數(shù)學建模-微積分模型

1、第四章 微積分模型 今天人們不論從事什么活動都講究高效益,即希望所采取的策略使某個或某些指標達到最優(yōu)。商店訂貨要使訂貨、存貯等費用最小，體育比賽運動員要創(chuàng)造最好的成績，工程設(shè)計要追求最佳方案。普遍存在的優(yōu)化問題經(jīng)常成為人們研究的對象，建立這類問題的模型，我們稱為優(yōu)化模型。建立優(yōu)化模型首先要確定所關(guān)心的優(yōu)化指標的數(shù)量描述，然后構(gòu)造包括這個指標及各種限制條件的模型，通過模型求解給出達到優(yōu)化指標的所謂策略。本章僅考慮定常情況(即所給的策略不隨時間改變)。4.1 不允許缺貨模型 某配送中心為所屬的幾個超市送配某種小電器，假設(shè)超市每天對這種小電器的需求量是穩(wěn)定的，訂貨費與每個產(chǎn)品每天的存貯費都是常數(shù)。如

2、果超市對這種小家電的需求是不可缺貨的，試制定最優(yōu)的存貯策略(即多長時間訂一次貨，一次訂多少貨)。 如果日需求量價值100元，一次訂貨費用為5000元，每件電器每天的貯存費1元，請給出最優(yōu)結(jié)果。模型假設(shè):（1）每天的需求量為常數(shù)r；（2）每次的訂貨費用為c1，每天每件產(chǎn)品的存貯費為c2 ；（3）T天訂一次貨,每次訂Q件，且當存貯量為0時，立即補充，補充是瞬時完成的； （4）為方便起見，將r，Q都視為連續(xù)量。模型建立將存貯量表示為時間的函數(shù)時，進貨Q件這類小電器,儲存量以需求r的速率遞減，直到q(T)=0。 易見 Q= (4.1)一個周期的存貯費用 C2=一個周期的總費用 C=每天平均費用 (4.

3、2)模型求解求T，使取最小值。由 ，得 (4.3) 上式稱為經(jīng)濟訂貨批量公式。模型解釋(1)訂貨費越高，需求量越大，則每次訂貨批量應越大，反之，每次訂貨量越??；(2)貯存費越高，則每次訂貨量越小，反之，每次訂貨量應越大。模型應用將代入(4.3)式得 T=10天,Q=1000件，c=1000元。4.2 允許缺貨模型某配送中心為所屬的幾個超市送配某種小電器，假設(shè)超市每天對這種小電器的需求量是穩(wěn)定的，訂貨費與每個產(chǎn)品每天的存貯費都是常數(shù)。如果超市對這種小家電的需求是可以缺貨的，試制定最優(yōu)的存貯策略(即多長時間訂一次貨，一次訂多少貨)。 如果日需求為100元，一次訂貨費用為5000元，每件電器每天的貯

4、存費1元，每件小家電每天的缺貨費為0.1元，請給出最優(yōu)結(jié)果。與不允許缺貨情況不同的是，對于允許缺貨的情況，缺貨時因失去銷售機會而使利潤減少，減少的利潤可以看作為因缺貨而付出的費用，稱為缺貨費。于是這個模型的第（1）、（2）條假設(shè)與不允許缺貨的模型相同，除此之外，增加假設(shè)（3）每隔T天訂貨Q件，允許缺貨，每天每件小家電缺貨費為c3 。缺貨時存貯量q看作負值，的圖形如圖4.2，貨物在時送完。 一個供貨周期內(nèi)的總費用包括：訂貨費，存貯費，缺貨費，借助圖4.2可以得到 一個周期總費用為 每天的平均費用 （4.4）利用微分法，令可以求出最優(yōu)的值為 （4.5）記 通過與不允許缺貨的模型相比較得到 （4.6

5、）顯然，即允許缺貨時訂貨周期可以長一些，每次可以少訂一些貨。（4.6）式表明，缺貨費越大，值越小，與越接近，這與實際是相符的，因為越大，意味著因缺貨造成的損失越大，所以應該盡量避免缺貨，當時，于是。這個結(jié)果是合理的，因為缺貨費充分大，造成的缺貨損失也充分大，所以不允許缺貨。 將所給的數(shù)據(jù)代入（4.6）式得到 元。 4.3森林救火模型本節(jié)討論森林救火問題。森林失火了，消防站接到報警后派多少消防隊員前去救火呢?隊員派多了，森林的損失小，但是救火的開支增加了；隊員派少了，森林的損失大，救火的開支相應減小。所以需要綜合考慮森林損失和救火隊員開支之間的關(guān)系，以總費用最小來確定派出隊員的多少。從問題中可以

6、看出，總費用包括兩方面，燒毀森林的損失，派出救火隊員的開支。燒毀森林的損失費通常正比于燒毀森林的面積，而燒毀森林的面積與失火的時間、滅火的時間有關(guān)，滅火時間又取決于消防隊員數(shù)量，隊員越多滅火越快。通常救火開支不僅與隊員人數(shù)有關(guān)，而且與隊員救火時間的長短也有關(guān)。記失火時刻為，開始救火時刻為，火被熄滅的時刻為。設(shè)t時刻燒毀森林的面積為，則造成損失的森林燒毀的面積為。下面我們設(shè)法確定各項費用。先確定的形式，研究比更直接和方便。是單位時間燒毀森林的面積，取決于火勢的強弱程度，稱為火勢蔓延程度。在消防隊員到達之前，即，火勢越來越大，即隨t的增加而增加；開始救火后，即，如果消防隊員救火能力充分強，火勢會逐

7、漸減小，即逐漸減小，且當時，。救火開支可分兩部分：一部分是滅火設(shè)備的消耗、滅火人員的開支等費用，這筆費用與隊員人數(shù)及滅火所用的時間有關(guān)；另一部分是運送隊員和設(shè)備等的一次性支出，只與隊員人數(shù)有關(guān)。模型假設(shè) 需要對燒毀森林的損失費、救火費及火勢蔓延程度的形式做出假設(shè)。(1) 損失費與森林燒毀面積成正比，比例系數(shù)為，即燒毀單位面積森林的損失費，取決于森林的疏密程度和珍貴程度。 對于，火勢蔓延程度與時間t成正比，比例系數(shù)稱為火勢蔓延速度。（注：對這個假設(shè)我們作一些說明，火勢以著火點為中心，以均勻速度向四周呈圓形蔓延，所以蔓延的半徑與時間成正比，因為燒毀森林的面積與過火區(qū)域的半徑平方成正比，從而火勢蔓延

8、速度與時間成正比）。(3) 派出消防隊員x名，開始救火以后，火勢蔓延速度降為，其中稱為每個隊員的平均救火速度，顯然必須，否則無法滅火。（4）每個消防隊員單位時間的費用為，于是每個隊員的救火費用為，每個隊員的一次性開支為。模型建立 根據(jù)假設(shè)條件（2）、（3），火勢蔓延程度在時線性增加，在時線性減小，具體繪出其圖形見圖4.3。記時，。燒毀森林面積 正好是圖中三角形的面積，顯然有 而且 因此 根據(jù)條件（1）、（4）得到，森林燒毀的損失費為，救火費為據(jù)此計算得到救火總費用為 （4.7）問題歸結(jié)為求x使C(x)達到最小。令 得到最優(yōu)的派出隊員人數(shù)為 （4.8）模型解釋（4.8）式包含兩項，后一項是能夠?qū)?/p>

9、火災撲滅的最低應派出的隊員人數(shù)，前一項與相關(guān)的參數(shù)有關(guān)，它的含義是從優(yōu)化的角度來看：當救火隊員的滅火速度和救火費用系數(shù)增大時，派出的隊員數(shù)應該減少；當火勢蔓延速度、開始救火時的火勢以及損失費用系數(shù)增加時，派出的隊員人數(shù)也應該增加。這些結(jié)果與實際都是相符的。 實際應用這個模型時，都是已知常數(shù)，由森林類型、消防人員素質(zhì)等因素確定。4.4消費者的選擇 本節(jié)利用無差別曲線的概念討論消費者的選擇問題。如果一個消費者用一定數(shù)量的資金去購買兩種商品，他應該怎樣分配資金才會最滿意呢？記購買甲乙兩種商品的數(shù)量分別為，當消費者占有它們時的滿意程度，或者說給消費者帶來的效用是的函數(shù)，記作，經(jīng)濟學中稱之為效用函數(shù)。的

10、圖形就是無差別曲線族，如圖4.4所示。類似于第二章中無差別曲線的作法，可以作出效用函數(shù)族，它們是一族單調(diào)下降、下凸、不相交的曲線。在每一條曲線上，對于不同的點，效用函數(shù)值不變，即滿意程度不變。而隨著曲線向右上方移動，的值增加。曲線下凸的具體形狀則反映了消費者對甲乙兩種商品的偏愛情況。這里假設(shè)消費者的效用函數(shù)，即無差別曲線族已經(jīng)完全確定了。設(shè)甲乙兩種商品的單價分別為元，消費者有資金s元。當消費者用這些錢買這兩種商品時所作的選擇，即分別用多少錢買甲和乙，應該使效用函數(shù)達到最大，即達到最大的滿意度。經(jīng)濟學上稱這種最優(yōu)狀態(tài)為消費者均衡。當消費者購買兩種商品量為時，他用的錢分別為和，于是問題歸結(jié)為在條件

11、 （4.9）下求比例，使效用函數(shù)達到最大。這是二元函數(shù)求條件極值問題，用乘子法不難得到最優(yōu)解應滿足 （4.10）當效用函數(shù)給定后，由（4.10）式即可確定最優(yōu)比例。上述問題也可用圖形法求解。約束條件（4.9）在圖4.4中是一條直線，此直線必與無差別曲線族中的某一條相切（見圖4.4中的Q點），則的最優(yōu)值必在切點處取得。圖解法的結(jié)果與（4.10）式是一致的。因為在切點處直線與曲線的斜率相同，直線的斜率為，曲線的斜率為，在點，利用相切條件就得到（4.10）式。經(jīng)濟學中稱為邊際效用，即商品購買量增加1單位時效用函數(shù)的增量。（4.10）式表明，消費者均衡狀態(tài)在兩種商品的邊際效用之比正好等于價格之比時達到

12、。從以上的討論可以看出，建立消費者均衡模型的關(guān)鍵是確定效用函數(shù)。構(gòu)造效用函數(shù)時應注意到它必須滿足如下的條件：條件A ：所確定的一元函數(shù)是單調(diào)遞減的，且曲線是呈下凸的。條件A是無差別曲線族的一般特性，這個條件可以用下面更一般的條件代替。條件B： 。在條件B中，第一、第二兩個式子表示，固定某一個商品購買量，效用函數(shù)值隨著另一個商品的購買量的增加而增加；表示，當占有量較小時，增加引起的效用函數(shù)值的增加應大于占有量較大時增加引起的效用函數(shù)值的增加；最后一個不等式的含義是，當占有量較大時增加引起效用函數(shù)值的增加應大于占有量較少時增加引起效用函數(shù)值的增加。仔細分析可以知道，這些條件與實際都是相符的。也可以

13、驗證條件B成立時，條件A一定成立。下面來分析幾個常用效用函數(shù)的均衡狀態(tài)。(1) 效用函數(shù)為 根據(jù)（4.10）式可以求得最優(yōu)比例為 結(jié)果表明均衡狀態(tài)下購買兩種商品所用的資金的比例，與商品價格比的平方根成正比。同時與效用函數(shù)中的參數(shù)也有關(guān)，參數(shù)分別表示消費者對兩種商品的偏愛程度，于是可以通過調(diào)整這兩個參數(shù)來改變消費者對兩種商品的愛好傾向，或者說可以改變效用函數(shù)族的具體形狀。(2) 效用函數(shù)為 根據(jù)（4.10）式可以求得最優(yōu)比例為 結(jié)果表明均衡狀態(tài)下購買兩種商品所用的資金的比例與價格無關(guān)，只與消費者對這兩種商品的偏愛程度有關(guān)。(3) 效用函數(shù)為 根據(jù)（4.10）式可以求得最優(yōu)比例為 。結(jié)果表明均衡狀

14、態(tài)下購買兩種商品所用的資金的比例，與商品價格比成反比，與消費者對這兩種商品偏愛程度之比的平方成正比。 在這個模型的基礎(chǔ)上可以討論當某種商品的價格改變，或者消費者購買商品的總資金改變時均衡狀態(tài)的改變情況。4.5 雨中行走模型下雨天忘記帶傘總是件不愉快的事，因為你往往不得不硬著頭皮跑回家，弄得一身濕。怎樣才能在跑動中少淋雨，自然是一件非常重要的事，本節(jié)試圖從定性的角度，分析奔跑速度與淋雨量的關(guān)系。淋雨量與人的形體有關(guān)，而人體是不規(guī)則的立體形狀，因此為了計算淋雨量，有必要對人體形狀做些假設(shè)。為了簡化計算，我們先給出幾個相關(guān)的假設(shè)。模型假設(shè)(1) 人體的外表面為一長方體（見圖4.5）在三維坐標系中，人

15、體外表面相對于雨水的運動有三個方向，由物理學中的運動獨立性原理可知，這三個方向上的運動彼此獨立，互不干擾，可以分別討論。不妨設(shè)人在三個方向上相對于雨水的速度為，并讓體表分別在垂直于這三個方向的平面上作投影，投影面積分別記為。通過等積原理，將這三者拼合成三個相鄰表面。設(shè)某人在雨中奔跑了時間，根據(jù)等效原理，人體外表面在三個方向上掃過的體積分別為，人體掃過的總體積為 （4.11）計算淋雨量，需要先弄清楚雨水的運動情況。雨水可以視為以一定速度運動且在空間分布均勻的流體，不妨設(shè)其質(zhì)量分布系數(shù)為。當人淋雨時，就普通人而言，看到的只是雨水紛紛而下。但若換一個角度，建立相對直角坐標系，將雨水視為靜止的，那么人

16、就在相對雨水而動了。形象地說，當雨水被視為靜止的，它便和空間保持位置不變，而人則在靜止的雨水中穿梭。顯然，人的這種運動是相對雨水而言的。而且人在穿梭過程中，外表面不斷地掃過一定的空間。根據(jù)以上分析，我們可以發(fā)現(xiàn)，人的淋雨量 (4.12)通常雨水并非垂直下落的，我們將雨水的速度向量分解為垂直速度和水平速度，不妨增加假設(shè)：(2) 雨水的垂直速度為，水平速度為。雨中的人在不停的奔跑，每跨出一步（從一腳起跳到落地），其重心軌跡可近似為一個拋物線軌跡，因此人在雨中奔跑的重心可視為一系列全等的拋物線，據(jù)此，我們給出假設(shè)：(2) 每個拋物線的長度為，起跳時垂直速度與水平速度分別記為，從起跳到落地的時間為，人

17、在雨中奔跑的總距離為，不妨假設(shè)為的整倍數(shù)。由物理學的拋體運動定律可得。模型建立計算人在每個方向上的淋雨量：對于垂直方向上，每一個小段的淋雨量為。利用相對坐標系得到時的垂直方向的速度為，這期間掃過的雨水體積據(jù)此計算得到在垂直方向總的淋雨量為 （4.13）從（4.13）式中可以看出，關(guān)于水平方向的速度是單調(diào)減少的，但與垂直方向速度無關(guān)。 對于前（后）方向的淋雨量，記與的夾角為，顯然。（1）當人跑完全程所需時間為。設(shè)在這段時間內(nèi)面上的淋雨量記為，易見。利用相對直角坐標系得到該方向的相對速度為。據(jù)此求得 同理可以求出左（右）側(cè)面的淋雨量 記 ，因此 （4.14）因為，所以關(guān)于是單調(diào)遞減的。（2）當 通

18、過上述類似的分析可得 （4.15）從（4.14）式或（4.15）式都可以得到，水平方向的淋雨量均與垂直速度無關(guān)，只是水平速度的函數(shù)。模型分析（1） 當時，總淋雨量 由前面的分析知道，m是關(guān)于u2的單調(diào)遞減函數(shù)，因此u2越大，淋雨越少，直觀上說，雨中奔跑的人應跑得越快越好。 (2)當時，總淋雨量 （4.16）將上式記為，下面討論的單調(diào)性。（i）當時如果，關(guān)于u2是單調(diào)遞減的；如果 ，關(guān)于u2是單調(diào)遞減的；根據(jù)以上分析得到，m是關(guān)于u2的單調(diào)遞減函數(shù)，因此u2越大，淋雨越少，直觀上說，雨中奔跑的人應跑得越快越好。（ii）當時 如果 ，類似前面的分析可知，是關(guān)于u2的單調(diào)遞減函數(shù)，因此u2越大，淋雨

19、越少，直觀上說，雨中奔跑的人應跑得越快越好。如果通過分析知道，是關(guān)于u2的單調(diào)遞增函數(shù)，因此u2越小，淋雨越少，因此淋雨最少的奔跑速度為 。模型解釋在上面的分析中，我們得到了幾種情況下的淋雨量與奔跑速度之間的關(guān)系，下面解釋它們的實際含義。條件表示雨是前面或側(cè)面打來的，此時奔跑得越快，淋雨越少；條件等價于，其含義是體側(cè)淋到的雨不少于后背淋到的雨，條件，等價于，其含義是后背淋雨量比其它部位淋到的雨少，這兩種情況都是奔跑得越快淋雨越少；條件，等價于，其含義是后背淋到的雨比其它部位的總和都要多，在此條件下，當時，淋到的雨最少。此時人奔跑的水平速度與雨的水平速度是一致的，人的體前與體后都淋不到雨。根據(jù)以

20、上分析，我們給出逃雨的三條原則：如果雨是從前方或側(cè)面打來的，那么跑得越快越好；如果雨是從后方或側(cè)面打來的，且速度較小，以至于人站在雨中時，后背淋雨還不及其它部分多時，那么奔跑時也是越快越好；如果雨較大，以至于人站在雨中時，后背淋到的雨比身體其它部分還要多，那么奔跑時應使前胸與后背淋不到雨為最優(yōu)。在這個模型中，我們將人的形體簡化為長方體，實際上，我們還可以將人的形體簡化為圓柱體，這樣計算會簡單一些，讀者可以嘗試建立一個模型進行分析。4.6 數(shù)值微分與積分4.6.1數(shù)值微分微分運算比較簡單，任何一個由基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運算及復合運算得到的函數(shù)，都可以用導數(shù)公式或求導法則求出其導數(shù)，但是遇到由離散

21、數(shù)據(jù)或者圖形表示的函數(shù)就不一樣了，這時候我們需要利用相應的數(shù)值方法，即利用函數(shù)在一些離散點上的函數(shù)值推算出某點處導數(shù)的近似值。最簡單的數(shù)值微分公式是用向前差商近似代替導數(shù)，即 （4.17）類似地，也可以用向后差商近似代替導數(shù)，即 (4.18)或者用中心差商近似代替導數(shù) (4.19) 在幾何圖形上，三種差商的含義是分別用線段的斜率近似代替曲線在點處切線的斜率（見圖4.6）。比較這三條直線與過點的切線發(fā)現(xiàn)中心差商更為精確。（4.17）（4.19）式分別稱為向前差商、向后差商、中心差商。記 （4.20）式（4.19）稱為中點公式。利用泰勒公式得到 由此可以看出，從截斷誤差的角度來看，步長越小計算結(jié)果

22、越精確。由上面的分析可知，采用中點公式時若以縮小步長來提高精度，一般只能對以分析表達式表示的函數(shù)適用，對于數(shù)據(jù)表示的函數(shù)，還要另想方法。對于數(shù)據(jù)表示的函數(shù)，通常用差分與差商作為導數(shù)與微分的近似。下面簡要介紹這個思想，并利用這一思想求積分的近似值。為此，將區(qū)間等分，取步長，當函數(shù)在分點上用離散數(shù)值表示為，對于，函數(shù)在分點的導數(shù)值可以表示為 （4.21）對于兩個端點 為了提高精度可用二次插值函數(shù)代替曲線，則在兩個端點有 （4.22）式（4.21）、（4.22）統(tǒng)稱為三點公式。高階導數(shù)的近似公式一般要通過插值多項式得到，不過在簡單情況下可以直接由一階近似式或者泰勒展開式求出，讀者自行可以推出如下常用

23、的二階導數(shù)近似公式： （4.23）并進一步利用泰勒公式給出（4.23）式的誤差估計。 4.6.2數(shù)值積分在許多實際問題中，常常需要計算定積分的值。根據(jù)微積分學基本定理，若被積函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，只需要找到被積函數(shù)的一個原函數(shù)，就可以用牛頓萊布尼茲公式求出積分值。但在實際使用時，往往因為被積函數(shù)的復雜性或難以求出原函數(shù)等原因，使得求精確值很難或不可能，所以需要用數(shù)值方法求某一定積分的近似值。假如在上可積，利用定積分的定義 （4.24）根據(jù)定積分的幾何意義，可知當n充分大時，可將視為積分I的近似值。這里是取自第k個區(qū)間中的值。該方法的幾何意義就是利用一系列小矩形的面積近似曲邊矩形的面積。對于的不同選

24、取方式，可以得到不同的數(shù)值積分公式，各種不同的數(shù)值積分公式的精度是不完全一樣的。在利用數(shù)值方法求積分的近似值時，需要根據(jù)計算精度的要求，選擇一個適合的積分公式。梯形公式和辛普森公式 定積分表示曲線）下的曲邊梯形的有向面積。我們先從圖4.7上觀察如何近似計算定積分的面積。 如果將區(qū)間劃分等分，結(jié)點分別記為 ，稱為積分步長。如果取，公式（4.24）可以表示為 （4.25）式（4.25）稱為計算定積分的矩形公式。如果我們用小梯形代替小矩形作為曲邊梯形的近似，即利用代替，則得到近似公式 （4.26） 它的實際含義是利用逐段線性函數(shù)作為的近似，式（4.26）稱為梯形求積公式。為了提高計算精度，可以用分段

25、二次插值函數(shù)代替。由于每段都要用到相鄰兩個小區(qū)間端點的三個函數(shù)值，所以小區(qū)間的數(shù)目必須是偶數(shù)。記，在第段的兩個小區(qū)間上用三個節(jié)點作二次插值函數(shù)，然后積分可得 求段之和就得整個區(qū)間上的近似積分 (4.27)公式（4.27）稱為拋物形公式（辛普森求積公式）。梯形公式在小區(qū)間上是用線性插值函數(shù)代替，由泰勒公式得到 梯形公式（4.26）的誤差為 記 它?？梢源致缘毓烙?，因此 （4.28）上式表明梯形公式（4.26）的誤差是階的，即是2階收斂的。還可以求出辛普森公式（4.27）的誤差 （4.29）其中即誤差為階的。從前面的求積公式中可以看出誤差隨著的增大（即步長減?。┒鴾p小，因此對于給定的誤差限，我們可

26、以根據(jù)誤差估計式確定適當?shù)牟介L。由于（4.28）式或（4.29）式都含有高階導數(shù)，一般都不容易估計。在實際求積過程中，通常用二分法每次將上一次的每個小區(qū)間等分為二，因此區(qū)間數(shù)n增加一倍，隨著的增加，計算精度也隨著增加，直至滿足精度要求（通常是通過比較前后兩次計算值的誤差是否滿足精度要求來確定是否中斷計算）。下面以梯形公式為例說明這一過程。由（4.28）式可知，當n增加一倍時，所以只要，計算出的即可滿足的精度要求。而每次分點加密一倍時，原分點的函數(shù)值不需要重新計算，只需要求出新分點（的中點）的函數(shù)值（記作），即可算出 （4.30）對于辛普森公式也可作類似處理。例1對于，利用表4.1所給的數(shù)據(jù)，計

27、算積分。 表4.1數(shù)據(jù)表 0 4.00000000 5/8 2.876404491/8 3.93846154 3/4 2.560000001/4 3.76470588 7/8 2.26548673 3/8 3.50684932 1 2.000000001/2 3.20000000解 這個問題有精確的答案 。將區(qū)間八等分，即取，應用梯形公式求得 將區(qū)間四等分，即取，應用辛普森公式求得 比較的結(jié)果，它們都需要提供9個點的函數(shù)值，計算量基本相同，然而精度卻有較大差別，辛普森公式的精度相對較高。龍貝格公式從梯形公式和辛普森公式中可以看到，不論哪個近似求積公式都可以寫成如下形式： （4.31）其中是與函

28、數(shù)無關(guān)的常數(shù)，梯形公式與辛普森公式的區(qū)別僅在于的取值不同。不同公式近似的精確程度是不一樣的，一般用代數(shù)精度的概念來衡量求積公式的精度（復化求積公式用階來衡量）。代數(shù)精度是用冪函數(shù)作為被積函數(shù)，以近似積分與精確值是否相等作為精度的度量標準，有如下定義：設(shè)，用（4.13）式計算，若對于都有，而當時，則稱求積公式的代數(shù)精度為。容易驗證梯形公式的代數(shù)精度為1，辛普森公式的代數(shù)精度為3。梯形公式與辛普森公式的特點是將積分區(qū)間等分，將分點作為插值節(jié)點，用分段插值多項式代替作積分，因而節(jié)點數(shù)給定后節(jié)點是固定的，要構(gòu)造求積公式只需要確定（4.31）式中的系數(shù)即可。對于梯形公式，當區(qū)間分點數(shù)加倍時，近似值的誤差

29、約等于，如果用這個誤差值作為的一種補償，得到公式 （4.32）將梯形公式（4.26）代入（4.32）得到 上式表明，用梯形公式對于區(qū)間二分前后的兩個積分值按（4.32）式線性組合，就得到辛普森公式的積分值，而誤差由階變?yōu)殡A。類似地有 于是的線性組合為更精確的近似公式，可以證明其誤差是階的。如此繼續(xù)下去，如果我們將最初的梯形公式（4.26）重新記作 （4.33）而將區(qū)間二分后的改為，則上述構(gòu)造線性組合的步驟可以歸結(jié)為如下的遞推公式 （4.34）每遞推一次誤差降低階。(4.33)式和(4.34)式就是龍貝格求積公式。類別類別（2）模型名稱關(guān)鍵點備注參考書目復雜系統(tǒng)庫存模型排隊模型可靠系統(tǒng)差分方程模

30、型動力系統(tǒng)類酵母菌增長模型平衡點；平衡點的分類地高辛衰減模型戰(zhàn)爭模型總量一定時，對單量的分配競爭物種模型不穩(wěn)定平衡：對初始值敏感比例性模型釣魚比賽模型幾何相似性身高、體重與靈活性模型數(shù)據(jù)擬合模型最小二乘擬合停止距離模型97海灣收成模型多項式擬合磁帶播放模型高階多項式敏感度很強光滑化115停止距離模型（2）三階樣條法。有自然和強制樣條兩種134預測時間序列GM(1,1)，指數(shù)平滑，線性平滑因果分析法聚類分析灰色關(guān)聯(lián)度分析聚類分析因子分析模擬方法蒙特卡羅算法硬幣投擲模型149汽油儲存模型逆線性樣條（可改變隨機數(shù)范圍）155港口系統(tǒng)模型改變參數(shù)時，改善情況的分析164離散概率模型馬爾可夫鏈汽車租賃模

31、型要結(jié)合蒙特卡羅算法176投票趨勢模型177Markov決策串聯(lián)和并聯(lián)系統(tǒng)模型178線性規(guī)劃模型無約束類生產(chǎn)計劃模型192取整數(shù)類載貨模型194動態(tài)規(guī)劃類197多目標規(guī)劃類投資問題有時須對目標進行取舍?？刹扇〖訖?quán)系統(tǒng)層次分析196沖突目標Minmax與maxmin機會約束約束滿足概率性>P矛盾約束約束相互矛盾單純形法木匠生產(chǎn)模型注意步驟性。215組合模型參數(shù)模型動態(tài)規(guī)劃決策法背包問題排序問題多步驟形的規(guī)劃數(shù)值搜索法工業(yè)流程優(yōu)化黃金分割搜索法還有二分搜索法233網(wǎng)絡(luò)流最大樹最大流最短路關(guān)鍵路線法網(wǎng)絡(luò)計劃布點問題中心問題重心問題運輸問題分配問題匈牙利方法最大匹配最優(yōu)匹配旅行推銷問題中國郵遞員

32、問題非線性規(guī)劃分式規(guī)劃目標是分式凸規(guī)劃幾何規(guī)劃對策2人0種對策鞍點對策混合對策合作量綱分析模型單擺模型通過實驗選擇最終模型253爆炸模型函數(shù)隨爆炸威力上升改變258烤火雞模型262阻力模型使用相似性、比例性。注意它額外定義的物理量。268圖標模型軍備競賽模型民防、移動發(fā)射臺、多彈頭271稅收歸宿模型稅收-能源危機模型參考經(jīng)濟學書籍！288稅收-汽油短缺模型微分方程模型人口模型馬爾薩斯人口模型無限增長299有限增長模型可推廣到其它生物的增長301用藥模型儲蓄模型關(guān)注Euler法的使用（該法并不精確）326生物關(guān)系模型競爭捕獵模型363頁：相應的Euler法使用捕食者-食餌模型Scheafer微分

33、方程模型Lanchester戰(zhàn)斗模型350SIR模型軍備競賽的經(jīng)濟模型355混沌與分形模型連續(xù)優(yōu)化問題Steiner樹庫存模型制造模型最陡上升梯度方法375石油轉(zhuǎn)運模型Lagrange乘子法注意里面涉及到的經(jīng)濟學概念和意義381航天飛機的水箱模型漁業(yè)模型注意各種“最優(yōu)”的意義384最優(yōu)化模擬退火法神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遺傳算法分治算法差分進化蟻行算法粒子群不確定模型灰色系統(tǒng)數(shù)理統(tǒng)計模糊數(shù)學聚類分析模型名稱所在目錄1，  國有企業(yè)業(yè)績分化的數(shù)學模型2，  打假問題的機理數(shù)學分析3，  足球比賽排名問題4，  大象群落的穩(wěn)定性分析5，  火車便餐最有價格方案6，

34、  影院最優(yōu)設(shè)計方案7，  國有企業(yè)業(yè)績分化的數(shù)學模型8，  打假問題的機理數(shù)學分析9，  足球比賽排名問題10，              大象群落的穩(wěn)定性分析11，              火車便餐最有價格方案12，              施肥效果分析13，              迷宮問題14，              鎖具裝箱問題15，