利用正余弦定理解三角形資料

1、復習課：解三角形棗莊十八中秦真教學目標重點：能夠運用正弦定理余弦定理并結合三角形有關知識解決與三角形面積,形狀有關的問題.難點：如何選擇適當?shù)亩ɡ?公式,方法解決有關三角形的綜合問題水平點：定理公式方法的適中選取,培養(yǎng)學生自主解決問題的水平教育點：提升學生的認知水平,為學生塑造良好的數(shù)學熟悉結構自主探究點：例題及變式的解題思路的探尋易錯點：在用正弦定理解三角形問題中會出現(xiàn)判斷幾解問題中易出現(xiàn)錯誤學法與教具1.學法：講授法、討論法 一、【知識結構】2.教具：投影儀tr+12 -2frr.cos余弛定理；b2=(2ar4.4Hc: -a-+b-勿尿好科三用形0 b rU型段理-二=-二2KI 匚必

2、 5sjnC利用正1利用定 理.及有關卻識解 決三角形的竦合 問題T應用舉倒I測量距離問題測的描度間窗-濁你角度同感 一| JL何計算問題利用正,余弦定 理及營關知設解 次與二角形行美 的實際問題二川出血做公式二、【知識梳理】1.正弦定理：ab csin B sin C2R,其中R是三角形外接圓半徑2.余弦定理b2 c2 2bc cos A , b2a2 c2 2ac cos B , c2 a2 b2 2accosC.222cos A - , cos B2bc2accosC2ab1 . -bcsin A21.一 acsin 2c c1,3 . S abc absin C24 .在三角形中大邊對

3、大角,反之亦然5 .射影定理： a bcosC ccosB, b acosC ccosA, c acosB bcosA 精品文檔精品文檔6 .三角形內角的誘導公式c(1 ) sin( A B) sin C , cos(A B) cosC , tan C tan( A B) , cos-2tanA+tanB+tanC=tanA tanB tanC;,C A B , 一sin cos,. 在 ABC中,熟記并會證實227.解三角形常見的四種類型(1)兩角A、B與一邊a,由A+B+C=180及b,可求出角C,再求b,c.sin A sin B sin C(2)兩邊b, c與其夾角A,由a2b2c2

4、2bccosA,求出a ,再由余弦定理,求出角B、C.(3)三邊a, b,c,由余弦定理可求出角A、B、C.a b(4)兩邊a、b及其中一邊的對角 A,由正弦te理 ,求出另一邊 b的對角B,由C=tt -(A+B),sin A sin Ba ca b求出c,再由求出C,而通過求B時,可能出一解,兩解或無解的情況,其判sin A sin Csin A sin B斷方法,如下表:A>90°A=90°A<90°a>b一解一解一解a=b無解無解一解a<ba>bsinA兩解無解無解a=bsinA一解a<bsinA無解8.三角形的分類或形

5、狀判斷的思路,主要從邊或角兩方面入手三、【范例導航】題型(一)：正、余弦定理1正弦定理主要有兩個方面的應用：(1)三角形的任意兩個角與一邊,由三角形內角和定理,可以計算出三角形的第三個角,由正弦定理可以計算出三角形的另兩邊；(2)三角形的任意兩邊和其中一邊的對角,應用正弦定理,可以計算出另一邊的對角的正弦值,進而確定這個角和三角形其他的邊和角.2余弦定理有兩方面的應用：(1)三角形的兩邊和它們的夾角可以由余弦定理求出第三邊,進而求出其他兩角；(2)三角形的三邊,利用余弦定理求出一個角,進而求出其他兩角.例1.在 ABC中,a 2后,c 娓 J2, B 45°,求b及A；解析：(1 Q

6、 b222a c一 22.312,62accosB_ 2_ _,6 :22 2,3 ,6 2 cos45,2 2 4,3 .3 182.22求A可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理:_2_2_2b2 c2a22、. 2、622,3解法一：Q cosA b一c 2bc2 2.2 x62A 60a斛法一：Q sin A sin B b2 V 3_sin45 ,2.2又 Q,、6 ,2 2.4 1.4 3.8,2,3 2 1.8 3.6,a c,即 0A 90A 60 變式練習12021湖南文數(shù)7.在4ABC中,角A, B, C所對的邊長分別為 a, b, c,假設/ C=120° , c

7、= J2A. a > bB. a v bC. a= bD. a與b的大小關系不能確定答案：A【命題意圖】此題考查余弦定理,特殊角的三角函數(shù)值,不等式的性質,比擬法,屬中檔題a,那么題型二：三角形面積_ 、萬一_,、 ,一例2.在 ABC中,sinA cosA 上,AC 2, AB 3,求tanA的值和 ABC的面積.2解法一：先解三角方程,求出角 A的值.Q sin A cosA 2 cos(A 45o)c 1 cos(A 45o)-.又 0 A 180 , A 45o 60°, A 105otan A tan(45o 60o)11 ；32 .6 sinA sin105 sin

8、45 60) sin45 cos0 cos45sin60 -S _° ABC11 -AC AB sin A -2322丘庭3 * 5衣憫.4解法二:(由 sin Acos A計算它的對偶關系式sin Acos A的值.sin Acos A 22(sin A cos A)2sin Acos AQ0oA 180o,sin A 0,cos A 0.1另解(sin 2 A -)2(sin A cos A)31 2 sin Acos A 一26 sin A cosA 2+得sin A 一得cos A從而 tan A snA cosA以下解法略去.著重數(shù)學考查運算水平,是一道點評：本小題主要考查

9、三角恒等變形、三角形面積公式等根本知識,三角的根底試題.兩種解法比擬起來,你認為哪一種解法比擬簡單呢?變式練習22021北京理在 ABC中,角A,B,C的對邊分別為a, b, c, B一,cos A - ,b 石.(i)求sinC 35的值；n求ABC的面積.【解析】此題主要考查三角形中的三角函數(shù)變換及求值、誘導公式、三角形的面積公式等根底知識,主要考查根本運算水平.解I A、B、4C為ABC的內角,且B ,cos A , 352C A,sin3sinC sin23小cosA21sinA q 210(n)由(i)sin A又 B ,b J3, 在 ABC,由正弦定理,得3bsin A 6-a.

10、sin B 5.ABC的面積 S labsinC 1 63 5 36上.22 51050題型(三)：正、余弦定理判斷三角形形狀例 3.在 ABC43,假設 2cosBsin A= sinC ,那么 ABC勺形狀一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形答案：C解析：2sin Acos B= sin C =sin (A+ B) =sinAcosB+cosAsinB.sin (A B) = 0, . A= B另解：角化邊點評：此題考查了三角形的根本性質,要求通過觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向,通暢解 題途徑.變式練習3(2021上海文數(shù))18.假設 ABC的三個

11、內角滿足sinA:sin B:sin C 5:11:13 ,那么4 ABC(A) 一定是銳角三角形.(B) 一定是直角三角形.(C) 一定是鈍角三角形.(D)可能是銳角三角形,也可能是鈍角三角形.解析：由 sin A:sin B :sin C 5:11:13 及正弦定理得 a:b:c=5:11:13l2-22由余弦定理得cosC 5-11一13- 0,所以角C為鈍角2 5 11四、【解法小結】1 .解斜三角形的常規(guī)思維方法是：(1)兩角和一邊(如A、RC),由A+B+C =n求C,由正弦定理求a、b;(2)兩邊和夾角(如 a、b、c),應用余弦定理求 c邊；再應用正弦定理先求較短邊所對的角,然

12、后 利用A+B+C =n,求另一角；(3)兩邊和其中一邊的對角(如a、b、A),應用正弦定理求 B,由A+B+C =汽求C再由正弦定理或余弦定理求c邊,要注意解可能有多種情況；(4)三邊a、b、c,應余弦定理求AB,再由A+aC =n,求角 C2 .三角學中的射影定理：在 abc中,b a cosC c cos A,3 .兩內角與其正弦值：在 abc中,A B sin A sin B ,4 .解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況,這時應結合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解.五、【布置作業(yè)】必做題：1. 2021天津理數(shù)7在 ABC中,內角A,B,C的對邊分別是a,b,c,假設

13、a2 b2 J3bc ,sin C 2時sin B ,那么 a=A 30°B 60°C 120°D 15002. 2021湖北理數(shù)3.在 ABC 中,a=15,b=10,A=60 ° ,貝U cosB =A 22 B 2Z2 C 叵 D 包 33333. 2021廣東理數(shù)11.a,b,c分別是 ABC的三個內角 A,B,C所對的邊,假設 a=1,b=J3, A+C=2B,貝U sinC=AC 一4. 2021湖南卷又在銳角 ABC中,BC 1,B 2A,那么的值等于 , AC的取值范圍cos A為22 一5. 2021全國卷I理在 ABC中,內角A、b

14、C的對邊長分別為 a、b、c,a c 2b,且 sinAcosC 3cosAsinC,求 b選做題6. 2021遼寧文數(shù)17本小題總分值12分在 ABC 中,a、b、c分別為內角 A B、C 的對邊,且 2asinA 2b csin B 2c bsin Ci求A的大小；n假設sinB sinC 1,試判斷 abc的形狀.7. 2021陜西文數(shù)17本小題總分值12分第7題在 ABC中, B=45° ,D是BC邊上的一點,AD=10,AC=14,DC=6,求 AB的長.作業(yè)答案1 . A 2. D 3. 14. 2,我向 5. b=46. A=120 I ABC是等腰的鈍角三角形7. AB 5n六、【教后反思