笛卡兒坐標(biāo)系

1、笛卡兒坐標(biāo)系維基百科，自由的百科全書圖1-紅色的圓圈，半徑是2 ,圓心位于直角坐標(biāo)系的 原點(diǎn)。圓圈的公式為 £“ + / = 4.在數(shù)學(xué)里，笛卡兒坐標(biāo)系，也稱直角坐標(biāo)系，是一種正交坐標(biāo)系。參閱圖1 , 二維的直角坐標(biāo)系是由兩條相互垂直、0點(diǎn)重合的數(shù)軸構(gòu)成的。在平面內(nèi)，任何 一點(diǎn)的坐標(biāo) 是根據(jù)數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)定的。在平面內(nèi)，任何一點(diǎn)與坐標(biāo) 的對(duì)應(yīng)關(guān)系，類似于數(shù)軸上點(diǎn)與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。采用直角坐標(biāo)，幾何形狀可以用代數(shù)公式明確的表達(dá)出來。幾何形狀的每一個(gè)點(diǎn) 的直角坐標(biāo)必須遵守這代數(shù)公式。例如，一個(gè) 圓圈，半徑是2 ,圓心位于直角22坐標(biāo)系的原點(diǎn)。圓圈可以用公式表達(dá)為 工+y =4。歷

2、史笛卡兒坐標(biāo)系是由法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒 創(chuàng)建的。1637年，笛卡兒發(fā)表了巨作方 法論（Discours de la m ethode 。這本專門研究與討論西方治學(xué)方法的書， 提供了許多正確的見解與良好的建議，對(duì)于未來的西方學(xué)術(shù)發(fā)展，有很大的貢獻(xiàn)。 為了顯示新方法的優(yōu)點(diǎn)與果效，以及對(duì)他個(gè)人在科學(xué)研究方面的幫助，在方法論的附錄中，他增添了另外一本書幾何。有關(guān)笛卡兒坐標(biāo)系的研究，就是 出現(xiàn)于幾何這本書內(nèi)。笛卡兒在坐標(biāo)系這方面的研究結(jié)合了代數(shù)與歐幾里德 幾何，對(duì)于后來解析幾何、微積分、與地圖學(xué)的建樹，具有關(guān)鍵的開導(dǎo)力。二維坐標(biāo)系統(tǒng)(-34)- 3 一2綠點(diǎn)：3）,紅點(diǎn)：（3, 1）,圖2 -直角坐標(biāo)系。圖

3、中四點(diǎn)的坐標(biāo)分別為, 藍(lán)點(diǎn)：（一L5, - 2.5i ,紫點(diǎn)：（0.山。1HII、（0刈- .4 IIIIIV-10 -圖3 -直角坐標(biāo)系的四個(gè) 象限，按照逆時(shí)針方向,從象限1到象限IV 0坐標(biāo) 軸的頭部象征著，往所指的方向，無限的延伸。參閱圖2 ,二維的直角坐標(biāo)系通常由兩個(gè)互相垂直的坐標(biāo)軸設(shè)定。每一個(gè)軸都 指向一個(gè)特定的方向。這兩個(gè)不同線的坐標(biāo)軸，決定了一個(gè)平面，稱為xy-平面， 又稱為笛卡兒平面。通常，橫軸稱為x-軸?？v軸稱為y-軸。兩個(gè)坐標(biāo)軸的相交 點(diǎn)，稱為原點(diǎn)，通常標(biāo)記為O。為了要知道坐標(biāo)軸的任何一點(diǎn)，離原點(diǎn)的距離。假設(shè)，我們可以刻畫數(shù)值于坐標(biāo) 軸。那么，從原點(diǎn)開始，往坐標(biāo)軸所指的方向

4、，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度，就刻畫數(shù)值 于坐標(biāo)軸。這數(shù)值是刻畫的次數(shù)，也是離原點(diǎn)的正值 整數(shù)距離；同樣地，背著坐 標(biāo)軸所指的方向，我們也可以刻畫出離原點(diǎn)的負(fù)值 整數(shù)距離。稱x-軸刻畫的數(shù) 值為x-坐標(biāo)，又稱橫坐標(biāo)，稱y-軸刻畫的數(shù)值為y-坐標(biāo)，又稱縱坐標(biāo)。雖然, 在這里，這兩個(gè)坐標(biāo)都是整數(shù)，對(duì)應(yīng)于坐標(biāo)軸特定的點(diǎn)。按照比例，我們可以推 廣至實(shí)數(shù)坐標(biāo)和其所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸的每一個(gè)點(diǎn)。這兩個(gè)坐標(biāo)就是直角坐標(biāo)系的 直 角坐標(biāo),標(biāo)記為(皿力任何一個(gè)點(diǎn)P在平面的位置，可以用直角坐標(biāo)來獨(dú)特表達(dá)。只要從點(diǎn)P畫一條 垂直于x-軸的直線。從這條直線與x-軸的相交點(diǎn)，可以找到點(diǎn)P的x-坐標(biāo)。 同樣地，可以找到點(diǎn)P的y-坐標(biāo)。這

5、樣，我們可以得到點(diǎn) P的直角坐標(biāo)。例 如，參閱圖3 ,點(diǎn)P的直角坐標(biāo)是5)。直角坐標(biāo)系也可以推廣至三維空間與高維空間(higher dimension) 。參閱圖3 ,直角坐標(biāo)系的兩個(gè)坐標(biāo)軸將平面分成了四個(gè)部分，稱為 象限，分別 用羅馬數(shù)字編號(hào)為 /（+. +）,（ , 十） "（一，-） ,W（+,一）。 依照慣例，象限J的兩個(gè)坐標(biāo)都是正值；象限 的X-坐標(biāo)是負(fù)值，y-坐標(biāo)是 正值；象限的兩個(gè)坐標(biāo)都是負(fù)值的；象限的X-坐標(biāo)是正值，y-坐標(biāo)是負(fù)值。所以，象限的編號(hào)是按照 逆時(shí)針方向，從象限/編到象限IVo三維坐標(biāo)系統(tǒng)圖4 -直角坐標(biāo)系的幾個(gè)坐標(biāo)曲面。紅色平面的x=1。黃色平面的y =

6、 -1 藍(lán)色平面的2 = lo z-軸是垂直的，以白色表示。X-軸以綠色表示。三個(gè)坐標(biāo) 曲面相交于點(diǎn)P （以黑色的圓球表示），直角坐標(biāo)大約為（11 1，1）。z-a.rts舊圖5 -三維直角坐標(biāo)系。y-軸的方向是遠(yuǎn)離讀者圖6 -三維直角坐標(biāo)系。x-軸的方向是親近讀者在原本的二維直角坐標(biāo)系，再添加一個(gè)垂直于 x-軸，y-軸的坐標(biāo)軸，稱為z- 軸。假若，這三個(gè)坐標(biāo)軸滿足右手定則，則可得到三維的直角坐標(biāo)系。這 z-軸 與x-軸，y-軸相互正交于原點(diǎn)。在三維空間的任何一點(diǎn)P ,可以用直角坐標(biāo)(% V，R來表達(dá)其位置。例如，參閱圖5 ,兩個(gè)點(diǎn)P與Q的直角坐標(biāo)分別 為（3, 0, 5）與（一5, 5, 7

7、） 三個(gè)平面，xy-平面，yz-平面，xz-平面，將三維空間分成了八個(gè)部分，稱為 卦 限(octant)。與二維空間的四個(gè)象限不同，只有一個(gè)卦限有編號(hào)。第一號(hào)卦限 的每一個(gè)點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)都是正值的。取向二維空間直角坐標(biāo)系的x-軸與y-軸必須相互垂直。稱包含y-軸的直線為y-線。在二維 空間里，當(dāng)我們?cè)O(shè)定了 x-軸的位置與方向的同時(shí)，我們也設(shè)定了 y-線的方向。 可是，我們?nèi)耘f必須選擇，在 y-線的以原點(diǎn)為共同點(diǎn)的兩條半線中，那一條半 線的點(diǎn)的坐標(biāo)是正值的，那一條是負(fù)值的？任何一種選擇決定了xy-平面的取向。參閱圖1 。通常，我們選擇的取向是，正值的 x-軸橫地指向右方，正值的y- 軸縱地指向上方

8、。這種取向稱為 正值取向，標(biāo)準(zhǔn)取向，或右手取向。右手定則是一種常用的記憶方法，專門用來辨認(rèn)正值取向：將一只半握拳的右手 放在平面上，大拇指往上指，那么，其它的手指都從 x-軸指向y-軸。另外一種取向，采用 左手定則，專門用來辨認(rèn)負(fù)值取向，或左手取向：將一只半 握拳的左手放在xy-平面上，大拇指往上指，那么，其它的手指都從y-軸指向x- 軸。不論坐標(biāo)軸是何種取向，將坐標(biāo)系統(tǒng)做任何角度的旋轉(zhuǎn)，取向仍舊會(huì)保持不變。三維空間圖7-右手定則z圖8 -左邊是左手取向，右邊是右手取向。直角坐標(biāo)系的x-軸，y-軸，與z-軸必須相互垂直。稱包含z-軸的直線為z- 線。在三維空間里，當(dāng)我們?cè)O(shè)定了 x-軸，y-軸的

9、位置與方向的同時(shí)，我們也設(shè) 定了 z-線的方向?？墒牵覀?nèi)耘f必須選擇，在z-線以原點(diǎn)為共同點(diǎn)的兩條半 線中，那一條半線的點(diǎn)的坐標(biāo)是正值的，那一條是負(fù)值的？這兩種不同的坐標(biāo)系 統(tǒng)，稱為右手坐標(biāo)系與左手坐標(biāo)系。右手坐標(biāo)系又稱為標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系，或正值坐標(biāo) 系。右手坐標(biāo)系這名詞是由 右手定則而來的。先將右手的手掌與手指伸直。然后，將 中指指向往手掌的掌面半空間，與食指呈直角關(guān)系。冉將大拇指往上指去，與中 指，食指都呈直角關(guān)系。則大拇指，食指，與中指分別表示了右手坐標(biāo)系的 x- 軸，y-軸，與z-軸。同樣地，用左手也可以表示出左手坐標(biāo)系。圖8試著展示出一個(gè)左手坐標(biāo)系與一個(gè)右手坐標(biāo)系。因?yàn)槲覀冇枚S畫面來展 示三維物體，會(huì)造成扭曲或模棱兩可的圖形。指向下方與右方的軸，也有指向讀 者的意思；而位置居于中間的軸，也有指向讀者正在看的方向的意思。平行于xy- 平面的紅色圓形曲箭，其紅色箭頭從 z-軸前面經(jīng)過，表示從x-軸往y-軸的旋 轉(zhuǎn)方