電磁場計算題

1、r0時,r。時,|則有:-Er dSr Er 2 rl 丄 有:Sl- - - 0 2 0r2、例2.2.6 （ p39）圓柱坐標(biāo)系中，在r 2m與r 4m之間的體積內(nèi)均勻分布有電荷，其電荷密度為 斯定律求各區(qū)域的電場強度。解：由于電荷分布具有軸對稱性，因此電場分布也關(guān)于z軸對稱，即電場強度在半徑為r的同軸圓柱面上，其值相等，方向在 r方向上?，F(xiàn)作一半徑為SEdSSEr arar dSrEr/C m 3。利用高當(dāng)2mr，長度為l的同軸圓柱面,2m 時，有 SE dS Er2 rL0，即 Err 4m 時，有 E dSSErrLL(r24），因此，巳27（；當(dāng) r 4m 時，有.e d S Er

2、S112L，即 Eror3、例2.3.1（ P41）真空中，電荷按體密度0(1 一a分布在半徑為a的球形區(qū)域內(nèi)，其中0為常數(shù)。試計算球內(nèi)、重要習(xí)題例題歸納第二章靜電場和恒定電場一、例題：1、例224 （ P38）半徑為r0的無限長導(dǎo)體柱面，單位長度上均勻分布的電荷密度為。試計算空間中各點的電場強度。解：作一與導(dǎo)體柱面同軸、半徑為r、長為|的閉合面s，應(yīng)用高斯定律計算電場強度的通量。由于導(dǎo)體內(nèi)無電荷，因此有 e d S 0，故有E 0，導(dǎo)體內(nèi)無電場。S由于電場只在r方向有分量，電場在兩個底面無通量，因此外的電場強度和電位函數(shù)。解：（1 ）求場強： 當(dāng)r a時，由高斯定律得E2 d S 4 r2E

3、2S 22而Q為球面S包圍的總電荷，即球形區(qū)域內(nèi)的總電荷。因此E2sE1ar(r)4 r2dr2 0a315 0r2d S 4 r2E10a0(r4)dr a1530a(r)4r2dr因此3E10 r r ar-°(2)0 3 3a2球電位；a時，取無窮遠的電位為零,2(r)E2 drr得球外的電位分布為2 °a315 °ra時，即球面上的電位為2 °a2S 15 01(r)aS rE120 a(7022.4.1 ( P48)4、例面束縛面電荷密度。解：在球坐標(biāo)系中，由于極化強度中與有關(guān)，具有球?qū)ΨQ性，故12 mP （r r ） （m r r圓心在原點，

4、半徑為 R的介質(zhì)球，其極化強度 Prm（m0）。試求此介質(zhì)球束縛體電荷密度和球表當(dāng)r R時，pm 12)r當(dāng) r R時，pS nPar ar RmRm5、例242 （ P49）有一介質(zhì)同軸傳輸線，內(nèi)導(dǎo)體半徑為r 1cm，外導(dǎo)體半徑r3 1.8cm。兩導(dǎo)體間充滿兩層均勻介質(zhì)，它們分界面的半徑為r2 1.5cm，已知內(nèi)、外兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為1 4 °, 2 7 0 ;擊穿電場強度分別為 E1m 120k V / cm E2m 100kV /cm問：（1 ）內(nèi)'外導(dǎo)體間的電壓U逐漸升高時，哪層介質(zhì)被先擊穿？（ 2）此傳輸線能耐 的最高電壓是多少伏？解：當(dāng)內(nèi)、外導(dǎo)體上加上電壓 u，

5、則內(nèi)外導(dǎo)體上將分布l和 |的電荷密度。由于電場分布具有軸對稱性，在與傳輸線同選同軸的柱面作為高斯面，根據(jù)高斯定律可得軸的半徑為r的柱面上，場的大小相等，方向在 ar方向0r0rr b 時，D1r1或Erl8 orr 3 時，d2r2可以看出，兩層介質(zhì)中電場都在內(nèi)表面上最強， 處場強最大為l。14 °rL或r且在分界面上不連續(xù)，這是在分界面上存在束縛電荷的緣故。 在介質(zhì)1中，rE.2rr 時，E" dEm1 r28 oh在介質(zhì)2中，r處場強最大為Em2rl222l1402由于r2n，顯然E2rEr，在兩種介質(zhì)中最大場強的差值為:m1 rEm2rl l1)80r 114 0r2

6、140r2 4r1代入*和2的值得m1 rEm2rEm2r(j 1)1.625 Em2r4r1當(dāng)介質(zhì)2內(nèi)表面上達到100kV / cm的電場強度時，介質(zhì)1內(nèi)表面已達到162.5kV /cm的電場強度，因此，介質(zhì) 1在介質(zhì)2被 擊穿前早已被擊穿。而當(dāng)介質(zhì) 1內(nèi)表面上達到擊穿電場強度時Em1 r120kV/cm2 山 801i2因此，介質(zhì)1和介質(zhì)4 1201內(nèi)的電場分布為E1ri8 or空 kV/cm rl2 2故，傳輸線上的最大電壓不能超過E2r14orkV/cm7rr2UmE1d1r3E2rdr2迴dr1r俺d2 7r120r1ln 乜17261.16kV6、例2.7.1（ P59 ）半徑為R

7、的導(dǎo)體球上帶電量為Q，試計算空間中的電場分布、電位分布和靜電能量。解：當(dāng)r R時，對于導(dǎo)體球，球內(nèi)無電場，球面為等位面。當(dāng) R時，利用高斯定律，電場強度為ErQ40r2電位分布為球面上的電位為1 4 此導(dǎo)電球儲存的靜電能為1 weq2而空間任一點的能量密度為靜電場儲存的靜電能為二、習(xí)題2.20 (本題與例2.3.1電場強度。Q20E232Q22Wedr旦J8 0R同類型）半徑為a的帶點球，其體電荷密度為0rn（n 0），0為常數(shù)，求球內(nèi)外各處的電位和解:（ 1）求場強，利用高斯定律當(dāng)r a時，.SE, d S 4 r2E,0而Q為球面S包圍的總電荷,因此,Ei即球形區(qū)域內(nèi)的總電荷。n 340r

8、（n 3） 0n i0rar(n 3) oa時,SE2所以,E2d S 4 r2E20n 30aar（n 3）adr00dnor r2 sin4°an 3(n 3) 0求電位，取無窮遠處的電位為零，a時2 or則Edrrar EidrE?dr(n 3) oE2drrn 30a(n 3) 0r2.23如圖所示,內(nèi)導(dǎo)體球半徑為a，外導(dǎo)體球殼內(nèi)半徑為b，外半徑為c，如果內(nèi)導(dǎo)體球帶電量為Q ,外導(dǎo)體球冗不帶電。求:（ 1 ）兩導(dǎo)體上的電荷分布；（2 ）導(dǎo)體內(nèi)外各處的電場強度；（3）導(dǎo)體內(nèi)外各處的電位分布。 解:（ 1 ）內(nèi)導(dǎo)體球帶電量為 Q，由于靜電感應(yīng)，所以外導(dǎo)體球殼內(nèi)表面帶電量為Q ,外

9、表面帶電量為 Q。內(nèi)導(dǎo)體球的電荷體密度為Q_3Q ；外導(dǎo)體球殼的內(nèi)表面電荷面密度34 a為：（2）Q ；外導(dǎo)體球殼外表面電荷面密度為:4 b24 c2求場強，利用高斯定律,QC當(dāng)r a時，球內(nèi)無電場，即e10 ；當(dāng)a r b時，2 Q sE2 dS 4 r E2題2.23圖E2Wk當(dāng)b r c時，無電場，即e30 ；當(dāng)r c時，SE4dS 4隹 20E4（3 ）求電位，取無窮遠處得電位為零, 當(dāng)r a時，當(dāng)a r b時,當(dāng)b r c時,當(dāng)r c時,2.30abc1E1drE2drE3drrabbc2r E2drE3drb3cEqdrcQ3EsdrEqdrrc4 0cQ4E4drr4 r 01半

10、徑為a的介質(zhì)球,其極化強度Q11 1E4dr()c40 ab cQ , 111(-)4 0 rbc一圓心在原點，此介質(zhì)球束縛體電荷密度和球表面束縛面電荷密度。 求球內(nèi)外各點的電位。arn /ar (n0）。試求（1）（2）解：（1 ）介質(zhì)球內(nèi)束縛電荷體密度為:12r束縛電荷面密度為:P（2 ）先求介質(zhì)球內(nèi)自由電荷的體密度:pS narar然后求球內(nèi)外各點的場強:(0Ea(nP)2)a時，由于d 0 e1a時，由高斯定律有:SE2 dSQ (n再求球內(nèi)外各點的電位: 當(dāng)ra時,4 r2E22)aE1drrEiE2dra時,E2drrn 3 a 7(2.31(略)一、例題計算真空中半徑為解:由真空

11、中安培環(huán)路定律，在rR處，有B d l 2 rBC在rR處，有.B dl 2 rBC1、例 4.2.1(P050I/ 2(r ar所以,sin drda(an 1(n 1)(0) r(nm 12)arE1arnar4 an3，所以:E2ar0）第四章恒定磁場R的長直圓柱形載流銅導(dǎo)線的磁場。°lr2 R20I2 r2、例4.2.2（ R06 ）在無限長柱形區(qū)域1m r3m中，沿縱向流動的電流，其電流密度為Jaz 5e 2r，其他地方電流密度J 0。求各區(qū)域中的磁感應(yīng)強度。 解：利用安培環(huán)路定律，有：B d l 2 rBC0I（其中丨為回路C圍成的面積上穿過的電流強度）當(dāng) r 1m 時，

12、I o，貝U B 0 當(dāng)1m r 3m時，2rIJ d S0 15(r1 2r2)6152 Ae A2，B0 I2 r5 0(2r1)e2r 15 0e4r4r當(dāng)r 3m時，23IJ d S356 e15e 2A，BJ I35 0 e615 0e 2T0 1222 r4r4r3、例 4.5.1(P117)同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的半徑為b,外導(dǎo)體的厚度忽略不計。并設(shè)導(dǎo)體的磁導(dǎo)率是導(dǎo)體間充滿磁導(dǎo)率為的均勻介質(zhì)，內(nèi)、外導(dǎo)體分別通以大小都等于|但方向相反的電流，求各處的 H和B2t內(nèi)、外解:由安培環(huán)路定律：h d Ij d S可知IS當(dāng)0r a時，52，即 H 丄 r 和 B2 a20 I當(dāng)a

13、r b時，即I禾廿IH d I H 2 r I 'HIB2 r2 r當(dāng)rb時，0.:H dl H 2r 0,由對稱性可知,4、例 4.5.2(P117無限長鐵質(zhì)圓管中通過電流|，管的內(nèi)、外半徑分別為a和b。已知鐵的磁導(dǎo)率為，求管壁中和管內(nèi)、求B :b時,則有:時,則有:a時,iHiHa22I22T(b a )(r2a2)r2 b2 aI禾廿B r0H2a2a H di求鐵中的磁化強度：r b的管壁空間內(nèi)有磁化強度為0由對稱性可知,0.BM a ( H) a (_ 1)0r2 rb2a2 I a2 27故管壁內(nèi)的磁化體電流為在分界面raz （1）0a時r b處的磁化面電流為在ra 處：J

14、ms M b處：Jms Mms5、例 4.6.1（ P120）如圖和鐵心的磁導(dǎo)率a2)I1）-2 b4.6.3所示，鐵芯環(huán)的內(nèi)半徑為軸半徑r0,環(huán)的橫截面半徑為矩形，且尺寸為d h。已知a h0，磁環(huán)上繞有N匝線圈，通以電流為丨。試計算環(huán)中的B、H和。Nb / .&a(a)r°tN(b)外中的B，并計算鐵中的磁化強度 M和磁化電流分布。 解: （ 1） 當(dāng)a圖 4.6.3解：在忽略環(huán)外漏磁的條件下，環(huán)內(nèi)h的環(huán)積分為H d liH 2 rb NIHJo"鐵心環(huán)內(nèi)的磁通為NINIdhS2 ro2 roNI270當(dāng)磁環(huán)上開一很小切口，即在磁路上有一個小空氣隙時，根據(jù)磁通連

15、續(xù)性方程，我們近似地認(rèn)為磁感應(yīng)線穿過空氣隙時仍均勻B Bo，當(dāng)兩個區(qū)域中的磁場強度分布在截面上。由磁場邊界條件可知：鐵心內(nèi)的磁感應(yīng)強度與空氣中的磁感應(yīng)強度相等，即 不同，于是這里t為空氣隙的寬度，且tH (2 r° t) H ot NI2ro，在磁環(huán)內(nèi)，h里，在空氣隙中，Ho巴，代入上式得0BB(2 ro t) t NI0將上式中左邊分子分母同乘以面積S，則上式又可改寫為2 rot(S鐵心和空氣隙中的磁感應(yīng)強度為NINI2 rot2 roBNIS而磁路中h和h o分別為NI o 2 ro ot(o)BiH oNI 2 ro o t( o)B、M及磁化電流分布。o二、習(xí)題4.io 一根

16、通有電流I的長直導(dǎo)線埋在不導(dǎo)電的均勻磁性介質(zhì)中，求出h解：利用安培環(huán)路定律：H d l ICHaI27所以：BH aI2rM旦HHH a(o)Ioo2or所以磁化電流密度：Ir aazIJmM1LorrzoMoJmM naz(o)I2 or4.11 (略)4.17本題與例461解法完全相同，故省略。第五章時變電磁場一、例題1、例題5.4.1 (P14o)已知自由空間中E a esin( t 沿Z方向傳播的行波。z)，求時變電磁場的磁場分量 H，并說明場E和H構(gòu)成了一個解：由麥克斯韋方程Bx y zt0 Ey 0即 ax E°cos( t z)對時間積分可得B ax E° s

17、in( t z)這里積分常數(shù)忽略不計，于是E0Hax0sin( t z)0由此可見，場e和H相互垂直，它們隨時間和空間是按正弦波的方式傳播的，它是一個行波。2、例5.5.1 (P144 )在兩導(dǎo)體平板(z 0,z d)限定的空氣中傳播的電磁波，已知波的電場分量為z式中，k為常數(shù)。E axE0cos( )cos( t kxx)kxd(1 )試求波的磁場分量；(2)驗證波的各場分量滿足邊界條件；(3 )求兩導(dǎo)體表面上的面電荷和面電流密度。解：(1 )由麥克斯韋第二方程H可得0_tEz ax- yayEzxay -kx E0 cos( sin( t kx x) 0d于是H aylE。0cos(# s

18、in(kzay- E° cos( ) cos(0dkxX)dtz d的導(dǎo)體表面上應(yīng)該有電場強度的切向分量 Et和磁感應(yīng)強度的法向分 量B 0。而當(dāng)z 0和z d時，e e E 0和Bz Bn 0，可見電磁波的場分量自然滿足邊界條件。(3 )由導(dǎo)體與空氣的邊界條件可知，在導(dǎo)體的表面上有(2 )由導(dǎo)體與空氣的邊界條件可知，在z 0和S 0 En 和 JS n H0的表面上,n az。0Ez于是Js'z0E0cos( t kxx)kaz ( ay)_2LE°cos( t lx) a0k_LE°cos( t kxX)0d的表面上,a0Ez于是Jsaz) H0 E0

19、 cos( t kx x)k(az) ay 二 E° cos( td0kxx)kax E0 cos( t kxx)0習(xí)題B az5cos t(mT)，滑片的位置由5.1有一導(dǎo)體滑片在兩根平行的軌道上滑動，整個裝置位于正弦時變磁場x 0.35(1 cos t)確定，軌道終端接有電阻R 0.2 ，試求i。 解：磁通量為：B S5cos t 0.2 (0.7 x)cos t 0.7 0.35(1 cos t) 0.35cos t(1 cos t)所以，感應(yīng)電動勢為：dudt故：u i1dd21.75 (cos t cos2 t)RRdtdt1.75sint(12cos t)( mA)5.2

20、 (略)。5.15 (略)5.16本題與例5.5.1解答過程完全相同，故略。5.17（略）。5.22在1和r50的均勻區(qū)域中，有Eaz20 ej( t z)V /m, B如果波長為1.78m，求 和 H m解：由由麥克斯韋方程E_B可得axayay oHmej(t z)TazzEz即ay2Ezx Ezay x?（自己求哈）1.78?（自己求哈）第六章平面電磁波例題6.2.1頻率為100MHz的正弦均勻平面電磁波在各向同性的均勻理想介質(zhì)中沿（z）方向傳播，介質(zhì)的特性參數(shù)為。設(shè)電場只有x方向的分量，即E ax Ex ；當(dāng)t 0z 1m時，電場等于其振幅104V/m，試求:XX ，8m（1 ）該正弦電磁波的E（z,t）和H（ z, t）；（2）該正弦電磁波的傳播速度；（3）該正弦電磁波的平均坡印廷矢量。解：各向同性的均勻理想介質(zhì)中沿（z）方向傳播的正弦均勻平面電磁波可由標(biāo)準(zhǔn)的余弦函數(shù)來表示，即E（z,t） Em cos（ t z ）而波的電場分量是沿 x方向的，因此，波的電場分量可寫成E(z,t) ax Em cos( t z x)式中 Em 10 4V /m。2 f .4 0 04rad / m3再由t0,z'm時,81叫,°)Em104V/m 得(1 )E(zt)H(z,t)464ax 10 cos(2108tayHyay 604Vz T)(V/m)361