2017中考數(shù)學壓軸試題復習第一部分專題四因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題

1、1.4因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題課前導學如圖 1,過厶ABC的每個頂點畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生三個點D.如圖 2,已知A(0, 3) ,B( 2, 0) ,C(3, 1)，如果四邊形ABCDI平行四邊形，怎樣求 點D的坐標呢？點B先向右平移 2 個單位，再向上平移 3 個單位與點 A 重合，因為BA與CD平行且相等， 所以點 Q3, 1) 先向右平移 2 個單位，再向上平移 3 個單位得到點D(5, 4).如圖 3,如果平行四邊形ABCD勺對角線交于點G,那么過點G畫任意一條直線(一般與 坐標軸垂直)，點A、C到這條直線的距離相等，點B D到這條直線的距離相等.關(guān)系式XA+xc=

2、XB+XD和yA+yc=ys+yD有時候用起來很方便.我們再來說說壓軸題常常要用到的數(shù)形結(jié)合.如圖 4，點A是拋物線y= X2+ 2x+ 3 在X軸上方的一個動點,AB交直線y=X 1 于點C,那么點A的坐標可以表示為(x, X2+ 2x+ 3), 點C的坐標可以表示為(x,X 1), 線段AB的長可以用點A的縱坐標表示為2AB= yA= X+ 2x+ 3,線段AC的長可以用A、C兩點的縱坐標r _ _ 2 2表示為AC= yAyc= ( X+ 2X+ 3) (X 1) = X+X+2.通俗地說，數(shù)形結(jié)合就是：點在圖象上，可以用圖象的解析式表示點的坐標，用點的坐標表示點到坐標軸的距離.我們先思

3、考三個問題：1.已知A B C三點，以A、B C2在坐標平面內(nèi)，如何理解平行四邊形3在坐標平面內(nèi)，如何理解平行四邊形D為頂點的平行四邊形有幾個，怎么畫？ABC的對邊AB與DC平行且相等?ABCD勺對角線互相平分？圖 2圖 3ABLX軸于點B線段210如圖 1,拋物線經(jīng)過A(1,0) 、B(5, 0) 、C(o _)三點.設點E(x,y)是拋物線上一動 ，3點，且在x軸下方，四邊形OEBF是以OE為對角線的平行四邊形.(1) 求拋物線的解析式；(2) 當點E(x,y)運動時，試求平行四邊形OEBF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積S的最大 值；(3) 是否存在這樣的點E,使平行四邊形OEB

4、F為 正方形？若存在，求點E、F的坐標；若不存在，請說明理由.圖 1動感體驗請打開幾何畫板文件名“ 14 岳陽 24”，拖動點E運動，可以體驗到， 當點E運動到拋物 線的頂點時，S最大當點E運動到OB的垂直平分線上時，四邊形OEB胎好是正方形.思路點撥1平行四邊形OEBF的面積等于厶OEB面積的 2 倍.2第(3)題探究正方形OEBF先確定點E在OB的垂直平分線上，再驗證EO= EB圖文解析(1)因為拋物線與x軸交于A(1,0) 、B(5, 0)兩點，設y=a(x 1)(x- 5). 代入點C(0, 2),得10=5a.解得a=-.333所以拋物線的解析式為y = 2(x 1)(x 5) =

5、2 X24x亠10.333(2) 因為S=S平行四邊形 OEBF=2SOBE=OB( yE)r-f 22. J010/2 a10/Q2+ 40=-5(x 4x )=(x 6x 5)=(x -3)33333所以當x= 3 時，S取得最大值，最大值為40此時點E是拋物線的頂點(如圖 2).3(3)如果平行四邊形OEBF1正方形，那么點E在OB的垂直平分線上，且EO= EB當x=-時，y =2(x -1)(x-5)- (-5)=-5.此時E(-,-).233 22222如圖 3,設EF與OB交于點D,恰好OB=2DE所以OEB是等腰直角三角形.所以平行四邊形OEBF1正方形.所以當平行四邊形OEBF

6、1正方形時，E(5,_)、F(-,5).例 242014年湖南省岳陽市中考第24 題32 2 2 24考點伸展既然第（3）題正方形OEB是存在的，命題人為什么不讓探究矩形OEBf有幾個呢?如圖 4,如果平行四邊形OEBF為矩形，那么/OEB=90.根據(jù)EH=HO- HB列方程匚2(X_I)(X_5)1 =X(5_X)IL 3或者由DE=1OB=5，根據(jù)DE=25，列方程224事實上，這個方程可以因式分解，（x _4）（x-5）（x-丄）=0.2 2如圖 3,X=5;如圖 4,X= 4;如圖 5,X=丄，但此時點E在X軸上方了.2 2這個方程我們也可以用待定系數(shù)法解：設方程的三個根是 -、m n

7、,那么 4x3 28X2+ 53X 20=4(x _)(x _ m)(x _ n).2 24m 4n 10 = 28,m =410m 10 n 4mn =53,解得1n二10mn二20.2225（X匚） 匚（x）（x-5） =4這兩個方程整理以后都是一元三次方程業(yè)的水平是不好解的.4x3 28X2+ 53X 20= 0，這個方程對于初中畢根據(jù)恒等式對應項的系數(shù)相等，得方程組圖 35例 252014年湖南省益陽市中考第 20 題如圖 1,直線y= 3x+ 3 與x軸、y軸分別交于點A B,拋物線y=a(x 2)2+k經(jīng)過A B兩點，并與x軸交于另一點C,其頂點為P.(1) 求a,k的值；(2)拋

8、物線的對稱軸上有一點Q,使厶ABC是以AB為底邊的等腰三角形，求點Q的坐標；(3)在拋物線及其對稱軸上分別取點M N使以A、CM N為頂點的四邊形為正方 形，求此正方形的邊長.】動感體驗請打開幾何畫板文件名“14 益陽 20”，可以體驗到，點Q在線段AB的垂直平分線上.還可以體驗到，正方形的對角線為AC有一個頂點恰為拋物線的頂點.思路點撥1第(2)題的等腰三角形只考慮QA= QB的情形.2第(3)題的正方形不可能AC為邊，只存在AC為對角線的情形. 圖文解析(1)由y= 3x+ 3,得A(1,0) ,B(0, 3).將A(1,0) 、B(0, 3)分別代入y=a(x 2)2+k,得a k=0,

9、4a + k =3.解得a= 1,k= 1.圖 4圖 56(2)如圖 2，拋物線的對稱軸為直線x= 2,設點Q的坐標為(2,m). 已知A(1,0) 、B(0, 3)，根據(jù)QA=QB,列方程 12+mi= 22+ (m 3)2.解得m 2所以 Q2, 2).(3)點A(1,0)關(guān)于直線x= 2 的對稱點為C(3, 0) ,AC=2.如圖 3,如果AC為正方形的邊，那么點M N都不在拋物線或?qū)ΨQ軸上.如圖 4,當AC為正方形的對角線時，M N中恰好有一個點是拋物線的頂點(2, 1)因為對角線AC=2,所以正方形的邊長為、2.7考點伸展如果把第(3 )題中的正方形改為平行四邊形，那么符合條件的點M

10、有幾個？1如果AC為對角線，上面的正方形AMC是符合條件的，M2, 1) 2如圖 5，如果AC為邊，那么MN AC, MN= AC=2 所以點M的橫坐標為 4 或 0. 此時點M的坐標為(4, 3)或(0, 3).第(2)題如果沒有限制等腰三角形ABQ 的底邊，那么符合條件的點Q有幾個？1如圖 2，當QA= QB時，Q2, 2).2如圖 6，當BQ= BA= .10時，以B為圓心，BA為半徑的圓與直線x= 2 有兩個交點.根據(jù)BQ= 10,列方程 22+ (m 3)2= 10,得m= 3_-、6.此時Q(2,3 . 6)或(2,3 - . 6)3如圖 7,當AQ= AB時，以A為圓心，AB為半

11、徑的圓與直線x= 2 有兩個交點，但是點圖 738例 262014年湖南省邵陽市中考第 25 題準備一張矩形紙片(如圖 1)，按如圖 2 操作：將厶ABE沿BE翻折，使點A落在對角線BD上的點M將厶CDF沿DF翻折，使點C落在 對角線BD上的點N.(1) 求證：四邊形BFDE1平行四邊形；(2) 若四邊形BFDE是菱形，AB=2,求菱形BFDE勺面積.圖 1圖 2動感體驗請打開幾何畫板文件名“ 14 邵陽 25”，拖動點D可以改變矩形ABCD勺形狀，可以體驗 到，當EM與FN在同一條直線上時，四邊形BFDE是菱形，此時矩形的直角被三等分. 思路點撥1 平行四邊形的定義和 4 個判定定理都可以證

12、明四邊形BFDE是平行四邊形.2 如果平行四邊形BFDE是菱形，那么對角線平分一組對角，或者對角線互相垂直用這兩個性質(zhì)都可以解答第(2)題.圖文解析(1)如圖 3，因為AB/DC所以/ABD=ZCDB又因為/ 1 =Z2，Z3=Z4,所以/ 1 =Z3.所以BE/FD.又因為ED/BF,所以四邊形BFDE!平行四邊形.圖 3圖 4(2)如圖 4，如果四邊形BFDE是菱形，那么/ 1 =Z5. 所以/ 1 = / 2 = /5.所以BD=2AB=4，AE=.所以ME=2_3.33所以S菱形 BFDE= 2SABDE=BD*由于/ABC=90，所以/1= Z2=Z5=309考點伸展第（1 題的解法，我們用平行四邊形的定義作為判定的依據(jù)，兩組對邊分別平行的四 邊形叫平行四邊形還可以這樣思考：證明四邊形BFDE勺兩組對邊分別相等；證明ED與BF平行且相等；證明四邊形BFDE勺兩組對角分別相等.這三種證法，都要證明三角形全等，而全等的前提，要證明/1 =72=Z3=Z4.這樣其實就走了彎路，因為由/1 =73,直接得到BE FD,根據(jù)平行四邊形的定義來得快.能不能根據(jù)BD與EF互相平分來證明呢？也是可以的：如圖 5,設EF與BD交于點0,根據(jù)“角角邊”證明EMFNO得到EF與MN互相 平分.又因為BM= DN于是得到EF與BD互相平分.圖 5圖 6第（2）題的解法，