2018年廣東省茂名市高考一模數學理

1、2018年廣東省茂名市高考一模數學理一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合A=x|x2-2x-30，B=-1，0，1，2，則AB=( )A.-1，0，1，2B.x|-1x3C.0，1，2D.-1，0，1解析：集合A=x|x2-2x-30=x|-1x3，B=-1，0，1，2，則AB=0，1，2.答案：C2.已知復數z滿足(z-i)i=2+i，i是虛數單位，則|z|=( )A.B.C.D.3解析：由(z-i)i=2+i，得，z=1-i，則.答案：A3.已知變量x，y滿足約束條件，則z=3x+y的最大值為( )A.12B.1

2、1C.3D.-1解析：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：由z=3x+y得y=-3x+z，平移直線y=-3x+z，由圖象可知當直線y=-3x+z，經過點A時，直線的截距最大，此時z最大.由，解得，即A(1，2)，此時zmax=3×3+2=11.答案：B4.設XN(1，1)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形ABCD中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分的點的個數的估計值是( )(注：若XN(，2)，則P(-X+)=68.26%，P(-2X+2)=95.44%)A.7539B.6038C.7028D.6587解析：XN(1，1)，=1，=1.+=2P(-X+)=68.26%，則P(

3、0X2)=68.26%，則P(1X2)=34.13%，陰影部分的面積為：0.6587.正方形ABCD中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分的點的個數的估計值是6587.答案：D5.數學文化算法統(tǒng)宗是明朝程大位所著數學名著，其中有這樣一段表述：“遠看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一”，其意大致為：有一棟七層寶塔，每層懸掛的紅燈數為上一層的兩倍，共有381盞燈，則該塔中間一層有( )盞燈.A.24B.48C.12D.60解析：根據題意，設最底一層有a盞燈，則由題意知從下而上，第一層至第七層的燈的盞數構成一個以a為首項，以為公比的等比數列，又由，解可得a=192，則，即該塔中間一層有24

4、盞燈.答案：A6.甲、乙、丙三人參加某公司的面試，最終只有一人能夠被該公司錄用，得到面試結果以后，甲說：丙被錄用了；乙說：甲被錄用了；丙說：我沒被錄用.若這三人中僅有一人說法錯誤，則下列結論正確的是( )A.丙被錄用了B.乙被錄用了C.甲被錄用了D.無法確定誰被錄用了解析：假設甲說的是真話，即丙被錄用，則乙說的是假話，丙說的是假話，不成立；假設甲說的是假話，即丙沒有被錄用，則丙說的是真話，若乙說的是真話，即甲被錄用，成立，故甲被錄用；若乙被錄用，則甲和乙的說法都錯誤，不成立.答案：C7.函數的部分圖象大致為( )A.B.C.D.解析：f(-x)=-f(x)，可得f(x)為奇函數，排除B，f(1

5、)1，排除A.當x0時，在區(qū)間(1，+)上f(x)單調遞增，排除D.答案：C8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，那么輸出的S值是( )A.B.-1C.2018D.2解析：依題意，執(zhí)行如圖所示的程序框圖可知：初始S=2，當k=0時，S0=-1，k=1時，S1=，同理S2=2，S3=-1，S4=，可見Sn的值周期為3.當k=2007時，S2007=S0=-1，k=2008，退出循環(huán).輸出S=-1.答案：B9.設P是雙曲線 (a0，b0)上的點，F1，F2是其焦點，且PF1PF2，若PF1F2的面積是1，且a+b=3，則雙曲線的離心率為( )A.2B.C.D.解析：方法一：設|PF1|=m，|PF2|=n，

6、由題意得由PF1PF2，PF1F2的面積是1，則mn=1，得mn=2，RtPF1F2中，根據勾股定理得m2+n2=4c2(m-n)2=m2+n2-2mn=4c2-4，結合雙曲線定義，得(m-n)2=4a2，4c2-4=4a2，化簡整理得c2-a2=1，即b2=1，則b=1，由a+b=3，得a=2，所以，該雙曲線的離心率為.方法二：由雙曲線的焦點三角形的面積公式，F1PF2=，由PF1PF2，則F1PF2=90°，則PF1F2的面積，由a+b=3，得a=2，所以，該雙曲線的離心率為.答案：C10.已知ABC的三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若，且a=2.則ABC面積的最大值為

7、( )A.B.C.D.解析：ABC的三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若，且a=2.由于：0A，則：，所以：，解得：，所以：a2=b2+c2-2bccosA，整理得：4=b2+c2+bc，由于：b2+c22bc，所以：bc，則：.答案：B11.三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐外接球的體積為( )A.B.C.D.解析：三棱錐的直觀圖如圖，以PBC所在平面為球的截面，則截面圓O1的半徑為，以ABC所在平面為球的截面，則截面圓O2的半徑為球心H到ABC所在平面的距離為，則球的半徑R為，所以球的體積為.答案：A12.定義在R上的奇函數f(x)滿足條件f(1+x)=f(1-x)，當x0，1時，

8、f(x)=x，若函數g(x)=|f(x)|-ae-|x|在區(qū)間-2018，2018上有4032個零點，則實數a的取值范圍是( )A.(0，1)B.(e，e3)C.(e，e2)D.(1，e3)解析：f(x)滿足條件f(1+x)=f(1-x)且為奇函數，函數f(x)=f(2-x)=-f(-x)f(-x)=f(2+x)f(x+4)=f(x)f(x)周期為4，當x0，1時，f(x)=x，根據m(x)=|f(x)|與n(x)=ae-|x|圖象，函數g(x)=|f(x)|-ae-|x|在區(qū)間-2018，2018上有4032個零點，即m(x)=|f(x)|與n(x)=ae-|x|在0，4有且僅有兩個交點，即

9、eae3.答案：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知a(1，2)，b(-1，)，若ab，則=_.解析：，=-1+2=0，解得=.答案：14.在的展開式中，x2的系數是_.解析：x2的系數=答案：-1015.已知函數(0)在區(qū)間上是增函數，且在區(qū)間0，上恰好取得一次最大值，則的取值范圍是_.解析：=2sinx(1+sinx)-2sin2x=2sinx，即：f(x)=2sinx，是函數含原點的遞增區(qū)間.又函數在上遞增，得不等式組，得，又0，又函數在區(qū)間0，上恰好取得一次最大值，根據正弦函數的性質可知，kZ，即函數在處取得最大值，可得0，綜上，可得.答案：16.從拋物線x2=

10、4y的準線l上一點P引拋物線的兩條切線PA、PB，且A、B為切點，若直線AB的傾斜角為，則P點的橫坐標為_.解析：如圖，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，-1)，則，又，則.由x2=4y，得，切線PA的方程為，切線PB的方程為，即切線PA的方程為，即x12-2x1x+4y0；切線PB的方程為，即x22-2x2x+4y0.點P(x0，-1)在切線PA、PB上，x12-2x1x0-40，x22-2x2x0-40，可知x1，x2是方程x2-2x0x-4=0的兩個根，x1+x2=2x0，得.答案：三、解答題：本大題共5小題，共70分.其中17至21題為必做題，22、23題為選做題.解答過

11、程應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.設正項等比數列an，a4=81，且a2，a3的等差中項為.(I)求數列an的通項公式；(II)若，數列bn的前n項和為Sn，數列cn滿足，Tn為數列cn的前n項和，若Tnn恒成立，求的取值范圍.解析：(I)設等比數列an的公比為q(q0)，由題意得，解得即可得出.(II)由(I)得，利用求和公式可得Sn，利用裂項求和方法可得Tn，再利用單調性即可得出.答案：(I)設等比數列an的公比為q(q0)，由題意，得解得所以ana1qn-13n(II)由(I)得.，若n恒成立，則 (nN*)恒成立，則max，所以.18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC底面A

12、BCD，ADBC，AD=2BC=2，PC=2，ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E是PD的中點.(I)求證：平面EAC平面PCD；(II)求直線PA與平面EAC所成角的正弦值.解析：(I)推導出PCAC，ACCD，從而AC平面PCD，由此能證明平面EAC平面PCD. (II)解法1：作PHEC，則PH平面EAC，從而PA與平面EAC所成角為PAH，由此能出直線PA與平面EAC所成角的正弦值.解法2：由PC底面ABCD，建立空間直角坐標系，利用向量法能出直線PA與平面EAC所成角的正弦值.答案：(I)PC底面ABCD，AC底面ABCD，PCAC，由題意可知，ADBC，且AD=2BC=2ABC

13、是等腰直角三角形，CD2+AC2=AD2，即ACCD，又PCCD=C，AC平面PCD，AC平面EAC，平面EAC平面PCD.(II)解法1：由(1)得平面EAC平面PCD，平面EAC平面PCD=EC，作PHEC，則PH平面EAC，PA與平面EAC所成角為PAH，在RtPAC中，PA=，在RtPHC中，sinPCE=，PH=PCsinPCE，直線PA與平面EAC所成角的正弦值為23.解法2：PC底面ABCD，則建立如圖所示的直角坐標系，則P(0，0，2)，C(0，0，0)，A(0，0)，D(，0，0)，E(，0，1).設平面EAC的法向量為=(x，y，z)，則，即，令z=1，解得記直線PA與平面

14、EAC所成角為，則，所以直線PA與平面EAC所成角的正弦值為.19.交強險是車主必須為機動車購買的險種，若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用(基準保費)統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時，實行的是費率浮動機制，保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數越多，費率就越高，具體浮動情況如表：交強險浮動因素和浮動費率比率表浮動因素浮動比率A1上一個年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮10%A2上兩個年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮20%A3上三個及以上年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮30%A4上一個年度發(fā)生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責任

15、道路交通事故上浮10%A6上一個年度發(fā)生有責任道路交通死亡事故上浮30%某機構為了解某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了100輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計如下表：類型A1A2A3A4A5A6數量201010302010以這100輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題：(I)按照我國機動車交通事故責任強制保險條例汽車交強險價格的規(guī)定，a=950(元)，記X為某同學家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時的費用，求X的分布列與數學期望；(II)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車，假設

16、購進一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元：若該銷售商購進三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率；若該銷售商一次購進100輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求該銷售商獲得利潤的期望值.解析：(I)由題意可知：X的可能取值為0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a，由統(tǒng)計數據分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數學期望.(II)由統(tǒng)計數據可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故車的概率為，由此能出三輛車中至多有一輛事故車的概率.設Y為該銷售商購進并銷售一輛二手車的利潤，Y的可能取值為-5000，10000，分別求出相應的概率，由此

17、能求出Y的分布列和該銷售商一次購進100輛該品牌車齡已滿三年的二手車獲得利潤的期望值.答案：(I)由題意可知：X的可能取值為0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a，(1分)由統(tǒng)計數據可知：P(X0.9a)，P(X0.8a)，P(X0.7a)，P(Xa)，P(X1.1a)，P(X1.3a).X的分布列為：X0.9a0.8a0.7aa1.1a1.3aP(II)由統(tǒng)計數據可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故車的概率為，三輛車中至多有一輛事故車的概率為設Y為該銷售商購進并銷售一輛二手車的利潤，Y的可能取值為-5000，10000，P(Y=-5000)=，P(Y=10000)=，Y

18、的分布列為：Y-500010000P所以該銷售商一次購進100輛該品牌車齡已滿三年的二手車獲得利潤的期望值為100EY=550000元=55萬元.20.已知橢圓C1：(ab0)的一個焦點為F1(0，)，且經過點P().(I)求橢圓C1的標準方程；(II)已知橢圓C2的中心在原點，焦點在y軸上，且長軸和短軸的長分別是橢圓C1的長軸和短軸的長的倍(1)，過點C(-1，0)的直線l與橢圓C2交于A，B兩個不同的點，若，求OAB面積取得最大值時直線l的方程.解析：(1)由已知可得|PF1|、|PF2|的值及橢圓焦距，再由橢圓定義求得a，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；(2)設橢圓C2的方程為，A(

19、x1，y1)，B(x2，y2)，由題意設直線l方程為y=k(x+1)(A，B，O三點不共線，故k0)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，借助于向量等式及根與系數的關系可得.則OAB的面積為SOAB=SAOC+SBOC，化為含有k的代數式，利用基本不等式求最值，進一步得到直線l的方程.答案：(1)設橢圓C1的另一個焦點為F2(0，)，由題意可得，PF1F2為直角三角形，則|PF1|，|F1F2|，由橢圓的定義得，即a=3，又由b2+c2=a2，得b=2，橢圓C1的標準方程；(2)設橢圓C2的方程為，A(x1，y1)，B(x2，y2).1，點C(-1，0)在橢圓內部，直線l與橢圓必有兩個不同的交點.當直線l

20、垂直于x軸時，(不是零向量)，不合條件；故設直線l方程為y=k(x+1)(A，B，O三點不共線，故k0)，由，得.，而點C(-1，0)，(-1-x1，-y1)=2(x2+1，y2)，即y1=-2y2，則y1+y2=-y2，.OAB的面積為SOAB=SAOC+SBOC .上式取等號的條件是，即時，OAB的面積取得最大值.直線l的方程為或.21.已知函數(aR).(I)討論g(x)的單調性；(II)當時，函數在其定義域內有兩個不同的極值點，記作x1，x2，且x1x2，若m1，證明：.解析：()求出函數的導數，需要分類討論，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間；()先求出f(x)=，求導，欲證等

21、價于要證：，等價于證明，等價于證明，t(0，1)，再構造函數，利用導數，求出函數的最值即可證明.答案：(I)(aR)，方程2x2+x-a=0的判別式=1+8a，當a-時，0，g(x)0，g(x)在(0，+)為增函數，當a-時，0，方程2x2+x-a=0的兩根為，當-a0時，x1x20，g(x)在(0，+)為增函數，當a0時，x10x2，g(x)在(x2，+)為增函數，在(0，x2為減函數，綜上所述：當a0時，g(x)的增區(qū)間為(0，+)，無減區(qū)間，當a0時，g(x)的增區(qū)間為(x2，+)，減區(qū)間(0，x2，(II)證明：，所以f'(x)=lnx-ax因為f(x)有兩極值點x1，x2，所

22、以lnx1=ax1，lnx2=ax2，欲證等價于要證：，即1+mlnx1+mlnx2，所以1+mlnx1+mlnx2=ax1+max2=a(x1+mx2)，因為m1，0x1x2，所以原式等價于要證明：.又lnx1=ax1，lnx2=ax2，作差得，所以所以原式等價于要證明：，令，t(0，1)，上式等價于要證：，t(0，1)，令，所以，當m1時，h(t)0，所以h(t)在(0，1)上單調遞增，因此h(t)h(1)=0，所以在t(0，1)上恒成立，所以原不等式成立.請考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，作答時，請用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑.選修4-4：坐標系與參數方程選講22.在直角坐標系xOy中，直線l傾斜角為，其參數方程為(t為參數)，在以原點O為極點，x軸非負半軸為極軸的極坐標系中(取相同的長度單位)，曲線C的極坐標方程為-4cos=0.(I)若