(學)高中數(shù)學數(shù)列放縮專題：用放縮法處理數(shù)列和不等問題

1、數(shù)列和不等問題（教師版）一先求和后放縮（主要是先裂項求和，再放縮處理）例1正數(shù)數(shù)列的前項的和，滿足，試求：（1）數(shù)列的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項的和為，求證：解：（1）由已知得，時，作差得：，所以，又因為為正數(shù)數(shù)列，所以，即是公差為2的等差數(shù)列，由，得，所以（2），所以真題演練1：(06全國1卷理科22題)設數(shù)列的前項的和,，（）求首項與通項；（）設，證明：.解: ()由 Sn=an×2n+1+, n=1,2,3， , 得 a1=S1= a1×4+ 所以a1=2 再由有 Sn1=an1×2n+, n=2,3，4,將和相減得: an=SnSn1= (anan1)

2、×(2n+12n),n=2,3, 整理得: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 因而數(shù)列 an+2n是首項為a1+2=4,公比為4的等比數(shù)列,即 : an+2n=4×4n1= 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3, ,()將an=4n2n代入得 Sn= ×(4n2n)×2n+1 + = ×(2n+11)(2n+12) = ×(2n+11)(2n1) Tn= = × = ×( )所以, = ) = ×( ) < 二先放縮再求和1放縮后成等比數(shù)列，再求和例2

3、等比數(shù)列中，前n項的和為，且成等差數(shù)列設，數(shù)列前項的和為，證明：解：，公比 （利用等比數(shù)列前n項和的模擬公式猜想） 真題演練2：(06福建卷理科22題)已知數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項公式；（II）若數(shù)列滿足，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（）證明：.（I）解：是以為首項，2為公比的等比數(shù)列 即（II）證法一：，得即，得即是等差數(shù)列 （III）證明：2放縮后為“差比”數(shù)列，再求和例3已知數(shù)列滿足：，求證：證明：因為，所以與同號，又因為，所以，即，即所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，即，累加得：令，所以，兩式相減得：，所以，所以，故得3放縮后成等差數(shù)列，再求和例4已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且.(1) 求證

4、：；(2) 求證：解：（1）在條件中，令，得， ，又由條件有，上述兩式相減，注意到得 所以， ， 所以（2）因為，所以，所以；練習：1.（08南京一模22題）設函數(shù)，已知不論為何實數(shù)，恒有且.對于正數(shù)列，其前n項和，.() 求實數(shù)b的值；（II）求數(shù)列的通項公式；（）若，且數(shù)列的前n項和為，試比較和的大小并證明之.解：() （利用函數(shù)值域夾逼性）；（II）；（），2.（04全國）已知數(shù)列的前項和滿足：， （1）寫出數(shù)列的前三項，；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）證明：對任意的整數(shù)，有分析：由遞推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；由已知得：（n>1）化簡得：,故數(shù)列是以為首項, 公比為

5、的等比數(shù)列.故 數(shù)列的通項公式為：.觀察要證的不等式，左邊很復雜，先要設法對左邊的項進行適當?shù)姆趴s，使之能夠求和。而左邊=，如果我們把上式中的分母中的去掉，就可利用等比數(shù)列的前n項公式求和，由于-1與1交錯出現(xiàn)，容易想到將式中兩項兩項地合并起來一起進行放縮，嘗試知：，因此，可將保留，再將后面的項兩兩組合后放縮，即可求和。這里需要對進行分類討論，（1）當為偶數(shù)時， （2）當是奇數(shù)時，為偶數(shù)，所以對任意整數(shù)，有。本題的關鍵是并項后進行適當?shù)姆趴s。3.（07武漢市模擬）定義數(shù)列如下：求證：（1）對于恒有成立； （2）當，有成立； （3）分析：（1）用數(shù)學歸納法易證。 （2）由得： 以上各式兩邊分別相

6、乘得： ，又 （3）要證不等式，可先設法求和：，再進行適當?shù)姆趴s。又原不等式得證。本題的關鍵是根據(jù)題設條件裂項求和。數(shù)列和不等問題（學生版）一先求和后放縮（主要是先裂項求和，再放縮處理）例1正數(shù)數(shù)列的前項的和，滿足，試求：（1）數(shù)列的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項的和為，求證：真題演練1：(06全國1卷理科22題)設數(shù)列的前項的和,，（）求首項與通項；（）設，證明：.二先放縮再求和1放縮后成等比數(shù)列，再求和例2等比數(shù)列中，前n項的和為，且成等差數(shù)列設，數(shù)列前項的和為，證明：真題演練2：(06福建卷理科22題)已知數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項公式；（II）若數(shù)列滿足，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（）證明：.2放縮后為“差比”數(shù)列，再求和例3已知數(shù)列滿足：，求證：3放縮后成等差數(shù)列，再求和例4已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且.(1) 求證：；(2) 求證：練習：1.（08南京一模22題）設函數(shù)，已知不論為何實數(shù)，恒有且.對于正數(shù)列，其前n項和，.() 求實數(shù)b的值；（II）求數(shù)列的通項公式；（）若，且數(shù)列的前n項和為，試比較和的大小并證明之.2.（