第四章向量組的線性相關(guān)性

1、第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性是向量組（包括向量空間）中最基礎(chǔ)性的概念，本章從解線性方程組出發(fā)首先給出線性組合、線性相關(guān)、線性無關(guān)、向量組等價(jià)等概念。并在此基礎(chǔ)上給出向量組的極大線性無關(guān)組和秩的概念。最后利用向量組的秩及極大無關(guān)組研究線性方程組的解及一般向量空間的結(jié)構(gòu)。（本章約10小時(shí)）本章重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：1.線性相關(guān)無關(guān)，組合的判定 2極大線性無關(guān)組的判定 3線性方程組解的結(jié)構(gòu) 難點(diǎn)：極大線性無關(guān)組的判定§4.1向量組的線性相關(guān)性重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：1.線性相關(guān)無關(guān)與線性組合的定義與關(guān)系 2. 線性相關(guān)無關(guān)與線性組合的判定一、維向量的概念維向量既可看作三維幾何向量的推廣

2、，又可看作一個(gè)行或列矩陣。在空間解析幾何里我們知道，在直角坐標(biāo)系下任一幾何向量都可用一個(gè)三元有序數(shù)組表示，稱為一個(gè)三維向量。且向量間有下列加法及數(shù)乘運(yùn)算：令 則可以很自然的將上述三維向量及加法與數(shù)乘運(yùn)算推廣到維的情況。定義4.1 一個(gè)元有序數(shù)組將它們排成一行稱為維行向量。也可將它們排成一列稱為維列向量。其中稱向量的第個(gè)分量或坐標(biāo)；分量全為0的向量稱零向量記或。行向量又可看作行矩陣，列向量又可看作列矩陣。行向量和列向量通常看作兩個(gè)不同的向量。規(guī)定向量的加法及數(shù)乘運(yùn)算按矩陣運(yùn)算進(jìn)行。行向量只能與行向量相加，列向量只能與列向量相加。令，則，；以后總是規(guī)定用黑體字母等表示列向量，而行向量寫成列向量的轉(zhuǎn)

3、置，如等。對(duì)于每一向量將其所有分量反號(hào)，稱的負(fù)向量，記。即規(guī)定a-b=a+（-b）=維向量當(dāng)如前所述有明顯的幾何意義，但時(shí)已沒有幾何意義，但確有深刻的實(shí)際意義。例如。河流中每一滴水在任一時(shí)刻的狀態(tài)可用時(shí)刻的位置坐標(biāo)及表示，即。飛機(jī)在空中的狀態(tài)通常由下列六個(gè)參數(shù)決定：機(jī)身仰角，機(jī)翼轉(zhuǎn)角，機(jī)身水平轉(zhuǎn)角，飛機(jī)重心在空間位置參數(shù)，因此可用一個(gè)六維向量表示。給定一個(gè)線性方程組其每一個(gè)方程的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)組成一個(gè)行向量，這樣該方程組對(duì)應(yīng)一個(gè)行向量組另外該方程組每一列對(duì)應(yīng)一個(gè)列向量，故又對(duì)應(yīng)一個(gè)列向量組該方程組可寫成向量形式給定一個(gè)矩陣同樣對(duì)應(yīng)一個(gè)維行向量組及一個(gè)維列向量組因此該矩陣又可簡(jiǎn)記為例4.1.1 設(shè)

4、向量求滿足方程的。解：由解得二、向量組的線性組合引例 考慮線性方程組仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)上述方程組4個(gè)方程不是獨(dú)立的，、可由、表示為=2×+， =，我們稱、可由、線性表示，或說、是、的線性組合。下面我們利用線性組合來研究方程組等價(jià)或同解的問題。因、是、的線性組合。故這時(shí)凡滿足方程、的解，必滿足方程與。即方程組的解必為原方程組的解。一般給定方程組與如果()中每一個(gè)方程都可由()中方程線性表示，則稱()可由()線性表示，這時(shí)凡()的解必為()的解。如果兩方程組可相互線性表示，則稱兩方程組等價(jià)。顯然等價(jià)的方程組必同解。下面我們用向量組來描述上述問題。對(duì)于上例所給方程組，對(duì)應(yīng)于向量組顯然，該向量

5、組中可相應(yīng)表示成的線性組合。由此相應(yīng)給出向量組的線性組合及等價(jià)等定義如下：定義4.2.1 設(shè)維列向量組若有則稱為的線性組合或稱可由線性表示。而數(shù)稱在該向量組下的組合系數(shù)。定義4.2.2 設(shè)有維列向量組如中每一向量均可由組中向量線性表示，則稱向量組可由向量組線性表示。如果兩向量組可相互線性表示，則稱該兩向量組等價(jià)。以上是對(duì)列向量組定義，對(duì)于行向量組可類示定義。顯然，當(dāng)兩線性方程組對(duì)應(yīng)的行向量組等價(jià)時(shí)，該兩線性方程組同解。等價(jià)向量組有下列三個(gè)性質(zhì)：（）.自反性，即組與自己本身等價(jià)；（）對(duì)稱性，即如組與組等價(jià)，則組必與組等價(jià)；（）傳遞性，即如組與組等價(jià)， 組與（C）組等價(jià)，則必有組與組等價(jià)。這些性質(zhì)

6、利用定義是容易證明的。例4.1.2設(shè)問能否由線性表示。解：如能由線性表示，即存在數(shù)使成立，因此是非齊次線性方程組的解。代入向量得即上述方程組有解的充要條件是這里由由于故該方程組有解，即可由線性表示，下面求出表示系數(shù)。將上述矩陣進(jìn)一步化成行最簡(jiǎn)形得 故其通解為例如令得一組解為，即有一般有，即有無窮多種表示方式。從上例看到一般向量可由向量組線性表示的充要條件是非齊次線性方程組有解。三. 向量組的線性相關(guān)性給定一個(gè)向量組，常常要判斷其中是否有向量是其它向量的線性組合，光由線性組合的定義判斷是一件很麻煩的事。為了解決這一問題，我們將其變成下面等價(jià)的形式。定理4.1 向量組中存在向量是其余向量線性組合的

7、充分必要條件是：存在一組不全為0的數(shù)，使證明：必要性.設(shè)中有向量是其余向量線性組合，不妨設(shè)，改寫成，因此，存在一組不全為0的數(shù)，使上式成立。充分性.設(shè)存在一組不全為0的數(shù)，使，因不全為0，不妨設(shè)，則，兩端同乘，得，因此，可由線性表示。證畢。由此，引出向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念。定義4.3. 設(shè)有維向量組，若存在不全為0的數(shù)，使得，則稱向量組線性相關(guān)，否則稱它們線性無關(guān)。換言之，向量組線性無關(guān)是指任何一組不全為零的數(shù)都有，僅當(dāng)都等于零時(shí)，才有成立。利用線性相關(guān)的定義，定理4.1可敘述為：維向量組中存在向量是其余向量線性組合的充分必要條件為：該向量組線性相關(guān)。例4.1.3 判斷向量組是否線性

8、相關(guān)。解：線性相關(guān)，是指存在一組不全為零的數(shù)使。因此，是齊次線性方程組的一組非零解。代入得即上述方程組有非零解的充要條件是的秩小于3。因故有非零解，線性相關(guān)。下面求出相關(guān)系數(shù)，上述方程組的通解為故 從上例看到向量組線性相關(guān)（無關(guān)）的充要條件是齊次線性方程組有非零解（只有零解）。例4.1.4 證明維基本單位向量組線性無關(guān)。證明：令即即得，所以線性無關(guān)。基本單位向量有許多好的性質(zhì)，以后還會(huì)講到。例4.1.5已知向量組線性無關(guān)，證明向量組，也線性無關(guān)。證明：令即因?yàn)榫€性無關(guān)，故因上述齊次線性方程組系數(shù)行列式故只有零解，即，故，也線性無關(guān)。判斷向量組的線性相關(guān)性除用定義化成齊次線性方程組外，還有一些特

9、殊的判斷方法，現(xiàn)介紹如下：（1）.由一個(gè)向量組成的向量組，當(dāng)時(shí)，線性相關(guān)；當(dāng)，線性無關(guān)。（2）.由兩個(gè)向量組成的向量組線性相關(guān)（無關(guān)）的充要條件是對(duì)應(yīng)分量成比例（不成比例）。例如向量是線性相關(guān)的。而是線性無關(guān)的。（1）、（2）可由定義證之。（3）. 個(gè)維向量線性相關(guān)（無關(guān)）的充要條件是行列式因齊次線性方程有非零解（只有零解）的充要條件是系數(shù)行列式即得。（4）.若向量組中有一部分向量組成的子向量組線性相關(guān)，則該向量組必線性相關(guān)（簡(jiǎn)言之部分相關(guān)則全體相關(guān)）；反之，如果向量組線性無關(guān)，則其任一子向量組必線性無關(guān)（全體無關(guān)則部分無關(guān)）。證明：設(shè)向量組中有一部分向量，不妨設(shè)前個(gè)向量線性相關(guān)，則必存在個(gè)不

10、全為零的數(shù)使因數(shù)組不全為零，故也線性相關(guān)。至于定理的后一部分是前面的逆否形式，當(dāng)然成立。例如，線性相關(guān)，則必有也線性相關(guān)。推論：含零向量的向量組必線性相關(guān)。（5）. 若維向量組中向量個(gè)數(shù)維數(shù)，則必線性相關(guān)?？紤]齊次線性方程因未知數(shù)的個(gè)數(shù)方程個(gè)數(shù)，故系數(shù)矩陣的秩，故有非零解，從而線性相關(guān)。例如任意4個(gè)三維向量必線性相關(guān)。對(duì)于全體三維向量的集合,至多存在三個(gè)線性無關(guān)的部分組（稱極大線性無關(guān)向量組以后還將專門討論），所有含三個(gè)以上的部分組必線性相關(guān)。下面接著談線性組合與線性相關(guān)的關(guān)系。定理4.1已給出了這一關(guān)系，但它沒有指明線性無關(guān)的向量組中哪個(gè)向量可由其余向量線性表示，也未指明表示的系數(shù)是否唯一。

11、下面定理是定理4.1的進(jìn)一步深化。定理4.2 設(shè)向量組線性無關(guān)，線性相關(guān)，則可由線性表示，且表示的系數(shù)唯一。 證明：因線性相關(guān)，故存在不全為零的數(shù)使?？勺C，使用反證法。如設(shè)，則不全為0 。上式變成，因不全為0 。故線性相關(guān)，矛盾。故。于是可由線性表示。下證表示系數(shù)唯一。如設(shè)有兩種表示 兩式相減得 因線性無關(guān)，故故表示系數(shù)唯一。證畢。利用線性方程組解的定理可證如果可由線性表示，且線性相關(guān),則表示系數(shù)不唯一。只有當(dāng)線性無關(guān)時(shí)，其表示才是唯一的。證明留給讀者。練習(xí)4.11.判斷題（1）.設(shè)線性相關(guān)，是一組不全為0的數(shù)，則。 （ ） （2）.設(shè)線性無關(guān)，則對(duì)任一組不全為0的數(shù)，都有 。 （ ） （3）

12、.設(shè)線性相關(guān)，則一定可由線性表示。 （ ）（4）.設(shè)線性無關(guān)，則其中任一向量都不能由其它向量線性表示。 （ ）（5）.向量組兩兩線性無關(guān)，則線性無關(guān)。 （ ）（6）.向量不能由線性表示，則線性無關(guān)。 （ ）2.設(shè)，求。3.把向量表成下面向量的線性組合（1）.,向量組。（2）.,向量組。4.判斷下列向量組的線性相關(guān)性（1）.（1，3），（2，1），（6，7）；（2）.（1，3，2），（1，0，1），；（3）.（1，4，1），（2，5，1），（3，0，1）；（4）.（1，4，31），（4，1，3，2），（1，0，1，2）；5.證明題（1）.線性無關(guān)，則也線性無關(guān)。（2）.線性相關(guān)，線性無關(guān)，證明可

13、唯一的由線性表示。（3）.線性無關(guān)，則線性相關(guān)，證明。§4.2向量組的極大線性無關(guān)組一、 極大無關(guān)組的概念下面討論向量組的子向量組的性質(zhì)|:給定向量組,如:,其所含部分向量稱其子向量組;含一個(gè),兩個(gè),三個(gè)的子組分別為; ; ; ; ; ; ; ;下面給出向量組的極大無關(guān)組的概念:引例，在上節(jié)引例中的線性方程組中方程、均可由方程、線性表示，該方程組與僅由、兩個(gè)方程組成的方程組等價(jià)。因此方程、是多余方程。僅由、兩個(gè)方程組成的方程組，是線性無關(guān)（獨(dú)立）的，互相不能線性表示，稱之為保留方程組。解保留方程組即可得原方程組的解。將上述方程組的有關(guān)結(jié)論用于相應(yīng)的向量組:組中部分組：線性無關(guān)，而組中

14、任一向量均可由部分組線性表示，稱組為 組的極大線性無關(guān)組。一般可定義如下：定義4.10 給定維向量組：，如果組中部分向量構(gòu)成的向量組：滿足（1）.線性無關(guān)（2）.組中任一向量均可由組線性表示，則稱組為組的極大線性無關(guān)組。簡(jiǎn)稱極大無關(guān)組。從該定義即可得到下列推論：向量組與其極大無關(guān)組等價(jià)。例如：有線性無關(guān)，而，即可由線性表示，所以，是組的一個(gè)極大無關(guān)組。同樣可以驗(yàn)證也是組的一個(gè)極大無關(guān)組。由此可知向量組的極大無關(guān)組一般不是唯一的。但每一極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)是相同的（這一點(diǎn)以后要證明）。又如中的向量組線性無關(guān)，而中任意4個(gè)向量線性相關(guān)。由上一節(jié)定理知中任一向量均可由線性表示，故是的一個(gè)極大無關(guān)組

15、。事實(shí)上可證明中任意三個(gè)線性無關(guān)的向量均是的極大無關(guān)組。因此的極大無關(guān)組有無窮多 ，但其所含的向量個(gè)數(shù)均為3個(gè)，是不變的。向量組的極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱向量組的秩。定義4.11 給定向量組：，設(shè)是其一個(gè)極大無關(guān)組，則其所含向量個(gè)數(shù)稱的秩，記。注意：上述關(guān)于向量組的秩的定義中已蘊(yùn)含了秩是一個(gè)不變量。下面我們將給出極大無關(guān)組的另一個(gè)等價(jià)定義，由該定義即可看出極大無關(guān)組的極大性，從而推得秩的唯一性。先證明下面的定理。定理4.1 設(shè)向量組均可由向量組線性表示，且線性相關(guān)。證略推論1設(shè)可由線性表示，且線性無關(guān)。證明留給讀者。推論2 等價(jià)的向量組具有相同的秩。證明：設(shè)向量組與向量組等價(jià)，設(shè)它們的極大無

16、關(guān)組分別為及，我們證明。事實(shí)上由等價(jià)的傳遞性即知，與等價(jià)，而組，組又分別與其極大無關(guān)組等價(jià)。故知上述兩極大無關(guān)組等價(jià)，即可以相互線性表示，故由推論知且，即得。 證畢。利用定理4.1即可得極大無關(guān)組的另一等價(jià)定義。定義4.12 設(shè)維向量組：中的部分組：滿足： （1）.線性無關(guān)（2）.組中任意個(gè)向量線性相關(guān)，則是的一個(gè)極大無關(guān)組。下面我們來證明兩定義4.11與4.12的等價(jià)的。由定義4.12可得向量組線性相關(guān)，其中是中任一向量。由上一節(jié)定理4。2知可由線性表示，這即為定義4.11。反之，在中任取個(gè)向量，由定義4.11，它們都可由線性表示，因由定理4.1知它們線性相關(guān)，這即為定義4.12。由極大無關(guān)

17、組定義4.12可看出如果是向量組的極大無關(guān)組，則線性無關(guān)，而中多于個(gè)向量必線性相關(guān)，即極大無關(guān)組是向量組中所有線性無關(guān)部分組中包含向量最多的組。由此即知極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)是唯一的，這就是向量組的秩。從該定義即知極大無關(guān)組具有兩個(gè)特性：（1）.無關(guān)性；（2）.極大性。二、利用矩陣求向量組的秩及極大無關(guān)組我們?cè)诘谌陆榻B了矩陣的秩，現(xiàn)在又介紹了向量組的秩，讀者一定會(huì)猜到這二者應(yīng)該是統(tǒng)一的?；仡櫸覀?cè)谇懊娑际怯杀Ａ舴匠探M出發(fā)引入向量組及矩陣的秩，因此這兩者的統(tǒng)一就是必然的。下面我們來研究這一問題。給定矩陣它的行對(duì)應(yīng)一個(gè)行向量組，其列對(duì)應(yīng)一個(gè)列向量組。其行向量組的秩稱的行秩，其列向量組的秩稱的列秩

18、。矩陣的秩及行、列秩之間有如下關(guān)系。定理4.2矩陣的行秩=列秩=。證明：當(dāng)，即A=0時(shí)定理顯然成立。下面就一般情況證明。先證的行秩。設(shè)的行秩為不妨設(shè)前個(gè)行向量是的行向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，因都可由線性表示，故經(jīng)行初等變換可使這行為0，又因線性無關(guān)，為明確起見不妨設(shè)左上角階子式不為0，于是的行階梯形為故又而的行秩即的列秩，又可得的列秩。 證畢。注：我們也可用等于的最高階非零子式的階數(shù)來證明的行秩=的列秩。讀者可參考華中科技大學(xué)出版社，林升旭編線性代數(shù)教程P95定理4.5的證明。由上述定理即可將向量組的秩轉(zhuǎn)化為矩陣的秩來計(jì)算。例4.2.2 設(shè)，求該向量組的秩，并判其線性相關(guān)性。解：令故。由秩及極大

19、無關(guān)組的定義知線性相關(guān)。由此得到一個(gè)利用極大無關(guān)組判斷向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的方法。維向量組線性相關(guān)的充要條件是；線性無關(guān)的充要條件是。另外，顯然當(dāng)時(shí)，向量組，必線性相關(guān)，這正是上一節(jié)討論的一個(gè)結(jié)果。注：如果知道向量組的秩為r,則極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)為r,由極大無關(guān)組的極大性知向量組中任意r+1個(gè)向量必線性相關(guān)，因此向量組中任意r個(gè)線性無關(guān)的向量即是其極大無關(guān)組。下面討論用矩陣的初等變換求向量組的極大無關(guān)組定理4.3 1 1)矩陣經(jīng)過行初等變換化成矩陣，則A與B的行向量組等價(jià);A的列向量組中任意個(gè)列向量與中對(duì)應(yīng)的個(gè)列向量具有相同的線性相關(guān)性。2)矩陣經(jīng)過列初等變換化成矩陣，則A與B的列向

20、量組等價(jià);A的行向量組中任意個(gè)行向量與中對(duì)應(yīng)的個(gè)行向量具有相同的線性相關(guān)性。證明：考慮的的任意個(gè)列向量組，其在中對(duì)應(yīng)的列向量組為，顯然矩陣與矩陣等價(jià)（請(qǐng)考慮為什么），故線性方程組與同解，因此它們的線性相關(guān)性相同。由該定理即可得到一個(gè)用行（列）初等變換求列（行）向量組的極大無關(guān)組的方法如下：將經(jīng)行初等變換變成行階梯形，不妨設(shè)由此可得，因的前列線性無關(guān)（因矩陣位于前行的子式非零，故。從而知線性無關(guān)），故與之對(duì)應(yīng)的的前列線性無關(guān)，為的列向量組的極大無關(guān)組，而A的其它列均可由極大無關(guān)組線性表示。下面我們來求表示的系數(shù)。因的另個(gè)列向量均可用極大無關(guān)組唯一線性表示。還是由方程組的同解知的后列可用前列極大無

21、關(guān)組作相同的線性表示。但一般來講僅化成行階梯形，將其余向量用極大無關(guān)組線性表示還是困難的，為此我們可進(jìn)一步用行初等變換將其化成行最簡(jiǎn)形，因行最簡(jiǎn)形的極大無關(guān)組為基本單位向量，其它向量用其線性表示時(shí)，其表示系數(shù)即為該向量的分量，從而立刻獲得行最簡(jiǎn)形中其它向量由極大無關(guān)組的線性表達(dá)式。通過反寅即可得到A中相應(yīng)列向量由極大無關(guān)組的線性表達(dá)式。由此可得求極大無關(guān)組及將其余向量用極大無關(guān)組線性表示的方法如下；以向量組作列構(gòu)造矩陣A，并將A用行初等變換化成行階梯形B.求出B.的列向量組的極大無關(guān)組，通過反寅求出A的列向量組的極大無關(guān)組進(jìn)一步將B化成行最簡(jiǎn)形C，找出C的列向量組的極大無關(guān)組，將其余向量由極大

22、無關(guān)組線性表示，通過反寅求出A的其余列向量的線性表示式。例4.2.3 求向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，并把其余向量用此極大無關(guān)組線性表示。解：把向量組按列構(gòu)成矩陣，并對(duì)施以初等行變換化為階梯形，易見矩陣的第1，2，4列線性無關(guān)，故矩陣對(duì)應(yīng)的，線性無關(guān)，且是向量組的一個(gè)極大無關(guān)組。再將B施以初等行變換化為行最簡(jiǎn)形 由矩C易得：，所以有。例4.2.4已知向量組與向量組具有相同的秩，且可由線性表示，求的值。解：易見是線性無關(guān)的，又所以線性相關(guān)，秩。又與具有相同的秩，所以線性相關(guān)，于是解得 。 又可由線性表示。而是一個(gè)極大無關(guān)組，因而也可由線性表示，即線性相關(guān)，于是得 。練習(xí)4.21.判斷題（1）.向量組V

23、中，線性無關(guān)，而對(duì)V中任一向量,都有線性相關(guān)，則是V的一個(gè)極大無關(guān)組。（2）.若向量組的秩為，則其中任意個(gè)線性無關(guān)的向量都構(gòu)成其一個(gè)極大無關(guān)組。（3）.矩形的秩等于，則有個(gè)行向量線性無關(guān)，任意個(gè)行向量必線性相關(guān)。（4）.兩個(gè)等價(jià)向量組必含向量個(gè)數(shù)相等。（5）.，則中必有一列是其余向量的線性組合。2.求下列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，并把其余向量用極大無關(guān)組線性表示（1）.（2）.（3）.3.線性無關(guān)，求向量組，的秩。4.證明題（1）.設(shè)線性無關(guān)，令，稱其為原向量組的延長(zhǎng)一維的向量組。證明其也線性無關(guān)。將上述結(jié)果推廣可得什么結(jié)論？（2）.設(shè)單位向量可由線性表示，證明（1）.與等價(jià)。（2）.求。（3）

24、.用矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系證明矩陣不等式。§4.3線性方程組解的結(jié)構(gòu)在第三章我們研究了線性方程組的解的一個(gè)定理及解法，本節(jié)我們將利用向量組的 有關(guān)知識(shí)研究線性方程組的解集的結(jié)構(gòu)。一、齊次線性方程組齊次線性方程組可寫成下列三種等價(jià)形式 （4.31）（一般形式）Ax=0 （4.32）（矩陣形式）其中 為系數(shù)矩陣 （4.33）（向量形式）其中為的列向量。結(jié)合前面的有關(guān)知識(shí)有如下結(jié)論：方程組Ax=0有非零解（只有零解）（）線性相關(guān)（線性無關(guān)）。下面先給出齊次線性方程組解的有關(guān)性質(zhì)，并利用這些性質(zhì)給出解的結(jié)構(gòu)定理。方程組Ax=0的任一解寫成向量形式為稱解向量。它也是Ax=0的解。關(guān)于解向量

25、有以下兩個(gè)性質(zhì)：設(shè)是Ax=0的任意兩個(gè)解向量，是任一實(shí)數(shù)，則1）.也是其解向量；2）.也是其解向量。以上兩個(gè)性質(zhì)可直接驗(yàn)證。令表方程組Ax=0全體解向量的集合，我們稱其為解空間。上述兩性質(zhì)簡(jiǎn)單表示為：，稱解空間對(duì)解向量的加法及數(shù)乘運(yùn)算具有封閉性。由上述兩個(gè)性質(zhì)立刻可推出：設(shè)是Ax=0的任意個(gè)解向量，則其任意線性組合也是其解向量。下面我們先來確定解空間的極大無關(guān)組，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造解空間。解空間的極大無關(guān)組稱線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，它是構(gòu)造解集的基礎(chǔ)。下面討論如何構(gòu)造解空間的基礎(chǔ)解系。設(shè)，不妨設(shè)的左上角階子式不為零。對(duì)作初等變換化成行最簡(jiǎn)形，并求出解為解的列向量形式為 （4.45）其中為任

26、意個(gè)常數(shù)，記。它們是的個(gè)解，由（4.43）式可見的任一解是這個(gè)解的線性表示，簡(jiǎn)記為。 （4.46）若能證明這個(gè)解線性無關(guān)，則它們就是的解空間的一組基礎(chǔ)解系。為此把這個(gè)解排成矩陣（），可以看出該矩陣中從行至行所構(gòu)成的階行列式所以線性無關(guān)，它們就是的一個(gè)基礎(chǔ)解系。定理4.3 設(shè)矩陣的秩，若，則齊次線性方程組的解空間的秩為；若，則，即僅有零解。設(shè)是解空間的一個(gè)基礎(chǔ)解系。由此立即可得解空間的結(jié)構(gòu)為 （4.34）這是因?yàn)槭紫榷际墙?，即有又設(shè)是任一解，即。則它必可用極大無關(guān)組線性表示，即從而，故（4.34）式成立。例4.3.1 求以下線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系解 對(duì)系數(shù)矩陣做初等行變換， 解方程組，取自由變

27、量為，得即一般解 。該方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為。例4.3.2 設(shè)向量組是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，證明也是該方程組的基礎(chǔ)解系。證明：要證是的基礎(chǔ)解系，首先要證是的解，其次證明是線性無關(guān)的。因?yàn)槭堑慕?，即有，且r()=3。易見因而是的解。設(shè)，把已知的代入整理得因線性無關(guān)，得齊次方程組其系數(shù)矩陣的行列式，所以齊次線性方程組僅有零解，則線性無關(guān)，證得是的基礎(chǔ)解系。 例4.3.3設(shè)為矩陣，為矩陣，若，證明。證明：將按列分塊為，由，得，即有上式表明矩陣的每一列向量是齊次線性方程組的解，即的列向量，又的基礎(chǔ)解系含有個(gè)解，從而秩，即，證得。二、非齊次線性方程組非齊次線性方程組可寫成下列三種等價(jià)形式 （4.36

28、）（一般形式）Ax=b （4.37）（矩陣形式） （4.38）（向量形式）由前面知識(shí)立即得到：方程組Ax=b有解可由線性表示。下面給出解向量的性質(zhì)及解集的結(jié)構(gòu)。關(guān)于解向量有下列兩個(gè)性質(zhì)1）.非齊次線性方程組Ax=b的任意兩個(gè)解向量之差是其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的解。2）.設(shè)是Ax=b的解， 是其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0 的解，則仍是Ax=b的解。證明留給讀者。定理4.4（解的結(jié)構(gòu)定理）設(shè)是非齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)特解，是其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的通解，則Ax=b的通解為。證明：由性質(zhì)2）都是Ax=b的解。 又設(shè)是Ax=b的任一解，由性質(zhì)1）是齊次方程組Ax=0的解。 故。

29、從而。 證畢。設(shè)是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則Ax=b的通解為：。例4.3.2 求非齊次線性方程組的通解及對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。 解：對(duì)增廣矩陣做初等行變換化為階梯形，對(duì)應(yīng)的方程組為取為自由未知量，解得。令=k得： ，為任意數(shù)。對(duì)應(yīng)齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為。 例4.3.3 設(shè)向量，問取何值，可使（）.不能由線性表示？（）.可由唯一線性表示？（）.可由非唯一線性表示，并寫出表示式。 解：設(shè)，把上述已知向量代入，得非齊次線性方程組對(duì)增廣矩陣做初等行變換化為階梯形。（）.當(dāng)時(shí)，方程組無解，不能由線性表示。（）.當(dāng)，為任意數(shù)時(shí)，方程組有唯一解，可由唯一線性表示。（）.當(dāng)時(shí)，

30、方程組有無窮多解，可由不唯一地線性表示。解上面化簡(jiǎn)的增廣矩陣所對(duì)應(yīng)的線性方程組：得，于是：，為任意數(shù)。練習(xí)4.31.判斷題（1）.齊次線性方程組Ax=0有兩個(gè)不同的解，則一定有無窮多組解。（2）.非齊次線性方程組Ax=b，其中矩陣A的個(gè)列向量線性無關(guān)，則方程組有唯一解。（3）.齊次線性方程組Ax=0，矩陣A的個(gè)列向量線性無關(guān)，則僅有零解。2.求下列齊次線性方程組的通解及基礎(chǔ)解系（1）.（2）.（3）.3.求解下列非齊次線性方程組（1）.（2）.4. 線性方程組問取何值時(shí)，方程組有唯一解；無解；無窮多解？并求出有無窮多解時(shí)的通解。5. 是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，證明，也是Ax=0的基礎(chǔ)

31、解系。*§4.4向量空間向量空間是一類對(duì)向量的加法與數(shù)乘運(yùn)算具有封閉性的向量集合的抽象格式。這類集合具有許多共通的特性與結(jié)構(gòu)。例如，齊次線性方程組的解空間都是向量空間的特例。*一、向量空間的定義上一節(jié)我們研究了齊次線性方程組解空間的結(jié)構(gòu)，由于對(duì)解向量的“加法”、“數(shù)乘”運(yùn)算具有封閉性，故解空間可表示為，其中是解空間的基礎(chǔ)解系，而非齊次線性方程組的解集，由于對(duì)解向量的“加法”、“數(shù)乘”運(yùn)算不封閉，故沒有上述結(jié)構(gòu)。表全體維實(shí)向量的集合，同樣對(duì)向量“加法”、“數(shù)乘”封閉，設(shè)是其極大無關(guān)組，則，這些無窮集都可以用有限的向量表示，由此便引出向量空間的定義：定義4.7設(shè)是數(shù)域上的維向量構(gòu)成的非空

32、集合，且滿足（1）.若,則。（2）. 若,則。則稱集合為數(shù)域上的向量空間，若為實(shí)（復(fù)）數(shù)域，則稱為實(shí)（復(fù)）向量空間，本章僅討論實(shí)向量空間。上述定義的（1）、（2）稱對(duì)向量“加法”、“數(shù)乘”封閉，因此，向量空間即是對(duì)向量“加法”、“數(shù)乘”兩種運(yùn)算封閉的集合。由上述定義不難得到下述性質(zhì)：（1）.,即任一向量空間必含有零向量，事實(shí)上由定義中第（2）條取，有。（2）. 若,取，有。從上面也可看到若向量空間含有非零向量，則必含有任意多非零向量，且每一非零向量與其負(fù)向量在中是成對(duì)出現(xiàn)的。例4.5.1（1）.只含有一個(gè)零向量的集是向量空間，稱零空間。（2）. 是向量空間，稱維向量空間，表示過原點(diǎn)的全體平面向

33、量，表示過原點(diǎn)的全體空間向量，稱幾何空間。例4.5.2 齊次線性方程組的解空間都是向量空間，而非齊次線性方程組的解集不是向量空間。例4.5.3 判斷下列集合是否構(gòu)成上的向量空間（1）. （2）. 解：（1）.因?qū)ο蛄康募臃ā?shù)乘封閉，故是向量空間。（2）. 因?qū)ο蛄康募臃ú环忾]（同樣對(duì)數(shù)乘也不封閉），故不是向量空間。 另解：因，故不是向量空間。注意，當(dāng)要判別某集合是向量空間時(shí)，必須用定義驗(yàn)證；而要判斷某集合不是向量空間時(shí)，除可用定義判斷外，也可用上述性質(zhì)判斷，當(dāng)上述兩條性質(zhì)有一條不滿足，則不是向量空間。例4.5.4 設(shè)是兩個(gè)維向量，則由的一切線性組合組成的集合是向量空間，記，稱為由生成的向量空

34、間。一般設(shè)是個(gè)維向量，是向量空間，稱為由生成的向量空間。因，我們稱其為的子空間，下面給出子空間的定義：定義4.8 設(shè)是一個(gè)向量空間，且對(duì)對(duì)向量的加法及數(shù)乘仍是封閉的，則稱是的子空間。注意，的子空間必是向量空間，而的任意子集不一定是向量空間。下面定義向量組的基底，維數(shù)與坐標(biāo)。定義4.9設(shè)V是向量空間,若1,2,rV滿足:1,2,r線性無關(guān);V中任意向量都可用1,2,r線性表示.則稱1,2,r為向量空間V的一組基底,簡(jiǎn)稱基.n稱為V的維數(shù),記為dimV=n.并稱V為n維向量空間,規(guī)定零向量空間的維數(shù)為零.如把向量空間V看作向量組,則基底即是極大無關(guān)組,維數(shù)即是秩.顯然如果dimV=n.則V的任意n

35、個(gè)線性無關(guān)的向量都是V的基.例4.5.5 設(shè)，證明向量組是的一組基，且求向量在該組基下的坐標(biāo)。解：令，要證明線性無關(guān)即可。因，故線性無關(guān)，即為的一組基。令解此非齊次線性方程組，得唯一解，故在此組基下的坐標(biāo)為，如考慮基本單位向量，則在該基下的坐標(biāo)為，可見，同一向量在不同基下的坐標(biāo)是不同的。把向量空間的知識(shí)用于解齊次線性方程組便有下面結(jié)論:定理4.6設(shè)m×n矩陣A的秩r(A)=r,若r<n,則齊次線性方程組AX=0的解空間N(A)的維數(shù)為n-r;若r=n,則N(A)=0,即AX=0只有零解. 練習(xí)4.41.判斷下列向量的集合是否構(gòu)成向量空間（1）.平面直角坐標(biāo)系中上半平面所有向量的

36、集合。（2）.。（3）.。（4）.。（5）.齊次線性方程組Ax=0的全體解向量的集合。（6）.非齊次線性方程組Ax=b的全體解向量的集合。2.設(shè)向量空間，求的一組基及維數(shù)。3.證明是的一組基，求在這組基下的坐標(biāo)。第四章 內(nèi)容小結(jié)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：向量組的秩與極大無關(guān)組的概念與求法。難點(diǎn)：線性相關(guān)性的有關(guān)證明。一、基本概念：向量組的線性組合（表示）、線性相關(guān)、無關(guān)，兩向量組等價(jià)，向量組的極大無關(guān)組與秩；基礎(chǔ)解系，解空間，向量空間，基底，維數(shù)，坐標(biāo)。二、基本內(nèi)容：向量組的線性關(guān)系（一）.線性組合判斷是線性組合通常有兩個(gè)方法1）.定義法；2）.解非齊次線性方程組法。令，解判其是否為線性組合。（二）.

37、線性相關(guān)無關(guān)1.線性相關(guān)性的判定線性相關(guān)性的判定通常有下面幾個(gè)方法：1）.定義法；2）.解齊次線性方程組法。令，解看其是有非零解。3）.用初等變換求矩陣的秩。4）.利用線性相關(guān)性有關(guān)性質(zhì)。2.線性相關(guān)性有關(guān)性質(zhì)1）.一個(gè)零向量線性相關(guān)，一個(gè)非零向量線性無關(guān)。2）.兩個(gè)向量線性相關(guān)（無關(guān)）的充要條件是對(duì)應(yīng)分量成比例（不成比例）。3）.個(gè)維向量線性相關(guān)（無關(guān)）的充要條件是其組成的行列式（）。4）.部分相關(guān)則全體相關(guān)（全體無關(guān)則部分無關(guān)）。5）.個(gè)維向量當(dāng)時(shí)必線性相關(guān)（當(dāng)向量組含向量的個(gè)數(shù)超過維數(shù)必線性相關(guān)）。6）.如果向量組線性相關(guān)，則其任意截?cái)嘞蛄拷M必線性相關(guān)（如果向量組線性無關(guān)，則其任意延長(zhǎng)向

38、量組必線性無關(guān)）。3. 線性相關(guān)與線性組合的關(guān)系1）.線性相關(guān)其中至少有某一向量是其余向量的線性組合。2）.線性無關(guān)，線性相關(guān)，則可由線性表示，且表示的系數(shù)唯一。3）.若向量組可由向量組線性表示，且，則線性相關(guān)。（三）.極大無關(guān)組、秩（1）.向量組的極大無關(guān)組的等價(jià)命題1）.線性無關(guān)，中任意個(gè)向量線性相關(guān)。2）.線性無關(guān)，中任一向量可由線性表示。極大無關(guān)組有兩個(gè)最基本的特點(diǎn)是線性無關(guān)性；極大性，它標(biāo)明向量組中線性無關(guān)（獨(dú)立）的且含個(gè)數(shù)達(dá)到最大的子向量組。通常情況使用定義2）較為方便。（2）.極大無關(guān)組及秩的求法1）.定義法（擴(kuò)充向量法）；2）.初等變換法，即將按列排成矩陣，施以行初等變換化為行

39、階梯形，由的列極大無關(guān)組反寅得的列的極大無關(guān)組。如果進(jìn)一步化成行最簡(jiǎn)形，還可由將最簡(jiǎn)形中其余向量用極大無關(guān)組線性表示。通過反寅可將中列的其它向量用極大無關(guān)組線性表示。（四）.向量空間主要搞清向量空間的定義，結(jié)構(gòu)（基底、維數(shù)），子空間、生成子空間，并對(duì)線性方程組的結(jié)構(gòu)進(jìn)行討論。（五）.線性方程組解的結(jié)構(gòu)（1）.求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，即的一組基；亦即中極大線性無關(guān)向量組。為矩陣，則。（2）.非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)的一般解等于對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一般解加上的一個(gè)特解，即。的任意兩解之差是的解。（3）.有解的判別有解是的個(gè)列的線性表示。綜合練習(xí)四1.填空題（1）.線性相關(guān)，則= 。（2）.的

40、一個(gè)極大無關(guān)組為 ，向量組的秩為 。（3）.設(shè)維方陣的每一行元素之和等于零，則齊次線性方程組Ax=0的通解為 。（4）.是的一組基，= 。2.判斷題（1）.向量組線性無關(guān)的充要條件是零向量由此向量組的線性表示是唯一的。（2）.為階方陣，則中至少有一行（列）向量是其余行（列）向量的線性組合。（3）.為矩陣，則非齊次線性方程組Ax=b有唯一解。（4）.為階方陣，則對(duì)任一維列向量b，使非齊次線性方程組Ax=b有解，則。3.計(jì)算題（1）.取何值，線性方程組有唯一解；無解；無窮多解？并求有無窮多解時(shí)的通解。（2）.設(shè)向量求參數(shù)的值，使1）.不能表示成的線性組合。2）.可唯一表示成的線性組合。3）.可表示

41、成的線性組合，但表示法不唯一，并寫出線性組合表示式。（3）.設(shè)非零三階矩陣三個(gè)列是下面齊次線性方程組的解，求參數(shù)及。（4）.在中求一個(gè)非零向量，使它在下面兩組基下坐標(biāo)相同1）.2）.4.證明題（1）.若向量組線性相關(guān)，而其中任個(gè)向量線性無關(guān)，證明要使成立，則必全不為零或全為零。（2）.設(shè)階方陣及非零維列向量，若有，證明向量組是線性無關(guān)的。（3）.設(shè)齊次線性方程組與同解，證明。（4）.設(shè)是非齊次線性方程組的4個(gè)不同的解，為階方陣，證明1）. 的解空間的維數(shù)為2.2）.向量組線性相關(guān)。（5）. 設(shè)，且證明。§4.5 應(yīng)用與MATLAB計(jì)算一、應(yīng)用例4.5.1某調(diào)料公司用7種成分來制造多種

42、調(diào)味品。以下表格列出了6種調(diào)味制品A、B、C、D、E、F每包所需各成分的量（以盎司為單位)：ABCDEF紅辣椒31.54.57.594.5姜黃240816胡椒l20423歐蒔蘿l20413大蒜粉0.5l0221.5鹽0.510221.5丁香油0.250.502l0.75(1)一個(gè)顧客為了避免購(gòu)買全部6種調(diào)味品，他可以只購(gòu)買其中的一部分并用它配制出其余幾種調(diào)味品。為了能配制出其余幾種調(diào)味品，這位顧客必須購(gòu)買的最少的調(diào)味品的種類是多少?寫出所需最少的調(diào)味品的集合。(2) (1)中得到的最小調(diào)味品集合是否唯一?你能否找到另一個(gè)最小調(diào)味品集合? (3) 利用你在(1)中找到的最小調(diào)味的集合，按下列成分

43、配制一種新的調(diào)味品： 紅辣椒 18 姜黃 18 胡椒 9 歐蒔蘿 9 大蒜粉 4.5 鹽 4.5 丁香油 3.25 寫下每種調(diào)味品所要的包數(shù)(4).6種調(diào)味品每包的價(jià)格如下：(人民幣：元) A B C D E F 2.30 1.15 1.00 3.20 2.50 3.00 利用(1)、(2)中所找到的最小調(diào)味品集合，計(jì)算(3)中配制的新調(diào)味品的價(jià)格。(5).另一個(gè)顧客希望按下列成分表配制一種調(diào)味品： 紅辣椒 12 姜黃 14 胡椒 7 歐蒔蘿 7 大蒜粉 35 鹽 35 丁香油 175 他要購(gòu)買的最小調(diào)味品集合是什么?(6).在這個(gè)大題目中，總共用到了哪些知識(shí)點(diǎn)，請(qǐng)列出它們。 解：若分別記6種調(diào)味品各自的成分列向量為，則 (1)、依題意，本小題實(shí)際上就是要找出的一個(gè)極大無關(guān)組記，可對(duì)M作初等行變換，將其化成行最簡(jiǎn)形，容易得到向量組的秩為4，且極大無關(guān)組有6個(gè)：；。但由于問題的實(shí)際意義，只有當(dāng)其余兩個(gè)向量在由該極大無關(guān)組線性表示時(shí)的系數(shù)均為非負(fù)，才切實(shí)可行。 由于取為最大無關(guān)組時(shí)，有 ：可以用B、C、D、E四種調(diào)味品作為最小調(diào)味品集合 (2)、由(1)中的分析，及在極大無關(guān)組中的不可替代性，極大無關(guān)組中另兩個(gè)向量只能從中推選，而從用的線性表達(dá)式可以看出，任何移項(xiàng)的動(dòng)作都將會(huì)使系數(shù)變成負(fù)數(shù)，從而失去意義故而，(1)中的最小調(diào)味品集合唯一。 (3) 記，則問題轉(zhuǎn)