接本考試經(jīng)管類線性代數(shù)6ppt課件

1、第三章第三章 向量空間向量空間3.1 n3.1 n維向量概念及其線性運算維向量概念及其線性運算3.1.1 n3.1.1 n維向量及其線性運算維向量及其線性運算定義定義 由由n n個數(shù)個數(shù) naaa,21組成的有序數(shù)組組成的有序數(shù)組 ),(21naaa稱為一個稱為一個n n維向量，維向量， 數(shù)數(shù) ia稱為該向量的第稱為該向量的第i i個分量個分量 ), 2 , 1(ni向量通常寫成一行：向量通常寫成一行： ),(21naaa稱為行向量，稱為行向量， 有時也寫成一列：有時也寫成一列： naaa21稱為列向量。稱為列向量。 Tnaaa),(21也是也是1 1n n矩陣，矩陣， 也是也是n n1 1矩

2、陣，矩陣， 既然向量又是一種特殊的矩陣，既然向量又是一種特殊的矩陣， 那么向量相等、零向量、負向量的定義及向量那么向量相等、零向量、負向量的定義及向量運算的定義都應與矩陣的相應的定義一致。運算的定義都應與矩陣的相應的定義一致。 定義定義 一切分量都是零的一切分量都是零的n n維向量稱為維向量稱為n n維零向量。維零向量。 零向量記作零向量記作 0(0,0,0)留意：不同維數(shù)的零向量是不相等的。留意：不同維數(shù)的零向量是不相等的。 把向量把向量 12( ,)na aa的各個分量都取相反數(shù)組成的向量，的各個分量都取相反數(shù)組成的向量， 稱為稱為 的負向量，的負向量， 記作記作 12(,)naaa 定義

3、定義 假設假設n n維向量維向量 12( ,)na aa與與n n維向量維向量 12( ,)nb bb的對應分量都的對應分量都 即即 相等，相等， (1,2, )iiab in，那么稱向量，那么稱向量 與與 相等，相等， 記作記作 定義定義 向量的加法向量的加法 設設n n維向量維向量 12( ,)na aa12( ,)nb bb，那么，那么 與與 的和向量的和向量 1122(,)nnab abab利用負向量的概念，可以定義向量的減法：利用負向量的概念，可以定義向量的減法： 1122(,)nnab abab定義數(shù)與向量的乘法定義數(shù)與向量的乘法 設設 12( ,)na aa是一個是一個n n維向

4、量，維向量， k為一個數(shù)，為一個數(shù)， 那么數(shù)那么數(shù)k k與與 的乘積稱為數(shù)乘向量，的乘積稱為數(shù)乘向量， 簡稱為數(shù)乘，簡稱為數(shù)乘， 記作記作 k，并且，并且 k12(,)nk a aa12(,)nka kaka例例1 1 設設 (2,1,3),( 1,3,6),(2, 1,4) ，求向量，求向量 23解解232(2,1,3)3( 1,3,6)(2, 1,4)(4,2,6)( 3,9,18)(2, 1,4) ( 1,12,20) 例例2 2 設設 (1,0, 2,3),(4, 1, 2,3), 求滿足求滿足 230的的 解解1(2)3 12(1,0, 2,3)(4, 1, 2,3)3 1(2,0,

5、 4,6)(4, 1, 2,3)3 1(6, 1, 6,9)3 1( 2,2, 3)3 3.1.2 3.1.2 向量的線性組合向量的線性組合1 1、向量的線性組合、向量的線性組合定義定義 設設 12,m 是一組是一組n n維向量，維向量， 12,mk kk是一組常數(shù)，是一組常數(shù)， 那么那么稱稱 1122mmkkk為為 12,m 的一個線性組合。的一個線性組合。 常數(shù)常數(shù) 12,mk kk稱為該線性組合的組合系數(shù)。稱為該線性組合的組合系數(shù)。 假設一個假設一個n n維向量維向量 可以表示成可以表示成 1122mmkkk那么稱那么稱 是是 12,m 的線性組合，的線性組合， 或稱或稱 可用可用 12

6、,m 線性表出線性表出或線性表示或線性表示仍稱仍稱 12,mk kk為組合系數(shù)，為組合系數(shù)， 或表出系數(shù)。或表出系數(shù)。 零向量可以用恣意一組同維數(shù)的向量線性表出：零向量可以用恣意一組同維數(shù)的向量線性表出： 0 12000m 稱它為零向量的平凡表出式。稱它為零向量的平凡表出式。 這闡明：這闡明： 表出系數(shù)可以全為零。表出系數(shù)可以全為零。 表出系數(shù)全為零時被表出的向量必是零向量。表出系數(shù)全為零時被表出的向量必是零向量。 假設干個同維數(shù)的向量所組成的集合叫做向量組。假設干個同維數(shù)的向量所組成的集合叫做向量組。 m個向量個向量 12,m 組成的向量組可記為：組成的向量組可記為： 12:,mR 或或12

7、,mR 例例3 3 設設 ()ijm nAa，將，將A A按行分塊可得一個按行分塊可得一個n n維行向量組維行向量組 12(,)iiinaaa(1,2,)im稱之為稱之為A A的行向量組；的行向量組； 將將A A按列分塊可得一個按列分塊可得一個m m維列向量組維列向量組 12jjmjaaa(1,2, )jn稱之為稱之為A A的列向量組。的列向量組。 思索下面的思索下面的n n維規(guī)范單位向量組：維規(guī)范單位向量組：(0,0,1,0,0)i1,2,ini中第中第i i個分量為個分量為1 1， 其他分量都為其他分量都為0.0.恣意一個恣意一個n n維向量維向量12(,)na aa都可以獨一地表示成這都

8、可以獨一地表示成這n n個規(guī)范單位向量個規(guī)范單位向量的線性組合：的線性組合：1 122nnaaa3 3、線性組合的矩陣表示法、線性組合的矩陣表示法向量向量 12( ,)Tnb bb可用向量組可用向量組 111211(,) ,Tnaaa12(,)Tmmmnmaaa線性表出的充分必要條件是線性表出的充分必要條件是 存在存在m m個數(shù)個數(shù) 12,mk kk，使得，使得 1122mmkkk怎樣用向量組怎樣用向量組 12,m 線性表示線性表示 ，即求出，即求出 12,mk kk1122mmxxx1112112122221212mmmnnnmnaaabaaabxxxaaab，怎樣求出，怎樣求出 12,mk

9、 kk11 11221121 1222221 122mmmmnnnmmna xa xa xba xa xaxba xa xaxb轉化為求非齊次線性方程組的解，轉化為求非齊次線性方程組的解，bAX 11121121222212mmnnnmmaaabaaabAaaab12m,A例例5 5 問問 ( 1,1,5)T 能否表示成能否表示成 123(1,2,3) ,(0,1,4) ,(2,3,6)TTT的線性組合？的線性組合？ 解解 112233xxx( , )A123( , ) 1 0 2 12 13 13 4 6 5 1 0210 11 30 40 8 1 0210 11 30 044 1 0210

10、 11 30 011 1 0 0 10 1 0 20 0 1 1通解方程組為通解方程組為 123121xxx即方程組的獨一解，即方程組的獨一解， 所以所以 能獨一表示成能獨一表示成 123, 的線性組合。的線性組合。 例例6 6 問問 (4,5,5)能否表示成能否表示成 123(1,2,3),( 1,1,4),(3,3,2) 的線性組合？的線性組合？ 解解 1 12233TTTTxxx( , )A123(,)TTTT 11 3 421353425113 4033 3077 7 同解方程組為同解方程組為 1323231xxxx取取 所以所以 能表示成能表示成 123, 的線性組合，且方法有很多。

11、的線性組合，且方法有很多。113 4011 1000 0 13233 21xxxx 3xk，那么有，那么有 123(3 2 )(1)kkkK K可恣意取值可恣意取值1 02 30 11 10 00 0 3.2 3.2 線性相關與線性無關線性相關與線性無關3.2.1 3.2.1 線性相關性概念線性相關性概念定義定義 是是m m個個n n維向量，維向量， m,21假設存在假設存在m m個不全為零的數(shù)個不全為零的數(shù) mkkk,21使得使得 11220mmkkk，那么稱向量組，那么稱向量組 m,21線性相關，線性相關，為相關系數(shù)。為相關系數(shù)。 mkkk,21否那么，否那么， 稱向量組稱向量組 線性無關

12、。線性無關。 設設 稱稱m,21定義定義 設設 m,21是一個是一個n n維向量組。維向量組。 假設假設 11220mmkkk僅當僅當 021mkkk時成立，時成立， 那么稱向量組那么稱向量組 m,21線性無關。線性無關。 判別線性相關性的方法：判別線性相關性的方法： 1 1、一個向量、一個向量 單個向量單個向量 線性相關線性相關 0單個向量單個向量 線性無關線性無關 02 2、兩個向量、兩個向量 兩個向量線性相關的充要條件為兩個向量線性相關的充要條件為 對應分量成比例。對應分量成比例。 ) 1, 2 , 1 () 1, 4 , 2(線性無關線性無關 ) 1, 2 , 1 ()2, 4 , 2

13、(線性相關線性相關 P94 1(5) 3 3、三個及三個以上向量、三個及三個以上向量 1 1向量個數(shù)和向量維數(shù)相等向量個數(shù)和向量維數(shù)相等例例 問向量組問向量組 ) 1 , 2 , 3(),1 , 2 , 1 (),1 , 3 , 2(321能否線性相關。能否線性相關。 解解 設設0332211xxx即即)0 , 0 , 0() 1 , 2 , 3() 1 , 2 , 1 () 1 , 3 , 2(321xxx032321xxx0223321xxx0321xxx111223312A系數(shù)行列式系數(shù)行列式 20所以此線性方程組只需零解，所以此線性方程組只需零解， 這闡明這闡明321,線性無關。線性無

14、關。 方法：方法：計算由每個列向量作為一列的行列式的值，計算由每個列向量作為一列的行列式的值， 假設不等于假設不等于0 0，線性無關。線性無關。 假設等于假設等于0 0， 線性相關。線性相關。 P94 1(1) 2 2向量個數(shù)大于向量維數(shù)向量個數(shù)大于向量維數(shù)不需判別，一定線性相關不需判別，一定線性相關P94 1(6) 3 3向量個數(shù)小于向量維數(shù)向量個數(shù)小于向量維數(shù)方法：方法： 向量組的秩小于向量的個數(shù)，向量組的秩小于向量的個數(shù)， 線性相關線性相關向量組的秩等于于向量的個數(shù)，向量組的秩等于于向量的個數(shù)， 線性無關線性無關例例 問向量組問向量組 )4 , 1, 0 , 1, 3(),0 , 1 ,

15、 3 , 2 , 1(),4 , 0 , 3 , 1 , 2(321能否線性相關。能否線性相關。 解解: :A),(321TTT404110033121312404110033312121880110330550121000000000110121所以所以2)(Ar，及向量組的秩也為，及向量組的秩也為2 2， 小于向量的個數(shù)，小于向量的個數(shù)， 所以向量組線性相關。所以向量組線性相關。怎樣求出相關系數(shù)怎樣求出相關系數(shù)知向量組知向量組 363,1141,712321試討論其線性相關性。試討論其線性相關性。 假設線性相關，假設線性相關， 那么求出一組不全為零的數(shù)那么求出一組不全為零的數(shù) 321,kk

16、k使得使得 0332211kkk解：解： 設設0332211xxx即即0Ax),(321A3117641312311731264139390990641000110641000110641000110201由于由于32)(Ar所以方程組有非零解。所以方程組有非零解。故向量組線性相關。故向量組線性相關。000110201方程組的同解方程組為：方程組的同解方程組為：0023231xxxx32312xxxx令令13x，可得一組解為，可得一組解為1, 1, 2321xxx，即，即1, 1, 2321kkk，得，得02321例例 假設假設 321,線性無關，線性無關， 證明以下向量組線性無關：證明以下向

17、量組線性無關： 213312321,證證 設設 0332211kkk，將知條件代入得，將知條件代入得 0)()()(213312321kkk整理得整理得0)()()(321231132kkkkkk由于由于321,線性無關，線性無關， 必有，必有， 032kk031kk021kk解得解得 0321kkk，所以，所以 321,線性無關。線性無關。 定理定理 m m個個n n維向量維向量 )2(,21mm線性相關線性相關 至少存在某個至少存在某個 i是其他向量是其他向量的線性組合。的線性組合。 即，即， )2(,21mm線性無關線性無關 恣意一個恣意一個 i都不能表示為其他向量的線性組合。都不能表示

18、為其他向量的線性組合。 定理定理 假設向量組假設向量組 m,21線性無關線性無關 ，而添加一個同維向量，而添加一個同維向量 后所得到的向量組后所得到的向量組 ,21m線性相關，線性相關， 那么那么 可以用可以用m,21線性表出線性表出 ，且表示法是獨一的。，且表示法是獨一的。定理定理 設設 m,21為線性相關組，為線性相關組， 那么恣意擴展后的同維向量組那么恣意擴展后的同維向量組 rmmm,121必為線性相關組。必為線性相關組。 簡述為：簡述為： 相關組的擴展向量組必為相關組，相關組的擴展向量組必為相關組， 或者，或者， 部分相關，部分相關， 整體必相關，整體必相關，它的等價說法是它的等價說法

19、是無關組的子向量組必為無關組無關組的子向量組必為無關組，或者，或者， 整體無關，部分必無關。整體無關，部分必無關。定理定理 設有兩個向量組，設有兩個向量組， 它們的前它們的前n n個分量對應相等：個分量對應相等： ),(21iniiimi, 2 , 1),(121ininiiiaaaami, 2 , 1假設假設 m,21為線性相關組，為線性相關組， 那么那么m,21必為線性相關組，必為線性相關組，3.2.3 3.2.3 線性相關性的假設干根本定理線性相關性的假設干根本定理),(21iniiimi, 2 , 1),(121ininiiiaaaami, 2 , 1向量組向量組m,21m,21稱為向

20、量組稱為向量組的的“接長向量組；接長向量組；而把向量組而把向量組m,21稱為向量組稱為向量組m,21的的“截短向量組；截短向量組；相關組的截短向量組必為相關組；相關組的截短向量組必為相關組；無關組的接長向量組必為無關組；無關組的接長向量組必為無關組；3.3 向量組的秩向量組的秩3.3.1 向量組的極大線性無關組向量組的極大線性無關組定義定義 設有兩個設有兩個n n維向量組維向量組,21rR,21sS假設向量組假設向量組R R中的每個向量中的每個向量 i都可以由向量組都可以由向量組S S中的向量中的向量 s,21線性表出，線性表出， 那么稱向量組那么稱向量組R R可以由向量組可以由向量組S S線

21、性表出。線性表出。 根據(jù)此定義，根據(jù)此定義， 容易證明向量組之間的線性表出關系具有傳送性，容易證明向量組之間的線性表出關系具有傳送性， 即假設有三個向量組即假設有三個向量組 ,21rR,21sS,21tT假設假設R R可由可由S S線性表出，線性表出， S可由可由T線性表出，線性表出， 那么那么R R必可由必可由T T線性表出。線性表出。 定義定義 假設向量組假設向量組R R可以由向量組可以由向量組S S線性表出，線性表出， 向量組向量組S S也可以由向量組也可以由向量組R R線性表出，線性表出， 那么稱這兩個向量組等價。那么稱這兩個向量組等價。 等價性質(zhì)等價性質(zhì)設設R R，S S，T T為三

22、個同維向量組，為三個同維向量組， 那么有那么有 1 1反身性反身性 R R與與R R本身等價。本身等價。2 2對稱性對稱性 假設假設R R與與S S等價，那么等價，那么S S與與R R等價。等價。3 3傳送性假設傳送性假設R R與與S S等價，等價，S S與與T T等價，那么等價，那么R R與與T T等價。等價。例例2 2 設向量組設向量組1231010 ,1 ,2000 顯然有顯然有 12320，記，記 12,R 13,S 23,T 易知易知R R，S S，T T都是線性無關的向量組，都是線性無關的向量組， 且且 3可由可由R R線性表出，線性表出， 2可由可由S S線性表出，線性表出， 1

23、可由可由T T線性表出，線性表出， 具有這種特性的向量組具有這種特性的向量組R R，S S，T T 都稱為向量組都稱為向量組123, 的極大線性無關組。的極大線性無關組。定義定義 設設T T是由假設干個有限或無限多個是由假設干個有限或無限多個n n維向量組成的向量組。維向量組成的向量組。 假設存在假設存在T T的一個部分組的一個部分組 r,21滿足以下條件：滿足以下條件： 1 r,21線性無關線性無關 2 對于恣意一個向量對于恣意一個向量 T，向量組，向量組 r,21都線性相關，都線性相關， 那么稱那么稱 r,21為為T T的一個極大線性無關向量組，的一個極大線性無關向量組， 簡稱為極大無關組

24、。簡稱為極大無關組。 可以這樣了解可以這樣了解 ,21rS在在T T中的中的“極大性：極大性： 對于對于“無關性來說，無關性來說， S在在T中曾經(jīng)中曾經(jīng)“飽和了，飽和了， 即即S S本身是線性無關組，本身是線性無關組， 在在S S中恣意添加中恣意添加T T中的一個中的一個向量向量 ，就成為線性相關組了。，就成為線性相關組了。 向量組向量組S S是是T T的極大線性無關向量組的極大線性無關向量組 等價于等價于T T中的任一個向量均可用中的任一個向量均可用S S中向量中向量獨一地線性表出。獨一地線性表出。定理定理 向量組向量組T T與它的恣意一個極大無關組等價，與它的恣意一個極大無關組等價， 因此

25、因此T T的恣意兩個極大無關組等價。的恣意兩個極大無關組等價。 例例4 4 由全體由全體n n維向量所組成的集合記為維向量所組成的集合記為 nR，求，求 nR的一個極大線性無關組。的一個極大線性無關組。 并證明并證明 nR中的恣意中的恣意n+1n+1個向量一定線性相關。個向量一定線性相關。 解解 n維規(guī)范單位向量組維規(guī)范單位向量組 ) 1 , 0 , 0(,),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 (21n是線性無關的，是線性無關的， 且任一且任一n n維向量維向量 ),(21naaa都可用都可用 n,21線性表出，線性表出， 即即 ),(21naaannaaa211從而從而 n,21是

26、是 nR的一個極大線性無關組。的一個極大線性無關組。 設設 121,nn是是 nR中的恣意中的恣意n+1n+1個向量，個向量， 由于向量的個數(shù)大于向量的維數(shù)，由于向量的個數(shù)大于向量的維數(shù)， 可知可知 121,nn一定線性相關。一定線性相關。 定理定理 設有兩個設有兩個n n維向量組維向量組 ,21rR和和 ,21sS且知向量組且知向量組R R可由向量組可由向量組S S線性表出。線性表出。 1 假設假設 sr ，那么，那么R R必為線性相關組。必為線性相關組。 2 假設假設R R為線性無關組，為線性無關組， 那么必有那么必有 sr 推論推論1 1 恣意兩個線性無關的等價向量組所含向量的個數(shù)一樣。

27、恣意兩個線性無關的等價向量組所含向量的個數(shù)一樣。 推論推論2 2 一個向量組的恣意兩個極大線性無關組所含向量的個數(shù)一樣。一個向量組的恣意兩個極大線性無關組所含向量的個數(shù)一樣。 3.3.2 向量組的秩向量組的秩定義定義 向量組向量組T T的恣意一個極大無關組中所含向量的個數(shù)成為的恣意一個極大無關組中所含向量的個數(shù)成為T T的秩，的秩， 記為記為 )(Tr，或者秩，或者秩T T 定理定理 假設向量組假設向量組S S可由向量組可由向量組T T線性表出，線性表出， 其秩分別為其秩分別為 ( ), ( )r Ss r Tt那么那么 st推論推論 等價的向量組必有一樣的秩。等價的向量組必有一樣的秩。3.3

28、.3 向量組的秩及極大無關組的求法向量組的秩及極大無關組的求法當向量組中向量的個數(shù)與維數(shù)不同時有下面斷定定理。當向量組中向量的個數(shù)與維數(shù)不同時有下面斷定定理。 定理定理5 5 設設m m個個n n維列向量維列向量 m,21，取，取 mn階矩陣階矩陣 mA21設設 A的秩的秩 rAR)(假設假設mr ，那么向量組，那么向量組 m,21線性無關。線性無關。 假設假設 mr ，那么向量組，那么向量組 線性相關，線性相關， 且稱矩陣且稱矩陣A A的秩的秩m,21為向量組為向量組m,21的秩。的秩。 推論推論 向量組中所含向量的個數(shù)大于向量的維數(shù)時，向量組中所含向量的個數(shù)大于向量的維數(shù)時， 向量組線性相關。向量組線性相關。 例例 討論向量組討論向量組 211112028133的線性關系。的線性關系。 解解 取矩陣取矩陣