2010年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)--第十五講四邊形

1、 第十五講：四邊形 知識(shí)梳理 知識(shí)點(diǎn) 1.四邊形與特殊四邊形的關(guān)系 重點(diǎn)：掌握四邊形與特殊四邊形的關(guān)系 難點(diǎn)：理解關(guān)系，熟練掌握?qǐng)D形知識(shí) （在箭頭上填寫適當(dāng)條件） 知識(shí)點(diǎn) 2.平行四邊形的性質(zhì)、判定 重點(diǎn)：掌握平行四邊形的性質(zhì)、判定 難點(diǎn)：運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)、判定 1. 平行四邊形的性質(zhì) 邊 角 對(duì)角線 對(duì)稱性 平行四邊形 2.平行四邊形的判定: 邊 的四邊形 是平行四 邊形 角 對(duì)角線 例 1.如圖，在ABCD 中，已知對(duì)角線 AC 和 BD 相交于點(diǎn) 0, A0B?勺周長(zhǎng)為 15, AB=6,那么對(duì)角線 AC+BD= _ 解題思路：運(yùn)用平行四邊形的對(duì)角線互相平分， AC+BD=2(AO+

2、BO)=18 例 2 如圖，在口 ABCD 中，E、F?是對(duì)角線 AC 上的兩點(diǎn)，請(qǐng)你 再添加一個(gè)條件，使四邊形 DEBF 是平行四邊形，你添加的 條件是，說明你的理由。 解題思路：運(yùn)用平行四邊形的判定(對(duì)角線互相平分) AE=CF 或 AF=CE 練習(xí) 1.下面命題中，正確的是( ) A. 一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形 2. 平行四邊形的一邊的長(zhǎng)為 101 川,則這個(gè)平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)可以是 ( A.牝用,6峭 B. &朋伽 10曲,12洌 3. 已知：如圖，E、F 是平行四邊行 ABCD 的對(duì)角線 AC 上的兩點(diǎn)，AE=CF 求證： (ADFA CBE (2) EB/

3、DF。 答案：1.D2.D 3. 證明：(1) / AE=CF AE+EF=CF+FEAF=CE 又 ABC 是平行四邊形，二 AD=C,AD/ BC / DAFM BCE 在厶 ADF 與ACBE 中 AF=CE AD=CB DAF= BCE ADFACBE(SAS (2)v ADFA CBE / DFAMBEC.DF/ EBB. 一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形 C.兩組邊分別相等的四邊形是平行四邊 D.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形. ) C.酬阮 D. B 知識(shí)點(diǎn) 3.特殊四邊形的性質(zhì)、判定 重點(diǎn)：掌握特殊四邊形的性質(zhì)、判定 難點(diǎn)：運(yùn)用特殊四邊形的性質(zhì)、判定 1.特殊四邊形的性質(zhì)

4、 邊 角 對(duì)角線 對(duì)稱性 面積公式 矩形 菱形 正方形 梯 形 直 角 梯 形 等 腰 梯 形 2.特殊四邊形的判定: 是矩形 是菱形 是正方形 是等腰梯形 等邊 ABD BCE ACF,請(qǐng)回答下列問題： (1) 四邊形 ADEF 是什么四邊形？寫出理由。 (2) 當(dāng)厶 ABCW足什么條件時(shí)，四邊形 ADEF 是菱形？ (3) 當(dāng)厶 ABC 滿足什么條件時(shí)，以 A D E、F 為頂點(diǎn)的四邊形不存在? 解題思路：解探索性問題，一般借助直觀、直覺或經(jīng)驗(yàn)先猜測(cè)結(jié)論，再結(jié)合條件加以 說明，要注意抓住圖形的特殊性，要得到特殊條件，就要構(gòu)造特殊圖形. 解：(1)四邊形 ADEF 是平行四邊形； ABD B

5、CE為等邊三角形， AB= BD = AD BC= CE = EB, / ABD= / CBE = 60 : :丄 DBE / CBA EBD CBA DE = AC又 ADC為等邊三角形, CF = AF = AC DE = AF. 同理可得AD = EF 四邊形ADEF是平行四邊形 (2)若四邊形 ADEF 為菱形，AD= AF,所以 AB= AC.所以當(dāng) ABC 滿足 AB= AC 時(shí)，四 邊形 ADEF 是菱形; (3) 由(1)得/ BAC=Z BDE= 60 +Z ADE 當(dāng)/ADE= 0 時(shí)，以 A D E、F 為頂點(diǎn) 的四邊形不存時(shí)，此時(shí)，/ BAC= 60.所以當(dāng)/ BAC=

6、 60時(shí)，以 A DE、F 為頂點(diǎn)的四 邊形不存在. 解題思路：特殊四邊形(平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形)的判定一定要熟練例 1 如圖，已知以厶 ABC 的三邊為邊在 BC 的同側(cè)作 例 2如圖，在平行四邊形 ABCD 中, 長(zhǎng)線于點(diǎn)F . (1) 求證：AB = CF ； (2) 當(dāng)BC與AF滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)， 四邊形ABFC是矩形，并說明理由. E為BC的中點(diǎn)，連接 AE并延長(zhǎng)交DC的延 E F F 不能混淆，根據(jù)題目的條件選擇合適的判定方法。 解：（1）證明：四邊形 ABCD是平行四邊形 AB/CD, AB =CD BAE = CFE, ABE 二 FCE E為BC的中點(diǎn)

7、EB = EC =ABE 三.：FCE AB =CF . 解：當(dāng)BC二AF時(shí)，四邊形ABFC是矩形.理由如下：/ AB/CF,AB二CF 四邊形ABFC是平行四邊形 / BC 二 AF 四邊形ABFC是矩形. 例 3 .如圖，在梯形 ABCD 中，AD / BC , AB 丄 AC , B=45： , AD 二、2 , BC=4.2，求 DC 的長(zhǎng). . B C 解題思路：解決梯形問題的常用方法（如下圖所示） 平移對(duì)角線”：使兩條對(duì)角線在同一個(gè)三角形中. “延腰”：構(gòu)造具有公共角的兩個(gè)三角形. “等積變形”：連接梯形上底一端點(diǎn)和另一腰中點(diǎn)，并延長(zhǎng)交下底的延長(zhǎng)線于 解析一：如圖 1，分別過點(diǎn) A

8、, D作AE _ BC于點(diǎn)E , E 圖1 DF BC于點(diǎn)F AE / DF . 又 AD / BC , 四邊形AEFD是矩形. :AB _ AC , B =45 , BC =4 .2 , AB 二 AC . 1 _ AE =EC BC =2、2 . 2 .DF 二 AE = 2 2 , CF 二 ECEF 二 一 2 在 Rt DFC 中， DFC =90：, .DC = . DF2 CF2 二（2、2）2 （ ；2）2 = 10 . 解析 2：如圖 2，過點(diǎn)D作DF / AB，分別交AC, BC于點(diǎn)E, F . 1 分 7 AB _ AC , . AED BAC =90：. 7 AD /

9、BC , . DAE =180； - B - BAC = 45. 在 Rt ABC 中，.BAC =90 , . B = 45：, .AC =BC_si n45 =4丁2 =4 2 在 Rt ADE 中，.AED =90, . DAE =45 , AD = . 2 , .DE =AE -1 . CE 二 AC -AE =3. 在 Rt DEC 中， CED =90 , .DC DE2 CE2 12 32 10 . 練習(xí) 1.如圖，四邊形 ABCD中，AB / CD , AC平分.BAD , CE / AD 交 AB 于 E . 求證：四邊形 AECD是菱形；圖 2 D 3. 在梯形 ABCD

10、中, AB/CD NA = 90, AB=2, BC=3 CD=1 E 是 AD 中點(diǎn)，試判斷 EC 與 EB 的位置關(guān)系，并寫出推理過程。 答案 1.解：AB / CD，即 AE / CD，又CE / AD , .四邊形AECD是平行四邊形. 7 AC平分.BAD , CAE二 CAD ,又 7 AD / CE, ACE = CAD , ACE = CAE , AE 二 CE , .四邊形AECD是菱形. 2.解：過點(diǎn) A 作 AE/ DC 交 BC 于 E,v AD/ BC 二四邊形 AECD 為平行四邊形. AD= EC AE= CD / AB= CD= 7 , AD =5 , BC=

11、12 , BE= BC CE= 12-5 = 7 , AE= CD= AB= 7. ABE 為等邊三角形.故/ B= 60. 3.解：EC _ EB 略證：過點(diǎn) C 作 CF _ AB于 F ,則四邊形 AFC是矩形,在Rt BCF中，可算得CF =2； 2 貝 U AD=CF =2 . 2 ,故 DE=AEAD =才2 2 在 Rt ABE 和 RtLDCE 中, 2 2 2 EB= AE2 AB=6 EC2 二DE2 CD2 =3 2 2 2 EB EC =9 二BC CEB =90 EB EC 最新考題2.如圖，等腰梯形 ABCD 中, AD/ BC, A 5, AB= 7 BC= 12

12、,求/ B 的度數(shù). 本講內(nèi)容是中考重點(diǎn)之一，如特 殊四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯 形）的性質(zhì)和判定，以及運(yùn)用這些知識(shí)解決實(shí)際問題中考中常以選擇題、填空題、解答題 和證明題等形式呈現(xiàn)， 近年的中考中又出現(xiàn)了開放題、 應(yīng)用題、閱讀理解題、學(xué)科間綜合題、 動(dòng)點(diǎn)問題、折疊問題等，這都成了熱點(diǎn)題型，應(yīng)引起同學(xué)們高度關(guān)注 考查目標(biāo)一、圖形的性質(zhì)與判定 例 1 （09 年 南京）如圖，將一張等腰梯形紙片沿中位線剪開，拼成一個(gè)新的圖形，這個(gè)新 的圖形可以是下列圖形中的 A.三角形 B. 平行四邊形 C. 矩形 D. 正方形 _ 解題思路：運(yùn)用梯形的中位線性質(zhì)，熟悉平行四邊形的特性 例 2

13、（ 09 年南京）如圖，在 口 ABCD 中，E、F 為 求證：（） ABFA DCE; （2） 四邊形 ABCD 是矩形. 解題思路：運(yùn)用全等、矩形的判定 .解：（1）： BE=CF, BF=BE+EF,CE=CF+EF, BF=CE. 四邊形 ABCD 是平行四邊形, AB=DC. 在厶 ABF 和厶 DCE 中, / AB=DC,BF=CE,AF=DE, ABFA DCE. （2） 解法一： ABFA DCE / B=Z C, 四邊形 ABCD 是平行四邊形， AB/ CD. / B+Z C=180 / B=Z C=90 所以四邊形 ABCD 是矩形. BC 上的兩點(diǎn)，且 BE=CF A

14、F=DE. 解法二：連接 AC,DB.B2 C2 ABFA DCE. :丄 AFB=Z DEC, / AFC=Z DEB. 在厶 AFC 和厶 DEB 中, / AF=DE, / AFC=Z DEB,CF=BE. AFCA DEB, AC=DB. 四邊形 ABCD 是平行四邊形, 四邊形 ABCD 是矩形. 解題思路： (1 )四邊形 ABCD 是菱形， AB=BC=CD=AD=5AC丄BD,OB = OD,OA = OC=3 OB= - AB2 -OA2 = 4, BD=2 OB=8 AD/CE,AC/DE,.四邊形ACED是平行四邊形 CE = AD = BC=5,DE = AC=6 BD

15、E 的周長(zhǎng)是：BD +BC +CE +DE=8 +10 +6 = 24 (2)證明：T AD/ BC, OBP2 ODQ / OPD2 OQD / OB=ODA BOPA DOQ BP=DQ 考查目標(biāo)二、開放性問題 例 1. (09 年 廣東)如圖所示，在矩形 ABCD 中, AB=12, AC=2Q 兩條對(duì)角線相交于點(diǎn) O.以 OB OC 為鄰邊作第 1 個(gè)平行四邊形 OBB.C，對(duì)角線相交于點(diǎn) A,；再以ABQ AC為鄰邊 作第 2 個(gè)平行四邊形 A1B1C1C，對(duì)角線相交于點(diǎn) O,；再以O(shè).B,、O,C,為 例 3 (09 年廣東)在菱形 ABCD 中，對(duì)角線 D點(diǎn)作 DE/ AC 交E

16、C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E . (1) 求厶 BDE 的周長(zhǎng)； (2) 點(diǎn)P為線段 BC 上的點(diǎn)， 連接 P0 并延長(zhǎng)交 AD 于點(diǎn) Q.求證：BP=DQ. AC 與 BD 相交于點(diǎn) O,AB=5,AC=6 .過 B2 C2 鄰邊作第 3 個(gè)平行四邊形O1B1B2C1依此類推3 (1) 求矩形 ABCD 勺面積； (2) 求第 1 個(gè)平行四邊形 OBBC、第 2 個(gè)平行四邊 形A1B1C1C和第 6 個(gè)平行四邊形的面積。 解題思路 解(1)V 四邊形 ABCD 是矩形，AC=20 AB= 12 / ABC=9 0 o, BC 二、AC2 - AB2 202 -122 = 16 S矩形 ABCD =AB

17、BC=12 16 二192。 (2)VOB / B1C ,OC / BB1，四邊形OB B1C是平行四邊形。 四邊形ABCD是矩形，.OE = OC,.四邊形OE 1 1 ; 2 2 OB1 _ BC , A1B BC =8, OA1 OB1 = - OB A1B 6 1 1 OB1 =2OA1 =12 S菱形 oBBeBC OB1 =2 16 12 = 96 同理：四邊形 ABiGC是矩形， S矩形ABCC 第n個(gè)平行四邊形的面積是： Sn 聲 2 求旋轉(zhuǎn)的角度n . 解題思路: BiC是菱形。 AB * B|G=6 8 = 48 S6 =1|2=12. 例 2 (08 江蘇揚(yáng)州)如圖，正方

18、形 ABCD 繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n后得到正方形AEFG 邊EF與CD交于點(diǎn)0 . (1 ) 以圖中已標(biāo)有字母的點(diǎn)為端點(diǎn)連結(jié) 兩條線段(正方形的對(duì)角線除外)， 要求所 連結(jié)的兩條線段相交且互相垂直，并說明這 兩條線段互相垂直的理由; (2) 若正方形的邊長(zhǎng)為 2cm，重疊部分(四邊形 43 的面積為 - cm , AEOD 3 (1 )連結(jié)的兩條相交且互相垂直的線段是 AO 和 DE 理由如下: AO _ DE 證明：叮在 Rt ADO 與 Rt AEO 中,AD = AE, AO = AO , Rt ADO 如 Rt AEO Z DAO ZOAE (即 AO 平分.DAE ) -AO _ DE

19、(等腰三角形的三線合一) 注：其它的結(jié)論也成立如 GD丄BE . (2) 30： 4、3 /四邊形AEOD的面積為 3 , AD DO 2、3 .三角形ADO的面積 2 3 , DAO =30EAB =30： 考查目標(biāo)三、與函數(shù)綜合 例如圖：梯形 ABCD 中, AD/ BC, / ABC=90 , AD=9 BC=12 AB=6 在線段 BC 上任取 一點(diǎn)P,連接 DP,作射線 PE 丄 DP PE 與直線 AB 交于點(diǎn) E. ( 1)試確定當(dāng) CP=3 時(shí)，點(diǎn) E 的 位置；(2)若設(shè)CP=x BE=y,試寫出 y 關(guān)于自變量 x的函數(shù)關(guān)系式. 解題思路 (1)連接 DP / CP=3 B

20、P=BC- CP=12 3=9 / AD=9 / AD=DP / AD/ DP 四邊形 ABPD 是矩形 DP 丄 BP PE 丄 DP 點(diǎn) E 與點(diǎn) B 重合 (2)過點(diǎn) D 作 DF 丄 BC,垂足為 F, AD=BF=9 AB=DF=67 AD 二 2, DON 當(dāng)點(diǎn) P 在 BF 上: / BPE +/ EPD+Z DPF=180 PE 丄 DP /-Z BPE +/ DPF=90 / DF 丄 BC /Z PDF+Z DPF=90 /Z PDF =Z EPB 過關(guān)測(cè)試 一、選擇題 1 如果要用正三角形和正方形兩種圖案進(jìn)行密鋪，那么至少需要丄 ?） A 三個(gè)正三角形，兩個(gè)正方形 B 兩

21、個(gè)正三角形，三個(gè)正方形 C 兩個(gè)正三角形，兩個(gè)正方形 D 三個(gè)正三角形，三個(gè)正方形 2 使用同一種規(guī)格的下列地磚，不能密鋪的是（ ） A .正六邊形地磚 B .正五邊形地磚 C .正方形地磚 D .正三角形地磚 3. 下面的選項(xiàng)中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ） A .正六邊形 B .平行四邊形 C .正五邊形 D .等邊三角形 4. 已知梯形的上底與下底的比為 2: 5,且它的中位線長(zhǎng)為 14cm則這個(gè)梯形的上，下底的 長(zhǎng)分別為（） A . 4cm, 10cm B . 8cm, 20cm C . 2cm, 5cm D . 14cm, 28cm 5. 如圖 4,如果平行四邊形 ABC

22、D 的對(duì)角線 AC BD 相交于點(diǎn) 0,那么圖中的全等三角形共有 （） A. 1 對(duì) B . 2 對(duì) C . 3 對(duì) D . 4 對(duì)BE PF BP DF / CP=x BP=12- x PF=PC CF=x 3 y X -3 12 -x 6 (6 分) / y - - -(x2 -15x 36) 6 當(dāng)點(diǎn) P 在 CF 上，同理可求得: 1 2 y (x -15x 36) 6 (5) （4） 6順閃連接矩形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是（ ） A 等腰梯形 B 正方形 C 菱形 D 矩形 7.如圖 5, E、F、G H 分別是正方形 ABCD 各邊的中點(diǎn), 面積為 5，則大正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)該是 9.四

23、個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形是（ 使 CE= AC 連結(jié) AE 交 CD 于 F,則 / AFC 的度數(shù)是（ 二、填空題 1. _ 順次連接一個(gè)任意四邊形四邊的中點(diǎn)，得到一個(gè) _ 四邊形. 2. 順次連接對(duì)角線相等的四邊形的各邊中點(diǎn)，所得四邊形是 _ . 3平行四邊形的周長(zhǎng)為 28,兩鄰邊的比為 4: 3, ?則較短的一條邊的長(zhǎng)為 _ . 4. _ 如圖 1,已知： 在 ABCD 中, AB=4cm AD=7cm / ABC 的平分線交 AD?要使中間陰影部分的小正方形的 A . 2.5 B . 3,5 C 5 D . .一 5 8個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于外角和的 倍，則它的邊數(shù)是（ B、6 C、7 D、

24、8 A、2.5 B 120 C 122.5 D 135 B C B F C B、菱形 A、矩形 D、平行四邊形 C、正方形 12.延長(zhǎng)正方形 ABCD 勺一邊 BC 至 E, (5) 于點(diǎn) E,交 CD 的延 長(zhǎng)線于點(diǎn) F,貝 U DF= cm (1) (2) (3) 5如圖 2, 張矩形紙片，要折疊出一個(gè)最大的正方形，小明把矩形的一個(gè)角沿折痕 AE 翻 折上去，使 AB 與 AD 邊上的 AF 重合，則四邊形 ABEF 就是一個(gè)最大的正方形， 他判定方法 是 _ 6. 如圖 3,菱形 ABCD 勺對(duì)角線的長(zhǎng)分別為 2 和 5, P 是對(duì)角線 AC 上任一點(diǎn)(點(diǎn) P 不與點(diǎn) A C 重合)且

25、PE/ BC 交 AB 于 E, ?PF?/ CD?交 AD?于 F, ?則陰影部分的面積是 _ . 三、解答題 1. 如圖 ABC 與厶 CDE 都是等邊三角形，點(diǎn) E、F 分別在 AC BC 上，且 EF/ AB (1) 求證：四邊形 EFCD 是菱形； (2) 設(shè) CD= 4，求 D F 兩點(diǎn)間的距離. 2. 如圖，已知在菱形 ABCD 中, E、F 分別是 BG CD 上的點(diǎn)，？且 CE=CF (1) 求證： ABEA ADF； (2) 過點(diǎn) C 作 CG/ EA 交 AF 于 H,交 AD 于 G,若/ BAE=25,Z BCD=130，求/ AHG 的度數(shù). D 3. 已知梯形 ABCD 中, AD/ BC, AD=2, BC=4 對(duì)角線 AC=5 BD=3, ?試求此梯形的面積. 4 將一張矩形紙片沿直線折疊一次，折痕恰好把矩形分為面積相等的兩部分. (1)這樣的折痕有多少條？( 2)這樣的折痕具有什么