方法技巧專題08,,軌跡方程求法（原卷版）

1、方法技巧專題08,軌跡方程求法（原卷版） 方法技巧專題 8 軌跡方程問題 一、 軌跡方程問題知識框架 二、求軌跡方程的常用方法 【一】定義法 1. 例題 【例 1】 】已知 abc d 的頂點(diǎn) a，b 的坐標(biāo)分別為（-4，0），（4，0），c 為動點(diǎn)，且滿足 , sin45sin sin c a b = +求點(diǎn) c 的軌跡。 例 【例 2 】一動圓與圓2 26 5 0 x y x + + + = 外切，同時(shí)與圓2 26 91 0 x y x + - - = 內(nèi)切，求動圓圓心 m 的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線。 例 【例 3 】已知 a、b、c 是直線 l 上的三點(diǎn)，且|ab|=|bc|=

2、6，o切直線 l 于點(diǎn) a，又過 b、c 作o異于l 的兩切線，設(shè)這兩切線交于點(diǎn) p，求點(diǎn) p 的軌跡方程. 2. 鞏固提升綜合練習(xí) 定義法： 如果動點(diǎn) p 的運(yùn)動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。 習(xí) 【練習(xí) 1】 】已知圓 ( ) 25 422= + + y x 的圓心為 m 1 ，圓 ( ) 1 422= + - y x 的圓心為 m 2 ，一動圓與這兩個(gè)圓外切，求動圓圓心 p 的軌跡方程。 習(xí) 【練習(xí) 2 】一動圓與圓 o： 12 2= + y x 外切，而與圓 c： 0 8 62 2

3、= + - + x y x 內(nèi)切，那么動圓的圓心 m的軌跡是（ ） a. 拋物線 b. 圓 c. 橢圓 d. 雙曲線一支 【練習(xí)3 】已知abc中，Ða,Ðb,Ðc所對應(yīng)的邊為a,b,c,且acb，a,c,b成等差數(shù)列，|ab|=2,求頂點(diǎn)c的軌跡方程 【二】直譯法 1. 例題 【例 1 1】 】一條線段 ab 的長等于 2a,兩個(gè)端點(diǎn) a 和 b 分別在 x 軸和 y 軸上滑動，求 ab 中點(diǎn) p 的軌跡方程？ 例 【例 2 】雙曲線的兩焦點(diǎn)分別是1f 、2f ，其中1f 是拋物線 1 ) 1 (412+ + - = x y 的焦點(diǎn)，兩點(diǎn) a（-3，2）、b（1

4、，2）都在該雙曲線上 （1）求點(diǎn)1f 的坐標(biāo)； （2）求點(diǎn)2f 的軌跡方程，并指出其軌跡表示的曲線 .源頭學(xué)子小屋特級教師王新敞 如果動點(diǎn) p 的運(yùn)動規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點(diǎn) p 滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點(diǎn) p 所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn) p 的坐標(biāo)（x，y）表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。 例 【例 3】 】已知點(diǎn) ) 0 , 2 (- a 、 ). 0 , 3 ( b 動點(diǎn) ) , ( y x p 滿足2x pb pa = × ，則點(diǎn) p 的軌跡為（ ） a圓 b橢圓 c雙曲線 d拋物線 2. 鞏固 提升綜合練習(xí) 習(xí) 【練習(xí) 1

5、】動點(diǎn) p（x,y）到兩定點(diǎn) a（3，0）和 b（3，0）的距離的比等于 2（即 2| | |=pbpa），求動點(diǎn) p的軌跡方程？ 習(xí) 【練習(xí) 2】 】某檢驗(yàn)員通常用一個(gè)直徑為2 cm和一個(gè)直徑為1 cm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱，檢測一個(gè)直徑為3 cm的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個(gè)合適的同號標(biāo)準(zhǔn)圓柱，問這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓柱的直徑為多少？ 習(xí) 【練習(xí) 3】 】已知平面上兩定點(diǎn) (0, 2) m - 、 (0,2) n ， p 為一動點(diǎn)，滿足 mp mn pn mn × = × 求動點(diǎn) p 的軌跡 c 的方程. 【三】參數(shù)法 1. 例題 例 【例 1 】過點(diǎn) p（2，4）作兩條互相垂直的直

6、線 l 1 ，l 2 ，若 l 1 交 x 軸于 a參數(shù)法： 如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動點(diǎn) p 運(yùn)動的某個(gè)幾何量 t，以此量作為參變數(shù)，分別建立 p 點(diǎn)坐標(biāo) x，y 與該參數(shù) t 的函數(shù)關(guān)系 xf（t）， yg（t），進(jìn)而通過消參化為軌跡的普通方程 f（x，y）0。 點(diǎn)，l 2 交 y 軸于 b 點(diǎn)，求線段 ab 的中點(diǎn) m 的軌跡方程。 【例 例 2 2】 】設(shè)點(diǎn) a 和 b 為拋物線 y 2 =4px(p0)上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動點(diǎn)，已知 oaob，omab，求點(diǎn) m 的軌跡方程，并說明它表示什么曲線。 例 【例 3】 】 過拋物線 px y 22= （ 0 > p

7、 ）的頂點(diǎn) o 作兩條互相垂直的弦 oa 、 ob ，求弦 ab 的中點(diǎn) m 的軌跡方程. 2. 鞏固提升綜合練習(xí) 習(xí) 【練習(xí) 1 】過圓 o：x 2 +y 2 = 4 外一點(diǎn) a（4，0），作圓的割線，求割線被圓截得的弦 bc 的中點(diǎn) m 的軌跡。 namboyx 習(xí) 【練習(xí) 2 】過點(diǎn) a（ 1，0），斜率為 k 的直線 l 與拋物線 c ： y 2 =4x 交于 p ， q 兩點(diǎn).若曲線 c 的焦點(diǎn) f 與p ， q ， r 三點(diǎn)按如圖順序構(gòu)成平行四邊形 pfqr，求點(diǎn) r 的軌跡方程。 【四】 代入法（相關(guān)點(diǎn)法） 1. 例題 【例 1 1 】 的 的中點(diǎn) 求線段 為定點(diǎn) 上的動點(diǎn) 是橢

8、圓 點(diǎn) m ab ， a ， ，abyaxb ) 0 2 ( 12222= + 軌跡方程。 【例 2 】雙曲線2219xy - = 有動點(diǎn) p ，1 2, f f 是曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，求1 2pff d 的重心 m 的軌跡方程。 例 【例 3】 】如圖，從雙曲線 1 :2 2= - y x c 上一點(diǎn) q 引直線 2 : = + y x l 的垂線，垂足為 n ，求線段 qn 的代入法（相關(guān)點(diǎn)法）： 如果動點(diǎn) p 的運(yùn)動是由另外某一點(diǎn) p"的運(yùn)動引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出 p（x，y），用（x，y）表示出相關(guān)點(diǎn) p"的坐標(biāo)，然后把

9、 p"的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動點(diǎn) p 的軌跡方程。 中點(diǎn) p 的軌跡方程. 2. 鞏固提升綜合練習(xí) 習(xí) 【練習(xí)1】 】 已知拋物線y 2 =x+1，定點(diǎn)a(3，1)、b為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)p在線段ab上，且有bppa=12，當(dāng) b 點(diǎn)在拋物線上變動時(shí)，求點(diǎn) p 的軌跡方程 習(xí) 【練習(xí) 2 】如圖所示，已知 p(4，0)是圓 x 2 +y 2 =36 內(nèi)的一點(diǎn)，a、b 是圓上兩動點(diǎn)，且滿足apb=90，求矩形 apbq 的頂點(diǎn) q 的軌跡方程 【五】交軌 法 1. 例題 【例 1 】拋物線 ) 0 ( 42> = p px y 的頂點(diǎn)作互相垂直的兩弦 oa、ob，求拋

10、物線的頂點(diǎn) o 在直線 ab 上的.源頭學(xué)子小屋特級教師王新敞 oyxy q o x n p 交軌法： 在求動點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會出現(xiàn)要求兩動曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這種問題通常通過解方程組得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程（若能直接消去兩方程的參數(shù)，也可直接消去參數(shù)得到軌跡方程），該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。 射影 m 的軌跡。 【例 2】 】已知 mn 是橢圓 12222= +byax中垂直于長軸的動弦， a 、 b 是橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，求直線 ma 和nb 的交點(diǎn) p 的軌跡方程. 2. 鞏固提升綜合練習(xí) 習(xí) 【練習(xí) 1】 】如圖，垂直于 x 軸的直線交雙曲線 12222= -b

11、yax于 m 、 n 兩點(diǎn)，2 1 , aa 為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，求直線 m a 1 與 n a 2 的交點(diǎn) p 的軌跡方程，并指出軌跡的形狀. 【六】點(diǎn)差 法 1. 例題 【例 1 】已知橢圓2212xy + = ，求斜率為 2 的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程. 【例 2】 】拋物線24 x y = 的焦點(diǎn)為 f ,過點(diǎn) (0, 1) - 作直線 l 交拋物線 a 、 b 兩點(diǎn),再以 af 、 bf 為鄰邊作平行四邊形 afbr ，試求動點(diǎn) r 的軌跡方程. 2. 鞏固提升綜合練習(xí) 習(xí) 【練習(xí) 1 】拋物線 y=2x 2 截一組斜率為 2 的平行直線，所得弦中點(diǎn)的軌跡方程是 . 習(xí) 【練習(xí) 2 】

12、已知拋物線 y 2 =2x 的弦 ab 所在直線過定點(diǎn) p(-2，0)，則弦 ab 中點(diǎn)的軌跡方程是 . 三、 四、阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用 點(diǎn)差法： 圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的軌跡問題可用點(diǎn)差法，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)1 1 2 2( , ), ( , ) a x y b x y的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得1 2x x + ，1 2y y + ，1 2x x - ，1 2y y - 等關(guān)系式，由于弦 ab 的中點(diǎn) ( , ) p x y 的坐標(biāo)滿足1 22x x x = + ，1 22y y y = + 且直線ab 的斜率為2 12 1y yx x-，由此可求得弦 ab

13、 中點(diǎn)的軌跡方程. 1. 例題 【例 1 】如圖，圓 c 與 x 軸相切于點(diǎn) (1, 0) t ，與 y 軸正半軸交于兩點(diǎn) , a b （b 在 a 的上方），且 2 ab = （）圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ；（）過點(diǎn) a 任作一條直線與圓2 2: 1 o x y + = 相交于 , m n 兩點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論：na manb mb= ； 2nb mana mb- = ； 2 2nb mana mb+ = 其中正確結(jié)論的序號是 .（寫出所有正確結(jié)論的序號） 2. 鞏固提升綜合練習(xí) 習(xí) 【練習(xí) 1】 】若 bc ac ab 2 2 = = ， ，則abcs d 的最大值為 四、課后自我檢測 阿波羅尼

14、斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作圓錐曲線一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一 . 求證：到兩定點(diǎn)的距離的比值是不等于 1 1 的常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓. . 如圖，點(diǎn) b a, 為兩定點(diǎn)，動點(diǎn) p 滿足 pb pa l = ， 則 1 = l 時(shí)，動點(diǎn) p 的軌跡為直線；當(dāng) 1 ¹ l 時(shí)，動點(diǎn) p 的軌跡為圓， 后世稱之為 阿波羅尼斯圓 證明：設(shè) pb pa m m ab l = > = , 0 2 ） （ 以 ab 中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線 ab 為 x 軸建立平面直角坐標(biāo)系，則 ），

15、， （ 0 m a - ） ， （ 0 m b 又設(shè) ） ， （ y x c ，則由 pb pa l = 得:2 2 2 2) ( ) ( y m x y m x + - = + + l ， 兩邊平方并化簡整理得: ） （ ） （ ） （ ） （2 2 2 2 2 2 21 1 1 2 1 l l l l - = - + + - - m y x m x ， 當(dāng) 1 = l 時(shí)， 0 = x ，軌跡為線段 ab 的垂直平分線； 當(dāng) 1 > l 時(shí)，2 22 22 222) 1 (4)11(-= +-+-llll my m x ，軌跡為以點(diǎn) ) 0 ,11(22m-+ll為圓心，以122-

16、ll m長為半徑的圓 apb 1在 abc d 中，b，c 坐標(biāo)分別為（-3，0），（3，0），且三角形周長為 16，則點(diǎn) a 的軌跡方 程是_. 2兩條直線 0 1= - -my x 與 0 1= - + y mx 的交點(diǎn)的軌跡方程是 . 3已知圓的方程為(x-1) 2 +y 2 =1,過原點(diǎn) o 作圓的弦 0a，則弦的中點(diǎn) m 的軌跡方程是 . 4當(dāng)參數(shù) m 隨意變化時(shí)，則拋物線 ( ) y x m x m = + + + -2 22 1 1 的頂點(diǎn)的軌跡方程為 . 5點(diǎn) m 到點(diǎn) f（4，0）的距離比它到直線 x + = 5 0 的距離小 1，則點(diǎn) m 的軌跡方程為 . 6求與兩定點(diǎn) ( ) ( ) o o a10 3 0 ， 、 ， 距離的比為 1：2 的點(diǎn)的軌跡方程為_ 7拋物線 x y 42= 的通徑（過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦）與拋物線交于 a、b 兩點(diǎn)，動點(diǎn) c 在拋物線上，求 abc 重心 p 的軌跡方程。 8已知動點(diǎn) p 到定點(diǎn) f（1，0）和直線 x=3 的距離之和等于 4，求點(diǎn) p 的軌跡方程。 9過原點(diǎn)