知識講解-高考總復(fù)習(xí)：古典概型與幾何概型(提高)(共15頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高考總復(fù)習(xí)：古典概型與幾何概型【考綱要求】1、理解古典概型及其概率計算公式；了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率；2、會計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；了解幾何概型的意義。【知識網(wǎng)絡(luò)】隨機事件的概率古典概型幾何概型應(yīng)用【考點梳理】知識點一、古典概型1. 定義具有如下兩個特點的概率模型稱為古典概型：（1）試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；（2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。2. 古典概型的基本特征（1）有限性：即在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果，只有有限個，也就是說，只有有限個不同的基本事件。（2）等可能性：每個基本事件發(fā)生的可能性是均等的。3.

2、古典概型的概率計算公式由于古典概型中基本事件發(fā)生是等可能的，如果一次試驗中共有種等可能的結(jié)果，那么每一個基本事件的概率都是。如果某個事件A包含個基本事件，由于基本事件是互斥的，則事件A發(fā)生的概率為其所含個基本事件的概率之和，即。所以古典概型計算事件A的概率計算公式為：4.求古典概型的概率的一般步驟：（1）算出基本事件的總個數(shù)； （2）計算事件A包含的基本事件的個數(shù)；（3）應(yīng)用公式求值。 5古典概型中求基本事件數(shù)的方法：（1）窮舉法；（2）樹形圖；（3）排列組合法。利用排列組合知識中的分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理，必須做到不重復(fù)不遺漏。知識點二、幾何概型1. 定義：事件A理解為區(qū)域的某一子區(qū)域A，

3、A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量（長度、面積或體積）成正比，而與A的位置和形狀無關(guān)。滿足以上條件的試驗稱為幾何概型。2.幾何概型的兩個特點：（1）無限性，即在一次試驗中基本事件的個數(shù)是無限的；（2）等可能性，即每一個基本事件發(fā)生的可能性是均等的。3.幾何概型的概率計算公式：隨機事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的圖形面積（體積、長度）”與“試驗的基本事件所占總面積（體積、長度）”之比來表示。所以幾何概型計算事件A的概率計算公式為：其中表示試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量，表示構(gòu)成事件A的區(qū)域的幾何度量。要點詮釋：用幾何概型的概率公式計算概率時，關(guān)鍵是構(gòu)造出隨機事件所對應(yīng)的幾何圖形，并

4、對幾何圖形進(jìn)行相應(yīng)的幾何度量. 對于一些簡單的幾何概型問題，可以快捷的找到解決辦法.【典型例題】類型一、古典概型【例1】將一顆骰子先后拋擲兩次，觀察向上的點數(shù)，求：（1）向上的點數(shù)一共有多少種不同的結(jié)果？（2）點數(shù)之和是4的倍數(shù)的概率；（3）點數(shù)之和大于5小于10的概率.【思路點撥】利用古典概型步驟進(jìn)行求解：（1）算出基本事件的總個數(shù)； （2）計算事件A包含的基本事件的個數(shù)；（3）應(yīng)用公式求值。 【解析】（1）作圖，從圖中容易看出基本事件與所描點一一對應(yīng)，共36種.（2）記“點數(shù)之和是4的倍數(shù)”的事件為A，從圖中可以看出，事件A包含的基本事件共有9個：（1，3），（2，2），（3，1），（2，

5、6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（6，6），所以；（3）記“點數(shù)之和大于5小于10”為事件B，從圖中可以看出，事件B包含的基本事件共有20個，即（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（1，6），（2，5），（3，4)，（4，3），（5，2），（6，1），（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（3，6），（4，5），（5，4），（6，3），所以.【總結(jié)升華】在解決古典概型問題時，首先應(yīng)當(dāng)分清楚計數(shù)的類型，要分清是排列還是組合，單一的還是混合的；若所求事件的基本事件個數(shù)不易求，很容易出現(xiàn)遺漏或重復(fù)，可借助有關(guān)圖形，以便更準(zhǔn)確地把握基

6、本事件個數(shù).舉一反三：【變式】用數(shù)字1，2，3，4，5組成五位數(shù)，其中恰有4個相同數(shù)字的概率為 .【答案】=.【例2】連續(xù)擲3枚硬幣，觀察落地后這3枚硬幣出現(xiàn)正面還是反面.（1）寫出這個試驗的基本事件；（2）求這個試驗的基本事件的總數(shù)；（3）“恰有兩枚正面向上”這一事件包含哪幾個基本事件?【思路點撥】利用古典概型解題步驟進(jìn)行求解?！窘馕觥浚?）這個試驗的基本事件=（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）；（2）基本事件的總數(shù)是8.（3）“恰有兩枚正面向上”包含以下3個基本事件：（正，正，反），（正，反，正），

7、（反，正，正）.【總結(jié)升華】一次試驗中所有可能的結(jié)果都是隨機事件，這類隨機事件稱為基本事件.【例3】拋擲兩顆骰子，求：（1）點數(shù)之和出現(xiàn)7點的概率；（2）出現(xiàn)兩個4點的概率.【思路點撥】根據(jù)條件列舉出事件A所包含基本事件個數(shù)。【解析】作圖，從下圖中容易看出基本事件空間與點集S=（x，y）|xN，yN，1x6，1y6中的元素一一對應(yīng).因為S中點的總數(shù)是66=36（個），所以基本事件總數(shù)n=36.（1）記“點數(shù)之和出現(xiàn)7點”的事件為A，從圖中可看到事件A包含的基本事件數(shù)共6個：（6，1），（5，2），（4，3），（3，4），（2，5），（1，6），所以P（A）=.（2）記“出現(xiàn)兩個4點”的事件為B

8、，則從圖中可看到事件B包含的基本事件數(shù)只有1個：（4，4）.所以P（B）=.【總結(jié)升華】在古典概型下求P（A），關(guān)鍵要找出A所包含的基本事件個數(shù)然后套用公式【例4】在一次口試中，考生要從5道題中隨機抽取3道進(jìn)行回答，答對其中2道題為優(yōu)秀，答對其中1道題為及格，某考生能答對5道題中的2道題，試求：（1）他獲得優(yōu)秀的概率為多少；（2）他獲得及格及及格以上的概率為多少；【思路點撥】這是一道古典概率問題，須用枚舉法列出基本事件數(shù).【解析】設(shè)這5道題的題號分別為1,2，3，4，5，則從這5道題中任取3道回答，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）

9、，（2，3，4）,（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10個基本事件（1）記“獲得優(yōu)秀”為事件A，則隨機事件A中包含的基本事件個數(shù)為3，故（2）記“獲得及格及及格以上”為事件B，則隨機事件B中包含的基本事件個數(shù)為9，故【總結(jié)升華】使用枚舉法要注意排列的方法，做到不漏不重.舉一反三：【變式】一個各面都涂有色彩的正方體，被鋸成個同樣大小的小正方體，將這些正方體混合后，從中任取一個小正方體，求：有一面涂有色彩的概率；有兩面涂有色彩的概率；有三面涂有色彩的概率.【解析】在個小正方體中：一面涂有色彩的有個，兩面涂有色彩的有個，三面涂有色彩的有個，所以一面涂有色彩的概率為；兩面涂有色彩的概率為

10、；有三面涂有色彩的概率【例5】某學(xué)校三個社團(tuán)的人員分布如下表（每名同學(xué)只參加一個社團(tuán)）圍棋社戲劇社書法社高中4530初中151020 學(xué)校要對這三個社團(tuán)的活動效果進(jìn)行抽樣調(diào)查，按分層抽樣的方法從社團(tuán)成員中抽取30人，結(jié)果圍棋社被抽出12人.(I) 求這三個社團(tuán)共有多少人？(II) 書法社從3名高中和2名初中成員中，隨機選出2人參加書法展示，求這2人中初、高中學(xué)生都有的概率.【思路點撥】（I）根據(jù)圍棋社共有60人，按分層抽樣的方法從社團(tuán)成員中抽取30人，結(jié)果圍棋社被抽出12人，得到三個社團(tuán)的總?cè)藬?shù)（II）本題是一個等可能事件的概率，列舉出試驗發(fā)生包含的事件，共有10個基本事件，書法展示的同學(xué)中初

11、、高中學(xué)生都有列舉出共有6種結(jié)果，根據(jù)概率公式得到結(jié)果【解析】（I）圍棋社共有60人， 由可知三個社團(tuán)一共有150人. （II）設(shè)初中的兩名同學(xué)為，高中的3名同學(xué)為, 隨機選出2人參加書法展示所有可能的結(jié)果: ，共10個基本事件. 設(shè)事件表示“書法展示的同學(xué)中初、高中學(xué)生都有”， 則事件共有 6個基本事件. . 故參加書法展示的2人中初、高中學(xué)生都有的概率為. 【總結(jié)升華】本題主要考查等可能事件的概率，解決等可能事件的概率問題最有效的工具是列舉，大綱中要求能通過列舉解決古典概型問題，也有一些題目需要借助于排列組合來計數(shù)舉一反三：【變式】現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有10件，其中8件為正品，2件為次品：（1）

12、如果從中取出一件，然后放回，再取一件，求連續(xù)3次取出的都是正品的概率；（2）如果從中一次取3件，求3件都是正品的概率【解析】（1）有放回地抽取3次，按抽取順序（x,y,z）記錄結(jié)果，則x,y,z都有10種可能，所以試驗結(jié)果有101010=103種；設(shè)事件A為“連續(xù)3次都取正品”，則包含的基本事件共有888=83種，因此，P(A)= =0.512（2）可以看作不放回抽樣3次，順序不同，基本事件不同，按抽取順序記錄（x,y,z），則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，所以試驗的所有結(jié)果為1098=720種設(shè)事件B為“3件都是正品”，則事件B包含的基本事件總數(shù)為876=336, 所以P(B)

13、= 類型二、與長度有關(guān)的幾何概型1如果試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示，則其概率的計算公式為2將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣，而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解?！纠?】在半徑為1的圓內(nèi)一條直徑上任取一點，過這個點作垂直于直徑的弦，則弦長超過圓內(nèi)接的等邊三角形邊長的概率是 【思路點撥】解決概率問題先判斷屬于什么概率模型，本題屬幾何概型，把問題轉(zhuǎn)化為化成：直徑上到圓心O的距離小于的點構(gòu)成的線段長與直徑長之比?！窘馕觥坑浭录嗀為“弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長”

14、，如圖，不妨在過等邊三角形BCD的頂點B的直徑BE上任取一點F作垂直于直徑的弦，當(dāng)弦為CD時，就是等邊三角形的邊長，弦長大于CD的充要條件是圓心O到弦的距離小于OF（此時F為OE中點），由幾何概型公式得：?！究偨Y(jié)升華】將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣，而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解。舉一反三：【變式1】取一根長度為60cm的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長都不小于20cm的概率有多大？60cm20cm20cm60cm【解析】從每一個位置剪斷都是一個基本事

15、件,剪斷位置可以是長度為60cm的繩子上的任意一點.如上圖,記“剪得兩段繩子的長度都不小于20cm”為事件A,把繩子三等分,于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時,事件A發(fā)生.由于中間一段的長度等于繩子長的,于是事件A發(fā)生的概率P(A)= .【變式2】在半徑為1 圓周上有一點A，以A為端點任選一弦，另一端點在圓周上等可能，求弦長超過的概率.【答案】如圖：另一端落在圓周上任一點，基本事件空間，可用圓周長來度量，圓內(nèi)接正三角形ABC的邊長為，若任一端點落在劣弧上，則弦長超過，而落在劣弧之外，則弦長不超過，劣弧之長為圓周的，事件A=“弧長超過”發(fā)生意味著另一端點落在劣弧上，A可用劣弧弧長來度量，故.【例7】

16、在等腰RtABC中， (1)在斜邊AB上任取一點M，求AM的長小于AC的長的概率.（2）過直角頂點C在內(nèi)作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AMAC的概率.【思路點撥】根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為幾何概型問題。【解析】(1)在AB上截取AC=AC，于是P（AMAC）=P（AM）=.ACM(2)(1)B (2) 在AB上截取AC=AC, 于是P（AMAC）【總結(jié)升華】（1）對于幾何概型中的背景相同的問題，當(dāng)?shù)瓤赡艿慕嵌炔煌瑫r，其概率是不一樣的（2）在利用幾何概率公式計算概率時，必須注意d與D的測度單位的統(tǒng)一.類型三、與面積（體積）有關(guān)的幾何概型1如果試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用面積表示，則其概

17、率的計算公式為：2“面積比”是求幾何概率的一種重要類型，也是在高考中?？嫉念}型。3如果試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用體積表示，則其概率的計算公式為：【例8】如圖，在墻上掛著一塊邊長為16cm的正方形木板，上面畫了小、中、大三個同心圓，半徑分別為2cm,4cm,6cm，某人站在3m處向此板投鏢，設(shè)投鏢擊中線上或沒有投中木板時都不算，可重投，問：（1）投中大圓內(nèi)的概率是多少？（2）投中小圓與中圓形成的圓環(huán)的概率是多少？（3）投中大圓之外的概率是多少？【思路點撥】投中正方形木板上每一點（投中線上或沒投中不算）都是一個基本事件，這一點可以是正方形木板上任意一點，因而基本事件有無限多個，且每個基本

18、事件發(fā)生的可能性都相等.所以，投中某一部分的概率只與這部分的幾何度量（面積）有關(guān)，這符合幾何概型的條件【解析】設(shè)事件A“投中大圓內(nèi)”，B“投中小圓與中圓形成的圓環(huán)”，C“投中大圓之外”.，由幾何概率公式得：，.【總結(jié)升華】對于幾何概型，關(guān)鍵是要構(gòu)造出隨機事件對應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來求隨機事件的概率.舉一反三：【變式】設(shè)有關(guān)于的一元二次方程（）若a是從0，1，2，3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率（）若a是從區(qū)間0,3任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間0,2任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率【答案】設(shè)事件為“方程有實根”當(dāng)，時，方程有實根的充

19、要條件為（）基本事件共12個：其中第一個數(shù)表示的取值，第二個數(shù)表示的取值事件中包含9個基本事件，事件發(fā)生的概率為（）試驗的全部結(jié)束所構(gòu)成的區(qū)域為構(gòu)成事件的區(qū)域為所以所求的概率為【例9】將長為的棒隨機折成3段，求3段構(gòu)成三角形的概率.【思路點撥】將構(gòu)成三角形問題轉(zhuǎn)化為三段的長度關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化有關(guān)面積的幾何概型問題進(jìn)行求解?！窘馕觥吭O(shè)A=“3段構(gòu)成三角形”，x,y分別表示其中兩段的長度，則第3段的長度為.0ll則實驗的全部結(jié)果可構(gòu)成集合，要使3段構(gòu)成三角形，當(dāng)且僅當(dāng)任意兩段之和大于第三段，故所求結(jié)果構(gòu)成的集合所求的概率為【總結(jié)升華】用幾何概型解題的一般步驟是：（1）適當(dāng)選擇觀察角度；（2）把基本事

20、件轉(zhuǎn)化為與之相應(yīng)的區(qū)域；（3）把事件A轉(zhuǎn)化為與之對應(yīng)的區(qū)域；（4）利用概率公式計算.舉一反三：【變式】 一海豚在水池中自由游弋，水池為長30 m，寬20 m的長方形，求海豚嘴尖離岸邊不超過2 m的概率. 【解析】如下圖，區(qū)域是長30 m、寬20 m的長方形.圖中陰影部分表示事件A：“海豚嘴尖離岸邊不超過2 m”，問題可以理解為求海豚嘴尖出現(xiàn)在下圖中陰影部分的概率.由于區(qū)域的面積為3020=600（m2），陰影A的面積為30202616=184（m2）.P（A）=.類型四、生活中的幾何概型【例10】兩人約定在20：00到21：00之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各

21、自獨立的，在20：00到21：00各時刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時間內(nèi)相見的概率?！舅悸伏c撥】兩人不論誰先到都要等遲到者40分鐘，即小時。設(shè)兩人分別于x時和y時到達(dá)約見地點，要使兩人在約定的時間范圍內(nèi)相見，當(dāng)且僅當(dāng)，因此轉(zhuǎn)化成面積問題，利用幾何概型求解?！窘馕觥吭O(shè)兩人分別于x時和y時到達(dá)約見地點，要使兩人能在約定時間范圍內(nèi)相見，當(dāng)且僅當(dāng)。兩人到達(dá)約見地點所有時刻（x,y）的各種可能結(jié)果可用圖中的單位正方形內(nèi)（包括邊界）的點來表示，兩人能在約定的時間范圍內(nèi)相見的所有時刻（x,y）的各種可能結(jié)果可用圖中的陰影部分（包括邊界）不表示。因此陰影部分與單位正方形的面積比就反映了兩人在約定時間范圍內(nèi)相遇的可能性的大小，也就是所求的概率為【總結(jié)升華】對于活生生中的幾何概型問題：（1）要注意實際問題中的可能性的判斷；（2）將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型中的長度、角度、面積、體積等常見幾何概型的求解問題，構(gòu)造出隨機事件A對應(yīng)的幾何圖形，利用幾何圖形的度量來求隨機事件的