《復(fù)變函數(shù)》教學(xué)資料

1、.6.2 抽樣分布抽樣分布6.1節(jié)介紹了總體、樣本及統(tǒng)計(jì)量的概念。由于樣本 是隨機(jī)變量，統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，從而統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量， 因此，統(tǒng)計(jì)量也有確定的概率分布。統(tǒng)計(jì)量的分布又稱為抽樣分布。一般情況下，當(dāng)給定總體分布時(shí)，要找出統(tǒng)計(jì)量的分布是很困難的。然而，當(dāng)總體服從正態(tài)分布時(shí)，某些統(tǒng)計(jì)量的分布則比較容易求得。),(21nXXX.),(2nNX即若總體 , 是從),(2NX),(21nXXX ,2nXDXE總體中抽取的一個(gè)容量為 的樣本。由正態(tài)nniiXnX11 也服從正態(tài)分布，且分布的線性不變形和可加性可知樣本均值.上式表明，樣本均值 的數(shù)學(xué)期望 與總體的數(shù)學(xué)期望 相等，X XE下面我們?cè)?/p>

2、總體服從正態(tài)分布的基本假設(shè)下，討論一些重要的統(tǒng)計(jì)量的分布。這些結(jié)論是以后各章內(nèi)容的理論基礎(chǔ)。等于總體方差的 分之一，即 越大，越向但其方差 只nn XD總體均值集中。.22212122nniiXXXX6.2.1 分布分布2定義定義1 設(shè) 為來(lái)自正態(tài)總體) 1, 0(N),(21nXXX的樣本，則稱統(tǒng)計(jì)量)(22n記作記作服從自由度為 的 分布，2n.)(2n定理定理1 分布的概率密度為),(2nx , 0,2212122xexnxnn. 0 x, 0證明證明 因?yàn)橛筛怕收撝R(shí)有，1 ,0 NXi又知,若., 2 , 121,212niXi,2211YY.且 與 相互獨(dú)立時(shí),有2Y1Y.,212

3、1YY故有.21, 12221 XX連續(xù)使用這個(gè)性質(zhì)，可得.21,222221nXXXn即.21,22n所以分布的概率密度函數(shù)為.0, 00,)2(21),(21222xxexnnxxnn的 分布。事實(shí)上，自由度是 的 分布就是參數(shù)為221,2nn圖6-3給出了 ， 時(shí)， 分布的密度函數(shù)曲線。21n4,10nn.o nx;2 1 n4 n10 nx圖圖6-36-3推論推論1 設(shè) 為來(lái)自正態(tài)總體),(21nXXX 的樣本， 是已知常數(shù)，則統(tǒng)計(jì)量2,N2,.).(122122nXnii21221niiXniiY12證明證明 設(shè) 則, 2 , 11niXYii故,21,nYYY,1 , 0 NYi且

4、相互獨(dú)立，則由定義1可知推論成立。由于2,NnXXX,21相互獨(dú)立.iX.關(guān)于 分布，還有下面兩條性質(zhì)。2性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)).(22n則,)(2nE.2)(2nD證明證明 設(shè) 相互獨(dú)立，且nXXX,211 ,0 NXi.,2, 1ni則有232442222xxidexdxexXEdxexexxx222322232.3)()( 3)(322iiiXEXDXE從而213)()()(2242iiiXEXEXD因此,12122nXEXEEniinii.212122nXDXDDniinii. 性質(zhì)2的證明請(qǐng)讀者自行完成。對(duì)于自正態(tài)分布 ，亦即1 ,12nN1222n近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 。1 ,0N性質(zhì)

5、性質(zhì)2 設(shè)且他們相互獨(dú)立，則)(, )(22221221nn).(2122221nn 由度 時(shí)，可以證明 近似地服從2245n.nYXT 定理定理2分布的概率密度為)(nt6.2.2 分布分布t相互獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量)(, ) 1,0(2nYNX定義定義2 2 設(shè)且 與 XY服從自由度為 的 分布，記作:)(ntTnt.xnxnnnnxtn,)1 ()2()21();(212定理2的證明略去。);(nxt的圖形如圖6-4所示。圖6-4給出了10,4,1n時(shí)的曲線，);(nxt的表達(dá)式知， 為偶函數(shù)，其圖形關(guān)于);(nxt0 x對(duì)稱。且由.21221lim,1lim22122nnnenxnxnn因

6、此，當(dāng) 時(shí)，分布趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分n布，即 一般來(lái)說(shuō)，當(dāng).21);(lim22xnenxt 時(shí)， 分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布就非30n)(nt常接近了。.xt(x;n)n=4n=10n=1o圖6-4.21nYnXF 第二自由度。記作:),(21nnFF其中 稱為第一自由度， 稱為1n2n6.2.3 分布分布F相互獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量定義定義3 3 設(shè))(, )(2212nYnX且 與 XY服從為自由度為 的 分布，),(21nnF.定理定理3 分布的概率密度為),(21nnF0, 00,)1 ()()2()2()2(),;(221122121212121211xxxnnxnnnnnnnnnnxfnnn定理3的

7、證明略去。 分布的圖形如圖6-5F所示，圖中給出了幾條 分布的密度函數(shù)曲線.F.推論推論2 如果),(21nnFX則。),(112nnFXxo2n201n圖65),;(21nnxf20,2512nn20,1012nn.6.2.4 分位數(shù)分位數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 分布， 分布在統(tǒng)計(jì)中有著重要的應(yīng)用。為了便于計(jì)算，書(shū)末的附錄中，給出了它們的分布表供查閱，下面我們介紹關(guān)于概率分布的分位數(shù)的概念。,1 , 0N2F給定的正數(shù) ，若數(shù) 滿足10 x設(shè)隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為 ，對(duì)于 xFX. ,11xFxXPxXP則稱數(shù) 為此概率分布的 上側(cè)分位數(shù)，x指滿足, 10 ,uXP即10 ,2122dxexu（1）標(biāo)

8、準(zhǔn)正態(tài)分布 的分位數(shù)是1 ,0N位數(shù)。簡(jiǎn)稱分位數(shù)。下面給出幾個(gè)常見(jiàn)分布的分.的數(shù) ，其值可由正態(tài)分布表查的，如圖6-6所示。uxou)(x圖66.由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知.1uu(2) 分布的 分位數(shù) 是指滿足2)(2n10,);()(22dxnxn的數(shù) ，如圖67所示。)(2n對(duì)于不同的 及 ，分位數(shù) 可由 分布表查得。)(2n2n.xo)(2n);(2nx圖67（3） 分布的分位數(shù) 是指滿足)(nt 10,);(dxnxtnt的數(shù) ，其值可由 分布查得。如圖68)(ntat. )()(1ntnt所示。由分布的對(duì)稱性可知.xo)(nt);(nxt圖68（4） 分布的 分位數(shù) 是指),(21nn

9、F),(21nnF10,),;(21),(21dxnnxfnnF的滿足數(shù)，其值可由 分布表查得，如圖6-9所示。F.xo),(21nnF),;(21nnxf圖69.),(1),(12121nnFnnF對(duì)于正態(tài)總體，常用統(tǒng)計(jì)量的分布還有以下由 分布的定義及推論有F.分別為樣本均值與樣本方差，則(1) );,(2nNX(2) 與 相互獨(dú)立;X2S(3)。)1()1(222nSn),(2N),(21nXXX定理定理4 4 若是來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，niiXnX11niiXXnS122)(11與一些重要定理.證明證明 （1）在前面已經(jīng)證明。,),(2121TnTnYYYYXXXX1) 1(11111

10、1110023223123100012112111111nnnnnnnnnnnnnnnn（2）設(shè) ，其中YAX 為正交矩陣：A.顯然,111211XnXnXnXnYn,EAAT故有.1212niiTTTTniiXXXAXAXYYY又因?yàn)?,)(21221222112YYYXnXXXniiniiniinii于是.221XnY因?yàn)?為正交矩陣，即A.從而有.122221niiniiYSnXX由上面的推導(dǎo)可知 只與 有11YnX 1Y 的正交性可知 相互獨(dú)立AnYYY,21，所以 與 相互獨(dú)立。X2S關(guān)， 只與 有關(guān)，而由2SnYYY,32.TnYEYEYEYE)(,),(),()(21TnXEXE

11、XEA)(,),(),(21TA),(.)0 , 0 ,(Tn且協(xié)方差矩陣為 ，故可知nYYY,32E2相互獨(dú)立具有同一正態(tài)分布 。即), 0(2N（3）由 得 的均值為YAXY.分布 的隨機(jī)變量，由 分布的定義可知)1 ,0(N2.11122222nYSnnii),(21nXXX的一個(gè)樣本，則),(2N定理定理5 5 設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體nYYY1,1,132為 個(gè)相互獨(dú)立且具有1n.) 1(ntnSXT證明證明 由定理4知);,(2nNX所以) 1 , 0( NnX又) 1(1222nSn.。）（) 1()(1) 1(22ntSnXnSnnXT 由于 與 相互獨(dú)立，因此 與X2SnX221Sn

12、相互獨(dú)立，從而由 分布的定義有：t.) 2(11)()(21211221nntnnSYXT其中1111niiXnX21121)(111XXnSnii的兩個(gè)樣本，它們相互獨(dú)立，則 ),(121nXXX),(221nYYY定理定理6 6 設(shè)和),(21N),(22N是分別來(lái)自正態(tài)總體和.2211nYnYjj2122)(1122YnYnSjj證明證明 由定理?xiàng)l件有),(212221nnNYX) 1 , 0(11)()(2121NnnYXU所以2) 1() 1(21212221212nnSnSnS.又因) 1(1222222nSn) 1(1112212nSn并且它們是相互獨(dú)立的，故由 分布的可加性可知2)2(11212122222122nnSnSnZ從而由獨(dú)立性條件及 分布的定義有 t.即)2(221212nntnnZUT)2(11)()(21211221nntnnSYXT.) 1, 1(2121222221nnFSSF其中 和 分別是兩個(gè)樣本的樣本