銳角三角函數培優(yōu)題型分類(答案版)

1、百度文庫-讓每個人平等地提升自我銳角三角函數培優(yōu)-題型分類【考點】待定系數法求一次函數解析式；銳角三角函數的定義.1. （2009?±丹江二,K）直線y=kx-4與y軸相交所成銳角的正切值為之，則k的值為（）A. L B. 2 C.z ± 2 D.十!2/- 2y=kx- 4 與【分析】首先確定直線y=kx- 4與y軸和x軸的交點，然后利用直線 y軸相交所成銳角的正切值為 二這一條件求出k的值.【解答】解：由直線的解析式可知直線與 y軸的交點為（0, -4）,即直線y=kx-4與y軸相交所成銳角的鄰邊為| - 4| =4,與x軸的交點為y=0時,;直線y=kx- 4與y軸相

2、交所成銳角的正切值為-i-,W| =4Xy, k=± 2.故選C.【考點】銳角三角函數的定義；三角形中位線定理.2. （1998?臺州）如圖，延長 RttAABC斜邊AB至ijD點，使BD=AB連接CD,若20A三 B 1 C二 D二【分析】若想利用cot/BCD的值，應把/ BCD放在直角三角形中，也就得到了 RttAABC的中位線，可分別得到所求的角的正切值相關的線段的比.【解答】解：過B作BE/ AC交CD于E./ . AB=BD.E是CD中點, . AC=2BE v AC± BC,.BnBC, /CBE=90.BE/ AC.又. cot/BCD=3 設 BE=k 貝

3、U BC=3x AC=2x,tanA=5k=Ax 故選 A.'AC 2k 2【考點3】銳角三角函數的定義.3.將一副直角三角板中的兩塊按如圖擺放， 連接AC,則tan / DAC的值為（【分析】欲求/ DAC的正切值，需將此角構造到一個直角三角形中.AB 'C :D.?過C作CE!AD于E,設CD=BD=1然后分別表示出AD、CE、DE的值，進而可在RtAACE中，求得/ DAC的正切值.【解答】解：如圖，過C作CE!AD于E./BDC=90, Z DBC=Z DCB=45,BD=DC設 CD=BD=1在 RtAABD 中，/ BAD=30,則 AD=2在 Rt EDC中，/

4、CDE力 BAD=30, CD=1, .tan/DAC=|二_L_ 2W313故選C.【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題.4. （2007%云港）如圖是一山谷白橫斷面示意圖，寬AA'為15m,用曲尺（兩直尺相交成直角）從山谷兩側測量出 OA=1m, OB=3m, O A, O B' =3mK A,O, O' At同一條水平線上），則該山谷的深h為30 m.【分析】過谷底構造相應的直角三角形，利用坡比定義表示山谷寬求解.【解答】解：設A、A'到谷底的水平距離為AC=m, A C=n二 m+n=15.根據題意知，OB/ CD/ O B'. OA=1,

5、OB=3, O A', O' B' =3F»xh=15-解得 h=30 (m).【考點】解直點三角形的應用-坡度坡角問題.5. （2007徵底）去年夏季山洪暴發(fā)，幾所學校被山體滑坡推倒教學樓，為防止滑坡，經過地質人員勘測，當坡角不超過 45°時，可以確保山體不滑坡.某小學緊挨一座山坡，如圖所示，已知 AF/ BC,斜坡AB長30米，坡角/ ABC=60.改造后斜坡BE與地面成45°角，求AE至少是多少米？（精確到米） 【分析】連接BE,過E作ENI±BC于N,貝U四邊形AEND是矩形，有NE=AD,AE=DN 在RtA ADB和R

6、tA BEN中都已知一邊和一個銳角，滿足解直角三角形的條件, 可求出AD和BD、AE的長.【解答】 解：在RtADB中，AB=30米/ ABC=60AD=AB?sn / ABC=30X sin60 = 15/1 = =（米），DB=AB?co更 ABC=3（X cos60 =15 米.連接BE,過E作EN± BC于N.AE/ BC.四邊形 AEND是矩形NE=AA26米在 RtENB中，由已知/ EBNK45°,當/EBN=45時，BN=EN小AE=DN=BN- BD=- 15=11 米答：AE至少是米.【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題.6. (2010漸密市自主招

7、生)某廠家新開發(fā)的一種摩托車如圖所示，它的大燈 A射出的光線AB、AC與地面MN的夾角分別為8°和10°,大燈A離地面距離1m.Y BCn(1)該車大燈照亮地面的寬度 BC約是多少(不考慮其它因素)？(2) 一般正常人從發(fā)現危險到做出剎車動作的反應時間是，從發(fā)現危險到摩托車完全停下所行駛的距離叫做最小安全距離，某人以60km/h的速度駕駛該車，從60km/h到摩托車停止的剎車距離是等m,請判斷該車大燈的設計是否能滿足 最小安全距離的要求，請說明理由.(參考數據：魯，tan8" T，257sinlO"中魯'，tanlO"口關 502S【分

8、析】(1)本題可通過構造直角三角形來解答，過 A作AD，MN于D,就有 了/ABN /ACN的度數，又已知了 AE的長，可在直角三角形 ABE ACE中分別 求出BE、CE的長，BC就能求出了.(2)本題可先計算出最小安全距離是多少，然后于大燈的照明范圍進行比較， 然后得出是否合格的結論.【解答】解：(1)過A作AD，MN于點D,在 RtACD中，tan/ACD="一，CD= (m)，CD1性，在 RtAABD 中，tan / ABD其八. BD=7 (m) ，ED：>BC=7- = (m)./答：該車大燈照亮地面的寬度 BC是；（2）該車大燈的設計不能滿足最小安全距離的要求.

9、理由如下：以60 km/h的速度駕駛， 速度還可以化為：Egm/sJ最小安全距離為： 毀x 4_=8 （m）, - 33大燈能照到的最遠距離是BD=7m,該車大燈的設計不能滿足最小安全距離的要求.【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.7. （2010?峰）關于三角函數有如下的公式: sin ( a+ B) =sin a co+COs a sir©。COs ( a+ =cos a cos-0sin-tanQ + tanBs sinDp1-tanCT tan Gtan105 =tan ( 45 +600)tan45fl +tan60"1-tan454 'tanSO*

10、利用這些公式可將某些不是特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數來求值, 如：（2+J1）.根據上面的知識，你可以選擇適當的公式解決下面的實際問題：如圖，直升飛機在一建筑物 CD上方A點處測得建筑物頂端D點的俯角a =60；底端C點的俯角B =75；此時直升飛機與建筑物CD的水平距離BC為42m,求建 筑物CD的高/B C【分析】先由俯角B的正切值及BC求得AB,再由俯角a的正切值及BC求得A、D兩點垂直距離.CD的長由二者相減即可求得.【解答】解：由于a =60； B=75； BC=42貝U AB=BC?tanp =42tan75 °A、D垂直距離為BC?tan a =4兩,=42?

11、"11 ,_1 r 1 1-t an45 'tanSOCD=AB- 4273=84.（米）.答：建筑物CD的高為84米.【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.8. （2010?巴中）巴中市某中學數學興趣小組在開展 保護環(huán)境，愛護樹木”的活 動中，利用課外時間測量一棵古樹的高，由于樹的周圍有水池，同學們在低于樹 基米的一平壩內（如圖）,測得樹頂A的仰角/ ACB=60,沿直線BC后退6米到 點D,又測得樹頂A的仰角/ ADB=45,若測角儀DE高米，求這棵樹的高AM.（結果保留兩位小數，卜巧=）【分析】可在RtAABD和RtAABC中，利用已知角的三角函數，用AB表示出BD

12、、 BC,根據CD=BD- BC=6即可求出AB的長；已知HM、DE的長，易求得BM的值, 由AM=AB- BM即可求出樹的高度.【解答】解：設人8=乂米./RtA ABD 中，/ADB=45, BD=AB=/._, 一 ， :'_ _ S -/RtA ACB中，/ACB=60, BC=A& tan60=4x 米.3CD=BD- BC=（1-冬）x=6, /解得 x=9+3/3,即AB= （9+3百）米.v BM=HM- DE=- =2, . AM=AB-BM=7+W=（米）. Z答：這棵樹高米.【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.j9. （2015?t南州）如圖，從熱氣

13、球 C上測得兩建筑物A、B底部的俯角分別為30°和60度.如果這時氣球的高度 CD為90米.且點A、D、B在同一直線上，D B【專題】計算題；壓軸題.【分析】在圖中兩個直角三角形中，都是知道已知角和對邊，根據正切函數求出 鄰邊后，相加求和即可.【解答】 解：由已知，得/ ECA=30, /FCB=60, CD=9QEF/ AB, CD±AB于點 D. / A=/ ECA=30, / B=/ FCB=60.在 RtAACD中，/ CDA=90, tanA,<'5 AD 5-AD=Sr=#=90x 言9。叵在 RtABCD中，/ CDB=90, tanB衛(wèi)，/BD

14、DB=CD =2=30/3,/tonB V3 AB=ADfBD=90 ：；+30 ：；=120.；.答：建筑物A、B間的距離為120x巧米.【考點】解直角三角形的應用-方向角問題.10. （2007海州）如圖，一艘船以每小時 30海里的速度向東北方向航行，在 A 處觀測燈塔S在船的北偏東75°的方向，航行12分鐘后到達B處，這時燈塔S 恰好在船的正東方向.已知距離此燈塔8海里以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這艘 船可以繼續(xù)沿東北方向航行嗎？為什么？（參考數據、V2-, V3-）【分析】問這艘船能否可以繼續(xù)沿東北方向航行， 只要證明D與S的距離要大于 8海里，可以做與正北方向平行的直線，與

15、SB的延長線相交于點C.則4ABC ACS®是直角三角形，可以運用勾股定理來計算.【解答】解：作與正北方向平行的直線，與 SB的延長線相交于點C,過點S作 SD±AB于 D.V AB=30X =6 （海里）， 60/CAB=45, /ACB=90, . AC=BC=AB?sin45 =6孚=3.歷（海里），/CAS=75, /ACS=90, . SC=AC?tan75 =32乂 （2+/3）=班+3娓（海里），. BS=3/2+3'行（海里），/ DBS玄 ABC=45, . SD=BS?sin45 i3/2+3/6） X 喙=3+3內= >8,/這艘船可以繼

16、續(xù)沿東北方向航行.【考點】平行四邊形的性質；三角形的面積；解直角三角形.11. (2010?蘭州)已知平行四邊形 ABCD中，對角線AC和BD相交于點2, AC=10 BD=8.(1)若AC，BD,試求四邊形ABCD的面積；(2)若AC與BD的夾角/ AOD=60,求四邊形ABCD的面積；(3)試討論：若把題目中 平行四邊形ABCDT改為四邊形ABCD,且/ AOD=， AC=a BD=b,試求四邊形ABCD的面積(用含9, a, b的代數式表示).【分析】(1)因為AC，BD,所以四邊形ABCD的面積等于對角線乘積的一半；(2)過點A分別作AEL BD, CF, BD,根據平行四邊形對角線互

17、相平分和正弦定理求出4AOD的面積，那么四邊形 ABCD的面積=4 AOD的面積；(3)作輔助線AE± BD, CF± BD,利用正弦定理求出 BCD ABD的高，那么 四邊形ABCD的面積= BCD的面積+ ABD的面積./【解答】解：(1) V AC± BD,四邊形ABCD的面積=AC?BD=40(2)分別過點A, C作AEL BD, CF± BD,垂足分別為E, F.四邊形ABCD為平行四邊形，AO=CO=AC=5, BO=DOfBD=4.2'2在 RtAOE中，sin/AOE幽A0. AE=AO?sin AOE=AO< sin60

18、=5X返身在 xTT 2Sx aoxOD?AeL22X4XX5=5/3.四邊形 ABCD的面積 S=4Saod=20.(3)如圖所示，過點A, C分別作AE，BD, CF，BD,垂足分別為E, F.在 RtAOE中，sin/AOE歿, AOAE=AO?siX AOE=AO?sin.同理可得CF=CO?sin COF=CO< sin e四邊形ABCD的面積S=S abd+Sa cbdf-BD?AEf-BD?CF 22、BDsin 9(AO+CO) = -BD?ACsin9Jabsin .0平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質；解直角三角形.12. （2006儲坊）已知平行四邊形 ABC

19、D AD=a AB=b, /ABC亂點F為線段BC上一點（端點B, C除外），連接AF, AC,連接DF,并延長DF交AB的延長 線于點E,連接CE.（1）當F為BC的中點時，求證： EFC與ZXABF的面積相等；（2）當F為BC上任意一點時， EFCt4ABF的面積還相等嗎？說明理由.【分析】（1） &efJfC淌h, &abf=1bfW h',而EFCf4ABF的面積相等且 22當F為BC的中點，所以必須證明h=h',而h=ABsinq來解答，因此便可求證所求；（2）由于 ABC和4CDE為等底等高三角形，所以和4CDF同底等高,所以 &AFC=Sx

20、CDF.二 Sk ABC- S AFC=S1 CDE & CDF,即 S ABF=S EFC【解答】（1）證明：:點F為BC的中點，又 : BF/ AD,BE=AB=b.A, E兩點到BC的距離相等,都為bsin a （3分）貝U SABF=i-?-1-?bsin a-i-absin a&EFC3?-；-?bsin a=absin 劣 <SABF=SEFG （5 分）/（2）解：Sa ABC=Sx CDE,又因為 ACFh' =EBsin所以證明方向轉化為求證 EB=AB而EB=CD可利用證 EBH DCF法一：當F為BC上任意一點時，設 BF=k 貝U FC=a

21、- x四邊形ABCD平行四邊形，屈_：芯 _ BE /一 一 ）AD BE+AB a BEb BE（7 分）/ a-x在EFCt, FC邊上的高h尸BEsin夕'、 , bxsinQ一儲=，1 a-x1 _ n I, 、 brsinQ 1,. /c 八、. S耽=yFC，hiw（ar”寸工8門口，（9分）又在 ABF中，BF邊上的高h2=bsin0 SkABF=bxsin a 2S ABF=S EFC； （11 分）法二：: ABCD為平行四邊形，Skabc=SLcDE=absin a 2又二 SAFC=SCDF,S ABC- S AFC=S CDE- & CDF, 即 &am

22、p;ABF=SEFC （11 分）菱形的性質；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；解直角三角形.13. （2009攏巖）在邊長為6的菱形ABCD中，動點M從點A出發(fā)，沿A? B?C向終點C運動，連接DM交AC于點N./1）（圖 2）（1）如圖1,當點M在AB邊上時，連接BN:求證： ABNAADN;若/ ABC=60, AM=4, / ABN須，求點M到AD的距離及tan a的值.(2)如圖2,若/ABC=90,記點M運動所經過的路程為x (6<x<12).試問：x為何值時，4ADN為等腰三角形.【考點】菱形的性質；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；解直角三角形.【專題】壓軸題；

23、動點型.【分析】(1)4ABN和4ADN中，不難得出AB=ADJZ DAC=Z CAB, AN是公 共邊，根據SAS即可判定兩三角形全等.通過構建直角三角形來求解.作 MHLDA交DA的延長線于點H,由可得/ MDA=/ ABN,那么M到AD的距離和/ a就轉化到直角三角形 MDH和MAH中, 然后根據已知條件進行求解即可.(2)本題要分三種情況即：ND=NA, DN=DA AN=AD進行討論.【解答】解：(1)證明：二四邊形ABCD是菱形， .AB=AD / 1=/ 2.又AN=AN, .ABNAADN (SAS.作MH，DA交DA的延長線于點H.由 AD/ BC,得/ MAH=/ABC=6

24、0.在 RtAAMH 中，MH=AM?sin60 =4X sin60 =2/1. 點M到AD的距離為2K. . AH=2DH=6+2=8.在 RtADMH 中，tan/MDHM/、DH 84/由知，/ MDH=/ ABN須，/tanas /4/(2) Z ABC=90,/菱形ABCD正方形. ./CAD=45.Z下面分三種情形：(I )若 ND=NA,貝叱 ADN=Z NAD=45 .此時，點M恰好與點B重合，得x=6;Z(H )若 DN=DA,貝叱 DNA=Z DAN=45 .此時，點M恰好與點C重合，得x=12;(田)若 AN=AD=G 貝1=/ 2,v AD/ BC,/ 1=/ 4,又/

25、 2=/ 3, / 3=/4./CM=CN, AC=6叵 CM=CN=AC- AN=6/2-6.故 x=12- CM=12- (6&-6) =18-6/2.綜上所述：當x=6或12或18-班時，4ADN是等腰三角形.(圖1)等邊三角形的判定與性質；解直角三角形.14. （2009?1田）已知：等邊 ABC的邊長為a.探究（1）:如圖1,過等邊 ABC的頂點%A、B、C依次作AB、BG CA的垂線圍 成AMNC,求證：zMNG是等邊三角形且 MN=/a；探究（2）:在等邊 ABC內取一點O,過點O分別作OD，AR。已BG OF，CA, 垂足分別為點D、E、F.如圖2,若點。是4ABC的重心，我們可利用三角形面積公式及等邊三角形性質得到兩個正確結論（不必證明）：結論1. OD+O&OFia；結論22./AD+BE+CF鼻；2如圖3,若點O是等邊 ABC內任意一點，則上述結論1, 2是否仍然成立？ 如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由.【分析】（1）本題中 ABC為等邊三角形，AB=BC=a /ABC=60,求出/ N, / G的值，在直角 AMB、zCNB中，可以先用a表示出MB, NB然后再表示出 MN,這樣就能證得MN=/3a；（2）判定是否成立可通過構建直角三角形，把所求的線段都轉化到直角三角形中進行求解；判斷是否成立