2018版高中數(shù)學平面解析幾何初步2.3.4圓與圓的位置關系學案(含解析)新人教B版

1、1234圓與圓的位置關系- 學習目標導航1 掌握圓與圓的位置關系及判定方法.（重點）2.了解兩圓相交或相切時一些簡單的幾何性質的應用.（重點）3利用圓的對稱性靈活解決問題的方法.（難點）I_ .，基礎初探教材整理圓與圓的位置關系及其判定閱讀教材 Pl01P103“練習”以上內容，完成下列冋題.1 .圓與圓的位置關系圓與圓的位置關系有五種，分別為外離、外切、相交、內切、內含._2.判定（1）幾何法：若兩圓的半徑分別為ri、2,兩圓的圓心距為d,則兩圓的位置關系的判斷方法如下：宀護 W 位置大糸外離外切相交內切內含圖示d與仆2的關系d1+2d=1+212vdv1+2d=| |r12| |0wdv丨

2、丨12| |（2）代數(shù)法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個數(shù)進行判斷.消元A0?相交一元二次方程 = 0?內切或外切. 0?外離或內含-做休驗-兩圓x2+y2= 9 和x2+y2 8x+ 6y+ 9 = 0 的位置關系是（）A.外離B.相交C.內切D.外切階段1認知預習質疑知識梳理要點初探圓C方程圓C2方程分組討論疑難細為:22 2 2 2【解析】 兩圓x+y= 9 和x+y 8x+ 6y+ 9= 0 的圓心分別為（0,0）和（4 , 3）,半分組討論疑難細為:3徑分別為 3 和 4.所以兩圓的圓心距d= . 42+ ( - 3)2= 5. 又 4 355,即 0wkv14 或 34vkv5

3、0 時，兩圓相離.1.判斷兩圓的位置關系或利用兩圓的位置關系求參數(shù)的取值范圍問題有以下幾個步驟:(1)化成圓的標準方程，寫出圓心和半徑；計算兩圓圓心的距離d;階段2合作探究通關小組合作型圓與圓位置關系的判定當實數(shù)k為何值時，兩圓G：x2+y2+ 4x 6y+ 12= 0,C2：x2+y2 2x 14y+k=0 相交、相切、相離?【導學號：45722113】【精彩點求圓G的半徑1T求圓C2的半徑r2 T求|GC2|名師j分組討論疑難細為:4(3)通過d,1+2, |12|的關系來判斷兩圓的位置關系或求參數(shù)的范圍，必要時可5借助于圖形，數(shù)形結合.2 應用幾何法判定兩圓的位置關系或求字母參數(shù)的范圍是

4、非常簡單清晰的，要理清圓 心距與兩圓半徑的關系.再練一題1.已知圓C：x2+y2 2ax-2y+a2 15= 0,圓C2：x2+y2 4ax-2y+ 4a2=0(a0).試求a為何值時，兩圓Ci,C2的位置關系為：相切；(2)相交；(3)外離；內含.【解】 圓C,C2的方程，經配方后可得亠2 2C： (xa) + (y 1) = 16,C： (x 2a) + (y 1) = 1,圓心C(a,1),C2(2a,1)，半徑 m = 4,2= 1.I CC2| =/(a 2a)2+ (1 1)2=a.(1) 當| CG| =n+ r2= 5,即即a= 5 時，兩圓外切；當| CG| =r1r2= 3

5、, 即卩a= 3 時，兩圓內切.(2) 當 3v|CC2|v5，即 3vav5 時，兩圓相交.(3) 當|CC2| 5,即卩a 5 時，兩圓外離.當|CG|v3,即 0y+F2) = 0(入工一 1).再練一題2.已知圓G：x2+y2+ 2x 6y+ 1 = 0，與圓G：x2+y2 4x+ 2y 11 = 0 相交于A,B兩點，求AB所在的直線方程和公共弦AB的長.【解】 由圓C的方程減去圓C2的方程，整理得方程 3x 4y+ 6= 0,又由于方程 3x4y+ 6= 0 是由兩圓相減得到的，即兩圓交點的坐標一定是方程3x 4y+ 6 = 0 的解.因為兩點確定一條直線，故 3x 4y+ 6 =

6、 0 是兩圓公共弦AB所在的直線方程.2 2圓C:x+y+ 2x 6y+ 1= 0,圓心為C( 1,3)，半徑r= 3,圓心C到直線AB的距離d| 3 12+ 6| = 9松 =5, IAB=2r2d2=2AB所在的直線方程為3x 4y+ 6 = 0，公共弦AB的長為 曽.探究共研型直線與圓的方程的應用探究 1 設村莊(x 2)2+ (y+ 3)2= 4 表示，村外一小路方程可用xy+ 2=0 表示，你能求出從村莊外圍到小路的最短距離嗎？【提示】 從村莊外圍到小路的最短距離為圓心(2 , 3)到直線xy+ 2 = 0 的距離減89探究 2 已知臺風中心從A地以每小時 20 千米的速度向東北方向

7、移動，離臺風中心 30 千米內的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A的正東 40 千米處，請建立適當?shù)淖鴺讼?，用坐標法求B城市處于危險區(qū)內的時間.【提示】 如圖，以A為原點，以AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系.射線AC為/xAy的平分線，則臺風中心在射線AC上移動.貝驚B到AC的距離為 20 2 千米，則射線AC被以B為圓心，以 30 千米為半徑的圓截得 的弦長為 2302- (202)2= 20(千米).圓C與圓O交于點E, F,且EF與CD相交于H求證：EF平分CD【精彩點撥】 建立適當坐標系，設出圓O和圓C的方程，利用兩圓相交求公共弦方程, 證明CD中點在公共弦EF上.【自主解答】 以AB所在直

8、線為x軸，O為坐標原點建立平面直角坐標系如圖所示, 設 |AB=2r,D(a,0)，則 |CD= ,2Qa, , r2-a2),圓O x+y=r,圓 C：(x-a)2+ (y-, r2-a2)2=r2-a2. 兩方程作差得直線EF的方程為 2ax+ 2r2-a2y=r2+a2. 令x=a,得y= 2；r2-a2,去圓的半徑2，即帯二 I)2-2.所以B城市處于危險區(qū)內的時間為20t= 20= 1(小時).卜如圖 2-3-1 所示，在圓O上任取C點為圓心作圓C與圓O的直徑AB相切于D圖 2-3-110 Ha,1r2-a2，即H為CD中點， EF平分CD名師皿7 ff1 坐標法解決幾何問題，要先建

9、立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，建系時要堅持如下原則:(1) 若有兩條互相垂直的直線，一般以它們分別為x軸和y軸；(2) 充分利用圖形的對稱性；(3) 讓盡可能多的點落到坐標軸上，或關于坐標軸對稱；(4) 關鍵點的坐標易于求得.2 解決直線與圓的方程的實際應用題時應注意以下幾個方面：再練一題3一艘輪船沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報，臺風中心位于輪船正西70 km 處，受影響的范圍是半徑為30 km 的圓形區(qū)域，已知港口位于臺風中心正北40 km 處,如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風的影響？【導學號：45722114】【解】以臺風中心為坐標原點，以東西方向為x軸建立直角坐標系(如

10、圖)，其中取11港口所對應的點的坐標為(0,4),輪船的初始位置所對應的點的坐標為(7,0),則輪船航線所在直線I的方程為 7+ 4 = 1，即 4x+ 7y 28= 0.圓心(0,0)到航線 4x+ 7y 28= 0 的距離d=1 筆=-，而半徑 寸 42+ 7 /65直線與圓外離，所以輪船不會受到臺風的影響. 2 2 . . 2 21. 圓O：x+y 2x= 0 和圓Q：x+y 4y= 0 的位置關系為()A.外離B.相交C.外切D.內切【解析】 圓O的圓心坐標為(1,0)，半徑長r1= 1 ;圓O的圓心坐標為(0,2)，半徑長r2= 2 ； 1 =r2r1v| OQ| = (5vr1+r

11、2= 3，即兩圓相交.【答案】 B2. 圓x2+y2 2x 5 = 0 和圓x2+y2+ 2x 4y 4 = 0 的交點為A B,則線段AB的垂直平分線方程為()A.x+y 1= 0B. 2xy+ 1 = 0C.x 2y+ 1 = 0D.xy+ 1 = 0y一 0 x 1【解析】 所求直線即兩圓圓心(1,0)、( 1,2)連線所在直線，故由=，得2 0 1 1x+y 1 = 0.【答案】 A3. 圓 C：(xm)2+ (y+ 2)2= 9 與圓C2：(x+ 1)2+ (ym)2= 4 外切，則m的值為_.【解析】C(m 2) ,r1= 3,C2( 1,m),r2= 2,22由題意得 | CG| = 5,即(m 1) + (m2) = 25,解得m= 2 或m= 5.【答案】 2 或54._在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x+y 8x+ 15= 0，若直線y=kx 2 上 至少存在一點，使得以該點為圓心，1 為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是 _ .【解析】 圓C：(x 4)2+y2= 1，如圖，要滿足直線y=kx 2 上至少存在一點，使得 以該點為圓心，1 為半徑的圓與圓C有公共點，只需保證圓心C到y(tǒng)=