人教版數(shù)學(xué)八年級下冊一組對邊平行且相等巧證平行四邊形

1、人教版數(shù)學(xué)八年級下冊一組對邊平行且相等巧證平行四邊形一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，是判定四邊形是平行四邊形的最常用的判定方法之一，也是平行四邊形判斷時的首選 下面就以 2019 年的考題為例，介紹其應(yīng)用，供學(xué)習(xí)時借鑒一、三角形背景下，探證平行四邊形例 1( .2019 年湖州)如圖 1，已知在 ABC 中，D, E, F 分別是AB,BC, AC 的中點，連結(jié) DF,EF, BF.(1)求證：四邊形 BEFD 是平行四邊形；(2)若/AFB=90, AB=6,求四邊形 BEFD 的周長.1(1)證明：因為D, E, F 分別是 AB,BC AC 的中點，所以DF/ BE, DFBC=

2、BE,2所以四邊形 BEFD 是平行四邊形.1解：因為/ AFB= 90, D 是 AB 的中點，AB=6,所以 DF=DB=DA= AB=3.2所以四邊形 BEFD 是菱形所以四邊形 BEFD 的周長為 12.點評：證明時，有兩個核心要素必須把握精準(zhǔn)：一是三角形的中位線定理，給出的就是一組對邊平行的條件，只需證明其相對即可完成平行四邊形的判定；周長的計算關(guān)鍵是直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半這條重要性質(zhì)的具體運用例 2 (2019 年福建)在 Rt ABC 中，/ ABC=90，/ BAC=30，將 ABC 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn) 一定的角度a得到 AED 點 B C 的對應(yīng)點分別是 E、

3、D.(1)如圖 2,當(dāng)點 E 恰好在 AC 上時，求/ CDE 的度數(shù)；如圖 3,若a=60時，點 F 是邊 AC 中點，求證：四邊形 BFDE 是平行四邊形 解析：在厶 ABC 中，/ ABC=90，/ BAC=30，所以/ BCA=60 由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得， AD=AC / DAC=30 , / EDA=60 所以/ DCA2ADC=75 ,所以/ CDE2ADC-/ EDA=15 (2)據(jù)題意得三角形 BCF 是等邊三角形，所以 BF=BC=DE/BFC=60 .如圖 3，延長 BF, 交 AE 于點 G,交 AD 于點 H,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，AC=AD / CAD=60，所以三角形 ADC 是等

4、邊三 角形，因為 F 是 AC 的中點，所以 DF 丄 AC, / FDA=/ HAG/ FAG=30 .解析：因為/ BFC=/ AFG=60，所以/ AGF=90，所以/ AGF/ DEA 所以 DE/ BF,所以四邊形 BEDF 是平行四邊形.點評：解答時，注意如下幾點：1. 熟練掌握直角三角形的性質(zhì)和斜邊上的中線的性質(zhì)，是解題的第一要素；2. 準(zhǔn)確運用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的第二要素；3. 熟練運用等邊三角形的判定是解題的第三要素；4. 靈活運用平行線的判定定理是解題的第四要素；5. 熟練運用平行四邊形的判定是解題的第五要素二、平行四邊形背景下，探證平行四邊形例 3 (2019 年安徽)如圖

5、 4,點 E 在平行四邊形 ABCD 內(nèi)部，AF/ BE, DF/ CE.(1) 求證： BCEAADF；S(2)設(shè)平行四邊形 ABCD 的面積為 S,四邊形 AEDF 的面積為 T,求 的值.T解析：(1)因為 AF/ BE,所以/ FAD+/ DAB+/ ABE=180 .因為四邊形 ABCD 是平行四邊形， 所以 AD=BCAD/ BC 所以/ EBC+/ DAB/ ABE=18C，所以/ FAD 玄 EBC 同理可證，/ ADF=Z BCE 所以 BCEAADF;(2)連接 EF,因為 BCEAADF,所以 AF=BE 因為 AF/ BE,所以四邊形 ABEF 是平行四邊形，同理可證，

6、四邊形 CDFE 是平行四邊形.所以SABE=SAFE,SCDE=SDFE,所以四邊形 AEDF 的面積為T=SAFE+SDFE=SABE+SCDE，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得CC CSS=2( SABE+SCDE點評：熟練運用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷四邊形ABEF 是平行四邊形，四邊形 CDFE 是平行四邊形是解題關(guān)鍵，看似與平行四邊形無關(guān)，證明的過程卻蘊含著平行四邊形的證明力量和解題智慧 三、正方形背景下，探證平行四邊形例 4 (2019 年海南)如圖 5， 在邊長為 1 的正方形 ABCD 中, E 是邊 CD 的中點， 點 P 是邊 AD 上一點(與點AD 不重合)，射

7、線 PE 與 BC 的延長線交于點 Q.(1)求證：QCE過點 E 作 EF/ BC 交 PB 于點 F,連接 AF,當(dāng) PB=PQ 時，1求證：四邊形 AFEP 是平行四邊形；2請判斷四邊形 AFEP 是否為菱形，并說明理由.V- /A/ L ,E/ X15B圖5 H CG解析：(1) 因為四邊形 ABCD 是正方形，所以 AD/ BG 所以/ PDE=/ GCE, / DPEN CGE 因為 E 是 邊 CD的中點，所以 DE=CE 所以 PDEAQCE(2)1如圖 5， 延長 AF,交 BC 于點 H,連接 PH 因為 EF/ BQ AD/ BQ 所以 EF/ AP,因為 E 是邊 CD

8、 的中點，所以PF=BF,因為四邊形 ABCD是正方形， 所以/ BAP=90 ,所以 AF=PF=BF 所以/ PAF=/ APF,因為 AD/BG 所以/ FBH=Z FHB,所以 FB=FH,所以 AF=PF=BF=F H所以四邊形 ABHP 是矩形,所以 AP=BH PHL BG 因為 PB=PQ 所以 BH=HG 因為 EF 是三角形 PBG 的中位線，所以 EF=BH=HG 所以 EF=AF,所以四邊形 AFEP 是平行四邊形；2四邊形 AFEP 不一定為菱形.理由如下：一1因為 AP 不一定等于 AF,只有當(dāng) AP=BP 時或/ ABP=30 時，才有四邊形 AFEP 為菱形.2

9、點評：解答時，有四個知識點必須熟練運用，一是等腰三角形的三線合一性質(zhì)；二是直角三角形斜邊上的中線定理；三是矩形的判定定理，四是平行四邊形的判定，這里“平行”易證，關(guān)鍵是線段的相等的證明.例 5 (2019 年天水)如圖 6, E, F 分別是正方形 ABCD 的邊 CB DC 延長線上的點，且 BE=CF過點 E 作 EG/ BF,交正方形外角的平分線CG 于點 G,連接 GF.求證：(1)AE 丄 BF；(2)四邊形 BEGF 是平行四邊形.解析：(1) 延長 FB 交 AE 于點 H,因為四邊形 ABCD 是正方形，所以 AB=BC / ABE=/ BCF=90 , BE=CF .所以 BAEACBF,所以/ BAE =ZCBF,AE=BF 因為/ ABH+ZCBF=90 , 所以/ ABH+ZBAH=90，所以/ AHB=90，所以 AE1BF;(2) 如圖 3,延長 AB 到點 M 使得 BE=BM 則ZAME=45，因為 CG 是外角的平分線，所以ZECG=45，所以ZAMEZECG 因為 AB=BC,BE=BM 所以 AM=EC因為 EG