高中數學人教B版必修五112余弦定理word學案2

1、文檔來源為：從網絡收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持1.1.2 余弦定理(二)自主學習知識梳理1 .在 ABC中，邊a、b、c所對的角分別為 A、B、C,則有:(1)A+B+ C =A+ B(2)sin(A+B) =, cos(A+ B)=, tan(A+B)= A+BA+B(3)sin 2 =， cos _2 =.2 .正弦定理及其變形a b c3 1)sin A sin B sin C .(2)a=, b=, c=.(3)sin A=, sin B=, sin C=.4 4)sin A ： sin B ： sin C =.3.余弦定理及其推論(1)a2 =.(2)cos A=.在A

2、BC中，c2=a2+b2?C 為;c2>a2+b2?C 為;c2<a2+b2?C 為 口自主探究在4ABC中，已知兩邊及其中一邊的對角，解三角形.一般情況下，先利用正弦定理求出另一邊所對的角， 再求其他的邊或角， 要注意進行討論三角形解的個數.對于這一類問題能否利用余弦定理來解三角形，請結合下面的例子加以探究.例：在 ABC中，若/ B=30°, AB=2<3, AC=2,則滿足條件的三角形有幾個？對點講練知識點一 利用正、余弦定理證明三角恒等式陟1口在 ABC中，求證:tan A a2+ c2 b2tan B b2+ c2 a2.總結證明三角恒等式關鍵是消除等號兩

3、端三角函數式的差異.形式上一般有：左？右;右？左或左？中？右二種.變式訓練1 在4ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊. cos B c bcos A求證：二=cos C b ccos A知識點二利用正、余弦定理判斷三角形形狀陟2 在 ABC中，若B=60°, 2b=a+c,試判斷 ABC的形狀.總結 題中邊的大小沒有明確給出，而是通過一個關系式來確定的，可以考慮利用正弦定理將邊的關系轉化為角的關系，也可以利用余弦定理將邊、角關系轉化為邊的關系來判斷.變式訓練 2 在4ABC 中，已知(a+b+ c)(b+c a)= 3bc,且 sin A=2sin Bcos C,試確 是叢

4、ABC的形狀.知識點三 利用正、余弦定理解關于三角形的綜合問題陟3】 在 ABC中，a, b, c分別是角 A, B, C的對邊，cos B=3,且A B B C=- 21.5(1)求 ABC的面積；(2)若a=7,求角C.總結 這是一道向量，正、余弦定理的綜合題，解題的關鍵是化去向量的“偽裝”，找到三角形的邊角關系.變式訓練3 ABC中，內角 A、B、C的對邊分別為 a、b、c,已知b2= ac且cos B =34 .（1）求仄十的值；tan A tan C3 ，、， ，一（2）設BABC=2，求 a+c 的值.1.解斜三角形的常見類型及解法在三角形的6個元素中要已知三個（至少有一邊）才能求

5、解，常見類型及其解法見下表:已知條件應用定理一般解法一邊和兩角（如a, B, C）正弦定理由A+B+C=180 ；求角A;由正弦定理求出 b與c.在有解時 只有一解.兩邊和夾角（如a, b, C）余弦定理 正弦定理由余弦定理求第三邊 c；由正弦定理求出小邊所對的角；再由A+B+ C= 180 °求出另一角.在有解時只宿一解 .三邊（a, b c）余弦定理由余弦定理求出角 A、B;再利用A+B+C=180 ；求出角C.在有解時只宿一解.兩邊和其中一邊的對角如（a, b, A）正弦定理 余弦定理由正弦定理求出角 B;由A+B+C=180 ；求出角C;再利用正弦定理或余弦定理求 c.可用兩

6、解、一解或無解.2.根據所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑（1）化邊為角；（2）化角為邊，并常用正弦（余弦）定理實施邊、角轉換.課時作業(yè)一、選擇題1 .在 ABC 中，若 2cos Bsin A=sin C,則 ABC 的形狀一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形2 .在 ABC 中，若 b2=a2+c2+ac,則 B 等于（）A. 60°B. 45 或 135° C. 120°D, 30 °3 . ABC的三邊分別為a, b, c且滿足b2=ac,2b = a+ c,則此三角形是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.

7、等腰直角三角形D.等邊三角形4 .在 ABC中，若a2=bc,則角A是（）A.銳角B.鈍角C.直角D. 60°5 .如果將直角三角形的三邊增加同樣的長度，則新三角形的形狀是（）A .銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.由增加的長度確定二、填空題6 .已知 ABC的面積為2我，BC=5, A=60°,則 ABC的周長是 .7 .在 ABC 中，若 lg alg c= lg sin A=- lg，2,并且 A 為銳角，則 ABC 為 三角形.8 .設2a+1, a,2a1為鈍角三角形的三邊，那么a的取值范圍是 .三、解答題a2 b2 sin A B9 .在 ABC 中，求

8、證：一sin C .文檔來源為：從網絡收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持2Rsin B- 2Rsin C cos A1. 1.2余弦定理(二)知識梳理兀c ,1. (1)兀-2 (2)sin C cos C tan CC . C(3)cos 2 sin 22. (1)2R (2)2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C (3)7a 7b 2 (4)a： b ： c 2R 2R 2Rb2+c2a23. (1)b2+c22bccos A (2)2bc (3)直角 鈍角 銳角自主探究解 設 BC=a,AC=b, AB =c,由余弦定理，得 b2= a2 +c2 2accos B,，2a

9、 x 2/cos 30 , °即 a2 6a+ 8=0,解得 a=2 或 a = 4.討論a值：當a= 2時，三邊為222y3可組成三角形；當a = 4時，三邊為422出也可組成三角形.22=a2+ (2 ；3)2.滿足條件的三角形有兩個.對點講練陟1口證明方法sin A左邊= c0s A_sin Acos B sin B - sin Bcos Acos Ba2+c2-b2a 2ac _ a2+ c2 b2tan A_ a2+ c2- b2bb2+c2-a2 = b2+ c2- a2=右'所'tanB= b2+ c2- a2.2bc方法二右邊=a2 + c2-b2Z

10、2ac2acb2+c2a22bc2bca2+c2b22ac ab2+c2a2-2bc- bcos B sin A sin A cos B tan A 4 , 7 丁= =T 丁= = ：一Z=左初cos A sin B cos A sin B tan B所以tan A a2 c2b2tan B b2+ c2- a2.變式訓練1證明方法一左邊a2+c2b22ac b a2+ c2- b2 a2+b2c2 =ca2+b2-c22ab右邊二b2+c2a2c-b , 2bcb2 + c2 a2b- c : -2bcb a2+c2b2-222 , ,等式成立.c a2 + b2 c22Rsin C2Rs

11、in B cos A方法二 右邊-文檔來源為：從網絡收集整理,word版本可編輯.歡迎下載支持sin A + B sin Bcos A sin Acos B 、sin A+C sin Ccos A sin Acos C 工辿等式成立.陟2】解 方法一根據余弦定理得b2=a2+c22accos B.B= 60°, 2b=a+c,ac 2=a2 + c22accos 60 ,整理得(a-c)2=0, .a=c.1.A ABC是正三角形.方法二根據正弦定理，2b=a+ c 可轉化為 2sin B= sin A + sin C.又. B=60 °, A+ C=120 :.C= 12

12、0°-A, 2sin 60 = sin A+sin(120 -A),整理得 sin(A + 30 ) = 1, A=60 °, C = 60 ：又,2b=a+c,b= a. ABC 是正三角形.變式訓練 2 解 由(a+b+c)(b+ca) = 3bc,得 b2+ 2bc+ c2 a2= 3bc,即 a2= b2+ c2 bc,cos A=b2+ c2 a2_ bc2bc= 2bc兀-A= 77.3又 sin A= 2sin Bcos C.,ba = a2ab.b2=c2,b=c,ABC為等邊三角形.陟31解 N 1) . AB BC=- 21, .BABC=21.ff B

13、A BC = |BA | |BC| cos B= accos B = 21. ac= 35, cos B=5， " sin B=g.-114.s ABC=2acsin B=2X35X5=14.(2)ac=35, a=7, c= 5.由余弦定理 b2 = a2 + c2 2accos B=32,b= 45,由正弦定理：-Q- = b±-.sin C sin B c 5 J .2"sin C = bsin B=4.2 5=萬. c<b且B為銳角，C 一定是銳角.C = 45°.變式訓練3得 sin B =.3解由cos B=4,由b2= ac及正弦定理

14、得 sin2B= sin Asin C.tan A+ tan C sin A + sin Ccos a cos c sin Ccos A+ cos Csin Asin A+C sin B 14s一-sin2B- sin2B- sin B- 7 .(2)由 BA BC= 3得 ca cos B= |, 3由 cos B= 4,可得 ca=2,即 b2= 2.由余弦定理 b2 = a2 + c2 2ac cos B,得 a2+ c2= b2+ 2ac cos B= 5, .(a+c)2=a2+c2+2ac=5+4=9,a+c=3.課時作業(yè)1. C2. C3. D -2b = a+c, . 4b2=

15、 (a+c)2,即(ac)2=0. a = c. 2b = a + c= 2a.b= a, 即 a= b = c.b2 + c2a2 b2+c2bc4. A cos A=-c2 3c22+T>00<A<90.2bc2bc2bc5. A 設直角三角形三邊為a, b, c,且 a2+b2=c2,則(a+x)2+(b+x)2 (c+x)2=a2+ b2 + 2x2+ 2(a+ b)x c2 2cx x22=2(a+ b c)x+x2>0,c+ x所對的最大角變?yōu)殇J角.6. 1211一解析 Saabc = AB AC sin A= 2AB AC sin 60 = 26，ABAC = 8, BC2= AB2+ AC2- 2AB ACcos A = AB2+AC2 AB AC= (AB+AC)2- 3AB AC. . . (AB+ AC)2=BC2 + 3AB AC = 49,AB+AC=7,周長為 12.7.直角解析 lg a - Ig c= Ig sin A=lg&,a2，c=sin A= 2 , A 為銳角，A=45 ,-sin C = |sin A= V2x sin 45 = 1, .C=90°.8. (2,8)1解析.2a1>0, a、最大邊為 2a+1.三角形為鈍角三角形，a2