(diǎn)【分析】鋼板所受重力為500kg垂直向下作用在三角形的中心，處所受的力 F1 ， F2 ， F3 用向量形式表示，求出合力，就能判斷鋼板的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。【解析】 解：以點(diǎn) A 為原點(diǎn)，平面ABC為 xAy 坐標(biāo)平面， AB 方向?yàn)?y 軸正方向，| AB | 為 y 軸的單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz ，則正三角形的頂點(diǎn)坐

19、標(biāo)分別為 A(0,0,0), B(0,1,0) C (3,1,0)22育人猶如春風(fēng)化雨，授業(yè)不惜蠟炬成灰精品教學(xué)教案設(shè)計(jì)| Excellent teaching plan設(shè)力 F1 方向上的單位向量坐標(biāo)為(x, y, z) 由于 F1 與 AB, AC 的夾角均為60°，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，得cos601( x, y, z) ? (0,1,0)2cos601( x, y, z) ? (3 ,1,0)222由得 x1 , y1因?yàn)?( x, y, z) 為單位向量，x 2y 2z21 ，因此 z21223于是 F1 =200（1 ,1,2）同理 F2 =200（1 ,1 ,2） F3

20、 =200（1 ,0,2 ）1223122333所以 F1+ F2 + F3=200（1,1,2） +200（1,1,2） +200（1,0,2 ）1223122333=200(0,06)這說(shuō)明，作用在鋼板上合力方向向上，大小為2006 ，作用點(diǎn)為 O由于 2006 <500，所以鋼板仍靜止不動(dòng)。要提起這塊鋼板，設(shè)三個(gè)力大小均為x，則6 x500，解的 x5006因此，要提起這塊鋼板，三力大小均要大于500 。6【點(diǎn)評(píng)】此題是力的合成問(wèn)題，用向量將其表示，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，求出和向量即可，物理中的力、速度等量均可用向量來(lái)表示 四、思悟小結(jié)：知識(shí)線：（ 1）平面的法向量；（ 2）用直線的方向

21、向量和平面的法向量判斷直線、平面的位置關(guān)系的幾個(gè)結(jié)論。思想方法線：（ 1）向量法與坐標(biāo)法；（ 2）等價(jià)轉(zhuǎn)化思想；（ 3）數(shù)形結(jié)合思想；題目線：（ 1）關(guān)于兩特殊點(diǎn)的距離及拓展問(wèn)題；（ 2）關(guān)于直線、平面的位置關(guān)系的判斷與論證問(wèn)題；（ 3）關(guān)于夾角問(wèn)題；（ 4）關(guān)于簡(jiǎn)單的距離問(wèn)題；（ 5）關(guān)于實(shí)際問(wèn)題及綜合問(wèn)題。五、針對(duì)訓(xùn)練鞏固提高：1（1）設(shè)平面 的法向量為 (1,2,-2),平面的法向量為 (-2,-4,k),若 ，則 k=；若 ，則 k=。（2）若 l 的方向向量為 (2,1,m),平面的法向量為 (1,1 ,2),若 l ，則m=； 若 l ，則 m = .22AC，線段 BD AB，線如圖，已知線段 AB 在平面 內(nèi)，線段育人猶如春風(fēng)化雨，授業(yè)不惜蠟炬成灰精品教學(xué)教案設(shè)計(jì)| Excellent teaching plan段 DD '，DBD '30o ，如果 AB a， AC BD b，求 C、D 間的距離或： 一個(gè)矩形ABCD ， AB=3,CD=4, 以 BD 為棱折成直二面角，求A 、C 之間的距離。3（ 1）如圖，空間四邊形 ABCD 的