人教版高中數(shù)學(xué)知識(shí)與鞏固_對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算(提高)

1、人教版高中數(shù)學(xué)知識(shí)與鞏固對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算(提高)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .理解對(duì)數(shù)的概念，能夠進(jìn)行指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化；2 .了解常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)的意義；3 .能夠熟練地運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；4 . 了解換底公式及其推論，能夠運(yùn)用換底公式及其推論進(jìn)行對(duì)數(shù)的計(jì)算、化簡(jiǎn)與證明.5 .能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)、體會(huì)換底公式在解題中的作用. 【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、對(duì)數(shù)概念1 .對(duì)數(shù)的概念如果abNa 0,且a 1 ,那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作：logaN=b.其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).要點(diǎn)詮釋：對(duì)數(shù)式logaN=b中各字母的取值范圍是：a>0且a 1, N>0 ,

2、b R.2 .對(duì)數(shù)loga N a 0,且a 1具有下列性質(zhì)：(1)0和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，即 N 0；(2)1的對(duì)數(shù)為0,即loga1 0 ;(3)底的對(duì)數(shù)等于1,即logaa 1.3 .兩種特殊的對(duì)數(shù)通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，10gl0N簡(jiǎn)記作lgN .以e (e是一個(gè)無理數(shù)，e 2.7182 )為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，log eN簡(jiǎn)記作ln N .4 .對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系由定義可知：對(duì)數(shù)就是指數(shù)變換而來的，因此對(duì)數(shù)式與指數(shù)式聯(lián)系密切，且可以互相轉(zhuǎn)化.它們的關(guān)系可由下圖表本.指數(shù)式對(duì)數(shù)式指數(shù)對(duì)數(shù)孑其數(shù)底數(shù)由此可見a, b, N三個(gè)字母在不同的式子中名稱可能發(fā)生變化要點(diǎn)二、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法

3、則已知 loga M ,loga N a0且a 1, M、N 0(1)正因數(shù)的積的對(duì)數(shù)等于同一底數(shù)各個(gè)因數(shù)的對(duì)數(shù)的和； loga MN loga M loga N推廣：loga N1N2 |Nk loga N1logaN 血$ Np 電、| 小 N 0(2)兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)等于被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)；M loga loga M loga NN(3)正數(shù)的哥的對(duì)數(shù)等于哥的底數(shù)的對(duì)數(shù)乘以哥指數(shù)；loga M loga M要點(diǎn)詮釋：(1)利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則時(shí)，要注意各個(gè)字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對(duì)數(shù)都存在時(shí)等式才能成立.如:10g2(-3)(-5)=log 2(-3)+log2(-5)是

4、不成立的，因?yàn)殡m然10g2(-3)(-5)是存在白1 但 10g2(-3)與 10g2(-5)是不存在的.(2)不能將和、差、積、商、哥的對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的和、差、積、商、哥混淆起來，即下面的等式是錯(cuò)誤的：loga(M N)=log aM logaN,l0ga(M N)=l0g aM log aN ,M log a M lOgaN logaN要點(diǎn)三、對(duì)數(shù)公式1 .對(duì)數(shù)恒等式: blogaN aa Nloga N b2 .換底公式同底對(duì)數(shù)才能運(yùn)算，底數(shù)不同時(shí)可考慮進(jìn)行換底，在 a>0, awl M>0的前提下有： loga M log n M n (n R) a令 logaM=b ,則有

5、ab=M,(ab)n=Mn,即(an)b M n,即 blogan M n,即：loga Mlogan M n.log c M人八b(2) log a M (c 0,c 1),令 logaM=b,則有 ab=M ,則有 logc a log c M (c 0, c 1)logc alog c Mlog c M即 b logc a logcM ,即 b ，即 loga M (c 0,c 1) log calogc a當(dāng)然，細(xì)心一些的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)(1)可由(2)推出，但在解決某些問題(1)又有它的靈活性.而且由(2)還可以得到一個(gè)重要的結(jié)論：logablog ba(a 0, a1,b 0, b 1)

6、.【典型例題】類型一、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化及其應(yīng)用例1.將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化：10g 216 4； (2) log1273【解析】運(yùn)用對(duì)數(shù)的定義進(jìn)行互化3313； (3) log3 x 3； (4)5125； (5)212；1 2 Q(6) -9.341- 31232九石x； (4)l0g5125 3；10g2萬1； (6)log92 .3【總結(jié)升華】對(duì)數(shù)的定義是對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù)，而對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式的互化又是解決問題的重 要手段.舉一反三：【變式1 求下列各式中x的值：11c C_2(1)log16x -(2) log x 8 6(3)lg1000=x(4) -2ln e x2

7、【答案】(1) 1 ； (2) 72; (3) 3; (4) -4.4【解析】將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，再利用指數(shù)哥的運(yùn)算性質(zhì)求出x.1 212( 1)11 x (16) 2(42) 2 4 24 1 1 ；41 111(2)x6 8,所以 x (x6)6(8)6(23)622拒；10x=1000=103,于是 x=3;x2 x 2二 2(4)由 2ln ex,得 -lne,即e2 e 所以 x 4.【變式2】計(jì)算：10g2 4;10g 2 8;10g 2 32并比較.【答案】2 3 52【解析】1og2 4 log 2 22;3；3log 28 1og2 25log 2 32 log 2 2類型二

8、、利用對(duì)數(shù)恒等式化簡(jiǎn)求值例2.求值:【答案】35【解析】71【總結(jié)升華】 舉一反三：71 10g75log757 710g7 5對(duì)數(shù)恒等式a7 5loga N n35.中要注意格式：它們是同底的；指數(shù)中含有對(duì)數(shù)形式； 其值為真數(shù).loga blogb clogc N 的值(ab, cC R+,且不等于 1, N>0)【解析】將騫指數(shù)中的乘積關(guān)系轉(zhuǎn)化為騫的騫，再進(jìn)行運(yùn)算logab log b c logc N aloga b 10gbe(a )logc N(b10gbe )1ogc Nclogc N類型三、積、商、哥的對(duì)數(shù) 例3.用log a X, log a y, loga Z表示下列各

9、式廠yzlogaA;(2)log a(x3y5);(3)log a ;(4)logy1oga Z ；【解析】(1) loga y loga x loga z(2)(3)3 53.510ga(x y ) loga x 10g a y10ga 10ga X 10ga(yz) yz310g a X11” 2lOgaX510g a y ；lOga y 10ga Z ；(4)11x -log a y -lOga Z .23x、y 23 -loga 3=10ga(x y) loga '. Z 210g aZ【總結(jié)升華】利用對(duì)數(shù)恒等式、對(duì)數(shù)性質(zhì)及其運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)是化簡(jiǎn)對(duì)數(shù)式的重要途徑，因此我們必須

10、準(zhǔn)確 地把握它們.在運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，一要注意真數(shù)必須大于零；二要注意積、商、哥的對(duì)數(shù)運(yùn)算對(duì)應(yīng)著對(duì) 數(shù)的和、差、積得運(yùn)算.舉一反三：【變式1】求值 210g 5 25【答案】(1)3log264 8log10122; (2) 1; (3) 2.(2)1g2 lg50+(1g5) 2(3)1g25+1g2 1g50+(1g2) 2【解析】2 log 5 25 31og 2 64262 log 5 5 31og 2 28 0810g10I4 18 0 22.(2)原式=1g2(1+1g5)+(1g5) 2=1g2+1g21g5+(1g5) 2=1g2+1g5(1g2+1g5)=1g2+1g5=

11、1(3)原式=21g5+1g2(1+1g5)+(1g2) 2=21g5+1g2+1g21g5+(1g2) 2=1+1g5+1g2(1g5+1g2)=1+1g5+1g2=2.【變式2】（1）已知2X(2)已知 10g2 3 a,3b3【答案】(1) 1; (2)5y 10 ,則 xy7 ,求 1og12 56 .ab【解析】（1）2x 5y 10 ,x 10g210, y 10g510,x yxylg5lg2 lg10故答案為: Jog23故 5623 ab2a3,又3b2ab故 log 12 5633 ab2a 42a 2,從而562a 23 ab2 a3 ab12210g1212 2ab類型

12、四、換底公式的運(yùn)用例 4.已知 10gl89 a,18b5 ，求 log36 45 .【解析】解法一:110gl8 9 a,18b 5，10g18 5 b,于是 10g36 4510g18 4510g18(9 5)10g18 9 10g18 510g18 36 10g18(18 2)1 10g18 2a b7718110g18 W9解法二：.10g189 a,18b 5，10g18 5 b,是 1og36 4510g18 45 10g 18(9 5)10g18 9 10g18 510g183610g18解法三：.1og1891g 4510g36 451g36b .a,1851g(9 5)182

13、91g91g9210g 18 18 10g18 9a1g18,1g5b1g18 ,1g51g解法四：110gl8 9又 118b 5, 45令 log 36 45 x,貝U182918a21g18 1g9a1g18 b1g1821g18 a1g189.36即36x呂百)a1818bt18a 18ab.45 18ab,b,(曳)x 18ab9b.,n 182 x1og18一 a9a bx210g181810g18 9【總結(jié)升華】(1)利用換底公式可以把題目中不同底的對(duì)數(shù)化成同底的對(duì)數(shù)，進(jìn)一步應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì).(2)題目中有指數(shù)式和對(duì)數(shù)式時(shí)，要注意指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，將它們統(tǒng)一成一種形式.(3

14、)解決這類問題要注意隱含條件logaa 1 ”的靈活運(yùn)用.舉一反三：10g3 51【變式 1】求值：(10g 4 3 10g 8 3)(10g 3 2 10g 9 2)；(2) 10g 8 9 10g 27 32 ； (3) 92【答案】(1) 5 ； (2) 10; (3)-25【解析】(1) (10g 4 3 10g 8 3)(10g3 2 10g 9 2)Zl0g2 310g2 3()(log 3 210g 2 4 10g 2 8(2) log 8 9 log 27 321g9Ig810g3 2 log 3 9lg 32lg27log 2 3log2 321g 3 3lg2110g3 5

15、法一：9212(- log 3 5)3 2251g 23lg333109喇2萼）31log 3 2510g3 25251 I 匚 10g3 5 法二：9211 logg 2592195910g9 25325類型五、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用例5.（2016春安徽桐城市月考）(1)計(jì)算：（絲嚴(yán)9log232112",3log 2 3 10g 9 4(2)1g14 21g 3lg7lg18(3)10g2(log2 32log31 log4 36)42(4)若 log2 x log4(x 2),求 x 的值.【思路點(diǎn)撥】（1） （2） （3）利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出;（4）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法

16、則與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.(1)3； 0； (3)3；(4)(1)原式（3）20.5(2),-5-log 2 2232lg3 2lglg2 2lg 36 1133 3(2)原式=1g(2 7) 2(1g 7lg 3)lg7=lg 2 lg7 2lg7 2lg3 lg7 2lg3lg(32lg2 02)(3)原式=10g 2(5 log 2321 log 22 6 )4210g 2(5log(4)log2 x log4(x 2)5356 10g23 - 10g3 2 -；32 log2 6) log2 8 34,Igx . lg2lg(x 2) lg4 ',igx . lg21g(x

17、 2)2lg 2x 2,解得x= 1或x=2,. x> 0,. x=2舉一反三:【變式1】求值：71g21 1g (12) 10【解析】71g2另解：設(shè)71g21g(1)1021 1g(1) 10210g7 2而7101 1g 7 17(2)(71Og72)1Og710111 X 1og710(2 5)2 2. 1g 2 1g 71- 1g2=1gm ,例6.設(shè)函數(shù)=m (m>0). 1- 1g 71g 2.7.1,.一1g 1g 1gm，.二 1g 21021g工2=m ,即 71g 2 (-) 102af(x) 1g(ax) 1g 2 x(1)當(dāng) a=0.1,求 f (1000

18、)的值.(2)若 f (10) =10,求 a 的值；【思路點(diǎn)撥】(1)當(dāng)a=0.1時(shí),f(x)af (10) 1g(10a) 1g (1 100(1) 14； (2) a104或 a(1)當(dāng) a=0.1 時(shí),f(x).1 f (1000) 1g100 1g 7 f(10)1g(10a) 1喂1g2a1g a12 0(1g a4)(1ga 3) 01g a4 或 1ga 34 .3a 10 或 a 10舉一反三：【變式1】若a,b是方程2(1g x)2【答案】12【解析】原方程可化2t2 4t 1 0.11t22,t1t2由已知a,b是原方程的兩個(gè)根,則 t11g a,t2 1g b ,即 1

19、g a 1g b1g(ab) (1ogab 1ogb a) (1g a1 1g叱)101g7(1g71)(1g 2) 1g m,1g(0.1x)x=1000代入可求1g a)(1g a2) 1g2a1g a 210,可求1g a ,進(jìn)而可求10 311g(0.1x) 1g祓7)14(1 1g a)(1g a 2) 1g2 a1g x41 0的兩個(gè)實(shí)根，求1g a 21g(ab)10(1oga b 1ogba)的值.為 2(1g x)2 41g x 1 012設(shè) 1g x t則原方程化為1 2,1g a 1gb -, 21gb)她地 1ga 1gblg a lg b lg b lg a=lgal

20、g a lg b2lg b lg a 2lg algblgb -lg alg b22=2 2 1 產(chǎn)12.2即 lg ab loga b logba 12.【鞏固練習(xí)】1.有以下四個(gè)結(jié)論：lg （lg10）的是（）A.B.=0; ln (lne) =0;若 10=lgx ,貝UC.D.x=10;若e=lnx,則x=e2,其中正確2.下列等式成立的有（lg1002 ； log3 3石; 210g255； elne 1； 31g33；A.B.C. D.3,已知3a2,那么臉82log 3 6用a表不是（B.5aC.3a(1a)2D.3a4.（2016杭州模擬）已知2x72y2,則A的值是（B. 7

21、72C.72D. 985.若ylog 5 6 log 6 7 10g78 10g89 10g910,A. y(0,1)B. y (1,2)C.(2,3)d. y(3,4)6.設(shè)a1A .一cb, c為正數(shù)，且3a=4b=6c,則有（12B.bcC.27.若lg a ,lg b是方程2x4xD.0的兩個(gè)實(shí)根,則ab的值等于A. 2 B. 1 C. 1002D.,108.已知函數(shù)f （x）滿足：當(dāng)x4 時(shí)，f (x);當(dāng)乂 4時(shí)，f（x）f(x1),則 f(2 10g23)=()1A . 一241B.一121c. 一8D.19.已知a24一,貝U log 2 a93log2 30 =310 . (

22、1) log281 log216 log2 20(2) 7log7 6 10g6 510g 5 411 .已知 a=0. 33, b=30 3, c=1og30. 3, d=1ogo 33,則 a, b, c, d 的大小關(guān)系是 12 .已知 f(3x) 4x1og23 233,則 f (2) f(4)f(8) f (28)的值等于.13 .計(jì)算：(1) 10g2(47 25) lgWQ 10g23 10g34.若a b1g32 1g35 31g 2 1g5,求 3ab a3 b3.14 .已知實(shí)數(shù)x滿足32x 4 10 3x1 9 0且f(x) 10g2x log方近 322(1)求實(shí)數(shù)x的

23、取值范圍；(2)求f (x)的最大值和最小值，并求此時(shí) x的值.2010年的15 . 2010年我國(guó)國(guó)民生產(chǎn)總值為 a億元，如果平均每年增長(zhǎng) 8%,那么經(jīng)過多少年后國(guó)民生產(chǎn)總值是2 倍(1g 2 0.3010,1g1.080.0334,精確至U 1 年)？【答案與解析】1 .【答案】C【解析】由loga a 1,loga1 0知正確.2 .【答案】B12【解析】lglg10 2;1003 .【答案】A3【解析】原式=log3 2 2(log3 2 1) = log3 2 2 a 2 ,故選 A.4 .【答案】B11【解析】2x 72y A,且一一2,x ylog 2 A x, log 49 A

24、 y ,11, c,c, ccc 一一log a 2log a 49log a 982,x y.2 A 98,解得A 7,2,故選B.5 .【答案】Blg 6 Ig7 Ig8 Ig9lg5 lg6 lg7 lg8lg10lg910g510 1 log 5 2 ,因?yàn)? log5 2 1 ,所以1 y2,故選B.6.【答案】B【解析】設(shè)3a=4b=6c=k ,貝U a=log3k, b=log4k,1 11.1 log k 3 ,同理一log k 4 ,a log 3 kbc一 1111而一logk 2,-logk 3 logk 2 ,，2bcca7 .【答案】Cc=log6k,logk 6,2

25、b2【解析】 lg a ,lg b是萬程2x 4x 1 0的兩個(gè)實(shí)根,4由韋達(dá)te理得：lg a lg b 2 ,2ab=100.故選C.點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，由題意得到lga lgb 2是解決問題的關(guān)鍵.8 .【答案】A【解析】由于1 log 2 3 2 ,所以3 2 log 2 3 4 ,則 f(2 log23) f(2 log23 1) f(3 log23)10g2 310g2 31 118 3 249 .【答案】44【解析】因?yàn)閍2-,924所以a4942 生, 一，故 10g 2 a3310g23點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算.指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則一定要熟練掌握.10 .【答案】(1) -3;(2) 4.11.【答案】b>a>d>c【解析】 0. 3>0, 3>0, a=0. 33>0,b=30 3>0.- 3>1 ,0<0. 3<1 ,，c=10g30. 3<0,又. b=30 3>1,a=0. 33<1, b>ad=10go 33<0而 c 10g 3 0.3 10g 3 -1 ,312 .【答案】2008【解析】2008令t 3x,貝U xd log 0.33log 0.3 13,所以 f(2) f (4)f(8)，一 一 2 ，一 ,13