工數(shù)復(fù)習(xí)要點(diǎn)

1、第一部分：基本要求（計(jì)算方面） 四階行列式的計(jì)算；N 階特殊行列式的計(jì)算（如有行和、列和相等）； 矩陣的運(yùn)算（包括加、減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、逆等的混合運(yùn)算）； 求矩陣的秩、逆（兩種方法）；解矩陣方程； 含參數(shù)的線(xiàn)性方程組解的情況的討論； 齊次、非齊次線(xiàn)性方程組的求解（包括唯一、無(wú)窮多解）； 討論一個(gè)向量能否用和向量組線(xiàn)性表示；討論或證明向量組的相關(guān)性； 求向量組的極大無(wú)關(guān)組，并將多余向量用極大無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表示； 將無(wú)關(guān)組正交化、單位化；求方陣的特征值和特征向量； 討論方陣能否對(duì)角化，如能，要能寫(xiě)出相似變換的矩陣及對(duì)角陣； 通過(guò)正交相似變換（正交矩陣）將對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)角化； 寫(xiě)出二次型的矩陣，并將二次

2、型標(biāo)準(zhǔn)化，寫(xiě)出變換矩陣； 判定二次型或?qū)ΨQ(chēng)矩陣的正定性。第二部分：基本知識(shí)一、行列式1行列式的定義用nA2個(gè)元素aij組成的記號(hào)稱(chēng)為n階行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 個(gè)元素乘積的代數(shù)和；（2）展開(kāi)式共有n!項(xiàng)，其中符號(hào)正負(fù)各半；2行列式的計(jì)算一階| a |= o行列式，二、三階行列式有對(duì)角線(xiàn)法則；N 階（ n>=3 ）行列式的計(jì)算：降階法定理：n階行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和。方法：選取比較簡(jiǎn)單的一行（列），保保留一個(gè)非零元素，其余元素化為0，利用定理展開(kāi)降階。特殊情況 上、下三角形行列式、對(duì)角形行列式的值等于主對(duì)角線(xiàn)上元素的

3、乘積；（2 ）行列式值為 0 的幾種情況：I行列式某行（列）元素全為0;n 行列式某行（列）的對(duì)應(yīng)元素相同；川 行列式某行（列）的元素對(duì)應(yīng)成比例； w 奇數(shù)階的反對(duì)稱(chēng)行列式。二矩陣1 .矩陣的基本概念（表示符號(hào)、一些特殊矩陣如單位矩陣、對(duì)角、對(duì)稱(chēng)矩陣等）；2矩陣的運(yùn)算（1 ）加減、數(shù)乘、乘法運(yùn)算的條件、結(jié)果； （2）關(guān)于乘法的幾個(gè)結(jié)論： 矩陣乘法一般不滿(mǎn)足交換律（若AB= BA，稱(chēng)A、B是可交換矩陣）； 矩陣乘法一般不滿(mǎn)足消去律、零因式不存在； 若 A、 B 為同階方陣，則 |AB|=|A|*|B|； |kA|=kA n|A|3.矩陣的秩（1 ）定義 非零子式的最大階數(shù)稱(chēng)為矩陣的秩；（2）秩的

4、求法一般不用定義求，而用下面結(jié)論：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩； 階梯形矩陣的秩等于非零行的個(gè)數(shù) （每行的第一個(gè)非零元 所在列，從此元開(kāi)始往下全為 0 的矩陣稱(chēng)為行階梯陣）。求秩：利用初等變換將矩陣化為階梯陣得秩。4 .逆矩陣（1）定義：A、B為n階方陣，若AB = BA = I，稱(chēng)A可逆，B是A的逆矩陣（滿(mǎn)足半邊 也成立）；（2） 性質(zhì)：（AB）a-1=（BA-1）*（AA-1）, （A'）a-仁（AA-1）'； （A B 的逆矩陣，你懂的）（注意順序）（ 3）可逆的條件： |A| 工0;r（A）=n; A->l;（4）逆的求解伴隨矩陣法AA-1=（1/|A|）A*；

5、（A* A的伴隨矩陣） 初等變換法（A:l ）->（施行初等變換）（I:AA-1 ）5.用逆矩陣求解矩陣方程：AX=B ，則 X= （ AA-1 ） B；XB=A，貝U X=B(AA-1);AXB=C，貝U X=(AA-1)C(BA-1)三、線(xiàn)性方程組1 線(xiàn)性方程組解的判定 定理：(1) r(A,b) 豐 r(A無(wú)解；(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；(3) r(A,b)=r(A)<n有無(wú)窮多組解；特別地：對(duì)齊次線(xiàn)性方程組 AX=0(1) r(A)=n 只有零解；(2) r(A)<n 有非零解；再特別，若為方陣，(1) |A|工0只有零解(2) |A|=0有非零解

6、2齊次線(xiàn)性方程組(1 )解的情況：r(A)=n ,(或系數(shù)行列式 DM0)只有零解；r(A)<n ,(或系數(shù)行列式 D= 0)有無(wú)窮多組非零解。( 2 )解的結(jié)構(gòu)：X=c1 a 1+c2a 2+Cn -r a-r。( 3 )求解的方法和步驟：將增廣矩陣通過(guò)行初等變換化為最簡(jiǎn)階梯陣；寫(xiě)出對(duì)應(yīng)同解方程組； 移項(xiàng)，利用自由未知數(shù)表示所有未知數(shù)； 表示出基礎(chǔ)解系； 寫(xiě)出通解。3非齊次線(xiàn)性方程組（1）解的情況：利用判定定理。（2）解的結(jié)構(gòu)：X=u+c1 a 1+c2 a 2+Cn -r a-r。（3）無(wú)窮多組解的求解方法和步驟： 與齊次線(xiàn)性方程組相同。（4）唯一解的解法： 有克萊姆法則、逆矩陣法、

7、消元法（初等變換法）。四、向量組1N 維向量的定義 注：向量實(shí)際上就是特殊的矩陣（行矩陣和列矩陣）。2向量的運(yùn)算：（ 1 ）加減、數(shù)乘運(yùn)算（與矩陣運(yùn)算相同） ；（ 2 ）向量?jī)?nèi)積a ' 3 =a1b1+a2b2+anbn；3 ）向量長(zhǎng)度| a |= Va 'a =V(a1A2+a2A2+anA2) V 根號(hào))4 ）向量單位化(1/| a|) a；5）向量組的正交化（施密特方法）設(shè), a 2, -, an線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則3 1 = a 1,3 2=a2- (a 2'3 1/ 31* 331,3 3=a3(a 3'3 1/ 3 )* 傍1- ( a 3'3 2/

8、 3 2' $2,3線(xiàn)性組合an的一個(gè)線(xiàn)性組(1 )定義 若3 =k1 a 1+k2 a 2+kn a n ,則稱(chēng)3是向量組 al , a 2, 合，或稱(chēng)3可以用向量組 a , a 2,，an的一個(gè)線(xiàn)性表示。2)判別方法 將向量組合成矩陣，記A = ( al , a 2 ,，a n, B=(a1 , a2 ，an 3)若r (A)=r (B)，貝U 3可以用向量組 a1 , a 2 ,，an勺一個(gè)線(xiàn)性表示； 若r (A) r(B)，貝U 3不可以用向量組 a1, a 2 ,，an勺一個(gè)線(xiàn)性表示。3)求線(xiàn)性表示表達(dá)式的方法：將矩陣 B 施行行初等變換化為最簡(jiǎn)階梯陣,則最后一列元素就是表示

9、的系數(shù)。4向量組的線(xiàn)性相關(guān)性(1)線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)的定義設(shè) k1 a 1+k2 a 2+kn a n=0 ,若k1,k2,，kn不全為0,稱(chēng)線(xiàn)性相關(guān);若k1,k2,，kn全為0,稱(chēng)線(xiàn)性無(wú)關(guān)。(2)判別方法： r( a , a 2,，an<n，線(xiàn)性相關(guān)； r( a, a 2,，a»=n，線(xiàn)性無(wú)關(guān)。 若有 n 個(gè) n 維向量，可用行列式判別：n階行列式aij = 0,線(xiàn)性相關(guān)(工0無(wú)關(guān))(行列式太不好打了 )5極大無(wú)關(guān)組與向量組的秩1 )定義 極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)稱(chēng)為向量組的秩(2 )求法 設(shè)A = ( a , a 2,，an)，將A化為階梯陣，則 A的秩即為向量組的秩，而每

10、行的第一個(gè)非零元所在列的向量就構(gòu)成了極大無(wú)關(guān)組。五、矩陣的特征值和特征向量1. 定義 對(duì)方陣A，若存在非零向量 X和數(shù)入使AX=入X則稱(chēng)入是矩陣A的特征值，向 量X稱(chēng)為矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值 入的特征向量。2. 特征值和特征向量的求解：求出特征方程|入I|=0的根即為特征值，將特征值 入代入對(duì)應(yīng)齊次線(xiàn)性方程組(入I)X = 0 中求出方程組的所有非零解即為特征向量。3. 重要結(jié)論：( 1 ) A 可逆的充要條件是 A 的特征值不等于 0；(2) A與A的轉(zhuǎn)置矩陣A有相同的特征值；(3) 不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)。六、矩陣的相似1. 定義 對(duì)同階方陣 A、B,若存在可逆矩陣 P,使PA-1AP=B，則稱(chēng)A與B相似。2. 求A與對(duì)角矩陣人相似的方法與步驟(求P和A):求出所有特征值；求出所有特征向量；若所得線(xiàn)性無(wú)關(guān)特征向量個(gè)數(shù)與矩陣階數(shù)相同，則A可對(duì)角化(否則不能對(duì)角化)，將這 n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)特征向量組成矩陣即為相似變換的矩陣P,依次將對(duì)應(yīng)特征值構(gòu)成對(duì)角陣即為A。3. 求通過(guò)正交變換 Q 與實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 A 相似的對(duì)角陣：方法與步驟和一般矩陣相同，只是第三歩要將所得特征向量正交化且單位化。七、二次型1 .定義 n元二次多項(xiàng)式f(x1,x2,xn)=刀aijXiXj稱(chēng)為二次型,若aij=O(i 交型的標(biāo)準(zhǔn)型。i,j=12 .