人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第十七章勾股定理的兩個(gè)重要結(jié)論及其應(yīng)用

1、人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)勾股定理的兩個(gè)重要結(jié)論及其 應(yīng)用知識(shí)背景：結(jié)論 1 :如圖 1,直角三角形 ABC 中，/ C=90, DE 垂直平分 AB,若 AC=b BC=a,BE=x,小222則x=b+(a- x).AB圖1 E證明：連接 AE,因?yàn)?DE 垂直平分 AB,所以 AE=BE=x EC=BC-BE=a-x 在直角三角形 AEC2 2 2 2 2 2中，根據(jù)勾股定理得：AE = EC + AC，所以x=b+(a-x).結(jié)論 2 :如圖 2,直角三角形 ABC 中，/ C=90,將厶 ABC 折疊，使點(diǎn) C 恰好落在邊 AB 上,2 2 2與點(diǎn) D 重合， AE 為折痕， 若 AC=b,BC

2、=a,AB=c,BE=x，則x=(c- b)+(a- x).c E B圖2證明：根據(jù)折疊的性質(zhì)得：AD=AC=b EC=BC-BE=a-x=DE BD=AB-AD=c-b,在直角三角形2 2 2 2 2 2BED中，根據(jù)勾股定理得：BE = ED + BD，所以x=(c- b)+(a- x).下面就和同學(xué)們一起走進(jìn) 2014 年中考，聚焦這兩個(gè)結(jié)論的靈活應(yīng)用.一、折疊直角三角形后用結(jié)論，探求折痕與一邊的交點(diǎn)到直角頂點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的距離例 1 如圖 3,在 Rt ABC 中，/ B=90, AB=3, BC=4,將厶 ABC 折疊，使點(diǎn) B 恰好落在邊8AC 上，與點(diǎn) D 重合，AE 為折痕，則 ED

3、=_.8分析：此題是結(jié)論 2 的具體應(yīng)用，只是改變了所求的線段， 但是對(duì)我們的解題思路不會(huì)產(chǎn) 生絲毫的影響.解:根據(jù)折疊可得 BE=ED AD=AB=3 設(shè) EC=x 貝 U BE=ED=BC-EC=4-x 因?yàn)? B=90, AB=3,BC=4,所以在 Rt ABC 中，由勾股定理得，AC=AB2+ BC?=l3?+ 4?=5,2 2 2所以 DC=AC-AD=5-3=2 在RtDC 中，由勾股定理得，x=(5- 3)+(4- x).解得 x=2.5,所以 ED=4-x=1.5 .所以應(yīng)該填 1.5 .點(diǎn)評(píng)：分清折疊以后哪些線段是相等的是解題的關(guān)鍵，選擇恰當(dāng)?shù)闹苯侨切问墙忸}的核心.二、斜邊

4、的垂直平分線為條件用結(jié)論，探求線段的長(zhǎng)度例 2 如圖 4, Rt AB(中, / ABC=90, DE 垂直平分 AC,垂足為 O, AD/ BC,且 AB=3 BC=4,貝 U AD 的長(zhǎng)為_ .分析：如圖 4,連接 AE,問題就化歸為結(jié)論 1,求得 EC 的長(zhǎng)，再利用三角形的全等就得到 AD 的長(zhǎng).2 2 2 2 2 2解：連接 AE,設(shè) AE=EC=x 根據(jù)結(jié)論 1 得到：AE = EB + AB，所以x=3+(4- x),5解得：x= .8因?yàn)?AD / BC,所以/ ADO= / CEO，因?yàn)?DE 垂直平分 AC ,垂足為 O,所以 AO=CO ,85/ AOD= / COE，所以

5、 ADOCEO，所以 AD=CE，所以 AD=點(diǎn)評(píng)：設(shè)未知，把未知當(dāng)已知對(duì)待，轉(zhuǎn)化為結(jié)論1 問題獲解.點(diǎn)評(píng)：正確求出線段 EC 的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，利用平行線和全等三角形傳遞求得所求線段 的長(zhǎng)度是解題能力的一個(gè)綜合反映.三、斜邊的垂直平分線為條件用結(jié)論，探求斜邊的長(zhǎng)度例 3 如圖 5,在 Rt ABC 中，/ ACB=60, DE 是斜邊 AC 的中垂線，分別交 AB AC 于 D E 兩點(diǎn).若 BD=2 則 AC 的長(zhǎng)是()A. 4 B. 4 氣3C. 8 D. 83分析：設(shè) AC=2x 由/ ACB=60，知道/ A=30，所以 BC=x 在直角三角形 ABC 中，根 據(jù)勾股定理得 AB=；_AC2- BC2=;(2x)2- X23X,這樣 AD=CD=AB-BD =3x-2，利用 結(jié)論 1 就可以完成問題的解答.解：設(shè) AC=2x 因?yàn)? ACB=60，所以/ A=30,所以 BC=x 在直角三角形 ABC 中， 根據(jù)勾股定理得 AB=AC2- BC2=,(2x)2- X2=3x，所以 AD=CD=AB-BD=3x-2