平面問題極坐標(biāo)解.doc

1、平面問題極坐標(biāo)解第七章平面問題的極坐標(biāo)解一.內(nèi)容介紹在彈性力學(xué)問題的處理時，坐標(biāo)系的選擇從本質(zhì)上講并不影響問題的求解，但是坐標(biāo)的選取直接影響邊界條件的描述形式，從而關(guān)系到問題求解的難易程度。對于圓形，楔形，扇形等工程構(gòu)件，采用極坐標(biāo)系統(tǒng)求解將比直角坐標(biāo)系統(tǒng)要方便的多。本章的任務(wù)就是推導(dǎo)極坐標(biāo)表示的彈性力學(xué)平面問題基本方程，并且求解一些典型問題。二.重點(diǎn)1.基本未知量和基本方程的極坐標(biāo)形式； 2.雙調(diào)和方程的極坐標(biāo)形式； 3.軸對稱應(yīng)力與厚壁圓筒應(yīng)力； 4.曲梁純彎曲、楔形體和圓孔等典型問題。知識點(diǎn)極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量極坐標(biāo)下的應(yīng)變分量極坐標(biāo)系的Laplace算符軸對稱應(yīng)力分量軸對稱位移和應(yīng)力表達(dá)

2、式曲梁純彎曲純彎曲位移與平面假設(shè)帶圓孔平板拉伸問題楔形體問題的應(yīng)力函數(shù)楔形體應(yīng)力楔形體受集中力偶作用極坐標(biāo)平衡微分方程幾何方程的極坐標(biāo)表達(dá)應(yīng)力函數(shù)軸對稱位移厚壁圓筒作用均勻壓力曲梁彎曲應(yīng)力曲梁作用徑向集中力孔口應(yīng)力楔形體邊界條件半無限平面作用集中力討論題：楔形體頂端應(yīng)力和無窮遠(yuǎn)應(yīng)力分析p 7.1 平面問題極坐標(biāo)解的基本方程學(xué)習(xí)思路:選取極坐標(biāo)系處理彈性力學(xué)平面問題，首先必須將彈性力學(xué)的基本方程以及邊界條件通過極坐標(biāo)形式描述和表達(dá)。本節(jié)的主要工作是介紹基本物理量，包括位移、應(yīng)力和應(yīng)變的極坐標(biāo)形式；并且將基本方程，包括平衡微分方程、幾何方程和本構(gòu)關(guān)系轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)形式。由于仍然采用應(yīng)力解法，因此應(yīng)力

3、函數(shù)的極坐標(biāo)表達(dá)是必要的。應(yīng)該注意的是坐標(biāo)系的選取與問題求解性質(zhì)無關(guān)，因此彈性力學(xué)直角坐標(biāo)解的基本概念仍然適用于極坐標(biāo)。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1.極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量； 2.極坐標(biāo)平衡微分方程； 3.極坐標(biāo)下的應(yīng)變分量； 4.幾何方程的極坐標(biāo)表達(dá)； 5.本構(gòu)方程的極坐標(biāo)表達(dá)； 6.極坐標(biāo)系的Laplace算符； 7.應(yīng)力函數(shù)。為了表明極坐標(biāo)系統(tǒng)中的應(yīng)力分量，從考察的平面物體中分割出微分單元體ABCD，其由兩個相距d的圓柱面和互成d?的兩個徑向面構(gòu)成，如圖所示。在極坐標(biāo)系中，用 表示徑向正應(yīng)力，用? 表示環(huán)向正應(yīng)力,? 和? 分別表示圓柱面和徑向面的切應(yīng)力，根據(jù)切應(yīng)力互等定理，? ? 。首先推導(dǎo)平衡微分方程的

4、極坐標(biāo)形式?？紤]到應(yīng)力分量是隨位置的變化，如果假設(shè)AB面上的應(yīng)力分量為 和? , 則CD面上的應(yīng)力分量為如果AD面上的應(yīng)力分量為? 和? ，則BC面上的應(yīng)力分量為。同時，體力分量在極坐標(biāo)徑向 和環(huán)向 ?方向的分量分別為F b? 和F b? 。設(shè)單元體的厚度為1，如圖所示，考察其平衡。首先討論徑向的平衡，注意到，可以得到簡化上式，并且略去三階微量，則同理，考慮微分單元體切向平衡，可得簡化上式，可以得到極坐標(biāo)系下的平衡微分方程，即以下推導(dǎo)極坐標(biāo)系統(tǒng)的幾何方程。在極坐標(biāo)系中，位移分量為u，u?，分別為徑向位移和環(huán)向位移。極坐標(biāo)對應(yīng)的應(yīng)變分量為：徑向線應(yīng)變，即徑向微分線段的正應(yīng)變；環(huán)向線應(yīng)變?為環(huán)向微

5、分線段的正應(yīng)變；切應(yīng)變?為徑向和環(huán)向微分線段之間的直角改變量。首先討論線應(yīng)變與位移分量的關(guān)系，分別考慮徑向位移環(huán)向位移u，u?所引起的應(yīng)變。如果只有徑向位移u，如圖所示，借助于與直角坐標(biāo)同樣的推導(dǎo)，可以得到徑向微分線段AD的線應(yīng)變?yōu)椋画h(huán)向微分線段AB=d?的相對伸長為； 如果只有環(huán)向位移u 時，徑向微分線段線沒有變形，如圖所示，環(huán)向微分線段的相對伸長為；將上述結(jié)果相加，可以得到正應(yīng)變分量,下面考察切應(yīng)變與位移之間的關(guān)系。設(shè)微分單元體ABCD在變形后變?yōu)锳BCD，如圖所示，因此切應(yīng)變?yōu)? = + ( - )上式中 表示環(huán)向微分線段AB向 方向轉(zhuǎn)過的角度，即； 表示徑向微分線段AD向? 方向轉(zhuǎn)過的

6、角度，因此；而 角應(yīng)等于A點(diǎn)的環(huán)向位移除以該點(diǎn)的徑向坐標(biāo)，即。將上述結(jié)果回代，則一點(diǎn)的切應(yīng)變?yōu)椤＞C上所述，可以得到極坐標(biāo)系的幾何方程為由于討論的物體是各向同性材料的，因此極坐標(biāo)系的本構(gòu)方程與直角坐標(biāo)的表達(dá)形式是相同的，只要將其中的坐標(biāo)_和y換成 和? 就可以了。對于平面應(yīng)力問題，有對于平面應(yīng)變問題，只要將上述公式中的彈性常數(shù)E， 分別換為就可以。平面問題以應(yīng)力分量形式表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程在直角坐標(biāo)系中為。由于 _+ y= + ?為應(yīng)力不變量，因此對于極坐標(biāo)問題，僅需要將直角坐標(biāo)中的Laplace算符轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)的形式。因?yàn)?，_=cos?，y=sin?，即。將和?和分別對_和y求偏導(dǎo)數(shù)，可得根據(jù)上

7、述關(guān)系式，可得以下運(yùn)算符號則將以上兩式相加，簡化可以得到極坐標(biāo)系的Laplace算符。另外，注意到應(yīng)力不變量，因此在極坐標(biāo)系下，平面問題的由應(yīng)力表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程變換為如果彈性體體力為零，則可以采用應(yīng)力函數(shù)解法求解。不難證明下列應(yīng)力表達(dá)式是滿足平衡微分方程的，這里(，?)是極坐標(biāo)形式的應(yīng)力函數(shù)，假設(shè)其具有連續(xù)到四階的偏導(dǎo)數(shù)。將上述應(yīng)力分量表達(dá)式代入變形協(xié)調(diào)方程，可得顯然這是極坐標(biāo)形式的雙調(diào)和方程。總而言之，用極坐標(biāo)解彈性力學(xué)的平面問題，與直角坐標(biāo)求解一樣，都?xì)w結(jié)為在給定的邊界條件下求解雙調(diào)和方程。在應(yīng)力函數(shù)解出后，可以應(yīng)用應(yīng)力分量表達(dá)式求解應(yīng)力，然后通過物理方程和幾何方程求解應(yīng)變分量和位移分量

8、。7.2 軸對稱問題的應(yīng)力和相應(yīng)的位移學(xué)習(xí)思路:如果彈性體的結(jié)構(gòu)幾何形狀、材料性質(zhì)和邊界條件等均對稱于某一個軸時，稱為軸對稱結(jié)構(gòu)。軸對稱結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分量與? 無關(guān)，稱為軸對稱應(yīng)力。如果位移也與? 無關(guān)，稱為軸對稱位移問題。本節(jié)首先根據(jù)應(yīng)力分量與?無關(guān)的條件，推導(dǎo)軸對稱應(yīng)力表達(dá)式。這個公式有3個待定系數(shù)，僅僅根據(jù)軸對稱應(yīng)力問題的邊界條件是不能確定的。因此討論軸對稱位移，根據(jù)胡克定理的前兩式，得到環(huán)向位移和徑向位移公式，然后代入胡克定理第三式，確定待定函數(shù)。軸對稱問題的實(shí)質(zhì)是一維問題，因此對于軸對稱問題，均可以得到相應(yīng)的解答。應(yīng)該注意的問題是如何確定軸對稱問題。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1.軸對稱應(yīng)力分量； 2.軸

9、對稱位移； 3.軸對稱位移函數(shù)推導(dǎo)； 4.軸對稱位移和應(yīng)力表達(dá)式?？疾鞆椥泽w的應(yīng)力與? 無關(guān)的特殊情況，如圖所示，即應(yīng)力函數(shù)僅為坐標(biāo) 的函數(shù)。這樣，變形協(xié)調(diào)方程，即雙調(diào)和方程成為常微分方程如將上式展開并在等號兩邊乘以4,可得這是歐拉方程，對于這類方程，只要引入變換 =e t，則方程可以變換為常系數(shù)的微分方程，有其通解為：注意到t = ln ，則方程的通解為將上式代入應(yīng)力表達(dá)式，則軸對稱應(yīng)力分量為上述公式表達(dá)的應(yīng)力分量是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱分布的，因此稱為軸對稱應(yīng)力。現(xiàn)在考察與軸對稱應(yīng)力相對應(yīng)的變形和位移。對于平面應(yīng)力問題，將應(yīng)力分量代入物理方程，可得應(yīng)變分量根據(jù)上述公式可見，應(yīng)變分量也是軸對稱的。

10、將上式代入幾何方程，可得位移關(guān)系式對上述公式的第一式的積分，可得其中f（?）為?的任意函數(shù)。將上式代入公式的第二式，則積分后可得這里g（）為 的任意函數(shù)。將徑向位移和環(huán)向位移的結(jié)果代入公式的第三式，則或者寫作上式等號左邊為的函數(shù)，而右邊為? 的函數(shù)。顯然若使上式對所有的 和? 都成立，只有其中F為任意常數(shù)。以上方程第一式的通解為這里H為任意常數(shù)。為了求出f（?)，將方程的第二式對?求一次導(dǎo)數(shù)，可得其通解為。另外，將上述公式分別代入位移表達(dá)式，可得位移分量的表達(dá)式位移分量的表達(dá)式中的A，B，C，H，I，K都是待定常數(shù)，其取決于邊界條件和約束條件。上述公式表明應(yīng)力軸對稱并不表示位移也是軸對稱的。但

11、是在軸對稱應(yīng)力中，假如物體的幾何形狀和外力，包括幾何約束都是軸對稱的，則位移也應(yīng)該是軸對稱的。這時，物體內(nèi)各點(diǎn)的環(huán)向位移均應(yīng)為零，即不論和? 取什么值，都應(yīng)有u?0。因此,B = H = I = K = 0。所以，軸對稱應(yīng)力表達(dá)式可以簡化為而位移表達(dá)式簡化為上述公式當(dāng)然也可以用于平面應(yīng)變問題，只要將E， 分別換為即可。7.3 圓筒受均勻分布壓力的作用學(xué)習(xí)思路:本節(jié)介紹典型的軸對稱問題，厚壁圓筒作用均勻壓力的求解。問題的主要工作是通過邊界條件確定軸對稱應(yīng)力公式中的待定系數(shù)。除了厚壁圓筒作用內(nèi)外壓力，還分析p 了作用內(nèi)壓力的圓筒應(yīng)力分布。這個解答工程上稱為拉梅（Lam）解答，是厚壁圓筒等工程問題的經(jīng)典解答。學(xué)習(xí)要點(diǎn)