直角坐標系、伸縮變換

1、課刖案知識梳理：（一）、直角坐標系：1直線上點的坐標：2、平面直角坐標系：右手系：左手系：3、空間直角坐標系：（二）、平面上的伸縮變換：1、定義：設P（x,y）是平面直角坐標系中任意一點，在變換X'X（0）：y'y（0）的作用下，點P（x,y）對應P' （x '，稱 ）.為平面直角坐標系中的伸縮變換2、 注（1）0,0（2）把圖形看成點的運動軌跡，平面圖形的伸縮變換可以用坐標伸縮變換得到；（3）在伸縮變換下，平面直角坐標系不變，在同一直角坐標系下進行伸縮變換。課中案例1、由已知伸縮變換、變換后圖形的方程兩個條件，求出原圖形的方程：X 3x（1）、已知點（x,y

2、）經(jīng)過伸縮變換后的點的坐標是（3,4），則x=，y=.y' 2y.1x x（2）、已知點（x,y）經(jīng)過伸縮變換2 后的點的坐標是（-2，6）,則x=，y=y' 3y例2、在同一平面直角坐標系中,求曲線C的方程。.1x' x曲線C經(jīng)過伸縮變換3 后的曲線方程是4x'2 9y'236，.1y px' 3x例3.（ 1 ）在同一平面直角坐標系中，曲線C經(jīng)過伸縮變換后的曲線方程是y' y2 2x' 9y9，求曲線C的方程。（2）、在同一平面直角坐標系中，求直線 x-2y=2變成直線2x' y '4的伸縮變換,1x'

3、 x例4.曲線C經(jīng)過伸縮變換3 后的曲線方程是4x'2 9y'2 36，求曲線C的方程。,1y - yx'2xx'3xA.3B.232y'yy'y23課后案1將點（2, 3）變成點（3, 2）的伸縮變換是（）2.將點p（x, y）的橫坐標伸長到原來的C.x' yD.X' X 1y' xy' y 12倍，縱坐標壓縮為原來的1，得到點 P的坐標為3()A.(3y) b.(2x,舟)c.(3x,-y)D.(3,2y)A. 向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的6B. 向右平移一個單位長度，再把所得各點的橫坐

4、標縮短到原來的6C. 向左平移一個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的6D. 向右平移一個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的6x' 3x9.曲線y sin（x -）經(jīng)過伸縮變換后的曲線方程是6y' 2y倍（縱坐標不變）31倍（縱坐標不變）33倍（縱坐標不變）3倍（縱坐標不變）10.曲線x22x220變成曲線x' 16y'4x'0的伸縮變換是x3.曲線C經(jīng)過伸縮變換y后得到曲線Cy的方程為y log2（x2）,則曲線C的方程為（)1A. y 3 log 2( x2)B.y3 log 2(x2)C. y log 2(3 x2)D.yIog2(3

5、x2)4.把函數(shù)ysin 2x的圖像作怎樣的變換能得到y(tǒng) si n(2x-）的圖像( )3D .向右平移一3A.向左平移-6.向左平移一3B.向右平移5將yf （x）的圖像橫坐標伸長到原來的3倍,縱坐標縮短到原來的1-，則所得函數(shù)的解析式為36.A.占八、y 3 f (3x) B. y1lf(3x)C.y 3 f (1 x) D.31 1y 3f(ax)11.曲線9x2 4y236經(jīng)過伸縮變換,1x' x2后的曲線方程是.1y 3y12.將直線x 2y13.函數(shù)y2變成直線2x' y' 4的伸縮變換是1 2 cos x2.3 .sin xcosx1,xR.（1）當函數(shù)y

6、取得最大值時，求自變量 x的集合;（2）該函數(shù)的圖像可由y sin x（xR）的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到x'（x, y）經(jīng)過伸縮變換y'12 x后的點的坐標是（-2, 6），貝U x3y7.將直線x 2y2變成直線2x' y' 4的伸縮變換是x&為了得到函數(shù)y 2sin（x -） x R的圖像，只需將函數(shù) y 2sinx,x R的圖像上所有的點x' 2xx' 2x3 在伸縮變換與的作用下，單位圓x2 y2 1分別變成什么圖形?y' yy' 2yx14.函數(shù)y，經(jīng)過怎樣的平移變換與伸縮變換才能得到函數(shù)y ?3x 1x

7、x' 3x1.點（x,y）經(jīng)過伸縮變換后的點的坐標是（3,4），則x ， y .y' 2y2 將直線x 2y 2變成直線2x' y' 4的伸縮變換是 _3為得到函數(shù)y 2sin（上 ）x R的圖像，需將y 2sin x, x R的圖像上所有的點（1倍（縱坐標不變）31倍（縱坐標不變）33倍（縱坐標不變）3倍（縱坐標不變）36 'A. 向左平移一個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的6B. 向右平移一個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的6C. 向左平移一個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的6D. 向右平移一個單位長度，再把所得各點的橫

8、坐標伸長到原來的6x' 3x4曲線y sin（x -）經(jīng)過伸縮變換后的曲線方程是6y' 2y5將曲線x2 y2 2x 0變成曲線x'2 16y'2 4x' 0的伸縮變換是16.函數(shù)f （x）的圖像是將函數(shù)|og2（x 1）的圖像上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標變?yōu)樵瓉?的-而得到的，則與f （x）的圖像關(guān)于原點對稱的圖像的解析式是。2x' 2x1點（一,1）經(jīng)過伸縮變換后的點的坐標是問題一：（1）點（2, -3 ）經(jīng)過伸縮變換x2后的點的坐標是13yx14.函數(shù)y ，經(jīng)過怎樣的平移變換與伸縮變換才能得到函數(shù)y ?3x 1x解：分析：可考慮先伸縮

9、，再平移；也可考慮先平移，再伸縮；也可交替地運用平移與伸縮。 方法一、（先伸縮，再平移）解：變式 i. （i,-i）；（2）點（x, y）經(jīng)過伸縮變換2后的點的坐標是y' 3y（-2 ， 6），則 x解：變式2. x 4, y 2問題二：（1）.曲線9x2 4y2x'36經(jīng)過伸縮變換y'1x2后的曲線方程是13yx'2y'2 1（2）曲線C經(jīng)過伸縮變換2 2x' y' 1x'1.點（一,1）經(jīng)過伸縮變換21x3 后的曲線方程是 4x'21尹9y'236，則曲線C的方程是y伸長到原來的3 倍:x伸長到原來的3倍：y1

10、 x3y 3T3(3x)1%x) 1向左平移方法二、向左平移1個單位，再向下平移（先平移，再伸縮）1個單位:(y3x3x 11)1再向下平移-個單位:3x伸長到原來的9倍:(y(x 1) 12x后的點的坐標是y' 3y(,3)x' 2xx' 2x3.在伸縮變換與伸縮變換的作用下，單位圓y' yy' 2yx21分別變成什么圖形?x' 2xx解：在的作用下，單位圓變成橢圓 y'2y' y4,21 ;在y'2x的作用下，單位圓變成圓2y1衛(wèi)13（x 31才19（翻 方法三、（平移與伸縮的交替運用）x3x伸長到原來的3倍：y丄9x

11、1得y9x 9x1x) 11xS得3y11向左平移1個單位：3y 1-（x 1） 1y伸長到原來的3倍：3（- y）3向下平移1個單位：y 111 -得x1 得y x評注：這是一道培養(yǎng)發(fā)散思維能力的好題。，五，作業(yè)x' 3x1點(x, y)經(jīng)過伸縮變換后的點的坐標是(3,4)，則xxy' 2yy y 2.2將直線x 2y 2變成直線2x' y' 4的伸縮變換是x' xy' 4y3為了得到函數(shù)y 2sin(彳-),x R的圖像，只需將函數(shù)y(C )A. 向左平移一個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的6B. 向右平移一個單位長度，再把所得各點

12、的橫坐標縮短到原來的6C. 向左平移一個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的62 sin x, x R的圖像上所有的點1倍(縱坐標不變)31倍(縱坐標不變)33倍(縱坐標不變)3倍(縱坐標不變)6x'后的曲線方程是4曲線 y sin(x)經(jīng)過伸縮變換6y'2yD. 向右平移一個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的x'y'2 si n()36x' 2x22225將曲線x y 2x 0變成曲線x' 16y' 4x' 0的伸縮變換是1 _y' 2y11的丄而得到的，則與f (x)的圖像關(guān)于原點對稱的圖像的解析式是。2

13、解：* y log2(x 1) 以 3x,2 y 分別代 x, y 得 2y log 2(3x 1)11ylog2(3x 1) 有f(x) log2(3x 1)，它的圖像關(guān)于原點對稱的圖像的解析式是221y - log2(1 3x)21典例剖析【例1】：求下列點經(jīng)過橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?3倍后的點的坐標:(1) (1, 2);(2)(-2 , -1 ).【例 1 】解：(1) (2, 6); ( 2) (-4 , -3 ).【例2】：在平面直角坐標系中，求下列方程所對應的圖形經(jīng)過伸縮變換x'y'2x后的圖形3y(1)2x 3y 0 ； (2) x2y2 1.,

14、2,2【例2】解：(1) x' y' 0；(2) x149【變式與拓展1】分析：設變換為x,(0),可將其代入第二個方程，得2 x y 4，與x 2yy y,(0),較，將其變成2x 4y 4,比較系數(shù)得1,4.x x【解】(1)，直線x 2y 2圖象上所有點的橫坐標不變，縱機坐標擴大到原來的y 4y可得到直線2x y 4。坐標壓縮變換：設P(x,y)是平面直角坐標系中任意一點，保持縱坐標不變，將橫坐標x縮為原來1/2，得到1x x2點P' (x ' ,y坐標對應關(guān)系為：y y通常把上式叫做平面直角坐標系中的一個壓縮變換。思考2：怎樣由正弦曲線 y=sinx得到

15、曲線y=3sinx?寫出其坐標變換。設P(x,y)是平面直角坐標系中任意一點，保持橫坐標x不變，將縱坐標 y伸長為原來3倍,得到點P' (x ' ,y坐標對應關(guān)系為:x xy 3y通常把上式叫做平面直角坐標系中的一個伸長變換。思考3：怎樣由正弦曲線 y=sinx得到曲線y=3sin2x?寫出其坐標變換。xx (0)定義：設P(x,y)是平面直角坐標系中任意一點，在變換 ：，'的作用下，點P(x,y)yy, (y 0)對應P' (x ' ,y ').稱為平面直角坐標系中的伸縮變換?！镜湫屠}】在同一直角坐標系中，求滿足下列圖形變換的伸縮變換。將直線

16、x 2y 2變成直線2x y 4，達標檢測A2 .點(x, y)經(jīng)過伸縮變換1x' x2后的點的坐標是(-2, 6),則xy' 3y，yA4將直線x 2y 2變成直線2x' y' 4的伸縮變換是B6.在平面直角坐標系中，求下列方程所對應的圖形經(jīng)過伸縮變換(1) 2x 3y 0;(2) x2 y21 .老城高中高二數(shù)學選修 4-4導學案 編號：1.2.1極坐標系的的概念情境2:如圖為某校園的平面示意圖，假設某同學在教學樓處。(1) 他向東偏60°方向走120M后到達什么位置？該位置唯一確定嗎?(2) 如果有人打聽體育館和辦公樓的位置，他應如何描述？問題1

17、:為了簡便地表示上述問題中點的位置，應創(chuàng)建怎樣的坐標系呢?問題2:如何刻畫這些點的位置?、新課導學x 2x后的圖形:y' 3y探究新知（預習教材P8P10,找出疑惑之處）1、 如右圖，在平面內(nèi)取一個 O，叫做 ；-自極點0引一條射線 Ox，叫做；再選定一個 ，一個 （通常取 ）及其 （通常取 方向），這樣就建立了一個 。2、設M是平面內(nèi)一點，極點0與M的距離|0M I叫做點M的，記為；以極軸Ox為始邊，射線0M為終邊的角xOM叫做點M 的，記為 。有序數(shù)對 叫做點 M的，記作。3、思考：直角坐標系與極坐標系有何異同？ 應用示例例題1: （1）寫出圖中A, B, C, D, E, F,

18、G各點的極標（0,02 ）.（2）:思考下列問題，給出解答。平面上一點的極坐標是否唯一？若不唯一，那有少種表示方法？坐坐標不唯一是由誰引起的？不同的極坐標是否可以寫出統(tǒng)一表達式?本題點G的極坐標統(tǒng)一表達式。答:反饋練習X在下面的極坐標系里描出下列各點A(3,0)B(6, 2 )C(3,)24D(5,)35E(3,)6F(4,)5G(6, 3 )小結(jié)：在平面直角坐標系中，一個點對應個坐標表示，一個直角坐標對應 個點。極坐標系里的點的極坐標有 種表示，但每個極坐標只能對應個點。三、總結(jié)提升2有關(guān)曲線伸縮變換的一般性結(jié)論:x x般地，由，所確定的伸縮變換，是按伸縮系數(shù)為向著y軸的伸縮變換（當 >

19、;1y y時，表示伸長；當<1時，表示壓縮），即曲線上所有點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮ㄟ@里 P（x, y） 是變換前的點,P（x,y） 是變換后的點）.同理，由，所確定的伸縮變換，是按伸縮系數(shù)為向著x軸的伸縮變換（當 >1時，表示伸長；當 <1時，表示壓縮）,即曲線上所有點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮ㄟ@里 P（x, y） 是變換前的點，x xP（x,y） 是變換后的點）.由 y y ，所確定的伸縮變換，是按伸縮系數(shù)向著x軸和按伸縮系數(shù) 向著y軸的伸縮變換（當 1時，表示伸長，1時，表示壓縮；當1時,表示伸長，當 <1時，表示壓縮），即曲線上所有點的橫坐標和

20、縱坐標分別變?yōu)樵瓉淼谋逗捅叮ㄟ@里 P（x, y） 是變換前的點， P（x,y） 是變換后的點）.問題一：（1）求點（2, -3）經(jīng)過伸縮變換1x2后的點的坐標;1,1x x（2）點（x, y）經(jīng)過伸縮變換2 后的點的坐標是（-2 , 6）,求點（x, y）y' 3y問題二：（1）.求曲線9x2 4y236經(jīng)過伸縮變換y'2后的曲線方程;13yx14.函數(shù)y ，經(jīng)過怎樣的平移變換與伸縮變換才能得到函數(shù)y ?3x 1x,五，作業(yè)x' 3x1.點（x,y）經(jīng)過伸縮變換后的點的坐標是（3,4），則x ， yy' 2y2 將直線x 2y 2變成直線2x' y

21、9; 4的伸縮變換是 _（2）曲線C經(jīng)過伸縮變換.1 x' X3 后的曲線方程是4x'2 9y'2 36，求曲線C的方程。1y' y23為得到函數(shù)y 2sin（上 ）x R的圖像，需將y 2sin x, x R的圖像上所有的點（36 '1.一般地，由kX = X'，所確定的伸縮變換，是伸縮系數(shù)為 k向著y軸的伸縮變換。y = y'當k> 1時，表示伸長；當 k< 1時，表示壓縮，即曲線上所有的點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼膋倍。這里P （x, y）是變換前的點，P'（x' , y'）是變換后的點。2.

22、同樣由 X = x'，所確定的伸縮變換是伸縮系數(shù)為k向著x軸的伸縮變換。ky = y'4,我生成的問題：三，我的收獲：本節(jié)課的知識結(jié)構(gòu)、學到的方法、易錯點四，課堂檢測：x' 2x一1.點（一,1）經(jīng)過伸縮變換后的點的坐標是；2y' 3y2將點（2, 3）變成點（3, 2）的伸縮變換是（）A. 向左平移一個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的6B. 向右平移一個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的6C. 向左平移一個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的6D. 向右平移一個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的64.曲線7 Sin（x 6）經(jīng)過

23、伸縮變換x' 3x后的曲線方程是y' 2y5.將曲線x2y2x'2xxA.3B.3y'-yy23x2x'yDC.2 -yy'x3x'x1y'y13.在伸縮變換x 2x與x 2x的作用下，單位圓x2 y2 1分別變成什么圖形? y' y y' 2y1倍（縱坐標不變）31倍（縱坐標不變）33倍（縱坐標不變）3倍（縱坐標不變）2x 0變成曲線x'2 16y'2 4x'0的伸縮變換是16.函數(shù)f （x）的圖像是將函數(shù)log2（x 1）的圖像上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標變?yōu)樵瓉?1的丄而得到的，則

24、與f （x）的圖像關(guān)于原點對稱的圖像的解析式是 。2.1 x' x問題一：（1）點（2，-3 ）經(jīng)過伸縮變換2 后的點的坐標是1y'3¥解：變式 1. (1,-1);點（_ ,1）經(jīng)過伸縮變換2后的點的坐標是y' 3y(,3)；（2）點（x, y）經(jīng)過伸縮變換,1x' x2后的點的坐標是y' 3y(-2 , 6),則 x將點（2, 3）變成點3,2）的伸縮變換是（B ）解：變式2. x 4, y 2問題二：（1）.曲線9x2 4y2x'36經(jīng)過伸縮變換y'1x2后的曲線方程是x'213¥y'2 1A.C

25、.（2）曲線C經(jīng)過伸縮變換2 2x' y' 1kx = x'1.一般地，由 :y = y'所確定的伸縮變換，是伸縮系數(shù)為當k > 1時,表示伸長；當為原來的k倍。這里P（ x，1x3 后的曲線方程是 4x'2 9y'236，則曲線1尹k向著y軸的伸縮變換。C的方程是k< 1時，表示壓縮，即曲線上所有的點的縱坐標不變，橫坐標變y）是變換前的點，P'（x'，y'）是變換后的點。x = x，所確定的伸縮變換是伸縮系數(shù)為k向著x軸的伸縮變換。ky = y'4,我生成的問題：2同樣由三，我的收獲：本節(jié)課的知識結(jié)構(gòu)

26、、學到的方法、易錯點四，課堂檢測:y'x'y'2x332¥B.y'3x22在伸縮變換解：在x'2 y'2D.y'y'2xx'與伸縮變換yy'2x的作用下，單位圓2y2y 1分別變成什么圖形?x' 2x的作用下，單位圓變成橢圓y' yI'21 ;在y'2x的作用下，單位圓變成圓2y4.函數(shù)y，經(jīng)過怎樣的平移變換與伸縮變換才能得到函數(shù)3x 1可考慮先伸縮，再平移；也可考慮先平移，再伸縮；也可交替地運用平移與伸縮。解：分析：方法一、（先伸縮，再平移）y伸長到原來的3 倍:x伸長到

27、原來的3倍：y向左平移方法二、向左平移3x3x 11個單位，再向下平移（先平移，再伸縮）x)x) 1L1得y1個單位:(y1)(x 1) 11313(x) 139x得y9x一， 1 1 1再向下平移個單位：(y )-33 3x伸長到原來的9倍：1y 19( x)9方法三、（平移與伸縮的交替運用）得y 9x1x19x1xx伸長到原來的 3倍：y 313（評11x得3yx 1A. 向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的6B. 向右平移一個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的6C. 向左平移一個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的6D. 向右平移一個單位長度，再把所得各點的

28、橫坐標伸長到原來的6x' 3x4曲線y sin（x -）經(jīng)過伸縮變換后的曲線方程是6y' 2y倍（縱坐標不變）31倍（縱坐標不變）33倍（縱坐標不變）3倍（縱坐標不變）x'y' 2 叫 g1 1向左平移1個單位：3y 1-1-(x 1) 1 x111y伸長到原來的3倍：3（-y） 1 得y 13xx11向下平移1個單位：y 11 得y xx評注：這是一道培養(yǎng)發(fā)散思維能力的好題。，五，作業(yè)x' 3x1.點（x, y）經(jīng)過伸縮變換后的點的坐標是（3 , 4），則x xy' 2yy 一y 2.x' 2x5. 將曲線x2 y2 2x 0變成曲線x'2 16y'2 4x' 0的伸縮變換是1.y' -y16. 函數(shù)f （x）的圖像是將函數(shù)log2（x 1）的圖像上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標變?yōu)樵瓉?的1而得到的，則與f （x）的圖像關(guān)于原點對稱的圖像的解析式是。2I