中學(xué)物理解題思維之3.微元法(共13頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上三、微元法方法簡(jiǎn)介微元法是分析、解決物理問題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。用該方法可以使一些復(fù)雜的物理過程用我們熟悉的物理規(guī)律迅速地加以解決，使所求的問題簡(jiǎn)單化。在使用微元法處理問題時(shí)，需將其分解為眾多微小的“元過程”，而且每個(gè)“元過程”所遵循的規(guī)律是相同的，這樣，我們只需分析這些“元過程”，然后再將“元過程”進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理，進(jìn)而使問題求解。使用此方法會(huì)加強(qiáng)我們對(duì)已知規(guī)律的再思考，從而引起鞏固知識(shí)、加深認(rèn)識(shí)和提高能力的作用。試題精講例1：如圖31所示，一個(gè)身高為h的人在燈以悟空速度v沿水平直線行走。設(shè)燈距地面高為H ，求證人影的頂端C點(diǎn)是

2、做勻速直線運(yùn)動(dòng)。解析：該題不能用速度分解求解，考慮采用“微元法”。設(shè)某一時(shí)間人經(jīng)過AB處，再經(jīng)過一微小過程t（t0），則人由AB到達(dá)AB，人影頂端C點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)，由于SAA= vt則人影頂端的移動(dòng)速度：vC =v可見vc與所取時(shí)間t的長(zhǎng)短無關(guān)，所以人影的頂端C點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)。例2：如圖32所示，一個(gè)半徑為R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均勻鐵鏈，其A端固定在球面的頂點(diǎn)，B端恰與桌面不接觸，鐵鏈單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為 。試求鐵鏈A端受的拉力T 。解析：以鐵鏈為研究對(duì)象，由由于整條鐵鏈的長(zhǎng)度不能忽略不計(jì)，所以整條鐵鏈不能看成質(zhì)點(diǎn)，要分析鐵鏈的受力情況，須考慮將鐵鏈分割，使每一小段鐵鏈

3、可以看成質(zhì)點(diǎn)，分析每一小段鐵邊的受力，根據(jù)物體的平衡條件得出整條鐵鏈的受力情況。在鐵鏈上任取長(zhǎng)為L(zhǎng)的一小段（微元）為研究對(duì)象，其受力分析如圖32甲所示。由于該元處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以受力平衡，在切線方向上應(yīng)滿足：T + T = Gcos + T ，T = Gcos = gLcos由于每段鐵鏈沿切線向上的拉力比沿切線向下的拉力大T ，所以整個(gè)鐵鏈對(duì)A端的拉力是各段上T的和，即：T = T = gLcos = gLcos觀察Lcos的意義，見圖32乙，由于很小，所以CDOC ，OCE = Lcos表示L在豎直方向上的投影R ，所以Lcos = R ，可得鐵鏈A端受的拉力：T = gLcos = gR例

4、3：某行星圍繞太陽C沿圓弧軌道運(yùn)行，它的近日點(diǎn)A離太陽的距離為a ，行星經(jīng)過近日點(diǎn)A時(shí)的速度為vA ，行星的遠(yuǎn)日點(diǎn)B離開太陽的距離為b ，如圖33所示，求它經(jīng)過遠(yuǎn)日點(diǎn)B時(shí)的速度vB的大小。解析：此題可根據(jù)萬有引力提供行星的向心力求解。也可根據(jù)開普勒第二定律，用微元法求解。設(shè)行星在近日點(diǎn)A時(shí)又向前運(yùn)動(dòng)了極短的時(shí)間t ，由于時(shí)間極短可以認(rèn)為行星在t時(shí)間內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，線速度為vA ，半徑為a ，可以得到行星在t時(shí)間內(nèi)掃過的面積：Sa =vAta同理，設(shè)行星在經(jīng)過遠(yuǎn)日點(diǎn)B時(shí)也運(yùn)動(dòng)了相同的極短時(shí)間t ，則也有：Sb =vBtb由開普勒第二定律可知：Sa = Sb 。即得：vB =vA（此題也可用對(duì)稱

5、法求解。）例4：如圖34所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的船靜止在平靜的水面上，立于船頭的人質(zhì)量為m ，船的質(zhì)量為M ，不計(jì)水的阻力，人從船頭走到船尾的過程中，問：船的位移為多大？解析：取人和船整體作為研究系統(tǒng)，人在走動(dòng)過程中，系統(tǒng)所受合外力為零，可知系統(tǒng)動(dòng)量守恒。設(shè)人在走動(dòng)過程中的t時(shí)間內(nèi)為勻速運(yùn)動(dòng)，則可計(jì)算出船的位移。設(shè)v1 、v2分別是人和船在任何一時(shí)刻的速率，則有：mv1 = Mv2 兩邊同時(shí)乘以一個(gè)極短的時(shí)間t ， 有：mv1t = Mv2t 由于時(shí)間極短，可以認(rèn)為在這極短的時(shí)間內(nèi)人和船的速率是不變的，所以人和船位移大小分別為s1 = v1t ，s2 = v2t由此將式化為：ms1 = Ms2 把所有的

6、元位移分別相加有：ms1 = Ms2 即：ms1 = Ms2 此式即為質(zhì)心不變?cè)?。其中s1 、s2分別為全過程中人和船對(duì)地位移的大小，又因?yàn)椋篖 = s1 + s2 由、兩式得船的位移：s2 =L例5：半徑為R的光滑球固定在水平桌面上，有一質(zhì)量為M的圓環(huán)狀均勻彈性繩圈，原長(zhǎng)為R ，且彈性繩圈的勁度系數(shù)為k ，將彈性繩圈從球的正上方輕放到球上，使彈性繩圈水平停留在平衡位置上，如圖35所示，若平衡時(shí)彈性繩圈長(zhǎng)為R ，求彈性繩圈的勁度系數(shù)k 。解析：由于整個(gè)彈性繩圈的大小不能忽略不計(jì)，彈性繩圈不能看成質(zhì)點(diǎn)，所以應(yīng)將彈性繩圈分割成許多小段，其中每一小段m兩端受的拉力就是彈性繩圈內(nèi)部的彈力F 。在彈性

7、繩圈上任取一小段質(zhì)量為m作為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析。但是m受的力不在同一平面內(nèi)，可以從一個(gè)合適的角度觀察。選取一個(gè)合適的平面進(jìn)行受力分析，這樣可以看清楚各個(gè)力之間的關(guān)系。從正面和上面觀察，分別畫出正視圖的俯視圖，如圖35甲和235乙。先看俯視圖35甲，設(shè)在彈性繩圈的平面上，m所對(duì)的圓心角是 ，則每一小段的質(zhì)量：m =Mm在該平面上受拉力F的作用，合力為：T = 2Fcos= 2Fsin因?yàn)楫?dāng)很小時(shí)，sin ，所以：T = 2F= F 再看正視圖35乙，m受重力mg ，支持力N ，二力的合力與T平衡。即：T = mgtan現(xiàn)在彈性繩圈的半徑為：r =R所以：sin =， = 45，tan = 1

8、因此：T = mg =Mg 將、聯(lián)立，有：Mg = F ，解得彈性繩圈的張力為：F =設(shè)彈性繩圈的伸長(zhǎng)量為x ，則：x =RR = (1) R所以繩圈的勁度系數(shù)為：k =例6：一質(zhì)量為M 、均勻分布的圓環(huán)，其半徑為r ，幾何軸與水平面垂直，若它能經(jīng)受的最大張力為T，求此圓環(huán)可以繞幾何軸旋轉(zhuǎn)的最大角速度。解析：因?yàn)橄蛐牧 = mr2 ，當(dāng)一定時(shí)，r越大，向心力越大，所以要想求最大張力T所對(duì)應(yīng)的角速度 ，r應(yīng)取最大值。如圖36所示，在圓環(huán)上取一小段L ，對(duì)應(yīng)的圓心角為 ，其質(zhì)量可表示為m =M ，受圓環(huán)對(duì)它的張力為T ，則同上例分析可得：2Tsin= mr2因?yàn)楹苄?，所以：sin，即：2T=M

9、r2解得最大角速度： =例7：一根質(zhì)量為M ，長(zhǎng)度為L(zhǎng)的鐵鏈條，被豎直地懸掛起來，其最低端剛好與水平接觸，今將鏈條由靜止釋放，讓它落到地面上，如圖37所示，求鏈條下落了長(zhǎng)度x時(shí)，鏈條對(duì)地面的壓力為多大？解析：在下落過程中鏈條作用于地面的壓力實(shí)質(zhì)就是鏈條對(duì)地面的“沖力”加上落在地面上那部分鏈條的重力。根據(jù)牛頓第三定律，這個(gè)沖力也就等于同一時(shí)刻地面對(duì)鏈條的反作用力，這個(gè)力的沖量，使得鏈條落至地面時(shí)的動(dòng)量發(fā)生變化。由于各質(zhì)元原來的高度不同，落到地面的速度不同，動(dòng)量改變也不相同。我們?nèi)∧骋粫r(shí)刻一小段鏈條（微元）作為研究對(duì)象，就可以將變速?zèng)_擊變?yōu)楹闼贈(zèng)_擊。設(shè)開始下落的時(shí)刻t = 0 ，在t時(shí)刻落在地面上

10、的鏈條長(zhǎng)為x ，未到達(dá)地面部分鏈條的速度為v ，并設(shè)鏈條的線密度為 。由題意可知，鏈條落至地面后，速度立即變?yōu)榱?。從t時(shí)刻起取很小一段時(shí)間t ，在t內(nèi)又有M = x落到地面上靜止。地面對(duì)M作用的沖量為：(FMg) t = I因?yàn)镸gt0 ，所以：Ft = Mv0 = vx ，解得沖力：F = v，其中就是t時(shí)刻鏈條的速度v ，故F = v2 ，鏈條在t時(shí)刻的速度v即為鏈條下落長(zhǎng)為x時(shí)的即時(shí)速度，即：v2 = 2gx代入F的表達(dá)式中，得：F = 2gx此即t時(shí)刻鏈對(duì)地面的作用力，也就是t時(shí)刻鏈條對(duì)地面的沖力。所以在t時(shí)刻鏈條對(duì)地面的總壓力為：N = 2gx + gx = 3gx =例8：一根均勻

11、柔軟的繩長(zhǎng)為L(zhǎng) ，質(zhì)量為m ，對(duì)折后兩端固定在一個(gè)釘子上，其中一端突然從釘子上滑落，試求滑落的繩端點(diǎn)離釘子的距離為x時(shí)，釘子對(duì)繩子另一端的作用力是多大？解析：釘子對(duì)繩子另一端的作用力隨滑落繩的長(zhǎng)短而變化，由此可用微元法求解。如圖38所示，當(dāng)左邊繩端離釘子的距離為x時(shí)，左邊繩長(zhǎng)為(lx) ，速度v =，右邊繩長(zhǎng)為(l+x)又經(jīng)過一段很短的時(shí)間t以后，左邊繩子又有長(zhǎng)度vt的一小段轉(zhuǎn)移到右邊去了，我們就分析這一小段繩子，這一小段繩子受到兩力：上面繩子對(duì)它的拉力T和它本身的重力vtg（ =為繩子的線密度）根據(jù)動(dòng)量定理，設(shè)向上方向?yàn)檎?，有?Tvtg ) t = 0(vtv)由于t取得很小，因此這一小段

12、繩子的重力相對(duì)于T來說是很小的，可以忽略，所以有：T =v2 = gx因此釘子對(duì)右邊繩端的作用力為：F =(l + x)g + T =mg(1 +)例9：圖39中，半徑為R的圓盤固定不可轉(zhuǎn)動(dòng)，細(xì)繩不可伸長(zhǎng)但質(zhì)量可忽略，繩下懸掛的兩物體質(zhì)量分別為M 、m 。設(shè)圓盤與繩間光滑接觸，試求盤對(duì)繩的法向支持力線密度。解析：求盤對(duì)繩的法向支持力線密度也就是求盤對(duì)繩的法向單位長(zhǎng)度所受的支持力。因?yàn)楸P與繩間光滑接觸，則任取一小段繩，其兩端受的張力大小相等，又因?yàn)槔K上各點(diǎn)受的支持力方向不同，故不能以整條繩為研究對(duì)象，只能以一小段繩為研究對(duì)象分析求解。在與圓盤接觸的半圓形中取一小段繩元L ，L所對(duì)應(yīng)的圓心角為 ，

13、如圖39甲所示，繩元L兩端的張力均為T ，繩元所受圓盤法向支持力為N ，因細(xì)繩質(zhì)量可忽略，法向合力為零，則由平衡條件得：N = Tsin+ Tsin= 2T當(dāng)很小時(shí)，sin，故N = T 。又因?yàn)?L = R ，則繩所受法向支持力線密度為：n = 以M 、m分別為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓定律有：MgT = Ma Tmg = ma 由、解得：T =將式代入式得：n =例10：粗細(xì)均勻質(zhì)量分布也均勻的半徑為分別為R和r的兩圓環(huán)相切。若在切點(diǎn)放一質(zhì)點(diǎn)m ，恰使兩邊圓環(huán)對(duì)m的萬有引力的合力為零，則大小圓環(huán)的線密度必須滿足什么條件？解析：若要直接求整個(gè)圓對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的萬有引力比較難，當(dāng)若要用到圓的對(duì)稱性及要求所受

14、合力為零的條件，考慮大、小圓環(huán)上關(guān)于切點(diǎn)對(duì)稱的微元與質(zhì)量m的相互作用，然后推及整個(gè)圓環(huán)即可求解。如圖310所示，過切點(diǎn)作直線交大小圓分別于P 、Q兩點(diǎn)，并設(shè)與水平線夾角為 ，當(dāng)有微小增量時(shí)，則大小圓環(huán)上對(duì)應(yīng)微小線元：L1 = R2 ，L2 = r2其對(duì)應(yīng)的質(zhì)量分別為：m1 = 1l1 =1R2 ，m2 = 2l2 =2r2由于很小，故m1 、m2與m的距離可以認(rèn)為分別是：r1 = 2Rcos ，r2 = 2rcos所以m1 、m2與m的萬有引力分別為：F1 =，F(xiàn)2 =由于具有任意性，若F1與F2的合力為零，則兩圓環(huán)對(duì)m的引力的合力也為零， 即：=解得大小圓環(huán)的線密度之比為：=例11：一枚質(zhì)量

15、為M的火箭，依靠向正下方噴氣在空中保持靜止，如果噴出氣體的速度為v，那么火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的功率是多少？解析：火箭噴氣時(shí)，要對(duì)氣體做功，取一個(gè)很短的時(shí)間，求出此時(shí)間內(nèi)，火箭對(duì)氣體做的功，再代入功率的定義式即可求出火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的功率。選取在t時(shí)間內(nèi)噴出的氣體為研究對(duì)象，設(shè)火箭推氣體的力為F ，根據(jù)動(dòng)量定理，有：Ft = mv因?yàn)榛鸺o止在空中，所以根據(jù)牛頓第三定律和平衡條件有：F = Mg即：Mgt = mv ，或者：t =對(duì)同樣這一部分氣體用動(dòng)能定理，火箭對(duì)它做的功為：W =mv2所以發(fā)動(dòng)機(jī)的功率：P =Mgv例12：如圖311所示，小環(huán)O和O分別套在不動(dòng)的豎直桿AB和AB上，一根不可伸長(zhǎng)的繩子穿過環(huán)O

16、，繩的兩端分別系在A點(diǎn)和O環(huán)上，設(shè)環(huán)O以恒定速度v向下運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)AOO= 時(shí)，環(huán)O的速度。解析：O 、O之間的速度關(guān)系與O 、O的位置有關(guān)，即與角有關(guān)，因此要用微元法找它們之間的速度關(guān)系。設(shè)經(jīng)歷一段極短時(shí)間t ，O環(huán)移到C，O環(huán)移到C ，自C與C分別作為OO的垂線CD和CD ，從圖中看出。OC =，OC=，因此：OC + OC= 因極小，所以ECED，ECED ，從而：OD + ODOOCC 由于繩子總長(zhǎng)度不變，故：OO CC= OC 由以上三式可得：OC + OC=，即：OC = OC(1)等式兩邊同除以t得環(huán)O的速度為：v0 = v(1)例13： 在水平位置的潔凈的平玻璃板上倒一些水銀，由

17、于重力和表面張力的影響，水銀近似呈現(xiàn)圓餅形狀（側(cè)面向外凸出），過圓餅軸線的豎直截面如圖312所示，為了計(jì)算方便，水銀和玻璃的接觸角可按180計(jì)算。已知水銀密度 = 13.6103kg/m3 ，水銀的表面張力系數(shù) = 0.49N/m 。當(dāng)圓餅的半徑很大時(shí)，試估算其厚度h的數(shù)值大約為多少？（取1位有效數(shù)字即可）解析：若以整個(gè)圓餅狀水銀為研究對(duì)象，只受重力和玻璃板的支持力，在平衡方程中，液體的體積不是h的簡(jiǎn)單函數(shù)，而且支持力N和重力mg都是未知量，方程中又不可能出現(xiàn)表面張力系數(shù)，因此不可能用整體分析列方程求解h ?，F(xiàn)用微元法求解。在圓餅的側(cè)面取一個(gè)寬度為x ，高為h的體積元，如圖312甲所示，該體積

18、元受重力G 、液體內(nèi)部作用在面積xh上的壓力F ，則：F =S =ghxh =gh2x還有上表面分界線上的張力F1 = x和下表面分界線上的張力F2 = x 。作用在前、后兩個(gè)側(cè)面上的液體壓力互相平衡，作用在體積元表面兩個(gè)彎曲分界上的表面張力的合力，當(dāng)體積元的寬度較小時(shí)，這兩個(gè)力也是平衡的，圖中都未畫出。由力的平衡條件有：FF1cosF2 = 0即：gh2xxcosx = 0解得：h = 2.7103由于0，所以：1，故：2.7103mh3.8103m題目要求只取1位有效數(shù)字，所以水銀層厚度h的估算值為3103m或4103m 。例14：把一個(gè)容器內(nèi)的空氣抽出一些，壓強(qiáng)降為p ，容器上有一小孔，

19、上有塞子，現(xiàn)把塞子拔掉，如圖313所示。問空氣最初以多大初速度沖進(jìn)容器？（外界空氣壓強(qiáng)為p0 、密度為）解析：該題由于不知開始時(shí)進(jìn)入容器內(nèi)分有多少，不知它們?cè)谌萜魍馊绾畏植迹膊恢諝夥肿舆M(jìn)入容器后壓強(qiáng)如何變化，使我們難以找到解題途徑。注意到題目中“最初”二字，可以這樣考慮：設(shè)小孔的面積為S ，取開始時(shí)位于小孔外一薄層氣體為研究對(duì)象，令薄層厚度為L(zhǎng) ，因L很小，所以其質(zhì)量m進(jìn)入容器過程中，不改變?nèi)萜鲏簭?qiáng)，故此薄層所受外力是恒力，該問題就可以解決了。由以上分析，得：F = (p0p)S 對(duì)進(jìn)入的m氣體，由動(dòng)能定理得：FL =mv2 而 m = SL 聯(lián)立、式可得：最初中進(jìn)容器的空氣速度：v =例

20、15：電量Q均勻分布在半徑為R的圓環(huán)上（如圖314所示），求在圓環(huán)軸線上距圓心O點(diǎn)為x處的P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解析：帶電圓環(huán)產(chǎn)生的電場(chǎng)不能看做點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)，故采用微元法，用點(diǎn)電荷形成的電場(chǎng)結(jié)合對(duì)稱性求解。選電荷元q = R，它在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)的x分量為：Ex = kcos = k根據(jù)對(duì)稱性：E = Ex = =2 =由此可見，此帶電圓環(huán)在軸線P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小相當(dāng)于帶電圓環(huán)帶電量集中在圓環(huán)的某一點(diǎn)時(shí)在軸線P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小，方向是沿軸線的方向。例16：如圖315所示，一質(zhì)量均勻分布的細(xì)圓環(huán)，其半徑為R ，質(zhì)量為m 。令此環(huán)均勻帶正電，總電量為Q 。現(xiàn)將此環(huán)平放在絕緣的光滑水平桌面上，并處

21、于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向豎直向下。當(dāng)此環(huán)繞通過其中心的豎直軸以勻角速度沿圖示方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，環(huán)中的張力等于多少？（設(shè)圓環(huán)的帶電量不減少，不考慮環(huán)上電荷之間的作用）解析：當(dāng)環(huán)靜止時(shí)，因環(huán)上沒有電流，在磁場(chǎng)中不受力，則環(huán)中也就沒有因磁場(chǎng)力引起的張力。當(dāng)環(huán)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，環(huán)上電荷也隨環(huán)一起轉(zhuǎn)動(dòng)，形成電流，電流在磁場(chǎng)中受力導(dǎo)致環(huán)中存在張力，顯然此張力一定與電流在磁場(chǎng)中受到的安培力有關(guān)。由題意可知環(huán)上各點(diǎn)所受安培力方向均不同，張力方向也不同，因而只能在環(huán)上取一小段作為研究對(duì)象，從而求出環(huán)中張力的大小。在圓環(huán)上取L = R圓弧元，受力情況如圖315甲所示。因轉(zhuǎn)動(dòng)角速度而形成的電流：I =，電流元IL

22、所受的安培力：F = ILB =QB圓環(huán)法線方向合力為圓弧元做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，故：2TsinF = m2R當(dāng)很小時(shí)，sin，故有：T = m2Rm = ，T =解得圓環(huán)中張力為：T =(QB + m)例17：如圖316所示，一水平放置的光滑平行導(dǎo)軌上放一質(zhì)量為m的金屬桿，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng) ，導(dǎo)軌的一端連接一阻值為R的電阻，其他電阻不計(jì)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌平面?，F(xiàn)給金屬桿一個(gè)水平向右的初速度v0 ，然后任其運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，試求金屬桿在導(dǎo)軌上向右移動(dòng)的最大距離是多少？解析：水平地從a向b看，桿在運(yùn)動(dòng)過程中的受力分析如圖316甲所示，這是一個(gè)典型的在變力作用下求位移的題，用我

23、們已學(xué)過的知識(shí)好像無法解決，其實(shí)只要采用的方法得當(dāng)仍然可以求解。設(shè)桿在減速中的某一時(shí)刻速度為v ，取一極短時(shí)間t ，發(fā)生了一段極小的位移x ，在t時(shí)間內(nèi)，磁通量的變化為： = BLx ，I =金屬桿受到安培力為：F安 = BIL =由于時(shí)間極短，可以認(rèn)為F安為恒力，選向右為正方向，在t時(shí)間內(nèi)，安培力F安的沖量為：I =F安t = 對(duì)所有的位移求和，可得安培力的總沖量為：I = () =x 其中x為桿運(yùn)動(dòng)的最大距離，對(duì)金屬桿用動(dòng)量定理可得：I = 0mv0 由、兩式得：x =例18：如圖317所示，電源的電動(dòng)熱為E ，電容器的電容為C ，S是單刀雙擲開關(guān)，MN 、PQ是兩根位于同一水平面上的平行

24、光滑長(zhǎng)導(dǎo)軌，它們的電阻可以忽略不計(jì)，兩導(dǎo)軌間距為L(zhǎng) ，導(dǎo)軌處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于兩導(dǎo)軌所在的平面并指向圖中紙面向里的方向。L1和L2是兩根橫放在導(dǎo)軌上的導(dǎo)體小棒，質(zhì)量分別為m1和m2 ，且m1m2 。它們?cè)趯?dǎo)軌上滑動(dòng)時(shí)與導(dǎo)軌保持垂直并接觸良好，不計(jì)摩擦，兩小棒的電阻相同，開始時(shí)兩根小棒均靜止在導(dǎo)軌上。現(xiàn)將開關(guān)S先合向1 ，然后合向2 。求：（1）兩根小棒最終速度的大?。唬?）在整個(gè)過程中的焦耳熱損耗。（當(dāng)回路中有電流時(shí)，該電流所產(chǎn)生的磁場(chǎng)可忽略不計(jì)）解析：當(dāng)開關(guān)S先合上1時(shí)，電源給電容器充電，當(dāng)開關(guān)S再合上2時(shí)，電容器通過導(dǎo)體小棒放電，在放電過程中，導(dǎo)體小棒受到安培力作

25、用，在安培力作用下，兩小棒開始運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度最后均達(dá)到最大。（1）設(shè)兩小棒最終的速度的大小為v ，則分別為L(zhǎng)1 、L2為研究對(duì)象得：Fiti = m1m1v1 ，有：Fi1ti1 = m1v 同理得：Fi2ti2 = m2v 由、得：Fi1ti1 + Fi2ti2 = (m1 + m2)v又因?yàn)?Fi1 = Bli1 ，F(xiàn)i1 = Bli1 ，ti1 =ti2 ，i1 + i2 = i所以：BLi1ti1 + BLi2ti2 = BL (i1 + i2) ti = BLiti = BL(Qq) = (m1 + m2)v而Q = CE ，q = CU= CBLv所以解得小棒的最終速度：v =（2

26、）因?yàn)榭偰芰渴睾?，所以：CE2 =+( m1 + m2)v2 + Q熱即產(chǎn)生的熱量：Q熱 =CE2( m1 + m2)v2 =CE2(CBLv)2( m1 + m2)v2 =CE2CB2L2(m1 + m2) =針對(duì)訓(xùn)練1某地強(qiáng)風(fēng)的風(fēng)速為v ，設(shè)空氣的密度為 ，如果將通過橫截面積為S的風(fēng)的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為電能，則其電功率為多少？2如圖319所示，山高為H ，山頂A和水平面上B點(diǎn)的水平距離為s ?，F(xiàn)在修一條冰道ACB ，其中AC為斜面，冰道光滑，物體從A點(diǎn)由靜止釋放，用最短時(shí)間經(jīng)C到B ，不計(jì)過C點(diǎn)的能量損失。問AC和水平方向的夾角多大？最短時(shí)間為多少？3如圖321所示，在繩的C端以速度v勻速收繩

27、從而拉動(dòng)低處的物體M水平前進(jìn)，當(dāng)繩AO段也水平恰成角時(shí)，物體M的速度多大？4如圖322所示，質(zhì)量相等的兩個(gè)小球A和B通過輕繩繞過兩個(gè)光滑的定滑輪帶動(dòng)C 球上升，某時(shí)刻連接C球的兩繩的夾角為 ，設(shè)A 、B兩球此時(shí)下落的速度為v ，則C球上升的速度多大？5質(zhì)量為M的平板小車在光滑的水平面上以v0向左勻速運(yùn)動(dòng)，一質(zhì)量為m的小球從高h(yuǎn)處自由下落，與小車碰撞后反彈上升的高度仍為h 。設(shè)Mm ，碰撞彈力Ng ，球與車之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 ，則小球彈起后的水平速度可能是（ ）A、 B、0 C、2 D、v06半徑為R的剛性球固定在水平桌面上。有一質(zhì)量為M的圓環(huán)狀均勻彈性細(xì)繩圈，原長(zhǎng)2a ，a =，繩圈的彈性系數(shù)

28、為k（繩伸長(zhǎng)s時(shí)，繩中彈性張力為ks）。將繩圈從球的正上方輕放到球上，并用手扶著繩圈使其保持水平，并最后停留在某個(gè)靜力平衡位置?？紤]重力，忽略摩擦。（1）設(shè)平衡時(shí)彈性繩圈長(zhǎng)2b ，b =a ，求彈性系數(shù)k ；（用M 、R 、g表示，g為重力加速度）（2）設(shè)k =，求繩圈的最后平衡位置及長(zhǎng)度。7一截面呈圓形的細(xì)管被彎成大圓環(huán)，并固定在豎直平面內(nèi)， 在環(huán)內(nèi)的環(huán)底A處有一質(zhì)量為m 、直徑比管徑略小的小球，小球上連有一根穿過環(huán)頂B處管口的輕繩，在外力F作用下小球以恒定速度v沿管壁做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)， 如圖323所示。已知小球與管內(nèi)壁中位于大環(huán)外側(cè) 部分的動(dòng)摩擦因數(shù)為 ，而大環(huán)內(nèi)側(cè)部分的管內(nèi)壁是光滑 的。忽略大環(huán)內(nèi)、外側(cè)半徑的差別，認(rèn)為均為R 。試求小 球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)過程中F做的功WF 。8如圖324，來自質(zhì)子源的質(zhì)子（初速度為零），經(jīng)一加速電壓為800k