中小學(xué)數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)

1、 中小學(xué)數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)概念 一、什么是數(shù)學(xué)概念    概念是指反映事物的本質(zhì)屬性和特征的思維形式。比如，圓是一類事物，它是平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合，這是圓的本質(zhì)屬性，而圓的概念就是這一本質(zhì)屬性的反映。    客觀世界的許許多多事物都有各種各樣的性質(zhì)，事物間存在各式各樣的關(guān)系，這些性質(zhì)和關(guān)系都是事物的屬性。事物由于屬性相同或不同，形成各種不同的類，屬性相同的事物形成一類，屬性不同的事物就形成不同的類。    正確概念是科學(xué)抽象的結(jié)果。人們在實踐活動中接受客

2、觀事物的各種各樣的信息，形成觀念，從而獲得感性認(rèn)識，在此基礎(chǔ)上運用比較、分析、綜合、抽象和概括等方法，去粗取精，舍掉事物的一些次要方面，保留了事物的本質(zhì)屬性，抽象出一類物事所具有而其它類事物所不具有的那些屬性，即本質(zhì)屬性和特征，從而形成了反映事物的本質(zhì)屬性和特征的各種各樣的概念。    現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)的特定研究對象，數(shù)學(xué)概念就是反映這些數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性和特征的思維形式。例如，人們對太陽、滿月等現(xiàn)實的圓形物體的形象得到了圓的感性認(rèn)識，初步形成了關(guān)于圓的觀念，在實踐活動中，通過制造圓形工具或器皿需要畫圓，從而逐步認(rèn)識了圓的本質(zhì)屬性，最后

3、形成圓的概念。在數(shù)學(xué)中，每一個概念通常都用一個特有的名稱或符號來表示，例如，O表示以點O為圓心的圓，又如兩個三角形全等用來表示。    數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生與發(fā)展途徑是多方面的。有的數(shù)學(xué)概念是從它的現(xiàn)實模型直接反映得來的。例如，幾何中的三角形、梯形等概念都是從物體的形狀、位置、大小關(guān)系等具體形象抽象概括得來的。又如，自然數(shù)概念是從繩子的條數(shù)，或其它單位事物集合元素的個數(shù)，或者從事物排列的次序抽象概括得來的。另外，有的數(shù)學(xué)概念是經(jīng)過人們的加工，把客觀事物的屬性理想化、純粹化才得到的。例如，直線這個概念所反映的“直”和“可以無限延伸”等特征是從筆直的條形物體的形象

4、理想化、純粹化得來的。還有些數(shù)學(xué)概念是從數(shù)學(xué)內(nèi)部的需要中產(chǎn)生出來的。例如，無理數(shù)，它是在運用勾股定理計算以1和1為兩條直角邊的直角三角形斜邊長時而得到的，由此引發(fā)了無理數(shù)的誕生。還有一些數(shù)學(xué)概念是根據(jù)理論上有存在的可能而提出來的。例如，自然數(shù)集、無限遠(yuǎn)點、無理數(shù)等概念都是在一定的理論基礎(chǔ)上提出來的。還有一些數(shù)學(xué)概念是在一定的數(shù)學(xué)對象的結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生出來的。例如，多邊形的頂點、邊、對角線、內(nèi)角、外角等概念都是從多邊形的結(jié)構(gòu)中得出來的。    數(shù)學(xué)概念是不斷發(fā)展、變化的。這是因為，一方面事物的本身是發(fā)展變化的，因此，反映事物的概念也要隨之而發(fā)展、變化；另一方面，

5、由于人們的認(rèn)識是不斷深化的，因而關(guān)于事物的概念也要發(fā)生變化。如數(shù)的概念的形成就是一個逐步發(fā)展的過程（如圖8-1-1所示）。    對角的概念的敘述也是不斷深化的。在平面幾何中，角的概念是這樣定義的：具有公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角。但對于現(xiàn)實生活中會出現(xiàn)的720°或-1440°等不在0°到360°的角，這樣定義的角就不太適合了，因此，平面三角中，對角的概念又進(jìn)行了擴(kuò)充：一條射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)所成的圖形叫做角，并規(guī)定按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角，這樣角就有了正負(fù)之分，并將

6、角擴(kuò)充到了全體實數(shù)。    概念是非常基本、非常重要的。因為有了概念才可以運用概念進(jìn)行判斷和推理，才可以進(jìn)行論證，不可設(shè)想一個沒有關(guān)于圓的概念的人，能做出關(guān)于圓的命題、推理和證明，因此，要掌握一門科學(xué)，首先要掌握這門科學(xué)的概念。此外，判斷是由概念構(gòu)成的，推理是由判斷構(gòu)成的，論證又是由判斷和推理構(gòu)成的，因此，概念這種思維形式是其他思維形式的基礎(chǔ)，從這個意義上來說，概念是思念的細(xì)胞。二、概念的內(nèi)涵和外延    概念的內(nèi)涵和外延是構(gòu)成概念的兩個重要方面。    概念的內(nèi)涵就是指反映

7、在概念中對象的特有的、本質(zhì)的屬性，是概念質(zhì)的方面，它說明概念所反映的事物是什么樣的；而概念的外延就是指具有概念所反映的本質(zhì)屬性的對象，是概念的量的方面，通常說的是概念的適用范圍就是概念的外延，它說明概念所反映的是哪些事物。    概念的內(nèi)涵和外延都是主觀對客觀的一種認(rèn)識，它們與客觀對象本身和客觀對象的特有屬性、本質(zhì)屬性是有區(qū)別的。    例如“平行四邊形”這個概念，意味著兩組對邊分別平行的四邊形，這就是平行四邊形這個概念的內(nèi)涵。    此外，任何概念都有所指，即概念所指的每一

8、個事物是什么，平行四邊形這個概念是指一般的平行四邊形、矩開、菱形和正方形全體，這就是平行四邊形這個概念的外延。    數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延是在一定的數(shù)學(xué)科學(xué)體系中來認(rèn)識的。如，在平面幾何中，角的概念是指具有公共端點的兩條射線所組成的圖形，這樣定義出角的外延是指0°到360°以內(nèi)的角，而角的概念在平面三角中是指一條射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)所成的圖形，它的外延指任意大小的正角、負(fù)角以及0°的角，顯然這兩種角的概念的內(nèi)涵和外延都是不同的。    數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延是密切聯(lián)系、互相依賴的兩個因素，

9、每一科學(xué)概念既有其確定的內(nèi)涵，也有其確定的處延，而概念之間是彼此互相區(qū)別，界線分明的，不容易混淆。因此，教學(xué)時要求概念明確，從邏輯學(xué)角度來說，基本的要求就是要明確概念的內(nèi)涵與外延，即明確概念所反映的對象具有什么本質(zhì)屬性，明確概念所指的是哪些對象。只有對概念的內(nèi)涵和外延兩方面都有準(zhǔn)確的了解，我們才能說對概念是明確的。三、概念間的關(guān)系    所謂概念間的關(guān)系就是概念的外延間的關(guān)系。在形式邏輯中，根據(jù)概念間的外延有無重合之處，概念間的關(guān)系可分為相容關(guān)系和不相容關(guān)系。    （一）概念間的相容關(guān)系  &

10、#160; 所謂概念間的相容關(guān)系是指兩個至少有一部分外延重合的概念間的關(guān)系，它又分為部分重合和完全重合。因此，概念間的相容關(guān)系又可分為同一關(guān)系、屬種關(guān)系和交叉關(guān)系三種。    1同一關(guān)系。也叫全同關(guān)系，指如果兩個概念的外延完全重合，則這兩個概念之間的關(guān)系是同一關(guān)系。概念的同一關(guān)系可用圖8-1-2表示（A、B表示兩個概念）：     例如，無理數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)的就是兩個內(nèi)涵不同，但外延完全相同的概念。但具有同一關(guān)系的兩個概念，它們的外延雖然完全重合，但是它們的內(nèi)涵可以不同。比如等腰三角形底邊上的高線、中線

11、以及頂角平分線的外延都是同一條線段，而它們的內(nèi)涵卻各不相同。    研究概念間的同一關(guān)系，可以對概念所反映的對象得到較深刻、全面的認(rèn)識。另外，在推理證明過程中具有全同關(guān)系的概念可以互相代換，可以使論證變得簡明。    2屬種關(guān)系。不是同一關(guān)系的兩個概念，如果其中一個概念的外延完全包含另一個概念的外延，那么這兩個概念就具有屬種關(guān)系。在具有屬種關(guān)系的兩個概念中，外延較大的那個概念叫做屬概念，外延較小的那個概念叫做種概念。概念的屬種關(guān)系可用圖8-1-3表示：    具有屬種關(guān)系的兩

12、個概念，由于各個概念在這種關(guān)系中所處的地位不同，在邏輯學(xué)中又把屬概念叫做上位概念，把種概念叫做下位概念。例如，實數(shù)和有理數(shù)是具有屬種關(guān)系的概念，而且由于實數(shù)的外延完全包含有理數(shù)的外延，因此實數(shù)是屬概念（或上位概念），而有理數(shù)是種概念（或下位概念）。應(yīng)當(dāng)指出，屬概論和種概念是相對的，如平行四邊形是矩形的屬概念，但它又是四邊形的概念。另外，作為一個概念的屬概念未必是唯一的，它的種概念也未必是唯一的，比如平行四邊形、四邊形和多邊形都是矩形的屬概念；而矩形、菱形、正方形又是平行四邊形的種概念。    具有屬種關(guān)系的兩個概念，它們的外延和內(nèi)涵在數(shù)量上存在互相制約的

13、關(guān)系。即屬概念和種概念之間，一個概念的內(nèi)涵越多，則它的外延越??；反之，一個概念的內(nèi)涵越少，則它的外延越大，這種關(guān)系叫做內(nèi)涵與外延的反比關(guān)系，變稱“反變關(guān)系”。根據(jù)這種反變關(guān)系可知，種概念具有它的屬概念的一切性質(zhì)，而且還具有它自己特有的屬性，這種關(guān)系在研究概念的性質(zhì)以及推理、證明中經(jīng)常用到。    3交叉關(guān)系。如果兩個概念的外延有且只有一部分重合，那么這兩個概念之間的關(guān)系就是交叉關(guān)系，又稱部分重合關(guān)系。這種交叉關(guān)系可用圖8-1-4表示，其中A、B兩個概念的外延既有相同部分也有不同部分。    交叉關(guān)系在數(shù)學(xué)中常常見到

14、，也經(jīng)常被用到。例如菱形和矩形就是交叉概念，交集為正方形概念的外延；又如等腰梯形和直角梯形是交叉概念，它們的交集為等腰相角梯形。又如在方程組或不等式組的解集，以及幾何中的軌跡交截法都用到概念的交叉關(guān)系。    （二）概念間的不相容關(guān)系（也叫全異關(guān)系）    所謂概念間的不相容關(guān)系就是指屬于一個屬概念中的兩個在外延上沒有任何重合部分的種概念之間的關(guān)系。概念的不相容關(guān)系又分為矛盾關(guān)系和反對關(guān)系。    1矛盾關(guān)系。在同一屬概念之下的兩種概念，如果它們外延的和等于屬概念的外延，而且

15、這兩種概念具有全異關(guān)系，那么這兩種概念的關(guān)系稱為矛盾關(guān)系?？梢杂脠D8-1-5表示這種關(guān)系，其中A、B兩個部分表示具有矛盾關(guān)系的兩個概念的外延，這兩部分沒有任何共同的部分，而且加起來等于屬概念C的全部外延。例如整數(shù)和分?jǐn)?shù)相對于有理數(shù)來說就是矛盾關(guān)系。    2反對關(guān)系。在同一屬概念之下的兩個概念，如果它們的外延的和小于屬概念的外延，而且這兩個概念具有全異關(guān)系，那么這兩個概念的關(guān)系稱為反對關(guān)系或者對立關(guān)系。反對關(guān)系可用圖8-1-6來表示，其中A、B兩個部分表示具有反對關(guān)系的概念的外延，這兩部分完全沒有相同的地方，但兩者之間和小于屬概念C的全部外延。例如正實數(shù)

16、和負(fù)實數(shù)相對于實數(shù)而言，就是反對關(guān)系。四、概念的定義和原始概念    在數(shù)學(xué)科學(xué)系統(tǒng)中，對于每一個數(shù)學(xué)概念都要給予確定的內(nèi)容和含義，給概念下定義就是準(zhǔn)確地提示它的內(nèi)涵。在一般情況下，當(dāng)一個概念的內(nèi)涵被確定后，就有了評判哪些對象屬于或不屬于這個概念的外延的標(biāo)準(zhǔn)，因此，概念的定義可作為判別概念外延的標(biāo)準(zhǔn)，但也有些個別的數(shù)學(xué)概念采用了直接提示其外延的方法。    （一）下定義的方法    1屬加種差定義法。這是最常用的一種定義法。先看兩個例子：   &

17、#160;矩形：有一個角是直角的平行四邊形叫矩形。    等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形。    這兩個定義可以寫成下面的形式：    （平行四邊形）（有一個角是直角）（矩形）    （三角形）（兩條邊相等）（等腰三角形）    這兩個定義的共同特點是：把被定義的鄰近的屬概念加上被定義概念的所特有的屬性。由于所加上的屬性只是被定義概念所特有的，因此把它叫做被定義概念的“種差”，而這種

18、定義的方式就稱為是屬概念加種差的方式，簡稱為屬加種差。    用這種方式下定義需要明確兩件事情：第一，要找出被定義概念的鄰近的屬概念，被定義項的概念的外延要被包含在哪個屬概念的外延之中；第二，要指出它區(qū)別于這個鄰近屬概念下其它概念的種差，這是對被定義項內(nèi)涵的揭露。    這種定義方式的優(yōu)點在于能用已定義的概念來定義它的種概念，用種差來提示被定義項的特性與性質(zhì)，這樣的定義既準(zhǔn)確又明了，而且對提示概念間的關(guān)系很有幫助，可將概念系統(tǒng)化。    2發(fā)生定義方式。有的種差是被定義概念所

19、反映的對象產(chǎn)生或形成的情況。人們用一類事物產(chǎn)生或形成的情況作為種差做出定義，叫做發(fā)生定義。    例如，在平面幾何中，將角定義為射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)所成的圖形叫做角，這個定義形象地描述了角的形成過程。雖然這種定義方式用語言敘述起來往往會比較長，但它直觀、生動，有時還可用圖形形象地表示出來。    3關(guān)系定義法。有的種差是被定義概念所反映的對象與另一對象之間的關(guān)系，或它與另一對象對第三者的關(guān)系。人們用對象之間的關(guān)系作為種差而做出的定義，叫做關(guān)系定義。例如，“奇數(shù)是不能被2整除的數(shù)”就是一種關(guān)系定義，它的種差就是奇數(shù)與2

20、的一種關(guān)系。    4外延定義法。在數(shù)學(xué)中有些概念的外延是單一的或者是幾個簡單明顯的對象時，往往采用直接提示概念的外延作為它的定義。例如，例如對實數(shù)的定義就采用了這種方法，將有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。    （二）下定義的基本規(guī)則    形式邏輯的定義規(guī)則是在已有的具體知識的基礎(chǔ)上，提供下定義所普遍需要遵守的規(guī)則，因此，為了正確地給概念下定義，就要遵守下列基本規(guī)則：    規(guī)則1定義應(yīng)當(dāng)相稱    

21、;這就是說定義項與被定義項的外延必須相同，要恰如其分，不能擴(kuò)大也不能縮小。    比如，不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，這種定義是不合理的，因為定義所確定的外延包括了有限不循環(huán)小數(shù)數(shù)，它恰恰是有理數(shù)，無理數(shù)的定義應(yīng)該敘述為：無限不循環(huán)小數(shù)和是無理數(shù)。    規(guī)則2定義不得惡性循環(huán)    在一個科學(xué)系統(tǒng)中，如果把甲概念作為已知概念定義乙概念，但是又用乙概念來定義甲概念，這就是定義的惡性循環(huán)，也就是說定義項中不能直接或間接地包含被定義的項。因為如果在定義項中直接或間接地包含被定義的項，這樣的

22、定義仍是不明確的，也達(dá)不到明確被定義項的目的。例如，若用兩直線垂直來定義直角，反過來又用直角來定義兩直線垂直，這樣的定義既不能提示概念的內(nèi)涵，也不能說明概念的外延，所以在定義概念時不能出現(xiàn)惡性循環(huán)。    規(guī)則3定義要簡明    這就是說，定義中不應(yīng)列舉非本質(zhì)屬性或多余的詞語，不能含有能由推理得出的本質(zhì)屬性。例如：“有兩條邊相等，兩個角相等的三角形是等腰三角形”就違背了簡明的要求。因為“兩條邊相等”和“兩個角相等”這兩個等腰三角形的本質(zhì)屬性中，任何一個都可以根據(jù)另一個經(jīng)過推理而得出。又如，把平行四邊形定義為“兩組對

23、邊分別平行的平面四邊形”，其中平面一詞是多余的，因為平行或相交的兩條直線必共面，因此，這樣定義平行四邊形又違背了簡明的原則。    規(guī)則4定義一般應(yīng)避免用否定的形式    定義是為了提示被定義概念的內(nèi)涵，如果定義中包含了類似“不”、“無”、“非”等字樣，那么定義項只能表示被定義項不具有某種屬性，而沒有表示被定義項具有某種屬性，因此定義應(yīng)對被定義項的本質(zhì)屬性用肯定形式而不應(yīng)用否定形式。例如把奇數(shù)定義為“不是偶數(shù)的數(shù)”，這個定義既不能提示無理數(shù)的本質(zhì)屬性，也不能確定它的外延，達(dá)不到定義的目的。  &

24、#160; 但是，這個要求并不是絕對的，因為有些概念的特有屬性就是缺乏某個屬性，對于這樣的事物在下定義時就必須用否定的形式。比如：“無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)”，因為它不具有循環(huán)這個特性；再比如：“在平面內(nèi)，永遠(yuǎn)不相交的兩條直線叫做平行線”，因為平行線就是在具有“在平面內(nèi)永遠(yuǎn)不相交”的性質(zhì)。    （三）原始概念    在一個科學(xué)系統(tǒng)中總是要對概念下定義，而且一定會用一些已知的概念來定義新的概念，但概念的個數(shù)是有限的，又由第二條規(guī)則可知，下定義是不能惡性循環(huán)的，因此總有一些概念不能引用別的概念來定義，這樣的概

25、念叫做這個科學(xué)體系中的原始概念。    比如，把平行四邊形定義為兩組對邊分別平行的四邊形，因此就必須先對四邊形、平行以及對邊進(jìn)行定義。定義四邊形時，應(yīng)先對多邊形及邊進(jìn)行定義，又必須先定義折線，故必須先要對點和直線進(jìn)行定義。但是，在一般的初等幾何中，點和直線都無法再用已被定義過的概念進(jìn)行定義，它們都是原始概念。在數(shù)學(xué)中，點、直線、平面、集合，空間、數(shù)、量等都是原始概念，但在其中有些是通過公理來直接描述的，雖然有些概念在中學(xué)課本中也有解釋，但這種解釋并不是定義。 五、概念的劃分    把一個屬概念分為若干個全

26、異種概念的邏輯方法叫做概念的劃分。如果說下定義是明確概念的內(nèi)涵的邏輯方法，那么，通過概念的劃分，一方面可使有關(guān)概念的知識系統(tǒng)化、完整化；另一方面對該概念的外延，對被分類概念的外延以及概念間的關(guān)系，都能得到深刻的認(rèn)識。    單獨概念的外延只是指一個單獨的事物，即單元素集，例如太陽、月亮等都是單獨概念。但大概部分概念都是指反映某一類事物的普遍概念，它的外延往往含有許多成分的子類。這些子類有的數(shù)量有限，研究它的外延時一一列舉就可以了，但有的數(shù)量很多，如果把它們一個一個列舉出來是不太可能實現(xiàn)的，因此需要用另一種方法來明確外延。這就是將一個概念所指的事物，按照不

27、同的屬性分成若干個小類，從概念來講，也就是將一個屬概念劃分為若干種概念，即劃分。其中被劃分的類叫做劃分的母項，若干小類叫做劃分的子項。    （一）概念劃分的基本規(guī)則    規(guī)則1劃分后各子項應(yīng)當(dāng)互不相容    這就是說，劃分后不能有一些元素既屬于這個子項，又屬于另一個子項，即任何兩個子項之間不能有交集，所以在各個子項之間必須有全異關(guān)系。    規(guī)則2各個子項必須窮盡母項    即要求劃分所得的、

28、全異的子項的總和（并集）應(yīng)當(dāng)與母項完全相同，這樣被劃分概念的每一個對象都應(yīng)落到一個且僅一個種概念內(nèi)。如果子項不窮盡母項，那么必然有一些屬于母項的事物不屬于任何一個子項。    上述這兩條規(guī)則說明，概念的劃分必須做到不重不漏。比如，把整數(shù)分為正整數(shù)、0和負(fù)整數(shù)是合理的，但如果把平行四邊形分為矩形、菱形和正方形，這樣的劃分就是不正確的，因為正方形既是菱形也是矩形，同一個對象落在了兩個子項里，而且又犯了子項不能窮盡的錯誤，因為這樣的劃分漏掉了鄰邊不等的斜平行四邊形。    規(guī)則3每一次劃分應(yīng)該用同一個標(biāo)準(zhǔn) &#

29、160;  由于實踐需要的不同，所要達(dá)到的目標(biāo)也不同，因此劃分的標(biāo)準(zhǔn)就可以不同，但每一次劃分不能用兩個或兩個以上的標(biāo)準(zhǔn)劃分，否則就會產(chǎn)生混亂。比如對于整數(shù)的劃分，一會兒按照奇、偶性進(jìn)行劃分，可一會兒又按照正、負(fù)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行劃分，不但會造成劃分時不能窮盡母項，還會出現(xiàn)子項交融的現(xiàn)象，造成劃分的混亂。    規(guī)則4劃分時不得造成越級    劃分時，應(yīng)該把屬概念分為最鄰近的種概念，即劃分時應(yīng)避免出現(xiàn)越級的現(xiàn)象。比如，把復(fù)數(shù)分為實數(shù)和虛數(shù)是正確的，但如果把復(fù)數(shù)分為有理數(shù)、無理數(shù)和虛數(shù)就越級了，這樣會造成概念

30、系統(tǒng)的混亂。    （二）概念劃分的基本方法    1二分法    把一個概念的外延中具有某個屬性的對象作為一類，把恰好缺乏這個屬性的對象作為另一類的方法就是二分法。二分法對于概念的正確劃分起著非常重要的作用，因為這種劃分方法將被劃分的概念分為兩個互相矛盾的概念，最后所得到的種概念就一定能滿足上述幾條規(guī)則，而不致發(fā)生錯誤。而且為了集中注意概念的某些屬性，采用二分法是有好處的，比如，為了研究數(shù)的正負(fù)及絕對值問題，將實數(shù)分為負(fù)數(shù)和非負(fù)數(shù)是必要的。   

31、; 2一般的劃分方法    在概念的劃分時，一般會按照對象的本質(zhì)屬性或特征的不同，把屬概念分為幾個具有全異關(guān)系的種概念，使得劃分的結(jié)果比較穩(wěn)定，至于分成多少個概念要由劃分的目的和被劃分概念固有的屬性來決定。    如，按角的大小，可將三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形；按邊的相等關(guān)系，可將三角形分為等腰三角形和不等邊三角形?？梢姡瑒澐值臉?biāo)準(zhǔn)不同，分類的結(jié)果也不同。但是有些概念有自然的特征，就應(yīng)按概念的自然特征來劃分。比如，多邊形應(yīng)該按照邊數(shù)來劃分，邊數(shù)是幾，就稱為幾邊形，像三角形、四邊形、五邊形

32、等。六、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)    我們知道，數(shù)學(xué)離不開推理，推理依靠判斷，而判斷又是以概念為基礎(chǔ)的，因此，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。另外，深入理解數(shù)學(xué)概念的過程會使抽象邏輯思維得到鍛煉，對提高思維能力有促進(jìn)作用，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中一定要重視概念的教學(xué)。在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，由于概念本身的難易程度，概念本身的特點以及要求掌握的程度不同，因此對各個數(shù)學(xué)概念教學(xué)的具體要求也不同。一般來說，對數(shù)學(xué)中一些重要概念的教學(xué)時，不但要使學(xué)生掌握概念的內(nèi)涵和外延以及其表達(dá)形式，還要了解有關(guān)概念之間的關(guān)系，在數(shù)學(xué)知識體系中不斷加深擴(kuò)大對概念的認(rèn)識，成為系統(tǒng)知識，并要求能夠運用概念來解

33、決數(shù)學(xué)問題。為了達(dá)到這樣的要求，建議在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)時，應(yīng)采用如下教學(xué)法：    （一）概念引入的方法要得當(dāng)    在教學(xué)過程中，一定要讓學(xué)生感覺到引入這個概念是必須而且必然的，也就是重視概念的引入，概念的引入是概念教學(xué)的第一步，也是形成概念的重要基礎(chǔ)。概念的引入通過采用如下的教學(xué)手段：    1從概念的來源引入    每個概念都有其產(chǎn)生和發(fā)展的過程，而且中學(xué)數(shù)學(xué)中的大部分概念都有它的現(xiàn)實模型，對于中學(xué)數(shù)學(xué)概念的具體內(nèi)容，學(xué)生在生活和學(xué)

34、習(xí)過程中，或多或少都有過接觸。因此從認(rèn)識論的觀點來看，在引入概念時，教師應(yīng)該根據(jù)各個概念產(chǎn)生發(fā)展的具體途徑，讓學(xué)生依據(jù)已有的材料和知識做出符合一定經(jīng)驗與事實推測的想象，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)新概念的最初階段，讓學(xué)生不單知道其然，更要讓他知道其所以然。    比如負(fù)數(shù)的引入，學(xué)生在生活當(dāng)中已接觸過大量的具有相反意義的量，因此，在教學(xué)過程中從具有相反意義的量來引出負(fù)數(shù)的概念是很可行的。但教師一定要向?qū)W生明確，在數(shù)學(xué)當(dāng)中引入負(fù)數(shù)有它自己獨特的意義，也就是說，負(fù)數(shù)的引入可以解決小數(shù)減大數(shù)的問題，這也是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要。    2

35、由已知引未知概念引入法    在數(shù)學(xué)問題解決中，常常采用的處理法就是將未知的問題盡可能的向已知知識轉(zhuǎn)化，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，也可以采用從已知概念引入新概念的方法，這是符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律的。比如，在引入二元一次方程的概念時，就可先讓同學(xué)回憶什么是一元一次方程。    3比較法引入數(shù)學(xué)概念    著名的教育家烏申斯基認(rèn)為：“比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，我們正是通過比較來了解世界上的一切的。如果我們面前出某種新東西，而我們既不能拿它去同什么東西比較，又不能把它同什么東西區(qū)別開來，那么

36、我們就不能對它形成一種思想，也不能對它說出一句話來?！边@句話恰如其分是說明了比較法的重要性。    按照比較指向的對象來分，比較法可分為同類事物間進(jìn)行比較，以及不同類，但具有相似或相關(guān)事物間進(jìn)行的比較。兩種比較方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中都是非常必要的，但在知識的領(lǐng)會階段，重要的還是同類事物間的比較，因為這樣更容易向?qū)W生明確概念內(nèi)涵；而后再應(yīng)用第二種比較法，這便于學(xué)生將知識之間建立聯(lián)系，形成一個系統(tǒng)，從而對知識有更深刻的領(lǐng)悟。    （二）明確數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延    在數(shù)學(xué)概念教學(xué)時

37、，教師要重點指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識定義中的屬概念和種差，認(rèn)識被定義的概念既有它的屬概念的一切屬性，同時又有它自己的特性，這樣就向?qū)W生明確了概念的內(nèi)涵；為了使學(xué)生加深對所學(xué)概念的認(rèn)識，應(yīng)該讓學(xué)生根據(jù)定義做出判斷，以此來明確概念所涉及的對象范圍，也就是概念的外延。當(dāng)然，根據(jù)概念定義方式的不同，可以采用概念劃分的方法等，來提示概念的內(nèi)涵和外延。    比如，關(guān)于等腰三角形概念的教學(xué)，應(yīng)指出等腰三角形是一種三角形，也就是說它是由三條線段首尾順次相接所組成的圖形，它有著一般三角形都具有的一切性質(zhì)。同時，又要重點強(qiáng)調(diào)，等腰三角形具有兩條邊相等的這個特性，這也是其它一般三角形所

38、不具有的性質(zhì)，也就是等腰三角形的種差，這樣的明確之后，學(xué)生就會對等腰三角形概念的內(nèi)涵有了全面認(rèn)識，那么學(xué)生就很容易對一個三角形是否是等腰三角形做出正確的判斷，也就明確了概念的外延。    （三）概念的表述要準(zhǔn)確    數(shù)學(xué)語言是力求精確、科學(xué)，而數(shù)學(xué)概念的定義更是多一字不可，少一字不行的，因此，在概念形成之后，應(yīng)及時地讓學(xué)生用語言準(zhǔn)確地表述出來，以加深對概念的印象，促進(jìn)學(xué)生思維的深刻性。    例如，一元二次方程是這樣定義的：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二，系數(shù)不

39、等于0的方程叫一元二次方程。而學(xué)生往往會忽略一些關(guān)鍵成分，比如“只”、“系數(shù)不等于0”，這時教師就應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生辨別有這些字和沒有這些字的區(qū)別。如果把“只”去掉，那么方程當(dāng)中還可能含有其它的未知數(shù)，也就不是“一元”了；如果丟掉“系數(shù)不等于0”，那么很可能最高次項的系數(shù)是0，也就不存在二次項，也就不能稱其為二次方程了。通過這樣的剖析，不但讓學(xué)生體會了數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)謹(jǐn)性，而且培養(yǎng)了他們的語言表達(dá)能力，也鍛煉了思維能力。    （四）概念的鞏固    鞏固概念是概念教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，概念一旦獲得后，如果不及時鞏固，就會被遺忘。鞏

40、固概念，首先應(yīng)在引入、形成概念生，引導(dǎo)學(xué)生正確復(fù)述概念；其次是靈活的應(yīng)用概念。而概念的復(fù)述在前面已經(jīng)涉及到了，所以這里主要談?wù)劯拍畹膽?yīng)用。    概念的應(yīng)用就是指學(xué)生在領(lǐng)會概念的基礎(chǔ)上，運用概念去解決同類事物的過程。數(shù)學(xué)的運算、推理、證明必須以有關(guān)概念為依據(jù)，而且靈活地運用概念，不但可以使學(xué)生更牢固的掌握數(shù)學(xué)概念，還對提高學(xué)生提高分析問題與解決問題的能力有很大幫助。    比如，在證明等腰三角形底邊上的中線、高線以及頂角平分線三線合一的性質(zhì)時，就要用到等腰三角形定義中有兩條邊相等這一特點。  &

41、#160; 數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識最重要、最基礎(chǔ)的組成部分，是進(jìn)行數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)推理、判斷的依據(jù)，也是培養(yǎng)學(xué)生能力、發(fā)展學(xué)生的智力的重要因素，因此，教師在教學(xué)過程中要重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)。在教學(xué)過程中，應(yīng)針對不同的數(shù)學(xué)概念采用不用的講授方法，并引導(dǎo)學(xué)生入時的鞏固概念，應(yīng)用概念，不斷提升教學(xué)質(zhì)量。    總之，概念教學(xué)大致要經(jīng)歷這樣幾個階段：概念的提出、形成、明確以及鞏固。為此有人把掌握概念的過程歸納為五個階段：引進(jìn)、醞釀、建立、鞏固、發(fā)展。具體來說，對一個新概念的教學(xué)，一般要求：    1目的性教學(xué)，

42、揭示為什么要研究新概念。一般通過兩個途徑，一是生產(chǎn)、生活中的實際需要；二是原有概念的缺陷。例如，由于在實數(shù)集中方程無解，于是需要擴(kuò)大數(shù)集。    目的性教學(xué)對調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，規(guī)范研究的方向，有著不可忽視的作用。    2發(fā)現(xiàn)性教學(xué)。顯示出用來抽象出新概念的材料，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些材料的共同特征及規(guī)律。    通過發(fā)現(xiàn)性教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生分析和綜合事物的能力，并初步認(rèn)識概念的內(nèi)涵和外延。    3歸納性教學(xué)。把感性認(rèn)識上升為理性認(rèn)識，把已發(fā)現(xiàn)

43、的對象的特征用概括語言描述出來，最后用定義的形式反映概念。    4鞏固性教學(xué)。著重于重復(fù)、印證、再現(xiàn)等正面鞏固。其中印證和再現(xiàn)，并不是機(jī)械重復(fù)定義，而可以通過用定義去判斷和推理某些對象的屬性，在運用中靈活生動地復(fù)述定義，或強(qiáng)調(diào)定義中容易被忽略和混淆的某一側(cè)面等等。    5發(fā)展性教學(xué)。這一階段主要抓引伸、聯(lián)系、變化。    引伸：如中的a，b可以是具體數(shù)字，也可以是表示數(shù)的式。    聯(lián)系：主要是概念與其它概念的聯(lián)系；理論與實際的聯(lián)系

44、(利用新建立的概念去解決實際問題)。    變化：通過變式，加深認(rèn)識。例如，長方形的面積和周長是不是函數(shù)關(guān)系？這樣一個變化，便從反面強(qiáng)調(diào)了函數(shù)概念。    總之，概念教學(xué)要特別強(qiáng)調(diào)下述重要的指導(dǎo)思想：    1在體系下把握概念(即把概念放在指定的知識結(jié)構(gòu)下來認(rèn)知)；    2按一定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)來教學(xué)(具體一般具體；多采用對比、比較、歸納等)。    附 義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)（7-9年級）“

45、同類項”教學(xué)案例     一、教材內(nèi)容：華東師大出版社出版，七年級上冊第三章整式的加減§3.4.1     二、教學(xué)目標(biāo)    1理解并掌握同類項的概念；    2經(jīng)歷探索和體驗同類項有關(guān)概念的獲得過程，會識別多項式中的同類項。    3培養(yǎng)學(xué)生分類歸納的能力，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生有條理的思考習(xí)慣。    三、教學(xué)內(nèi)容分析  

46、0; 教學(xué)重點：會識別多項式中的同類項    教學(xué)難點：培養(yǎng)學(xué)生分類歸納的能力    四、教法學(xué)法設(shè)計    以教師的精講、點撥引導(dǎo)為主，輔以引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、合作交流    五、教學(xué)過程    （一）創(chuàng)設(shè)問題情景，引入新課    1填空：多項式有_ _項，它們分別是_ _、_ _、_ _、_ _、_ _、_ _。   

47、60;2有句成語，叫“物以類聚”，意思是說，同一類型的東西可以聚在一起。當(dāng)然，不同類型的東西就不能隨意聚集。比如，收拾房間，書放上書架，衣服放入衣櫥，碗盤放進(jìn)碗櫥而不能把碗朝衣櫥里放，衣服堆到書架上再如，媽媽叫你去買幾斤面，并且打半斤油，請問：僅拿一只面口袋，把面和油都放進(jìn)口袋行嗎？這就是“物以類聚”。    在數(shù)學(xué)里，時常用到這種同類相聚的思想?？辞懊孢@個多項式的各個項，就可以把具有相同特征的項進(jìn)行歸類。你認(rèn)為上述多項式中哪些項可以歸為一類？    （與可歸為一類，與可歸為一類，-3與5也可歸為一類） 

48、   （二）探索規(guī)律，總結(jié)同類項定義    1問題：上面被歸為同一類的項有什么特征？    （先引導(dǎo)學(xué)生分析與只有系數(shù)不同，各自所含的字母都是x、y，并且x的指數(shù)都是2，y的指數(shù)都是1；與也只有系數(shù)不同，各自所含的字母都是x、y，并且x的指數(shù)都是1，y的指數(shù)都是2。然后歸納為：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相等。）    2同類項定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相等的項叫做同類項。    

49、;說明：    （1）兩個相同：字母相同，同字母的指數(shù)相同。    （2）兩個無關(guān)：與系數(shù)大小無關(guān)，與字母順序無關(guān)。    思考：所有的常數(shù)項都是同類項嗎？（是）    練習(xí)：    · 與是同類項嗎？為什么？    · 與、abc與-2abc、4st與-5ts是同類項嗎？為什么？    （三）根據(jù)

50、概念，嘗試解決問題    例1 指出下列多項式中的同類項：    （1）3x-2y+1+3y-2x-5    （2）    解：（1） 3x與-2x ，-2y與+3y，-5與+1分別是同類項。    （2）與,+與分別是同類項。    例2 k取何值時，與是同類項?    分析：先假定與是同類項，然后求k。已知所含字母

51、相同，根據(jù)同類項的定義，還需相同字母的指數(shù)相等，所以k=2。    解：當(dāng)k=2時，與是同類項。    引申1：k為何值時，與是同類項？    引申2：m、n為何值時，與是同類項？    （四）鞏固練習(xí)    練習(xí)第1.2.3.題，（根據(jù)情況適當(dāng)補(bǔ)充部分題目）。    （五）小結(jié)（由學(xué)生回答，然后教師總結(jié)）    1什

52、么叫同類項？    2所有的常數(shù)項都是同類項嗎？    （六）作業(yè)    p.114 習(xí)題3.4 第 1.2.3題。    六、點評    這是一片基于傳統(tǒng)內(nèi)容的新課程初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計，其教學(xué)內(nèi)容單調(diào)，很難聯(lián)系、現(xiàn)實情景。在設(shè)計中，馮老師思路清晰，目標(biāo)明確：在多項式的基礎(chǔ)上自然引入新課，從一開始就注意體現(xiàn)數(shù)學(xué)的分類思想；然后，重點引導(dǎo)學(xué)生探索同類項的特征，并總結(jié)出同類項的定義；繼而，進(jìn)行同類項的辨

53、析與引申，為以后的合并同類項打好基礎(chǔ)。 數(shù)學(xué)命題    一、命題的意義    人們在社會實踐中，產(chǎn)生概念之后，就要運用概念做出各種判斷。例如，通過對有理數(shù)的研究，我們?nèi)菀鬃龀鲞@樣的判斷：    正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)；    零沒有倒數(shù)。    這些判斷反映了正數(shù)、負(fù)數(shù)、零的倒數(shù)的情況。其中肯定“正數(shù)的倒數(shù)”是“正數(shù)”，“負(fù)數(shù)的倒數(shù)”是“負(fù)數(shù)”這樣的性質(zhì)；c否定了“零有倒數(shù)”這一性質(zhì)。

54、這些判斷的形式不一樣，但是具有共同的特征，都是對客觀事物有所肯定或有所否定。    由此可知，判斷是對客觀事物的一種認(rèn)識，是對客觀事物有所肯定或是否定的一種思維形式。在判斷中常反映著：某屬性是否屬于這個或那個思維對象；各思維對象間的關(guān)系；各對象間的制約關(guān)系等等。因此對思維對象有所肯定或有所反映乃是判斷的最顯著的特點。    表示判斷的句子叫做命題，并且這種句子只能是可以判斷真假的陳述語句。定義、公理、定理、公式、性質(zhì)、法則等都是數(shù)學(xué)命題。    例如：三角形的一個外角等于與它

55、不相鄰的兩個內(nèi)角的和；內(nèi)錯角相等，兩直線平行。這兩個句子都做出了判斷，因此它們都是命題。    根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)可以把命題分成幾種不同的類型，但通常按照命題本身是否還包括其他的命題，我們可以把命題分為簡單命題和復(fù)合命題。    簡單命題是命題本身不再包含其他命題的命題。按其所斷定的對象是性質(zhì)還是關(guān)系而分為性質(zhì)命題和關(guān)系命題。    復(fù)合命題是由兩個或兩個以上的簡單命題組成的命題。按照組成復(fù)合命題的各個簡單命題之間的結(jié)合情況如何，分為負(fù)命題、聯(lián)言命題、選言命題、假言命題。

56、0;   命題的分類用圖形表示如下:二、命題的結(jié)構(gòu)    在邏輯學(xué)中，把命題中沒有固定含義的代詞或未完全確定的對象叫做變項，而將具有固定含義的詞或概念叫做常項。比如命題“如果p，那么q”，其中“p”、“q”都是變項，“如果”、“那么”則是常項。    命題的形式多樣，將簡單命題用一些邏輯聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)起來就構(gòu)成了復(fù)合命題?；镜倪壿嬄?lián)結(jié)詞通常包括以下幾種：    （一）非（表否定）    設(shè)p表示一個命題，若否

57、定命題p，就得到了命題“非p”,記作，與p互為反命題。    （二）且（表合取）    設(shè)p、q表示兩個命題，用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”把它們聯(lián)結(jié)起來得到新的命題“p且q”，記作，這個式子叫做命題p和q的合取式。    （三）或（表析?。?#160;   設(shè)p、q表示兩個命題，用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”把它們聯(lián)結(jié)起來得到新的命題“p或q”，記作，這個式子叫做命題p和q的析取式。    （四）如果，那么 （蘊(yùn)涵） 

58、   p、q表示兩個命題，用“如果 ，那么 ”聯(lián)結(jié)起來，得到新命題“如果p，那么q”，記作，這個式子叫做命題p和q的蘊(yùn)含式。    （五）當(dāng)且僅當(dāng)    設(shè)p、q表示兩個命題，用“當(dāng)且僅當(dāng)”聯(lián)結(jié)起來得到新命題“p當(dāng)且僅當(dāng)q”，記作“”，這個式子叫做充分必要蘊(yùn)涵式。    數(shù)學(xué)命題通常寫成“若p，則q”的形式，其中“若p”部分叫做命題的條件或題設(shè)，“則q”部分叫做命題的結(jié)論。任何一個命題都可以寫成“若p，則q”，比如命題“平行四邊形的兩條對角線互相

59、平分”改寫后的形式為：若一個四邊形是平行四邊形，那么它的兩條對角線互相平分，這樣改寫的目的是為了更方便找出命題的條件與結(jié)論。 三、命題演算    命題演算是一種最簡單的邏輯演算，又稱命題邏輯。用命題變元和命題連詞按一定方式聯(lián)結(jié)就可以組成命題公式，一個命題公式中的每個命題變元都取定真假值時，這個公式的真假值也就確定了，因此，一個命題公式也就是一個真值函數(shù)。    無論命題變元取什么值，命題公式都取真值，這樣的公式叫做恒真式，也叫重言式。無論命題變元怎么取值，兩個命題公式A，B的取值永遠(yuǎn)相同，就稱 

60、A，B邏輯等價。記作。實際上，當(dāng)且僅當(dāng)是恒真式，一些基本的等價式，例如pp，()，()，()，都可以用作命題公式等價變換的代數(shù)規(guī)則。這些規(guī)則可以把任何一個命題公式變換成與之等價的有標(biāo)準(zhǔn)形式的命題公式。這種標(biāo)準(zhǔn)形公式反映出一定的性質(zhì)，取值的規(guī)律。    （一）復(fù)合命題的值    如果用1來表示一個命題的真值，而用0來表示一個命題的假值，那么命題公式的真假值的取法就可以列表給出，這種表叫做真值表。    由“或”、“且”、“非”三個基本邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的新命題的真假值，是由構(gòu)成新命

61、題的簡單命題（p、q）的真假值決定的，其真值表表示如下：110011100101011001001100表4-1-1    因此，一個復(fù)合命題可利用真值表計算它的值。    例和的真值表如下：1101110101101001110100010010表4-1-2    由此可見，恒為真，恒為假。若一個命題在任何情況下都為真，則稱為恒真命題；若一個命題在任何情況下都為假，則稱為恒假命題。特別的，語句常項“1”可看作是一個恒真命題；“0”可看作是一個恒假命題。  

62、;  如果（邏輯等價，即同真或同假），那么命題就是一個恒真命題（根據(jù)等價定義，同真為真，同假為假），這樣當(dāng)且僅當(dāng)可以寫成。同樣，如果A是恒假命題，那就可以寫成，如上表中。    （二）命題演算中常用的等價式    邏輯等價也稱等值，在邏輯學(xué)中，具有等值關(guān)系(邏輯等價關(guān)系)的命題，在推理論證過程中可以互相代替。    下面是命題演算中常用的等價式：    （1）雙重否定律：    

63、0;（2）冪等律：    （3）交換律：     （4）結(jié)合律：    （5）分配律：    （6）吸收律：     （7）德摩根律：     （8）同一律：    （9）     （10）     （11）   

64、60; （12）四、性質(zhì)命題、關(guān)系命題    （一）性質(zhì)命題    性質(zhì)命題就是斷定某事物具有（或不具有）某種性質(zhì)的命題。例如：有些四邊形是平行四邊形；任何一個圓都不是直線形。    在性質(zhì)命題中，雖然斷定的事物具體內(nèi)容不同，但都由主項、謂項、聯(lián)項、量項所組成。命題的主項指的是指命題中表示判斷對象的概念，邏輯學(xué)中通常用“S”表示。例如，矩形是平行四邊形，“矩形”就是主項。    命題的謂項指的是指命題中表示判斷對象的性質(zhì)的概念

65、，通常用“P”表示。例如上述命題中，“平行四邊形”就是謂項。    命題中都有一個聯(lián)系主項和謂項的關(guān)系詞，我們稱之為命題的聯(lián)項，通常又被稱為命題的“質(zhì)”。例如“是”、“不是”、“能”、“不能”、“有”、“沒有”。    在主項或是謂項前一般都由一個表示判斷對象數(shù)量的概念，稱之為命題的量項。如“一切”、“有的”。量項又稱為命題的“量”，通常分為兩種：全稱量項（表示在一個命題中對主項的全部外延作了斷定，通常用“所有”、“任何”、“一切”等詞語表示，在命題的語言表達(dá)中可以省略）和特稱量項（表示對主項的部分外延作了斷定，常

66、用“有的”、“某些”等詞語表示，在命題的語言表達(dá)中不能省略）。例如：“矩形是平行四邊形”中，“矩形”是主項，“平行四邊形”是謂項，“是”是聯(lián)項，對主項進(jìn)行限定的量項“所有”被省略。    性質(zhì)命題的基本邏輯結(jié)構(gòu)是“所有(有的)S是(不是)P”。按照性質(zhì)命題的“聯(lián)項”，即“質(zhì)”的不同，可以將其分為肯定命題(斷定事物具有某種性質(zhì))和否定命題（斷定事物不具有某種性質(zhì)）；按照性質(zhì)命題的量的不同，可分為全稱命題（斷定某類中的每一個對象或某一個別對象是否具有某種性質(zhì)）和特稱命題（斷定某類中的部分對象是否具有某種性質(zhì)）。    

67、按照性質(zhì)命題中質(zhì)和量的不同結(jié)合，可將性質(zhì)命題分為如下四種：    1全稱肯定命題：斷定一類事物的全部都具有某種性質(zhì)的命題。通常用“A”表示。邏輯形式是：“所有的S都是P”。    2全稱否定命題：斷定一類事物的全部都不具有某種性質(zhì)的命題。通常用“E”表示。邏輯形式是：“所有的S都不是P”。    3特稱肯定命題：斷定一類事物中的部分對象具有某種性質(zhì)的命題。通常用“I”表示。邏輯形式是：“有的S都是P”。    4特稱否定命題：斷定一類事

68、物中的部分對象不具有某種性質(zhì)的命題。通常用“O”表示。邏輯形式是：“有的S不是P”。    （二）關(guān)系命題    關(guān)系命題就是斷定事物與事物之間關(guān)系的命題。例如，ABC全等于EFG；直線AB平行于直線CD。    關(guān)系命題由主項、謂項和量項三部分組成。主項又稱為關(guān)系項，是指存在某種關(guān)系的對象。謂項又稱關(guān)系，是指各個對象之間的某種關(guān)系。量項表示主項的數(shù)量。例如，直線AB平行于直線CD，“直線AB”是關(guān)系前項，“直線CD”是關(guān)系后項，“平行于”是謂項。    關(guān)系可以存在于兩個或是兩種事物之間，也可以存在于兩