高考復(fù)習(xí)指導(dǎo)講義圓錐曲線

1、高考復(fù)習(xí)指導(dǎo)講義 圓錐曲線一、考綱要求1.掌握直角坐標(biāo)系中的曲線與方程的關(guān)系和軌跡的概念，能夠根據(jù)所給條件，選擇適當(dāng)?shù)闹?角坐標(biāo)系求曲線的方程，并畫出方程所表示的曲線.2.掌握?qǐng)A錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，并根據(jù)并給的條件畫圓錐曲線，了解圓錐曲線的 一些實(shí)際應(yīng)用.3.理解坐標(biāo)變換的意義，掌握利用坐標(biāo)軸平移化簡(jiǎn)圓錐曲線方程的方法.4.了解用坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題的思想，初步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的方法.二、知識(shí)結(jié)構(gòu)1.方程的曲線在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡 )上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解

2、；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫 做方程的曲線.點(diǎn)與曲線的關(guān)系 若曲線C的方程是f(x,y)=0，則點(diǎn)P0(x0,y0)在曲線C上f(x0,y 0)=0；點(diǎn)P0(x0,y0)不在曲線C上f(x0,y0)0兩條曲線的交點(diǎn) 若曲線C1，C2的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則 f1(x0,y0)=0點(diǎn)P0(x0,y0)是C1，C2的交點(diǎn) f2(x0,y0) =0方程組有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線就有n個(gè)不同的交點(diǎn)；方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，曲線就沒(méi)有 交點(diǎn).2.圓圓的定義點(diǎn)集：MOM=r，其中定點(diǎn)O為圓心，定長(zhǎng)r為半徑.圓的方程(1)

3、標(biāo)準(zhǔn)方程圓心在c(a,b)，半徑為r的圓方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓方程是x2+y2=r2(2)一般方程當(dāng)D2+E2-4F0時(shí)，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為(-,-，半徑是.配方，將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化為(x+)2+(y+)2=當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)(-,-);當(dāng)D2+E2-4F0時(shí)，方程不表示任何圖形.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 已知圓心C(a,b),半徑為r,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0)，則MCr點(diǎn)M在圓C內(nèi)，MC=r點(diǎn)M在圓C上，MCr點(diǎn)M在圓C內(nèi)，其中MC=.(3)直線和圓的位置關(guān)系直線和

4、圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系 直線與圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn) 直線與圓相切有一個(gè)公共點(diǎn) 直線與圓相離沒(méi)有公共點(diǎn)直線和圓的位置關(guān)系的判定(i)判別式法(ii)利用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離d=與半徑r的大小關(guān)系來(lái)判定.3.橢圓、雙曲線和拋物線橢圓、雙曲線和拋物線的基本知識(shí)見下表.曲線性質(zhì)橢 圓雙曲線拋物線軌跡條件點(diǎn)集：(MMF1+MF2=2a,F 1F22a點(diǎn)集：MMF1-MF2.=±2a,F2F22a.點(diǎn)集M MF=點(diǎn)M到直線l的距離.圓 形標(biāo)準(zhǔn)方程+=1(ab0)-=1(a0,b0)y2=2px(p0)頂 點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0);B1(0,-b),B2

5、(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)O(0,0)軸對(duì)稱軸x=0,y=0長(zhǎng)軸長(zhǎng)：2a短軸長(zhǎng)：2b對(duì)稱軸x=0,y=0實(shí)軸長(zhǎng)：2a 虛軸長(zhǎng)：2b對(duì)稱軸y=焦 點(diǎn)F1(-c,0),F2(c,0)焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸上F1(-c,0),F2(c,0)焦點(diǎn)在實(shí)軸上F(，0)焦點(diǎn)對(duì)稱軸上焦 距F1F2=2c，c=F1F2=2c,c=準(zhǔn) 線x=±準(zhǔn)線垂直于長(zhǎng)軸，且在橢圓外.x=±準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸，且在兩頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè).x=-準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)，且到頂點(diǎn)的距離相等.離心率e=,0e1e=,e1e=14.圓錐曲線的統(tǒng)一定義平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到一個(gè)定點(diǎn)F(c,0)的距離與到不通過(guò)這個(gè)定點(diǎn)的一條

6、定直線l的距離之 比是一個(gè)常數(shù)e(e0),則動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線.其中定點(diǎn)F(c,0)稱為焦點(diǎn)，定直線l稱為準(zhǔn)線，正常數(shù)e稱為離心率.當(dāng)0e1時(shí)，軌跡為橢圓當(dāng)e=1時(shí)，軌跡為拋物線當(dāng)e1時(shí)，軌跡為雙曲線5.坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換 在解析幾何中，把坐標(biāo)系的變換(如改變坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置或坐標(biāo)軸的方向)叫做 坐標(biāo)變換.實(shí)施坐標(biāo)變換時(shí)，點(diǎn)的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點(diǎn) 的坐標(biāo)與曲線的方程.坐標(biāo)軸的平移 坐標(biāo)軸的方向和長(zhǎng)度單位不改變，只改變?cè)c(diǎn)的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫 做坐標(biāo)軸的平移，簡(jiǎn)稱移軸.坐標(biāo)軸的平移公式 設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，它在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是9x,y)，在新坐標(biāo)系x

7、 Oy中的坐標(biāo)是(x,y).設(shè)新坐標(biāo)系的原點(diǎn)O在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(h,k)，則 x=x+h x=x-h(1) 或(2) y=y+k y=y-k公式(1)或(2)叫做平移(或移軸)公式.中心或頂點(diǎn)在(h,k)的圓錐曲線方程中心或頂點(diǎn)在(h,k)的圓錐曲線方程見下表.方 程焦 點(diǎn)焦 線對(duì)稱軸橢圓+=1(±c+h,k)x=±+hx=hy=k+ =1(h,±c+k)y=±+kx=hy=k雙曲線-=1(±c+h,k)=±+kx=hy=k-=1(h,±c+h)y=±+kx=hy=k拋物線(y-k)2=2p(x-h)(+

8、h,k)x=-+hy=k(y-k)2=-2p(x-h)(-+h,k)x=+hy=k(x-h)2=2p(y-k)(h, +k)y=-+kx=h(x-h)2=-2p(y-k)(h,- +k)y=+kx=h三、知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)提示(一)曲線和方程，由已知條件列出曲線的方程，曲線的交點(diǎn)說(shuō)明 在求曲線方程之前必須建立坐標(biāo)系，然后根據(jù)條件列出等式進(jìn)行化簡(jiǎn) .特別是在求出方程后要考慮化簡(jiǎn)的過(guò)程是否是同解變形，是否滿足已知條件，只有這樣求 出的曲線方程才能準(zhǔn)確無(wú)誤.另外，要求會(huì)判斷 曲線間有無(wú)交點(diǎn)，會(huì)求曲線的交點(diǎn)坐標(biāo).例1 如果實(shí)數(shù)x、y滿足等式(x-2)2+y2，求y/x的最大值.解：此題有多種解法，但用待定

9、參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求曲線的交點(diǎn)問(wèn)題可使解題過(guò)程更為簡(jiǎn)捷. 設(shè)k，則y=kx.要使k的值最大，只須直線ykx在第一象限與圓相切 ，而圓心(2，0)到直線y=kx的距離為.，解得k(-舍去).(二)充要條件說(shuō)明 充分條件、必要條件、充要條件是高考考查的重要內(nèi)容.要掌握好這 幾種條件，關(guān)鍵在于要對(duì)命題之間的關(guān)系很清楚.例2 設(shè)甲、乙、丙是三個(gè)命題，如果甲是乙的必要條件；丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，那么( )A.丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件B.丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件C.丙是甲的充要條件，D.丙不是甲的充分條件，也不是甲的必要條件解： 由已知乙甲，丙乙，所以丙甲，即丙 是甲的充

10、分條件，故選A.(三)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程說(shuō)明 求圓的方程主要是求出其圓心與半徑.還要掌握一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程 的互化，以及圓與其他曲線之間的關(guān)系，特別是圓與直線之間的關(guān)系.例3 圓A：(x+1)2+(y+1)2=1，圓B：(x-1)2+(y-1)2=4，則有兩圓的公切線有( )A.1條 B.2條 C.3條 D.4條解： 要判斷兩圓公切線的條數(shù)，只需要判斷出此兩圓的位置關(guān)系，而不必求出其切線方程 . A圓圓心是C1(-1,-1)，B圓圓心是C2(1，1)，C1C22，r11，r22.r1+r2C1C2即圓A與圓B相離，則此兩圓有4條公切線.故選D. (四)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)、焦距，橢圓的幾

11、何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱性、頂 點(diǎn)、長(zhǎng)袖、短軸、離心率、準(zhǔn)線，橢圓的畫法說(shuō)明 天體的運(yùn)行軌道基本都是橢圓，所以掌握橢圓的基本概念是很有必要 的.考試說(shuō)明中明確要求，要會(huì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的有關(guān)元素.例4 P是橢圓+1上 的點(diǎn)，F(xiàn)1、為其焦點(diǎn)，若F1PF290°.求PF1F2的面積.解：SPF1·PF2，而PF2 +PF210，PF12+PF22=F1F22=36，聯(lián)合求解得：PF1·PF232，S16.(五)雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)、焦距，雙曲線的幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱 性、頂點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線、離心率、準(zhǔn)線，雙曲線的畫法，等邊雙曲線說(shuō)明 根據(jù)已知條件會(huì)求雙曲線的

12、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的有關(guān)元素.這里 與橢圓不同的是實(shí)軸、虛軸和漸近線.例5 已知雙曲線-1()過(guò)點(diǎn)A(4，4).(1)求實(shí)軸、虛軸的長(zhǎng)；(2)求離心率；(3)求頂點(diǎn)坐標(biāo)；(4)求點(diǎn)A的焦半徑.解： 因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)A(4，4)，所以- 1，tg2+tg-0 ，tg-2，(tg=1舍去，因?yàn)殡p曲線方程為-+1.從而a=2,b=4,c=2.(1)實(shí)軸長(zhǎng)2a=4 ，虛軸長(zhǎng)2b8.(2)離心率e.(3)頂點(diǎn)為(0，2)，(0，-2).(4)焦點(diǎn)F1(0，-2)，F(xiàn)2(0，2).AF12(+1)，AF22(-1).(六)拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、拋物線的幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率，拋物線

13、的畫法說(shuō)明 這部分內(nèi)容要注意與初中講的拋物線y=ax2+bx+c(c0)的關(guān)系，以及拋物線與雙曲線一支的區(qū)別，y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸平行于y軸(或就是y軸)，雙曲線有漸近線，拋物線無(wú)漸近線.例6 圓心在拋物線y2=2x上，且與x軸相切的一個(gè)圓的方程是( ) A.x2+y2-x-2y-=0B.x2+y2+x-2y+1=0C.x2+y2-x-2y+1=0D.x2+y2-x-2y+=0解： 經(jīng)過(guò)配方將四個(gè)選項(xiàng)中圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.(x-)2+(y-1)2=(x+)2+(y-1)2=(x-)2+(y-1)2=(x-)2+(y-1)2=1由已知條件，的圓心不在拋物線y2=2x上.而圓要與x軸

14、相切，則圓心的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值 要等于半徑.故只有適合.選D.(七)坐標(biāo)軸的平移，利用坐標(biāo)的平移化簡(jiǎn)圓錐曲線方程說(shuō)明 坐標(biāo)軸的平移變換是化簡(jiǎn)曲線方程的一種重要方法.掌握平移坐標(biāo)軸的 關(guān)鍵在于正確理解新舊坐標(biāo)系之間的關(guān)系.同一個(gè)點(diǎn)在不同的坐標(biāo)系中有不同的坐標(biāo)，同一 條曲線在不同的坐標(biāo)中有不同的方程.例7 方程x2+4y2+6x-8y+1=0的對(duì)稱中心是( )A.(-3，-1) B.(-3，1) C.(3，-1) D.(3，1)解： 將原方程配方后化為+=1， 對(duì)稱中心是(-3，1).故選B.例8 求橢圓9x2+4y2-36x+8y+4=0的焦點(diǎn)坐標(biāo)、長(zhǎng)軸與短軸的長(zhǎng)、離心率 及準(zhǔn)線方程.解： 將原方

15、程配方后化成+=1. x=x-2令 y=y+3 得到新方程為+=1.a=3,b=2,c=.即長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=6，短軸長(zhǎng)2b=4，離心率e.在新坐標(biāo)系中，焦點(diǎn)為(0，)，(0，-)，準(zhǔn)線為y±± x=x+2由平移公式 ，得在原坐標(biāo)系中 y=y-3焦點(diǎn)為：(2，-3)、(2，-3)，準(zhǔn)線為：y=±-3.(八)綜合例題賞析例9 設(shè)集合M=xx2，P=xx3，那么 “xM或xP”是“xMP”的( )A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充分必要條件D.非充分也非必要條件解：MN=R，MN=2x3xMPxM或xN.應(yīng)選B.例10 已知直線x=a(a0)和圓(x-1)2+y2=

16、4相切 ，那么a的值是( )A.5 B.4 C.3 D.2 解：r=2，圓心(1，0)，a0，a應(yīng)選C.例11 設(shè)圓滿足：截y軸所得的弦長(zhǎng)為2；被x軸分成 的兩段弧，其弧長(zhǎng)的比為31在滿足條件、的所有圓中，求圓心到直線lx-2y=0的距 離最小的圓的方程解：設(shè)所求圓的圓心P(a,b)半徑r由題設(shè)知，P到x,y軸的距離分別為b,a,且圓P截x軸的弦所對(duì)圓心角為90°，故其弦 長(zhǎng)為r,有r2=2b2由“圓P截y軸所得弦長(zhǎng)為2”有r2=a2+12b2-a2=1P(a,b)到直線x-2y=0的距離為d=,得5d2=a-2b2=a2+4b2-4aba2+4b2-2(a2+b2) 2b2-a2=

17、1當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)上式等號(hào)成立，此時(shí)5d2=1從而d取得最小值 a=b a=1 a=-1由此有 解得 或 2b2-a2=1 b=1 b=-1 又由r2=2b2,得r2=2.所求圓方程是(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2例12 自點(diǎn)A(-3，3)發(fā)出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光線L所在的直線方程.解：設(shè)反射光線為L(zhǎng)L和L關(guān)于x軸對(duì)稱，L過(guò)點(diǎn)A(-3，3)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A(-3，-3)，L過(guò)A(-3，-3)設(shè)L的斜率為k，則L的方程為y-(-3)=kx-(-3),即kx-y+3k-3=0,已知圓

18、方程即(x-2)2+(y-2)2=1,圓心的坐標(biāo)為(2，2)，半徑r=1L和已知圓相切，做到L的距離等于半徑r=1即=1整理得12k2-25k+12=0解得k=或k=L的方程為y+3=(x+3);或y+3=(x+3).即4x-3y+3=0,或3x- 4y-3L和L關(guān)于x軸對(duì)稱L的方程為4x+3y+3=0,或3x+4y-3=0.例13 設(shè)橢圓+=1 (ab0) 的右焦點(diǎn)為F1，右準(zhǔn)線為l1.若過(guò)F1且垂直于x軸的弦的長(zhǎng)等于點(diǎn)F1到l1的距離， 則橢圓的離心率是_. 解：例14 已知橢圓+=1上一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)距離為3，則P到另一焦點(diǎn)的距離為( )A.2 B.3 C.5 D.7解：a2=25,

19、a=5,2a=10.此橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為10點(diǎn)P到另一焦點(diǎn)的距離為10-3=7.應(yīng)選D.例15 設(shè)雙曲線-=1 (0ab)的半焦距為C，直線1過(guò)(a,0),(0,b)兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線1的距離為c，則雙曲線的離心率為( )A.2. B. C. D. 解：直線1過(guò)(a,0)，(0,b),1的方程為+=1,即bx+ay-ab=0原點(diǎn)(0，0)到1的距離為c，由點(diǎn)到直線的距離公式 ，得c=又0ab,雙曲線中c2=a2+b2, c2=a2+b2=,得ab=,=·(a2+b2),整理得a2-4ab+b2=0,b=a.c2=a2+b2=4a2,c=2a,e=2.應(yīng)選A.例16 設(shè)F

20、1和F2為雙曲線-y2 =1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足F1PF2=90°.則F1PF2的面積是( )A.1 B. C.2 D.解：由已知可得，F(xiàn)1(-，0)，F(xiàn)2(，0)F1F2=2,F1F22=20由F1PF2=90°,得20=FFPF1+PF 由雙曲線定義得PF1-PF=2a=4，平方得PF12+PF22-2PF1·PF1=16 -得2PF1·PF2=4S=PF1·PF2應(yīng)選A.例17 雙曲線-x2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是_.解：(0，)，(0，-)例18 如果雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為2，焦距為6，那么該雙曲線的離心率是( )A. B. C.

21、D.2解：由題設(shè)知a=2,c=3.e=. 應(yīng)選C.例19 已知點(diǎn)(-2，3)與拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn) 的距離是5，則p=_.解：y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(，0)，5=解出p=4.例20 直線l過(guò)拋物線y2=a(x+1)(a0)的焦點(diǎn)，并 且與x軸垂直，若l被拋物線截得的線段長(zhǎng)為4，則a=_.解：設(shè)拋物線焦參數(shù)為p，則a=2p(p0).l是過(guò)焦點(diǎn)的直線且垂直于x軸即垂直于拋物線y2=a(x+1)的對(duì)稱軸.l被拋物線截得的線段即正焦弦長(zhǎng).4=2p=a，即a=4.例21 拋物線y2=4x的弦AB垂直于x軸，若AB的長(zhǎng)為4，則焦點(diǎn)到AB的距離為_.解：由ABx軸，AB=4，可設(shè)A(x1，2)

22、.A(x1，2)在拋物線y2=4x上，(2)2=4x1，得x1=3.又y2=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)，F(xiàn)到AB的距離為3-1=2.例22 焦點(diǎn)在(-1，0)，頂點(diǎn)在(1，0)的拋物線方程是( )A.y2=8(x+1) B.y2=-8(x+1)C.y2=8(x-1) D.y2=-8(x-1)解：設(shè)拋物線焦參數(shù)為p，則焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的距離是，即=2，得p=4.又拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，焦點(diǎn)是(-1，0)，y2=-8(x-1)為所求.應(yīng)選D.例23 曲線2y2+3x+3=0與曲線x2+y2-4x-5=0的公共 點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( )A.4 B.3 C.2 D.1解：由2y2+3x+3=0，得y2=-

23、x-0，x-1.把y2=-x-代入x2+y2-4x-5=0，得x2-x-4x-5=0，即2x2-11x-13=0即(2x-13)(x+1)=0，x=-1(舍x=).把x=-1代入2y2+3x+3=0，得y=0.交點(diǎn)為(-1，0)，即只有一個(gè)交點(diǎn).應(yīng)選D.例24 設(shè)曲線C的方程是y=x3-x，將C沿x軸、y軸正向分別平行移動(dòng)t、s單位長(zhǎng)度后得曲線C1.(1)寫出曲線C1的方程；(2)證明曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A(，)對(duì)稱；(3)如果曲線C與C1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，證明S=-t且t0.解：(1)曲線C1的方程為 y=(x-t)3-(x-t)+s(2)在曲線C上任取點(diǎn)B1(x1，y1)，設(shè)B2(x2，y

24、2)是B1關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，則有=，=，x1=t-x2，y1=s-y2代入曲線C的方程，得x2和y2滿足方程：S-y2=(t-t2)3-(t-x2)，即y2=(x2-t)2-(x2-t)+s，可知點(diǎn)B(x2-y2)在曲線C1上反過(guò)來(lái)，同樣可以證明，在曲線C1上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)在曲線C上，曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱.(3)曲線C與C1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)， y=x2-x方程組 ，有且僅有一組解. y=(x-t)3-(x-t)+S 消去y，整理得3tx2-3t2x+(t3-t-S)=0，這個(gè)關(guān)于x的一元二次方程有且僅有一個(gè)根t0，并且其根的判別式=9t4-12t(t3-t-S)=0. t0即 t(

25、t3-4t-4S)0S=-t且t0例25 已知l1，l2是過(guò)點(diǎn)P(-，0 )的 兩條相互垂直的直線，且l1、l2與雙曲線y2-x2=1各有兩個(gè)交點(diǎn)，分別為A1，B1和A2，B2，(1)求l1的斜率k1的取值范圍；(2)若A1恰是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，求A2B2的值.解：(1)依題意，l1，l2的斜率都存在，l1過(guò)點(diǎn)P(-，0)且與y2-x2=1有兩交點(diǎn)， y=k1(x+)(k10) . y2-x2=1 有兩個(gè)不同的解，消y整理得(k21-1)x2+2k21x+2k21-1=0. 若k21-1=0，則方程組只有一解，與題設(shè)“l(fā)1和雙曲線有兩交點(diǎn)”矛盾.k21-10，即k1.的根的判別式為1=(2k2

26、1)2-4(k21-1)·(2k21-1)=4(3k21-1).設(shè)l2的斜率為k2，因l2和雙曲線有兩交點(diǎn)， y=k2(x+)(k20)方程組 有兩不同解. y2-x2=1在中消y整理得(k22-1)x2+2k22x+2k22-1=0. 同理有k21，2=4(3k22-1).由已知l1l2，得k1·k2=-1.l1，l2與雙曲線各有兩個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于 3k21-10 k1 3k22-10 解得 k1·k2=-1 k11 k10，k2 1，k1(-，-1)(-1，-)(，1)(1，).(2)雙曲線y2-x2=1的頂點(diǎn)為(0，1)，(0，-1).即A1(0，1)時(shí)，有

27、k1·(0+)=1，得k1=，k2 =-=-.將k2=-代入方程得x2+4x+3=0 記l2與雙曲線的兩交點(diǎn)為A2(x1，y1)、B2(x2，y2)，則A2B22=(x1-x2)2+(y1-y2)2=3(x1-x2)2=3(x1+x2)2-4x1x2由知，x1+x2=-4，x1·x2=3，A2B22=3(-4)2-4×3=60，A2B2=2.當(dāng)取A1(0，-1)時(shí)，由雙曲線y2-x2=1關(guān)于x軸的對(duì)稱性，知A2B2=2.l1過(guò)雙曲線一頂點(diǎn)時(shí)，A2B2=2.例26 已知橢圓+=1，直線L+=1，P是L上 一 點(diǎn)，射線OP交橢圓于R，又點(diǎn)Q在OP上且滿足OQ·

28、;OP=OR2，當(dāng)點(diǎn)P在l上移動(dòng) 時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線.解：如圖.由題設(shè)知Q不在原點(diǎn)，設(shè)P、R、Q的坐標(biāo)分別為(xP，yP)、(xR，yR)、(x，y)其中x ，y不同時(shí)為零.當(dāng)點(diǎn)P不在y軸上時(shí)，由于點(diǎn)R在橢圓上及點(diǎn)O、Q、R共線，得方程組； +=1 x2R= ，解得= y2R= 由于點(diǎn)P在直線l上及點(diǎn)O、Q、P共線，得方程組： +=1 xP= ，解得 = yP= 當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)也成立.OQ·OP=OR2·=()2，將(1)(4)代入上式，化簡(jiǎn)整理得=.因x與xP同號(hào)或y與yP同號(hào)，以及、知2x+3y0，點(diǎn)Q的軌跡方程為+=1.其中(x，y不

29、同時(shí)為零)點(diǎn)Q的軌跡是以(1，1)為中心，長(zhǎng)短半軸分別為和且長(zhǎng)軸平行于x軸的橢圓.解法二：由題設(shè)知點(diǎn)Q不在原點(diǎn).設(shè)P、R、Q的坐標(biāo)分別為(xP，yP)，(xR，yR)，(x,y)其中x，y不同時(shí)為零. 設(shè)OP寫x軸正方向的夾角為，則有 xP=OPcos，yP=OPsin； xR=ORcos，yR=OPsin； x=OQcos，y=OQsin；又OP·OQ=OR2，可得 xP=x x2R=x2 yP=y y2R=y2點(diǎn)P在直線l上，點(diǎn)R在橢圓上， +=1 ，將(1)、(2)代 入，得 +=1.(其中x，y不同時(shí)為零).Q點(diǎn)的軌跡是以(1，1)為中心，長(zhǎng)短半軸分別為和且長(zhǎng)軸平行于x軸的橢

30、圓(去掉坐標(biāo)原點(diǎn)).例27 已知直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)、焦 點(diǎn)在x軸正半軸上，若點(diǎn)A(-1，0)和點(diǎn)B(0，8)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)都在C上，求直線l和拋物線的方程.解法一：如圖.由題意可設(shè)拋物線C的方程為y2=2px (p0)，且x軸和y軸不是所求直線，又l過(guò)原點(diǎn)，所 以可設(shè)l的方程y=kx (k0) 設(shè)A、B分別是A、B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，則有，AAl，直線AA的方程為 y=-(x+1). 由、聯(lián)立得AA與l的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-，-).由M為AA的中點(diǎn)，得點(diǎn)A的坐標(biāo)為， xA=2(-)+1=，yA=2()+0=- 同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(，).A、B均在拋物線y2=2px (R0)上，

31、(-)2=2p·，知k±1 ，p=.同理()2=2p·，得p= .=，整理得k2-k-1=0.解得k1=，k2=.但當(dāng)k=時(shí)，xA=-0，與A在拋物線y2=2px上矛盾，故舍去.把k=代入p=.直線方程為y=x，拋物線方程為y2=x.解法二：設(shè)點(diǎn)A、B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則有OA=OA=1，OB=OB=8設(shè)x軸正向到OB的轉(zhuǎn)角為，則有 x2=8cos，y2=8sin A，B是A，B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，又BOA是直角，BOA為直角，得x1=cos(-)=sin ，y1=sin(-)=-cos 由題意知，x10，x20，故為第一象限角

32、.A，B都在拋物線y2=2px上，cos2=2p·sin，64sin2=2p· cos8sin3=cos3，得2sin=cos解得sin=，cos=.代入cos2=2psin，得p=.拋物線方程為y2=x.直線l平分BOB，l的斜率k=tg+(-)=tg(+)=. 直線l的方程為y= x.例28 在面積為1的PMN中，tgM=，tgN=-2，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出M、N為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓方 程.解：如圖以MN所在直線為x軸，以線段MN的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系.設(shè)以M、N為焦點(diǎn)且過(guò)P點(diǎn)的橢圓的方程為+=1 (ab0)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為(-c,0)、(c,0).由tgM

33、=，tgPNx=tg(-MNP)=2，得直線PM和直線PN的方程分別為y=(x+c),y=2(x-c). x=c將兩方程聯(lián)立得 ，即P(c, c). y=c已知MNP的面積為1，1=MN·yP= ·2c· c= c2，得c=，P(，).PM=，PN= = = ，2a=PM+PN=,a= ， b2=a2-c2=()2-()2=3 .+=1為所求橢圓方程.例29 設(shè)拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(-1，6)和(-1，-2)，對(duì)稱軸與x 軸平行，開口向右，直線y=2x+7被拋物線截得線段長(zhǎng)是4，求拋物線的方 程.解：設(shè)所求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，由題設(shè)可設(shè)所求拋物線方程為(y

34、-y0)2=2 p(x-x0)(p0)(-1,6),(-1,-2)在拋物線上，拋物線的對(duì)稱軸為y=2，即y0=2，拋物線方程化為(y-2)2=2p(x -x0) 把(-1，-2)代入，得2px0=-2p-16 設(shè)直線和拋物線兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1)，(x2,y2). (y-2)2p(x-x0)由 ，得 y=2x+74x2+(20-2p)x+(25+2px0)=0,將：2px0=-2p-16代入上面方程，得4x2+(20-2p)x+(199-2p)=0，x1,x2是方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=5-，x1·x2=.x1-x2=4=x1-x2=·化簡(jiǎn)整理得p2-1

35、2p-64=0，即(p-16)(p+4)=0,又p0，p=16.由2px0=-2p-16，得x0=-.(y-2)2=32(x+)為所求拋物線方程.例30 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1 與該橢圓相交于P和Q，且OPOQ，PQ=，求橢圓的方程.解：設(shè)所求橢圓的方程為+=1.依題意知，點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)滿足方程組： +=1 (1)y=x+1 將代入，整理得 (a2+b2)x2+2a2x+a2(1-b2)=0， 設(shè)方程的兩個(gè)根分別為x1、x2，則直線y=x+1和橢圓的交點(diǎn)為，P(x1,x1+1)，Q(x2,x2+1)由題設(shè)OPOQ，OP=，可得·=-1(x-x1)+

36、(x2+1)-(x1+1)=()2.整理得(x1+x2)+2x1x2+1=0 4(x1+x2) -x1x2-5=0 解這個(gè)方程組，得 x1x2= x1x2=- 或 x1+x2=- x1+x2=-根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，由(3)式得 () 或 () -解方程組()、()得 a2=2 a2= 或 b2= b2=2故所求橢圓方程為+=1，或+=1.例31 已知雙曲線C的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)的乘積為，C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，直線L過(guò)F2且與直線F1F2的夾角為，tg=，L與線段F1F2的垂直平分線的交點(diǎn)是P，線段PF2與雙曲線C的交點(diǎn)為Q(且PQPF2=21)，求雙曲線的方程.解：如圖，以直線F1F2

37、為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系.設(shè)雙曲線C的方程為-=1 (ab0)設(shè)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(-c,0)、(c,0)，其中C=，則點(diǎn)P(0，-，c).由線段的定比分點(diǎn)公式可得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(c,- c).將Q點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程得-=1，整理得16()4-41()2-21=0解得()2=3或()2=-(舍去)由()2=3和題設(shè)ab=，解得a=1，b=.故所求雙曲線方程為x2-=1.例32 已知點(diǎn)P在直線x=2上移動(dòng)，直線l通過(guò)原點(diǎn)且OP垂直 ，過(guò)點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)P的直線m和直線l交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并指出該軌跡的名稱和它 的焦點(diǎn)坐標(biāo).解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，y1)，則

38、直線OP的斜率kOP=.l直線OP.直線l的斜率k1滿足kOP·k1=-1，即·k1=-1，得k 1=-.又直線l過(guò)原點(diǎn)，所以l的方程為y=-x.直線m過(guò)點(diǎn)A(1，0)，P(2，y1).m的方程為y1x-y-y1=0由l的方程得y1=-代入m的方程得-x-y+=0，即2x2+y2-2x=0.顯然點(diǎn)Q與點(diǎn)A(1，0)不重合，故x1.又2x2+y2-2x=0可化為+=1 (x1)，Q點(diǎn)的軌跡是挖去點(diǎn)(1，0)的橢圓，該橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(，)和(，-).例33 已知橢圓的焦點(diǎn)為F1(0，-1)和F2(0，1)，直線 y=4是橢圓的一條準(zhǔn)線.(1)求橢圓方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，

39、且PF1-PF2=1，求tgF1PF2的值.解：如圖.(1)設(shè)所求橢圓方程為+=1，(a b0)由F1(0，-1)和F2(0，1)，知c=1，得a2=b2+1， 由一條準(zhǔn)線方程為y=4知，=4 又a2=b2+c2 由、解得a2=4，b2=3.故所求橢圓方程為+=1.(2)由橢圓定義及a=2有PF1+PF2=4 由題設(shè)有PF1-PF2=1 解出PF1=，PF2=，又F1F2 =2.在PF1F2中，F(xiàn)1PF2=，cos=，從而sin=，tg=，tgF1PF2=.四、能力訓(xùn)練(一)選擇題1.“點(diǎn)M的坐標(biāo)是方程f(x，y)=0的解”是“點(diǎn)M在方程f(x，y)=0曲線上”的( )A.充分不必要條件 B.

40、必要不充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件2.拋物線x=-的焦點(diǎn)坐標(biāo)是( )A.(0，1) B.(-1，0)C.(0，-) D.(-，0)3.橢圓(1-m)x2-my2=1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是( )A. B. C. D. 4.下列各對(duì)雙曲線中，既有相同離心率又有相同漸近線的是( )A.-y2=1和-=1B. -y2=1和y2-=1C.y2-=1和x2-=1D. -y2=-1和-=15.拋物線x2-4y=0上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為3，那么P的縱坐標(biāo)是( )A.3 B.2 C. D.-26.已知橢圓+=1 (ab0)的兩 個(gè)焦點(diǎn)把夾在兩條準(zhǔn)線間的線段三等分，那么這個(gè)橢圓的離心率是( )A. B. C

41、. D. 7.圓x2+y2-2axsin-2bycos-a2cos2=0在x軸上截得的弦長(zhǎng)是( )A.2a B.2a C.a D.4a8.過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，有垂直于實(shí)軸的弦PQ，F(xiàn)是另一個(gè)焦點(diǎn)，若PFQ=，則雙曲線離心率是( )A.+2 B. +1 C. D. -19.拋物線y2+4y-4x=0的準(zhǔn)線方程是( )A.x=0 B.y=0 C.x=-2 D.y=-210.橢圓的兩準(zhǔn)線方程分別為x=，x=-，一個(gè) 焦點(diǎn)坐標(biāo)為(6，2)，則橢圓方程是( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=111.設(shè)雙曲線-=1的兩條漸近線含 實(shí)軸的夾角為，而離心率e，2，則的取值范圍是( ) A.， B.，C.

42、， D.，12.橢圓+=1的弦AB被點(diǎn)(1，1)平分，則 AB所在的直線方程是( )A.4x-9y-11=0 B.4x+9y-13=0C.9x+4y-10=0 D.9x-4y-5=013.和x軸相切，且和圓x2+y2=1外切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程是( )A.x2=2y+1 B.x2=-2y+1C.x2=2y+1或x2=-2y+1 D.x2=2y+114.如果橢圓+=1 (ab0)和曲線+=1(m0，n0)有相同的焦點(diǎn)F1和F2 ，P是這兩條曲線的交點(diǎn)，則PF1·PF2的值是( )A.a-m B.(a-m)C.a2-m2 D.-15.已知0a1b，那么曲線a2x2-a2y2=logab是

43、( )A.焦點(diǎn)在x軸的雙曲線B.焦點(diǎn)在y軸的橢圓C.焦點(diǎn)在x軸的等軸雙曲線D.焦點(diǎn)在y軸的等軸雙曲線(二)填空題16.直線xsin+ycos=m(常量(0，) 被圓x2+y2=2所截的弦長(zhǎng)為，則m=_.17.設(shè)橢圓-=1的準(zhǔn) 線平行于x軸，則m的取值范圍是_.18.如果方程x2cos2+y2sin=1，表示橢圓，那么 角的取值范圍是_.19.設(shè)雙曲線C：-=1橢圓的焦點(diǎn)恰為雙 曲線C實(shí)軸上的兩個(gè)端點(diǎn)，橢圓與雙曲線離心率為互為倒數(shù)，則此橢圓方程是_.(三)解答題20.已知兩圓C1x2+y2+4x-4y-5=0 C2x2+y2-8x+4y+7=0(1)證明此兩圓相切，并求過(guò)切點(diǎn)的公切線方程.(2)求過(guò)點(diǎn)(2，3)且與兩圓相切于上述切點(diǎn)的圓的方程