導(dǎo)數(shù)用于單調(diào)性和極值問(wèn)題

1、專題十四、導(dǎo)數(shù)用于單調(diào)性和極值問(wèn)題題型一利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性sin xn1. 證明：函數(shù)f(x)=在區(qū)間-2, n上單調(diào)遞減.X A. x = 2為f (x)的極大值點(diǎn)題型二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2. 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.3x(1) f (x) = x-X； (2) y = e - x+ 1.3. 求函數(shù)y= x2- In x2的單調(diào)區(qū)間.題型三已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值圍2 a4. 已知函數(shù)f (x) = x + x(xz 0，常數(shù)a R).若函數(shù)f (x)在x 2 ,+s )上是單調(diào)遞增的,z.求a的取值圍.5. (1)已知函數(shù)f (x) = x3+ bx2 + cx + d的單調(diào)

2、減區(qū)間為1,2，求b, c的值.(2) 設(shè)f (x) = ax3 + x恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，數(shù)a的取值圍.題型四用單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系證不等式6. 當(dāng)x 0時(shí)，證明不等式ln( x + 1) x -2x2.n7.當(dāng)Ov xv g時(shí)，求證:x sinxv 6x.題型五、函數(shù)的極值問(wèn)題8.下列函數(shù)存在極值的是()1A. y = 2xB. y = 一xC. y = 3x 1D. y = x229 .設(shè)函數(shù) f (x) = - + Inx,則()xB. x =為f (x)的極小值點(diǎn)C. x = 2為f(x)的極大值點(diǎn)D. x = 2為f (x)的極小值點(diǎn)10. 若函數(shù)y = f (x)是定義在 R上的可導(dǎo)

3、函數(shù)，則f (xo) = 0是xo為函數(shù)y = f (x)的極值點(diǎn) 的()A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件11. 函數(shù)y= x ex的最小值為 .12. 若函數(shù)f (x) = -r(a0)在1 ,+ 上的最大值為乂3，則a的值為x + a3題型六、利用極值求參數(shù)圍n3 n13. 已知函數(shù)f (x) = asi nx bcosx在x=才時(shí)取得極值，則函數(shù) y = f(-廠一x)是()A. 偶函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)(n, 0)對(duì)稱3 nB. 偶函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)(-廠,0)對(duì)稱3 nC. 奇函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)(-廠，0)對(duì)稱D. 奇函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)(n, 0)

4、對(duì)稱3214 .已知函數(shù)f (x) = x + ax + bx+ c, f (x)在x= 0處取得極值，并且在區(qū)間0,2和4,5上具有相反的單調(diào)性.(1) 數(shù)b的值；(2) 數(shù)a的取值圍.題型七、導(dǎo)數(shù)用于解決實(shí)際問(wèn)題15. 用邊長(zhǎng)為48cm的正方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒時(shí)，在鐵皮的四角各截去一個(gè)面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒.所做的鐵盒容積最大時(shí)，在四角截去的正方形 的邊長(zhǎng)為()A. 6B. 8C. 10D. 1216. 一工廠生產(chǎn)某型號(hào)車床，年產(chǎn)量為N臺(tái)，分批進(jìn)行生產(chǎn)，每批生產(chǎn)量相同，每批生產(chǎn)的準(zhǔn)備費(fèi)為 C2 元，產(chǎn)品生產(chǎn)后暫存庫(kù)房，然后均勻投放市場(chǎng)(指庫(kù)存量至多等于每批的生

5、產(chǎn)量)設(shè)每年每臺(tái)的庫(kù)存費(fèi)為 C元，求在不考慮生產(chǎn)能力的條件下，每批生產(chǎn)該車床 臺(tái)，一年中庫(kù)存費(fèi)和生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)之和最小題型八、圖像問(wèn)題17. 二次函數(shù)y=f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)且它的導(dǎo)函數(shù) y= f (x)的圖象是如圖所示的一條直線，y = f (x)的圖象的頂點(diǎn)在()A.第I象限B.第n象限C. 第川象限D(zhuǎn).第W象限18. 設(shè)函數(shù)f(x)在定義域可導(dǎo)，y=f (x)的圖象如下圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y= f (x)的圖象可能 是()鞏固練習(xí)：119. 定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f=1,且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)?，則滿足2f(x)x+ 1的x的集合為()A. x| 1x1B. x|x1C. x| x1

6、D. x| x1n120. 函數(shù) f (x) = sinx + 2xf (石),f (x)為 f (x)的導(dǎo)函數(shù)，令 a= 2, b= log 32，則下列32關(guān)系正確的是()B. f(a)f (b)D f(| a|)f (b)C. f(a) = f(b)21. 若關(guān)于x的方程x - 3x+ m 0在0,2上有根，則實(shí)數(shù)m的取值圍是()A. 2,2B. 0,2C. 2,0D. ( s, 2) U (2 ,+ )1 3 1 222. 已知函數(shù)f(x) = 3ax + 2ax 2ax+ 2a + 1的圖象經(jīng)過(guò)四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)a的取值圍是3228 .設(shè)函數(shù) f(x) = ex- ax 2.(1) 求

7、f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若a= 1, k為整數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，(x k)f (x) + x+ 10,求k的最大值.1.證明專題十四、導(dǎo)數(shù)用于單調(diào)性和極值問(wèn)題參考答案 xcos x sin xf (x)=廠xn，又 x ,n ,則 cos x0 , xcos x sin” n f (x)0, f (x)在,x0，則 x OO令 f (x)0 ,即 ex 10 , 則 x (0 , +o )；令 y 0 ,即 ex 1 0在x 2 , +o )時(shí)恒成立， 2x3 a即一茫 0在x 2 ,+o )時(shí)恒成立.23-0，2 a0 ,3 a 0(x 2 , +O )有且只有 f (2) = 0, a

8、的取值圍是(O,16.5. 解(1) v函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)f (x) = 3x2 + 2bx+ c,由題設(shè)知1x2是不等式3x2 + 2bx+ c0的解集. 1,2是方程3x2+ 2bx+ c= 0的兩個(gè)實(shí)根，2c 3二 g( x) v g(0) = 0, x sin x v x .8. 答案D解析畫出圖像即可知 y = x2存在極值f(0) = 0.9. 答案D解析本節(jié)考查了利用導(dǎo)數(shù)工具來(lái)探索其極值點(diǎn)問(wèn)題.f (x) = 22+ - = -(1 2) = 0 可得 x = 2.x x x x當(dāng) 0x2 時(shí)，f (x)2 時(shí)f (x)0 , f (x)單調(diào)遞增所以x= 2為極小值點(diǎn).對(duì)于含

9、有對(duì)數(shù)形式的函數(shù)在求導(dǎo)時(shí)，不要忽視定義域.10. 答案B解析女口y =x3,y=3x2,yI x= 0= 0，但x = 0不是函數(shù)y=x3的極值點(diǎn). + 2 = 3b, (1) x 2= 3，3即 b= c = 6.(2) f (x) = 3ax2+1，且f (x)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，方程f (x) = 3ax2 + 1= 0有兩個(gè)不等的實(shí)根，丄2-A = 0 4x 1 x 3a0,. af(0) = 0證得.1 2 規(guī)解答令 f (x) = ln( x + 1) x + qx , (4 分)1 x2貝U f (x) = 1 + x=.(6 分)1 + x1 + x當(dāng) x (0，+a )時(shí)，f (

10、x) 0, f (x)在(0，+a )上是增函數(shù).(8分)于是當(dāng) x0 時(shí)，f (x) f (0) = 0,1 2當(dāng)x 0時(shí)，不等式ln( x + 1) x qx成立.(12分)1 3n7. 證明 設(shè) g(x) = x sin x x , x 0,2X- 21 22Xg (x) = 1 cos x = 2 sin 3n/ x 0,，二 0 vsin xv x, sin x v2 g (x) v0,n g( x)在0, 上單調(diào)遞減,ii. 答案e解析y= (x + l)e0, x= 1.當(dāng) x 1 時(shí)，y 1 時(shí) y 0ymin = f ( 1)12. 答案3 1解析f (X)x2 + a 2x

11、：-x + a22a x2.x + a當(dāng) x a時(shí) f (x)0 , f (x)在(a,)上是遞減的，當(dāng)一ax0,f(x)在(a,a)上是遞增的.當(dāng)x=a時(shí)，f(a)=/=#，1 a=0.因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)區(qū)間0,2和4,5上具有相反的單調(diào)性，2所以應(yīng)有 2w Ta 4,解得6w aw 3.315. 答案B解析設(shè)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為xcm,鐵盒的容積為Vsmf,由題意，得 V= x(48 2x) (0x24) , V= 12(24 x)(8 x).令 V= 0，則在(0,24)有 x = 8,故當(dāng) x = 8 時(shí)，V 有最大值.16.答案G2NCT解析設(shè)每批生產(chǎn)x臺(tái)，則一年生產(chǎn)N批. 一年中庫(kù)存

12、費(fèi)和生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)之和y = Gx+ Nx(o xN).y的最y = G-爭(zhēng) 由y= 0及0x0,4a解析 設(shè)f (x) = ax2 + bx + c,二次函數(shù)y= f (x)的圖象過(guò)原點(diǎn)，二b=2ax+ b,由 y = f (x)的圖象可知，2a0,a0,0,2a故選A.18. 答案A解析f(x)在(g, 0)上為增函數(shù)，在(0 , +s)上變化規(guī)律是減t增t減， 因此f (x)的圖象在(g, 0)上，f (X)0，在(0，+g )上f (X)的符號(hào)變化規(guī)律是負(fù)t正t 負(fù)，故選A.19. 答案B1解析 令 g(x) = 2f (x) x 1,t f (x)-, g (x) = 2f (x) 10

13、, g(x)為單調(diào)增函數(shù), f(1) = 1,二 g(1) = 2f(1) 1 1 = 0,當(dāng) x1 時(shí)，g(x)0,即 2f(x)x+ 1,故選 B.20. 答案Aj ,n解析 f (X) = cosx + 2f (), nn , n f(y) = cos + 2f (可),即f7t12. f (x) = sin x x.又 f (x) = cosx 1 0, 故f(x)在R上遞減.1又 2f(log 32),即 f(a)f(b) 21. 答案A32解析 令 f (x) = x - 3x+ m 貝y f (x) = 3x -3 = 3(x +1)( x- 1)，顯然當(dāng) x1 時(shí)，f (x)0

14、, f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)一1x1 時(shí)，f (x)0, f(x)單調(diào)遞減，.在 x =- 1時(shí)，f (x)取極大值f ( 1) = nu 2,在x= 1時(shí)，f (x)取極小值f(1) = m- 2.f1 0,m-20,則f 2 0,f 2 0,此時(shí)無(wú)解；若a0,則f1 0,6363 5a-洛綜上知，-5a- 16.23. 答案(3, - 2)解析f (x) = 3x2- 3,設(shè)切點(diǎn)為 Rxo, yo)，則切線方程為 y- (x3- 3xo) = (3 x2- 3)( x3232-X。)，T切線經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(1 , m , m- (X0 3X0)= (3xo 3)(1 - x。), m=- 2x0

15、+ 3x。一 3, M =-6x2 + 6X0,.當(dāng)0x1時(shí)，此函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x1時(shí)，此函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x= 0 時(shí)，m=- 3,當(dāng) X0= 1 時(shí)，m=-2，當(dāng)一30 時(shí)，e2x1, f (x) = 2(1 - e2x)0 時(shí)，f (x)0 時(shí)，1 + 2x- e2x0，即 1 + 2x0,. X10, X20 , x (0,+ ) , f (x)0故f(x)在(0,+ )遞增.13 當(dāng) a0時(shí)，A = 8a + 4 0,即卩 a 時(shí)，g(x) 0, f (x) 0,即一2a0,aa+1x! 2a+ 1 小X2=0a令 f (x)0 , x (X1, X2),f (x) 0時(shí)，f (x)在

16、(0,+ )遞增.1當(dāng)一2a0時(shí)，A 0,此時(shí)g(x) = 0的兩根xi =a+ 1 ；2a+ 1a，X2 =a+ 1+ ：2a+ 1一 a+ 1 + 2a + 1一 a+ 1 一2a +1在(0 ,X1)和(X2, + )遞減(其中 X1=, X2=).aa1當(dāng)aw時(shí)，f(x)在(0 ,+ )遞減.26. 分析如圖，設(shè)出AD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出|AB表示出面積S,然后利用導(dǎo)數(shù)求最值.設(shè)矩形邊長(zhǎng)為 AD= 2x，則|AB = y = 4 x2,解析32即 S= 8x 2x , S= 8 6x ,2則矩形面積 S= 2x(4 x )(0 x2),令 S= 0,解得 xp 2 , X2= 一2-J舍去)

17、當(dāng) x0;當(dāng) gx2 時(shí)，S 0,.當(dāng)xW時(shí)，S取得最大值，此時(shí)，S最大 =詈,8y= 3.即矩形的邊長(zhǎng)分別為 爸3、8時(shí)，矩形的面積最大.點(diǎn)評(píng)本題的關(guān)鍵是利用拋物線方程，求出矩形的另一邊長(zhǎng).27.解析(1)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?0 ,+ ),1 a 11f (x)4-疋-】，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，且切線與y=只垂直.得 f (1) =1 a 1= 2,. a=(2)由(1)知 f (x) = x+ 4x Inx 2,2151 x 4x 54x2 f(x) = 74 4xx令f (x) = 0解得x= 1或5, 1不在定義域之故舍去.當(dāng) x (0,5) , f (x)0 , f(x)在(5 ,

18、+s )遞增.5 13 f (x)在 x= 5 時(shí)取極小值 f(5) = +- ln5 -= ln5.4 4228.分析解析f (x)的定義域?yàn)? ),f (x) = e .x xxe 1, e e x 2x Z 2 + 1 =x e 1e 1由(1)知，函數(shù) h(x) = ex x 2 在(0，+g )單調(diào)遞增.而 h(1)0，所以 h(x) 在(0，+g )存在唯一的零點(diǎn)故 g (x)在(0，+g )存在唯一的零點(diǎn)設(shè)此零點(diǎn)為 a,則a (1,2).當(dāng) x (0 , a )時(shí)，g (x)0.所以g( x)在(0，+g )的最小值為g( a ).又由 g ( a ) = 0，可得 e = a + 2,所以 g( a ) = a + 1 (2,3).由于式等價(jià)于k0，所以f(x)在(s,+s )單調(diào)遞增.若 a0,則當(dāng) x ( g, In a)時(shí)，f (x)0 ,所以f (x)在(g, In a)單調(diào)遞減，在(In a,+ )單調(diào)遞增.(2)由于 a= 1，所以(x k) f (x) + x + 1 = (x k)(e x 1) + x+ 1.故當(dāng) x0 時(shí)，(x k)f (x) + x+ 10 等價(jià)于x+ 1k0).則 g (x)=x + 1 令 g( x) = ey + x,23. 已知函數(shù)f (x) = x3 3x,若過(guò)點(diǎn)A(1 , n)( m 2)可作曲線y= f (x)