一元二次方程中根的判別式以及根與系數關系的應用

1、學習必備歡迎下載一元二次方程中根的判別式以及根與系數關系的應用【學習目標】1 .掌握一元二次方程根的判別式的應用.2 .掌握一元二次方程的根與系數的關系.【主體知識歸納】1 . 一元二次方程的根的判別式：b24ac叫做一元二次方程ax2+ bx+ c=0 (aw0) 的根的判別式.通常用符號來表示.2 .對于一元二次方程 ax2+bx+c=0 (aw0),當A 0時，方程有兩個不 相等的實數根；當A=0時，方程有兩個相等的實數根；當 A0,不要丟掉等號.5 .利用一元二次方程的根與系數的關系的前提是：(1)二次項系數aw0,即保證是一元二次方程；(2)由于我們目前只研究實數根的問題， 故還要考

2、慮實數根存在的前提，即:2b -4ac06 .判別式有以下應用：學習必備歡迎下載(1)不解方程，判定一元二次方程根的情況；(2)根據一元二次方程根的情況，確定方程中未知系數的取值范圍；(3)應用判別式進行有關的證明.根與系數的關系有以下應用：(1)已知一根，求另一根及求知系數；(2)不解方程，求與方程兩根有關的代數式的值；(3)已知兩數，求以這兩數為跟的方程；已知兩數的和與積，求這兩個數(4)確定方程中字母系數的取值范圍(5)確定根的符號。【例題羅列】根的判別式類型1:不解方程，判別下列方程的根的情況：(1) 3x2 2x1 = 0;(2) y2= 2y 4;(3) (2k2+ 1) x2 2

3、kx+1 = 0；(4) 9x2 (p+7) x + p 3 = 0.(系數中有字母的情況)解：(1) =公二(-2) 2-4X3X (1) =4+120,原方程有兩個不相等的實數根.(2)原方程就是 y2 2y+4=0. = A = (-2) 2 4X 1X4=4160, .原 方程無實數根.(3) v2k2+ 1*0, 原方程為一元二次方程.又= = (2k) 2 4 (2k2+1) X1 = 4k2 40,即 A 0,原方程有兩個不相等的實數根.升級：如果關于x的方程x2+2x = mn 9沒有實數根，試判斷關于y的方程y2 + my- 2mH 5 = 0的根的情況.學習必備歡迎下載這是

4、一類需要自己找出隱含條件的題解： 2+ 2x- nn- 9=0 沒有實數根，. Ai = 22 4(mi- 9)=4mH 40 0, 即 m 10.又 y2 + my- 2mH 5 = 0 的判斷式 A 2,卜2= n2-4(-2nm- 5)=m2+ 8m- 20當 m0,即0.方程y2+my-2m 5= 0有兩個不相等的實數根.類型2:1 .已知關于x的一元二次方程(k1)x2+ 2kx+k + 3 = 0. k取什么值時，(1)方程有兩個不相等的實數根？ (2)方程有兩個相等的實數根？ (3)方程沒 有實數根？解：A=(2k)2 4 (k-1) (k+3) =8k+12.當一8k+120,

5、且k1金0,即k：且kw1時，方程有兩個不相等的 實數根；(2)當一8k+12=0,且k1 即k=:時，方程有兩個相等的實數根；(3)當一8k+12：時，方程沒有實數根.說明：當已知方程為一元二次方程時，要特別注意隱含的條件：二次項系數 不等于零.2 .已知a、b、c是4ABC的三邊，且方程a(1+x2)+2bx-c(1-x 2)=0有兩個相 等的實數根，則此三角形為()A、等腰三角形B 、等邊三角形C、直角三角形 D、斜三角形看到有兩個相同的實數根立即判斷應用根的判別式解：原方程可化為(a+c) x2+2bx+a-c = 0, A=(2b)2 4 (a+c) (a-c)= 0得到a2=b2+

6、c2,因此此三角形為直角三角形。升級：已知關于x的方程x2+(2m+1)+m+2=0有兩個不相等的實數根，試判斷直線y=(2m-3)x-4m+7能否通過點(-2 , 4),并說明理由這是與一次函數相結合的題目解：一元二次方程有兩個不相等的實數根 A = (2m+1)2 4 (m2+2) =4m-60,學習必備歡迎下載即 m 3 o293如果直線 y=(2m-3)x-4m+7 能通過點(-2 , 4) m=- 0, (b-c)20, (c-a)20.A =8 (a b)2+ (b-c)2 + (c-a)2 0方程必有實數根.(2)已知方程x2+2x=k-1沒有實數根。求證：方程 x2+kx=1-

7、2k有兩個不相等的 實數根。也是一類需要自己找出隱含條件的題解：第一個方程 A =22 4X(-k+1) 0 即 k 0第二個方程 A=k2 4X(-1+2k)= k2-8k+4= (k-4) 2-16 在 k 0的情況下必大于0根與系數的關系類型1;如果x =2是方程x2 - kx - k -5 = 0的一個根，求k的值，并求出方程另一個根。解：設另一個根為B,據方程的根的意義與根與系數的關系，可列出方程組22 -2k -k -5 = 02P = -k 5,(或2 + P = k)即有學習必備歡迎下載解這個方程組，得kJ33類型2求作以方程3xi 2 -x-i =0的兩根的負倒數為根的一個一

8、元二次方程。解設方程3x2 - x-1 = 0的兩根為xi, x2,則i1x1 +x2 =，x1 . x2 =33.所求方程兩根為Xi1 Ox2xix2xx2x1x2xiX2xx2設方程4x2 7x3 = 0的兩根為 x1, x2,不解方程，求下列各式的值:(xi -3)(x2 -3)(2)xi3 x；(3) x1 1x21(4)xi - x2其關鍵是將它們用xi+x2,xi x2表示出來，如何表示呢？常用的變形有:解(1)x12 +x； =(xi +x2)2 -2xix2;(x -x2)2 =(x1 +x2)2 -4x1x2；學習必備歡迎下載工;2；XiX2X1X22(4)( Xia)(x2

9、a) = X1X2 a(xX2) a (5)x33 X3 =(X1 X2)(X2 X1X2 X2)=(X3 X2)(X3 X2)2 -3X3X23(X1 X2 )- 3X3X2 ( X1X2)由根與系數的關系可得：73X3 +X2 = 一， X3X2 =-44(X3 - 3)(x2 - 3) = X3X2 - 3(X3 X2) 93 c 7 c=3 X 494 4=3(2)X33 X3 =(X3X2)3 -3X3X2(X3 X2)7 3,3、7=(一)3X()X -444595一贏(3) X2X3= X2(X21) X3(X3 1)x3 3x2 1(x3 1)( x2 1)(Xi X2)2 -

10、2x3X2 (X3 X2)X1X2 (X1 X2)3(：)2 -2X($+7 _ 444二 10132(4)x3 -X2 = J(x3 -X2)2= V(x3 +X2)2 -4x3X2學習必備歡迎下載= 1 J974類型41 .已知關于x的一元二次方程：x2 +2(m -2)x +m2 +4 = 0的兩個實數根的平方和比這兩根的積大84 ,求：實數m的值。這一塊很容易和根的判別式結合在一起解設方程兩根為x1，x22 .x +x2 = -2(m -2), x x2 = m2 +4由題意可得：x2 + x2_ x1x2= 84 即：(x1+x2)2- 3x1 x2=84-2(m -2)2 -3(m

11、2 +4) =84. 1Tli =20, m2 = -4 22- =2(m2) -4(m +4) = 16m20 . . m 0,. 4(m + 1)2 +12 0此方程有兩個不相等的實數根。(2)設：方程的兩根為 x1，x2,則x1+x2=2mx1 x2 = -2m -4,又|x1 -x2| = %/(x1 + x2)2 -4x1x2= 2.(m 1)2 3 : 4得（m +1）2 =1,解得 D = 0, m2 = -2 ,故學習必備歡迎下載當m = 0或m = 2時，方程兩根之差的絕對值等于 4。升級：已知：關于x的方程：x 13. : k 一 8；k的整數值為0, 1類型5已知x1,

12、x2是關于x的一元二次方程 4x2 +4(m - 1)x + m2 = 0的兩非零實數根，問x1與x2能否同號？若能同號，請求出相應的 n的取值范圍；若不能 同號，請說明理由。解：因為關于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x + m2 =0有兩個非零實數根，則有 = I4(m-1)2 -4x4m2 =-32m+160, _3x + 2k -1 = 0的兩個實數根的平方和不小于這12k兩個根的積，且反比例函數y=1；2k的圖象的兩個分支在各自的象限內y隨x的增大而減小，求滿足上述條件的 k的整數值。與反比例的結合解關于x的方程x2 _3x +2k -1 = 0有兩個實數根。13. . . ：

13、= -32 -4(2k-1) -0,解得 k 三13 8設方程兩根 x1, x2, ： x1 + x2 = 3, x1 x2 = 2k - 1.222. x1 + x22 x1x2 (x+ x2)- 3x1x2 0,k 0,即k a 2學習必備歡迎下載又x1, x2是方程4X2 +4(m 1)x +m2 = 0的兩個實數根，所以由一元二次方程 一 -12根與系數的關系，有：x1 +x2 = -(m-1), x1 - x2 = m。4假設x1、x2同號，則有兩種可能：(1)xi 0, x2 0, x2 0若x1 0, x2 0,貝|J有x1x20x1x20-(m-1) 0即有f 1 2解這個不等

14、式，得m1且mw0m 04即：當mW二且mw0時，原方程兩根能同號。2若x1 0, x2 0,貝U有x1x2 : 0xx20千(m-1):二 0 即有1m2 .0解這個不等式，得： m 1o而mM1時方程才有實數根，所以此種情況不存在。2綜上所述：當m0,得 me 2 .學習必備歡迎下載(2); Xi, X2為 x2 + 2 (mi- 1) x + m= 0的兩根，1 y = xi + X2 = - 2m+ 2 ,且 me 2 .1因而y隨m的增大而減小，故當m= 2時，取得最小值1.2 (2001年湖北省荊門市)已知關于x的方程x2_(k+2)x+2k=0 ,(1) 求證：無論k取任何實數值，方程總有實數根；(2) 若等腰三角形 ABC的一邊長a=1,另兩邊長b、c恰好是這個方程的兩個根，求 A