高二數(shù)學(xué)第六章不等式

1、2009屆高考復(fù)習(xí)資料高中數(shù)學(xué)不等式部分易錯(cuò)題精選一、選擇題：1設(shè)若0<a<b<c,且f(a)>f(b)>f(c),則下列結(jié)論中正確的是A (a-1)(c-1)>0 B ac>1 C ac=1 D ac>1錯(cuò)解原因是沒有數(shù)形結(jié)合意識(shí),正解是作出函數(shù)的圖象,由圖可得出選D.2設(shè)成立的充分不必要條件是A B C D x<-1錯(cuò)解:選B,對(duì)充分不必要條件的概念理解不清,“或”與“且”概念不清，正確答案為D。3不等式的解集是 【6】A B C D 錯(cuò)解：選B，不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化出現(xiàn)錯(cuò)誤，沒考慮x=-2的情形。正確答案為D。4某工廠第一年的產(chǎn)量為A，第

2、二年的增長率為a,第三年的增長率為b，這兩年的平均增長率為x,則A B C D 錯(cuò)解：對(duì)概念理解不清，不能靈活運(yùn)用平均數(shù)的關(guān)系。正確答案為B。5已知，則2a+3b的取值范圍是A B C D 錯(cuò)解：對(duì)條件“”不是等價(jià)轉(zhuǎn)化，解出a,b的范圍，再求2a+3b的范圍，擴(kuò)大了范圍。正解：用待定系數(shù)法，解出2a+3b=(a+b)(a-b),求出結(jié)果為D。6若不等式ax+x+a0的解集為 ，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（ ）A a-或a B a C -a D a 正確答案：D 錯(cuò)因：學(xué)生對(duì)一元二次不等式與二次函數(shù)的圖象之間的關(guān)系還不能掌握。7已知函數(shù)y=(3x在-1，+）上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（ ）A a-6

3、 B -a-6 C -8a-6 D 8a-6 正確答案：C 錯(cuò)因：學(xué)生忘記考慮定義域真數(shù)大于0這一隱含條件。8已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足x+y+z=0,xyz0記T=,則（ ） A T0 B T=0 C T0 D 以上都非 正確答案： C 錯(cuò)因：學(xué)生對(duì)已知條件不能綜合考慮，判斷T的符號(hào)改為判定 xyz()的符號(hào)。9下列四組條件中，甲是乙的充分不必要條件的是（ ）A 甲 ab，乙 B 甲 ab0，乙 a+bab C 甲 a=b ，乙 ab=2 D 甲 ，乙 正確答案： D 錯(cuò)因：學(xué)生對(duì)不等式基本性質(zhì)成立的條件理解不深刻。10若 f(x)=21，當(dāng)abc時(shí)有f(a)f(c)f(b)則（ ） A a0,

4、b0,c0 B a0,b0,c0 C 22 D 22 正確答案：D 錯(cuò)因：學(xué)生不能應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題。11 已知a,bR，且a>b，則下列不等式中恒成立的是（ ）A.a2>b2B.( ) a <()bC.lg(ab)>0D.>1正確答案：B。錯(cuò)誤原因：容易忽視不等式成立的條件。 12 x為實(shí)數(shù)，不等式|x3|x1|>m恒成立，則m的取值范圍是（ ）A.m>2B.m<2C.m>2D.m<2正確答案：D。錯(cuò)誤原因：容易忽視絕對(duì)值的幾何意義，用常規(guī)解法又容易出錯(cuò)。13已知實(shí)數(shù)x、y滿足x2+y2=1，則(1xy)(1+xy)( )A

5、.有最小值，也有最大值1B.有最小值，也有最大值1C.有最小值，但無最大值D.有最大值1，但無最小值正確答案：B 。錯(cuò)誤原因：容易忽視x、y本身的范圍。14若a>b>0，且>，則m的取值范圍是（ ）A. mR B. m>0 C. m<0 D. b<m<0正確答案：D 。錯(cuò)誤原因：錯(cuò)用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)。15已知，則是的（）條件A、充分不必要B、必要不充分C、既不充分也不必要D、充要正確答案：D錯(cuò)因：不嚴(yán)格證明隨便判斷。16如果那么的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、正確答案：B錯(cuò)因：利用真數(shù)大于零得x不等于60度，從而正弦值就不等于，于是就選了D.其實(shí)x等

6、于120度時(shí)可取得該值。故選B。17設(shè)則以下不等式中不恒成立的是 （ ）A B C D正確答案：B18如果不等式（a>0）的解集為x|mxn，且|m-n|=2a，則a的值等于（ ）A1 B2 C3 D4正確答案：B19若實(shí)數(shù)m，n，x，y滿足m2+n2=a，x2+y2=b（ab），則mx+ny的最大值為（ ） A、 B、 C、 D、 答案：B 點(diǎn)評(píng)：易誤選A，忽略運(yùn)用基本不等式“=”成立的條件。20數(shù)列an的通項(xiàng)式，則數(shù)列an中的最大項(xiàng)是（ ） A、第9項(xiàng) B、第8項(xiàng)和第9項(xiàng)C、第10項(xiàng) D、第9項(xiàng)和第10項(xiàng)答案：D點(diǎn)評(píng)：易誤選A，運(yùn)用基本不等式，求，忽略定義域N*。21.若不等式在上有

7、解,則的取值范圍是 （ ） A B. C D錯(cuò)解：D錯(cuò)因：選D恒成立。正解：C22已知是方程的兩個(gè)實(shí)根，則的最大值為（ ） A、18 B、19 C、 D、不存在 答案：A 錯(cuò)選：B 錯(cuò)因：化簡后是關(guān)于k的二次函數(shù)，它的最值依賴于所得的k的范圍。23實(shí)數(shù)m,n,x,y滿足m2+n2=a , x2+y2=a , 則mx+ny的最大值是。 A、 B、 C、 D、答案：B 錯(cuò)解：A錯(cuò)因：忽視基本不等式使用的條件，而用得出錯(cuò)解。24如果方程（x-1）(x 2-2xm)=0的三個(gè)根可以作為一個(gè)三角形的三條邊長，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是 （ ） A、0m1 B、m1 C、m1 D、m正確答案：（B）錯(cuò)誤原因：

8、不能充分挖掘題中隱含條件。二填空題：1設(shè)，則的最大值為 【13】錯(cuò)解：有消元意識(shí)，但沒注意到元的范圍。正解：由得：，且，原式=，求出最大值為1。2若恒成立，則a的最小值是 錯(cuò)解：不能靈活運(yùn)用平均數(shù)的關(guān)系，正解：由，即，故a的最小值是。3已知兩正數(shù)x,y 滿足x+y=1,則z=的最小值為 。錯(cuò)解一、因?yàn)閷?duì)a>0,恒有,從而z=4,所以z的最小值是4。錯(cuò)解二、，所以z的最小值是。錯(cuò)解分析：解一等號(hào)成立的條件是相矛盾。解二等號(hào)成立的條件是，與相矛盾。正解：z=，令t=xy, 則，由在上單調(diào)遞減,故當(dāng)t=時(shí) 有最小值,所以當(dāng)時(shí)z有最小值。4若對(duì)于任意xR，都有(m2)x22(m2)x4<0

9、恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 。正確答案：(2,2) 。錯(cuò)誤原因：容易忽視m2。5不等式ax+ bx + c0 ，解集區(qū)間（- ，2），對(duì)于系數(shù)a、b、c，則有如下結(jié)論： a 0 b0 c0 a + b + c0 a b + c0，其中正確的結(jié)論的序號(hào)是_.正確答案 2 、3、 4錯(cuò)因：一元二次函數(shù)的理解6不等式(x2)0的解集是 正確答案：7不等式的解集為（-，0），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_。正確答案：-1，18若，為奇函數(shù)f(x)的自變量，又f(x)是在（-，0）上的減函數(shù)，且有+>0，+>0，+>0，則f()+f()與f(-)的大小關(guān)系是：f()+f() _f(-)。正確

10、答案：<9不等式|x+1|(2x1)0的解集為_答案：點(diǎn)評(píng)：誤填而忽略x=1。10設(shè)x>1，則y=x+的最小值為_答案：點(diǎn)評(píng)：誤填：4，錯(cuò)因：，當(dāng)且僅當(dāng)即x=2時(shí)等號(hào)成立，忽略了運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)的“一正、二定、三相等”的條件。11設(shè)實(shí)數(shù)a,b,x,y滿足a2+b2=1,x2+y2=3, 則ax+by的取值范圍為_.錯(cuò)解：錯(cuò)因：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而此時(shí)與已知條件矛盾。正解： 124ko是函數(shù)y=kx2kx1恒為負(fù)值的_條件錯(cuò)解：充要條件錯(cuò)因：忽視時(shí)符合題意。正解：充分非必要條件 13函數(shù)y=的最小值為_錯(cuò)解：2錯(cuò)因：可化得，而些時(shí)等號(hào)不能成立。正解：14已知a,b，且滿足a

11、+3b=1，則ab的最大值為_.錯(cuò)解：錯(cuò)因：由得，等號(hào)成立的條件是與已知矛盾。正解：15設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，則k的取值范圍是 。 A、 B、 C、 D、 答案：B 錯(cuò)解：C 錯(cuò)因：對(duì)二次函數(shù)圖象與判別式的關(guān)系認(rèn)識(shí)不清，誤用。16不等式(x-2)2 (3-x) (x-4)3 (x-1) 的解集為 。 答案： 錯(cuò)解： 錯(cuò)因：忽視x=2時(shí)不等式成立。17已知實(shí)數(shù)x,y滿足，則x的取值范圍是。 答案： 錯(cuò)解： 錯(cuò)因：將方程作變形使用判別式，忽視隱含條件“”。18若，且2x+8y-xy=0則x+y的范圍是 。答案：由原方程可得 錯(cuò)解：設(shè)代入原方程使用判別式。 錯(cuò)因：忽視隱含條件，原方程可得y (x-8)

12、=2x，則x>8則x+y>819已知實(shí)數(shù) 。正確答案：錯(cuò)誤原因：找不到解題思路，另外變形為時(shí)易忽視這一條件。20已知兩個(gè)正變量恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍是 。正確答案：錯(cuò)誤原因：條件x+y4不知如何使用。21已知函數(shù)，其中以4為最小值的函數(shù)個(gè)數(shù)是 。正確答案：0錯(cuò)誤原因：對(duì)使用算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的條件意識(shí)性不強(qiáng)。22已知是定義在的等調(diào)遞增函數(shù)，且，則不等式的解集為 。正確答案：錯(cuò)誤原因：不能正確轉(zhuǎn)化為不等式組。23已知a2+b2+c2=1, x2+y2+z2=9, 則ax+by+cz的最大值為 正確答案：3錯(cuò)誤原因：忽視使用基本不等式時(shí)等號(hào)成立的條件，易填成5。應(yīng)使用如下做法：9

13、a2+x26ax, 9b2+y2 6by，9c2+z26cz，6(ax+by+cz)9（a2+b2+c2）+9(x2+y2+z2) = 18, ax+by+cz3三、解答題：1是否存在常數(shù) c，使得不等式對(duì)任意正數(shù) x,y恒成立？錯(cuò)解：證明不等式恒成立，故說明c存在。正解：令x=y得，故猜想c=,下證不等式恒成立。要證不等式，因?yàn)閤,y是正數(shù)，即證3x(x+2y)+3y(2x+y)2（2 x+y）(x+2y),也即證,即2xy，而此不等式恒成立，同理不等式也成立，故存在c=使原不等式恒成立。2已知適合不等式的x的最大值為3，求p的值。錯(cuò)解：對(duì)此不等式無法進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，不理解“x的最大值為3”的

14、含義。正解：因?yàn)閤的最大值為3，故x-3<0,原不等式等價(jià)于，即，則，設(shè)（1）（2）的根分別為，則若，則9-15+p-2=0，p=8若，則9-9+p+2=0,p=-2當(dāng)a=-2時(shí)，原方程組無解，則p=8 3 設(shè)，且，求的取值范圍。 解：令 則 比較系數(shù)有 即 說明：此題極易由已知二不等式求出的范圍，然后再求即的范圍，這種解法錯(cuò)在已知二不等式中的等號(hào)成立的條件不一定相同，它們表示的區(qū)域也不一定相同，用待定系數(shù)法則容易避免上述錯(cuò)誤。 4 若，解關(guān)于的不等式：。 解：令 則 的判別式 恒成立 原不等式的解為 說明：此題容易由得出的錯(cuò)誤結(jié)論。解有關(guān)不等式的問題，一定要注意含參數(shù)的表達(dá)式的符號(hào)，否

15、則易出錯(cuò)誤。5 求函數(shù)的極大值或極小值。 解：當(dāng)時(shí)， 當(dāng)且僅當(dāng) 即時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)且僅當(dāng) 即時(shí)， 說明：此題容易漏掉對(duì)的討論。不等式成立的前提是。6求函數(shù)的最大值。 解： 當(dāng)且僅當(dāng) 即時(shí)， 說明：此題容易這樣做：。但此時(shí)等號(hào)應(yīng)滿足條件，這樣的是不存在的，錯(cuò)誤的原因是沒有考慮到等號(hào)成立的條件。這一點(diǎn)在運(yùn)用重要不等式時(shí)一定要引起我們高度的重視。7解不等式：。 解：當(dāng)時(shí)，原不等式為 當(dāng)時(shí)，原不等式為 又 原不等式的解為 說明：此題易在時(shí)處出錯(cuò)，忽略了的前提。這提醒我們分段求解的結(jié)果要考慮分段的前提。7 若且，解不等式： 解：若，兩邊取以為底的對(duì)數(shù) 若，同樣有， 又 當(dāng)時(shí)不等式的解為 當(dāng)時(shí)不等式的解為

16、 說明：此題易在時(shí)的解中出錯(cuò)，容易忽略這個(gè)條件。解決對(duì)數(shù)問題要注意真數(shù)大于0的條件。8）方程的兩根都大于2，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 解：設(shè)方程的兩根為，則必有 說明：此題易犯這樣的錯(cuò)誤： 且 和判別式聯(lián)立即得的范圍 原因是只是的充分條件 即不能保證同時(shí)成立9. 設(shè)函數(shù)f(x)=logb(b>0且b1)，（1）求f(x)的定義域；（2）當(dāng)b>1時(shí)，求使f(x)>0的所有x的值。解 （1）x22x+2恒正，f(x)的定義域是1+2ax>0，即當(dāng)a=0時(shí)，f(x)定義域是全體實(shí)數(shù)。當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的定義域是（，+）當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的定義域是（，）（2）當(dāng)b&g

17、t;1時(shí)，在f(x)的定義域內(nèi)，f(x)>0>1x22x+2>1+2axx22(1+a)x+1>0其判別式=4(1+a)24=4a(a+2)(i)當(dāng)<0時(shí)，即2<a<0時(shí)x22(1+a)x+1>0f(x)>0x<(ii)當(dāng)=0時(shí)，即a=2或0時(shí)若a=0,f(x)0(x1)2>0xR且x1若a=2,f(x)0(x+1)20x且x1(iii)當(dāng)0時(shí)，即a0或a2時(shí)方程x22(1+a)x+1=0的兩根為x1=1+a,x2=1+a+若a0，則x2x10或若a<2，則f(x)0x1+a或1+a+x綜上所述：當(dāng)2a0時(shí)，x的取值集合為x|x當(dāng)a=0時(shí)，xR且x1，xR，當(dāng)a=2時(shí)：x|x1或1x當(dāng)a0時(shí)，xx|x1+a+或x1+a當(dāng)a2時(shí)，xx|x1+a或1+a+x錯(cuò)誤原因：解題時(shí)易忽視函數(shù)的定義域，不會(huì)合理分類。10設(shè)集合M1，1，N=，f(x)=2x2+mx1，若xN,mM,求證|f(x)|證明：|f(x)|=|2x2+mx1|= |(2x21)+mx|(2x21)|+|mx|= (2x21)+|mx|(2x 21)+| x|=2（| x|）2錯(cuò)因：不知何時(shí)使用絕對(duì)值不等式。11在邊長為a的正三角形中，點(diǎn)P、Q、R分別在BC、CA、AB上，且BP+CQ+AR=a,設(shè)BP=x,CQ=y,