極坐標(biāo)與參數(shù)方程知識點(diǎn)總結(jié)歸納

1、歡迎閱讀第一部分：坐標(biāo)系與參數(shù)方程【考綱知識梳理】x'=九x,（九>0）y'=N y,>0）1 .平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換的作換,設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換中：， 用下，點(diǎn)P(x, y附應(yīng)到點(diǎn)P(x： y、稱呼為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變簡稱伸縮變換.2 .極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系如圖所示，在平面內(nèi)取一個定點(diǎn)。，叫做極點(diǎn)，自極點(diǎn)。引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個長度 單位,一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了一個極坐標(biāo)系. 注:極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾何背景，而平面直角坐標(biāo)系以互相垂直的

2、兩條數(shù)軸為幾何背景；平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對應(yīng)的關(guān)系，而極坐標(biāo)系則不可.但極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)系.(2)極坐標(biāo)設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為P;以極軸Ox為始邊，射線OM 為終邊的角NxOM叫做點(diǎn)M的極角，記為0 .有序數(shù)對(P,B )叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(P,0 ).一般地, 不作特殊說明時，我們認(rèn)為P20,6可取任意實數(shù).特別地，當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時，它的極坐標(biāo)為(0,日處w R )。和直角坐標(biāo)不同，平面內(nèi)一個點(diǎn)的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示.如果規(guī)定P>0,0<9 <2n，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)(P,

3、e )表示;同時，極坐標(biāo)(P,e廢示的點(diǎn)也是唯一確定的.3 .極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化(1)互化背景:把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系 中取相同的長度單位，如圖(2)所示：(2)互化公式:設(shè)M是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x, y、極坐標(biāo)是(P6 (P>0 )，于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表點(diǎn)M直角坐標(biāo)(x, y )極坐標(biāo)伊,8 )互化公式在一般情況下，由tan確定角時，可根據(jù)點(diǎn)M所在的象限最小正角歡迎閱讀歡迎閱讀4.常見曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓圓心為（r,0）,半徑為r的圓圓心為；三半徑為r的< 2 J圓

4、. J 11過極點(diǎn)，傾斜角為a的直線11,(一 _ JI 1R = o(Pw R 四日=兀 +o(Pw R)(2)9 =a(P > 0 或 g = n +ot(P > 0)過點(diǎn)（a,0 ）,與極軸垂直的直線過點(diǎn)a,- |,與極軸平行的< 2；直線1注:由于平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不唯一，即伊,日）（P,2n +9 ）（- P,n +日）（- P,-n +8將B表示同一點(diǎn)的坐標(biāo)，這與點(diǎn)的直角坐標(biāo)的唯一性明顯不同.所以對于曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)的多種表示形式只要求至少有一個能滿足極坐標(biāo)方程即可.例如對于極坐標(biāo)方程p=19點(diǎn)m 三,-i可以表示為4 4I Ifn 55 fir 555

5、 5 5J! Y. . fnn 、.一、一M.1, 一+2冗怏;M. 一, 2n段M .-一, |等多種形式，其中，只有M 一 ,一 |的極坐標(biāo)滿足方程 14 4Jl4 4/ V 4 4 J<4 4）P =9 .二、參數(shù)方程1 .參數(shù)方程的概念x=f（tJ一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y 是某個變數(shù)t的函數(shù)J,、V= g（t）并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M（x,y ）都在這條曲線上，那么方程就叫做這條歡迎閱讀歡迎閱讀曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)（x, y ）的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)，相對于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程.

6、2 .參數(shù)方程和普通方程的互化曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式，一般地可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到 普通方程.（2）如果知道變數(shù)（x, y ）中的一個與參數(shù)t的關(guān)系，例如x = f （t），把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y=g（t）,那么x ' f（t）就是曲線的參數(shù)方程，在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使、y =g（t）（x,y旭取值范圍保持一致.注：普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不一定唯一。應(yīng)用參數(shù)方程解軌跡問題，關(guān)鍵在于適 當(dāng)?shù)卦O(shè)參數(shù)，如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式也不同。3 .圓的參數(shù)如圖所示，設(shè)圓。的半徑為r ,點(diǎn)M

7、從初始位置Mo出發(fā)，按逆時針方向在圓O上作勻速圓周運(yùn)動， I1 I /1 /x = r cos0設(shè)M （x, y ）,則3 cos用為參數(shù)）0這就是圓心在原點(diǎn)O ,半徑為r的圓的參數(shù)方程，其中日的 y = rsin 日幾何意義是OMo轉(zhuǎn)過的角度。圓心為（a,b ）,半彳空為r的圓的普通方程是（x-a）2 +（y-bf =r2,x a r cos它的參數(shù)方程為：,x a國為參數(shù)）。j =b +rsin 日4.橢圓的參數(shù)方程22以坐標(biāo)原點(diǎn)O為中心，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 3+4=1（aAb>0）其參數(shù)方程為a bx a cosp,x acos （邛為參數(shù)），其中參數(shù)中稱為離心角；焦點(diǎn)

8、在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是j =bsin 甲v2 x2、x = bcos中,小 ，、彳+x-，（a >b >0收參數(shù)方程為,x bcos科為參數(shù)）其中參數(shù)中仍為離心角，通常規(guī)定參數(shù)中a2 b2、y = asin 中的范圍為中 0,2冗）。注：橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)中的幾何意義為橢圓上任一點(diǎn)的離心角，要把它和這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角a區(qū)分開來，除了在四個頂點(diǎn)處，離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外（即在0到2n的范圍內(nèi)），在其他JtJT任何一點(diǎn)，兩個角的數(shù)值都不相等。但當(dāng)0£口 時，相應(yīng)地也有0E中,在其他象限內(nèi)類似。225 .雙曲線的參數(shù)方程歡迎閱讀以坐標(biāo)原點(diǎn)。為中心，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的

9、標(biāo)準(zhǔn)議程為2 X-2 ab2= 1（a >0,b>0收參數(shù)方程為x =ase"”參數(shù))，其中中w 0,2n0”三,中y = btan 甲2x = bco叫,好.仰為參數(shù)), y = a cs呼22焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是為*=1叱0,b>0戌參數(shù)方程為、 其中0 0 (0.2n產(chǎn)甲# n以上參數(shù)中都是雙曲線上任意一點(diǎn)的離心角6 .拋物線的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，開口向右的拋物線 y2= 2px（p>0羽參數(shù)方程為xy9為參數(shù)）7.直線的參數(shù)方程經(jīng)過點(diǎn)M 0（X0, y ），傾斜角為a （久31 1的直線l的普通方程是y - yo = tana(x -

10、Xo )而過M o(x0, y ), 2傾斜角為0的直線l的參數(shù)方程為x = x° t cos：好(t為參數(shù))。y = y0tsin ;注：直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義：過定點(diǎn) M0（X0,y° ），傾斜角為«的直線l的參數(shù)方程為r . -x = Xc +t cosa0（t為參數(shù)），其中t表小直線l上以定點(diǎn)Mo為起點(diǎn)，任一點(diǎn)M（x ,y ）為終點(diǎn)的有向線y = y0 +tsinu段M 0M的數(shù)量，當(dāng)點(diǎn)M在M0上方時，t>0;當(dāng)點(diǎn)M在M0下方時，t<0;當(dāng)點(diǎn)M與M0重合時,t=0。我們也可以把參數(shù)t理解為以Mo為原點(diǎn)，直線l向上的方向為正方向的數(shù)軸上的點(diǎn)

11、 M的坐標(biāo),其單位長度與原直角坐標(biāo)系中的單位長度相同?！疽c(diǎn)名師透析】一、坐標(biāo)系（一）平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換K例R在同一平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換 中：x/ =3x2y/ = y（1）求點(diǎn)A也,-2 j經(jīng)過中變換所得的點(diǎn)A'的坐標(biāo);31-B =（-3,J（2）點(diǎn)B經(jīng)過 變換得到點(diǎn)2 ,求點(diǎn)B的坐標(biāo);歡迎閱讀（2）若cl上的點(diǎn)P對應(yīng)的參數(shù)為t=；, Q為C】為參數(shù)）跑離的最小值。（二）橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用A在平面直角坐標(biāo)系邊了中，點(diǎn)p% >）是橢圓3解答：,：:（三）直線參數(shù)方程的應(yīng)用P匹,0）K例1過點(diǎn)2作傾斜角為a的直線與曲線IMI叫勺值及相應(yīng)的位的值。解析：（四）圓的參

12、數(shù)方程的應(yīng)用I = 2 + 72 cos 5 但K例R已知曲線C的參數(shù)方程是卜二為B歡迎閱讀上的動點(diǎn)，求中點(diǎn)加至IJ直線C3x-3+2t? （t y=-2+ty3 =1rf.上的一個動點(diǎn)，求的最大值X +12/ = 1交于點(diǎn)肱N ,求b4J參數(shù)），且曲線C與直線工一、&=0相交于兩點(diǎn)A、（3）求直線l: y=6x經(jīng)過中變換后所得到直線的i'方程；2-I C：x2 一±=1, 一 一 以 ,口 小-一（4）求雙曲線64 經(jīng)過中變換后所得到曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)。（二）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化一二5 二A（2, JB（2,）K例22在極坐標(biāo)系中，如果 44為等邊三角形ABC的兩個

13、頂點(diǎn)，求頂點(diǎn)C的極坐標(biāo)（P 之0,0 <0 <2n）。（三）求曲線的極坐標(biāo)方程K例R已知P, Q分別在/ AOB的兩邊OA, OB上，/AOB=g, /POQ的面積為8,求PQ中點(diǎn) M的極坐標(biāo)方程。（四）極坐標(biāo)的應(yīng)用K例R如圖，點(diǎn)A在直線x=4上移動，/ OPA為等腰直角三角形，/ OPA的頂角為/ OPA （O, P, A依次按順時針方向排列），求點(diǎn) P的軌跡方程，并判斷軌跡形狀。二、參數(shù)方程（一）把參數(shù)方程化為普通方程卜二一4 + ccg 上，x = 8co£3,K例R已知曲線cl： V = 3+smZ- ? （t為參數(shù)），C】：b = 3sin （9為參數(shù)）。（1）

14、化cl, C】的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；歡迎閱讀（1）求曲線C的普通方程；（2）求弦AB的垂直平分線的方程（3）求弦AB的長【感悟高考真題】JI1.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)p=28s e的圓心的距離為（）(A) 2(B)4；(C)/得(D) 3歡迎閱讀2.在極坐標(biāo)系中，圓P = -2sin8的圓心的極坐標(biāo)是（A）（1，2）（B）（1, 2）（C） （1，0）（D） （1，JI）x = cosot3,在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線.的參數(shù)方程為1y =1+sinc（口為參數(shù)）.在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長度單位，且以原點(diǎn) 。為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C2的方程為Lx

15、''!P（cosH sin 8）+1 =0，則 C1 與 C2 的交點(diǎn)個數(shù)為 二二，二二"'1 -：J.x = 2 cosa4. 直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為）='3加"（為參數(shù)）.在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系 xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn) 。為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C2的方程為P（cos8 -sin 9） +1 =0，則C1與C2的交點(diǎn)個數(shù)為5. （1）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）若曲線的極坐標(biāo)方程為P=2sin0+4cos9 ,以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則該曲線的直角坐標(biāo)方程為 .II6. （20

16、11 陜西高考理科 T15C）直角坐標(biāo)系xoy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立x = 3 cos1極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A, B分別在曲線C1: J=4+sin8 （9為參數(shù)）和曲線C2 ： P = 1±,則1ABi的 最小值為 .7.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）直角坐標(biāo)系 xOy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A, B分別在曲線G：Lx = 3 cos-y = sin fa為參數(shù)）和曲線C2 ： p =1上，則1ABi的最歡迎閱讀歡迎閱讀8. （2011天津高考理科.T11）.已知拋物線C的參數(shù)方程為"y = 8t J J8t2.（t為參數(shù)）若斜率為1

17、的直線經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)，且與圓222 ,(X-4) 7 T (r>0)相切，則=9.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題） 們的交點(diǎn)坐標(biāo)為.x_5t2x= 5cosi -)x= (t. R)已知兩曲線參數(shù)方程分別為 ly=sine和ly=t，它'x =展c0sx （口為參數(shù)）10. （2）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線1的方程為x-y+4=0 ,曲線C的參數(shù)方程為ly=sina（I）已知在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系 xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn) 。為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為4,- I,判斷點(diǎn)P與直線l位置關(guān)系;12)（II）設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個動點(diǎn)，求它到直線l的距離的最

18、小值.11.選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系x0y中，求過橢圓x = 5cosy = 3sin :x = 4-2t（中為參數(shù)）的右焦點(diǎn)，且與直線y二3-t （t為參數(shù)）平行的直線的普通方程。12.（2011新課標(biāo)全國高考理科 T23）在直角坐標(biāo)系xOy?中，曲線C1的參數(shù)方程為 uiv uuiv（S為參數(shù)）M是C1上的動點(diǎn)，P點(diǎn)滿足OP=20M ,P點(diǎn)的軌跡為曲線C2（I ）求C2的方程x = 2cos ;y = 2 2sin 二日=一（H）在以。為極點(diǎn)，x?軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線3與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為 A,與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B, 13.

19、（2011新課標(biāo)全國高考文科 -Lx = 2cos -1y =2+2sina （二為參數(shù)）M （I ）求C2的方程求AB .T23）在直角坐標(biāo)系xOy?中，曲線C1的參數(shù)方程為uivuuuv是C1上的動點(diǎn)，P點(diǎn)滿足0P =20M ,P點(diǎn)的軌跡為曲線C20 =（H）在以。為極點(diǎn)，x?軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線3與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為 A,與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B,求AB14 . （2011 遼寧高考理科 T 23）（本小題滿分10分）（選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x =acos ,（a ab >0,甲為參數(shù)） y =bsin ,x

20、 = cos ;,俘為參數(shù)） y = sin ,曲線C2的參數(shù)方程為.在以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線l ： 0 =a與C1, C2各有一個交點(diǎn).當(dāng)a=0時，這兩個交點(diǎn)間的距離為2,當(dāng)a=2時，這兩個交點(diǎn)重合.（I）分別說明C1, C2是什么曲線，并求出a與b的值；冗冗（II）設(shè)當(dāng)儀=4時，l與C1, C2的交點(diǎn)分別為A1 , B1,當(dāng)a=：時，l與C1,C2的交點(diǎn)為A2, B2,求四邊形 A1A2B2B1的面積.x =一1 t15 .極坐標(biāo)p=cos9和參數(shù)方程1y =2+t （t為參數(shù)）所表示的圖形分別是（D）A.直線、直線 B.直線、圓 C.圓、圓D.圓、直線16 .極

21、坐標(biāo)方程（p-1） （ 9 -H ） = （p至0）表示的圖形是（A）兩個圓（B）兩條直線（C） 一個圓和一條射線（D） 一條直線和一條射線17 .在極坐標(biāo)系（p, 9） （0?0? 8 V2/，曲線p?sinH?與pcosH = -1?的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為 .x = cos6 八 一八 18.已知P為半圓C:（9為參數(shù)，。至 Wn）上的點(diǎn)，點(diǎn)a的坐標(biāo)為（1Q）, o為坐j =sin 日標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在射線OP上，線段OM與C的弧馥的長度均為-。3（I）以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求點(diǎn) M的極坐標(biāo)；（II）求直線AM的參數(shù)方程?！究键c(diǎn)模擬演練】一、選擇題1 .已知極坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)P%

22、,法,則P關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)分別為（）A.3；,（1,響B(tài).（2,-3j, （1, -V3）C；2,斜，（-1,V3）D.2,-2fi, （-1,-3）2 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（1, -V3）.若以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則點(diǎn)P的極坐標(biāo)可以是（） 九）44冗、 冗、44九、A.1, 3/ B.g -； C.（2, -3）D.12, -JJ歡迎閱讀3 .在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)C（3, -V3）,若以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，則點(diǎn) C 的極坐標(biāo)（a 9）（ p >0- tt < 9 <0寫為.4 .過點(diǎn)?，4心

23、行于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是（）A. p cosM）4B. p sinW4C. p sin=0/2D. p cosM）&答案：CUi-15 .曲線的參數(shù)方程是< t（t是參數(shù)，tw0）它的普通方程是（）y = i12x?x 2?x1A. （x 1）2（y 1）= 1B. y = ?i x?2 C, y= i _ x2 + 1 D , y = ?i _ x?2 16.直線p coH2關(guān)于直線8=*寸稱的直線方程為（A.p cosM) 2B. p sinM2C.x= 1 7.已知直線l的參數(shù)方程為 廠"=2+當(dāng)P,2 2sin=0 2D. p= 2sin 9t（t為參數(shù)），則直線l的斜率為（A.8.x= 2cos直線3x4y9 = 0與圓：'、y= 2sinA.9.