2018年秋高中數(shù)學第三章導數(shù)及其應用3.3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用3.3.3函數(shù)的最大(

1、333 函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)學習目標：1.能夠區(qū)分極值與最值兩個不同的概念.(易混點)2.掌握在閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)的求法.(重點)3.能根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)的值.(難點)自主預習探新知1. 函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最值如果在區(qū)間a,b上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，則該函數(shù)在a,b上一定能夠取得最大值和最小值，并且函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點取得.思考：若函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上只有一個極大值點xo,則f(xo)是函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值嗎？提示根據(jù)極大值和最大值的定義知，f(xo)是函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最

2、大值.2. 求函數(shù)y=f(x)在a,b上的最值的步驟(1) 求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的極值.(2) 將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a),f(b)進行比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.A .基礎自測1. 思考辨析(1) 函數(shù)的最大值一定是函數(shù)的極大值.()(2) 開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值.()(3) 函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值和最小值一定在兩個端點處取得.jf1函數(shù)f(x)= -在區(qū)間1,1上有最值.()答案X(2)V(3)X(4)x2. 函數(shù)f(x) =x3 3x2+ 2 在區(qū)間1,1上的最大值是()A. 2B. 0C. 2D. 42C f(

3、x) = 3x 6x,令f(x) = 0 得x= 0 或x= 2.由f( 1) = 2,f(0) = 2,f(1) = 0 得f(x)max=f(0) = 2.nq3. 函數(shù)y=x sinx,x忖,n的最大值是()【導學號：97792160】nA.n 1B.1C.nD.n +12一nnC y= 1 cosx0,故函數(shù)y=x sinx,x ”刁,n是增函數(shù)，因此當x=n時，J函數(shù)有最大值，且ymax=n sinn= n.合作探究攻重難32(1)f(x) = 2x 3x 12x+ 5,x 2,1;f(x) = ex(3 x2),x 2,5.2解f(x) = 6x 6x 12,令f(x) = 0 得

4、x= 1 或x= 2,又x 2,1，故x= 1，且f( 1) = 12.又因為f( 2) = 1,f(1) = 8,所以，當x= 1 時，f(x)取最大值 12.當x= 1 時，f(x)取最小值一 8.x x 2(2) /f(x) = 3e ex,-f (x) = 3e (ex+ 2ex)2=ex(x+ 2x 3)x=e (x+ 3)(x 1).在區(qū)間2,5 上,f(x) = ex(x+ 3)(x 1) 0,即函數(shù)f(x)在區(qū)間2,5上單調(diào)遞減， x= 2 時，函數(shù)f(x)取得最大值f(2) = e2;x= 5 時，函數(shù)f(x)取得最小值f(5) = 22el規(guī)律方法求函數(shù)在閉區(qū)間上最值的步驟

5、WiV第一步 求f(X)，解方程f(x) = 0第二步確定在閉區(qū)間上方程f(x) = 0 的根第三步求極值、端點值，確定最值.跟蹤訓練1求下列各函數(shù)的最值.(1)f(x) =x3+ 3x,x ，3, 3;上254f(x) =x&(x 0).z.解(1)f(x) = 3 3x2= 3(1 x)(1 +x).令f(x) = 0,得x= 1 或x= 1,3當x變化時，f(x) ,f(x)的變化情況如下表：xV3(-也,1(1,1)1(1,3)341)f(X)一0+0一f(x)0極小值/極大值18所以x= 1 和x=- 1 是函數(shù)在、:3,3上的兩個極值點，且f(1) = 2,f( 1) =

6、- 2. 又因為f(x)在區(qū)間端點處的取值為f( 3) = 0,f(3) = 18,所以f(X)max= 2 ,f(X)min= 18.令f(x) = 0,得x= 3.當X變化時，f(x) ,f(x)的變化情況如下表：X(m， 3)3(3,0)f(X)0+f(x)極小值/所以x= 3 時，f(x)取得極小值，也就是最小值,故f(x)的最小值為f( 3) = 27,無最大值.含參數(shù)的函數(shù)的最值問題84a,0 aW2從而f(X)max=C.0,2 a2 .規(guī)律方法1.含參數(shù)的函數(shù)最值問題的兩類情況(1) 能根據(jù)條件確定出參數(shù)，從而化為不含參數(shù)函數(shù)的最值問題.(2) 對于不能求出參數(shù)值的問題，則要對

7、參數(shù)進行討論，其實質(zhì)是討論導函數(shù)大于0,等于 0,小于 0 三種情況若導函數(shù)恒不等于0，則函數(shù)在已知區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，最值在端點處取得；若導函數(shù)可能等于0,則求出極值點后求極值，再與端點值比較后確定最值.2.已知函數(shù)最值求參數(shù)值(范圍)的思路已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維，一般先求導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點，用參數(shù)表示出最值后求參數(shù)的值或范圍.1跟蹤訓練Qj322.已知函數(shù)f(x) =ax- 6ax+ b,x 1,2的最大值為 3，最小值為一 29,求a,b的值.解由題設知az0,否則f(x) =b為常函數(shù)，與題設矛盾.求導得f(x) = 3ax1

8、 2 312ax= 3ax(x 4)，令f(x) = 0，得xi= 0,X2= 4(舍去).(1)當a0 時，且x變化時f(x),f(x)的變化情況如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(X)+0f(x)7a+bb16a+b由表可知，當x= 0 時，f(x)取得極大值b,也就是函數(shù)在1,2上的最大值，f(0)=b= 3.又f( 1) = 7a+ 3,f(2) = 16a+ 3f( 1),f(2) = 16a+ 3 = 29，解得a= 2.(2)當af( 1),f(2) = 16a 29= 3,解得a= 2.綜上可得，a= 2,b= 3 或a= 2,b= 29.I異童理.與最值有關的恒成立問題探

9、究問題2比較兩個函數(shù)式的大小，常用什么方法？提示：常用差比較法.3函數(shù)最值和“恒成立”問題有什么聯(lián)系？6提示：解決“恒成立”問題，可將問題轉化為函數(shù)的最值問題如 要f(x)的最小值大于 0 即可.對含參不等式的恒成立問題，求參數(shù)范圍時，可先分離參數(shù).創(chuàng)設f(x) = Inx,g(x) =f(x) +f(x).(1) 求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；(2) 討論g(x)與 g ”大小關系；1(3) 求a的取值范圍，使g(a) g(x)0 成立.a思路探究(1)求出g(x)的表達式是解題的關鍵；(2)構造輔助函數(shù)，結合單調(diào)性求 解；(3)顯然g(x)的最值決定了參數(shù)a的取值范圍。1解由題設知f(x)

10、的定義域為(0,+)，且f(x)=-,x1所以g(x) = Inx+-x一 1所以g(x)= -廠，令g( x) = 0，得x= 1,當 (0,1)時，g(x)0 ,故g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(1 ,+).因此，x= 1 是g(x)的唯極值點，且為極小值點，從而是最小值點,所以g(x)的最小值為g(1) = 1.(2)g1= Inx+x,x設h(x)=g(x)g142ln則h(x)=U(1,+s)時，h(x)0,h(1)=0,因此，h(x)在(0,+)內(nèi)單調(diào)遞減.當 0 xh(1) = 0,即卩g(x)g !；當x1 時，h(x)h(1) = 0,即g(x)g? j.

11、1因為g(a) g(x)0 成立,af(x) 0 恒成立，只當=1 時,h(1) = 0，即g(x) =I當(0,1)7即 ina0 成立.由(1)知，g(x)的最小值為 1,所以 ina1，解得 0a0)等價于 inxx0；當x1時，g(x)w0,x= 1 是g(x)的最大值點，所以g(x)wg(1) 一1.綜上可知，a的取值范圍是1,+).1.函數(shù)y= 寧的最大值為JFjta*八12A. eB. eC. einxA 函數(shù)y=的定義域為x,1 in x , 1 in x ey=2，由2= 0 得x= e,xx當 0 x0,當xe 時，y 0.inx,亠1!堂達標固10D.y(0，+m).8因

12、此當x= e 時，函數(shù)y=x有最大值，且ymax= e= e .e92若函數(shù)f(x)=x3 3xa在區(qū)間0,3上的最大值、最小值分別為M N則MN的值為()A. 2B. 4C. 18D. 202D f(x) = 3x 3,令f(x) = 0 得x= 1.當 0wx1 時，f(x)0 ;當 1x0.則f(1)最小，又f(0) = a,f(3) = 18a,f(3)f(0)，所以最大值為f(3)，即M= f(3),N=f(1) ?MNh f(3) f(1)=(18 a) ( 2a) = 20.3._ 函數(shù)y=x+ 2cosx在區(qū)間|0,今 上的最大值是 _ .-al6 + 3 y = 1 2sin

13、x= 0，解得x=石，比較 0，石，2處的函數(shù)值，得ymax=6 +3. 3124. 函數(shù)f(x) =x3，x2 2x+ 5， 對任意x 1,2都有f(x)m則實數(shù)m的取值范圍是f(x)minm即可,由f(x) = 3x2x 2 = 0,2得x= 3(舍去)或x= 1,377易知f(x)min=f(1) = 2，所以mFJ.x,求f(x) 在-12, 2 上的最大值和最小值【導學號：97792163】x(x)= 一由f(x) = 0,得x= 1.在 2 2 上，當x變化時，f(x) ,f(x)的變化情況如下表:1(11 一x5.已知函數(shù)f(x)=+ln2由題意知只要10 x21 一 1 1 a1丿1(1,2)211而 e3 16,.f2 f(2) 0. f(x)在 I1, 2 上的最