(完整版)初中數(shù)學三角形有關的線段講解及習題

1、11.1與三角形有關的線段畠礎知識塔本扶能/Z rd I1. 三角形(1) 定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.(2) 構成：如圖所示，三角形 ABC有三條邊，三個內角，三個頂點.第二頁共八頁 邊：組成三角形的線段叫做三角形的邊. 角：相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角. 頂點：相鄰兩邊的公共端點是三角形的頂點.表示：三角形用符號"”表示，三角形ABC用符號表示為 ABC.注：頂點A所對的邊BC用a表示，頂點B所對的邊AC用b表示，頂點C所對的邊 AB用c表示.(4)分類： 三角形按角分類如下：直角三角形三角形銳角三角形鈍角三角形三邊

2、部不相等的三角老嚴邊和腰不和等的等魄等腰三角形二角形11等邊二角形三角形按邊的相等關系分類如下:破疑點 等邊三角形和等腰三角形的關系等邊三角形是特殊的等腰三角形，即等邊三角形是底邊和腰相等的等腰三角形.【例1】如圖所示,分析：根據(jù)三角形的定義及構成得出結論.解：圖中有三個三角形，分別是： ABC, ABD , ADC. ABC的三邊是：AB, BC, AC,三個內角分別是： / BAC, / B, / C; ABD的三邊是：AB, BD, AD，三個內角分別是： / BAD , / B, / ADB; ADC的三邊是：AD , DC, AC,三個內角分別是： / ADC , / DAC , /

3、 C.2. 三角形的三邊關系a + c>(1) 三邊關系：三角形兩邊的和大于第三邊，用字母表示：a+ b>c, c+ b>a,b.三角形兩邊的差小于第三邊，用字母表示為:c b<a, b a<c, c a<b.(2) 作用：利用三角形的三邊關系，在已知兩邊的三角形中可以確定第三邊的取值范 圍；根據(jù)所給三條線段長度判斷這三條線段能否構成三角形.“兩點之間線段最短”是三邊關系得出的理論依據(jù)破疑點三角形三邊關系的理解三角形兩邊之和大于第三邊指的是三角形中任意兩邊之和都大于第三邊，即 a + b> c, c + b> a, a + c> b三個不等

4、式同時成立.【例2】 下列長度的三條線段(單位：厘米)能組成三角形的是().A . 1,2,3.5B . 4,5,9C. 5,8,15D . 6,8,9解析：選擇最短的兩條線段，計算它們的和是否大于最長的線段，若大于，則能構成 三角形，否則構不成三角形，只有6+ 8= 14> 9,所以D能構成三角形.答案：D3. 三角形的咼(1) 定義：從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高.AD是BC邊上的高.如圖所(2) 描述方法：高的描述方法有三種， 這三種方法都能得出 示.C AD是厶ABC的高； AD丄BC,垂足為D; D 在 BC 上，且/ ADB

5、= / ADC = 90°(3) 性質特點：因為高是通過作垂線得出的，因而有高一定有垂直和直角.常用關系式為：因為AD是BC邊上的高，所以/ ADB = / ADC = 90° “三角形的三條高(所在直線)交于一點” 當是直角三角形時，這點在三角形直角頂點上； 圖所示.當是銳角三角形時，這點在三角形內部； 當是鈍角三角形時， 這點在三角形外部.如(1) 破疑點 三角形的高線的理解三角形的高是線段，不是直線，它的一個端點是三角形的頂點，另一個端點在這個頂點的對邊或對邊所在的直線上.【例3】三角形的三條高在().A .三角形的內部B .三角形的外部C.三角形的邊上D .三角形的

6、內部、外部或邊上解析：三角形的三條高交于一點，但有三種情況：當是銳角三角形時，這點在三角形 內部；當是直角三角形時，這點在三角形直角頂點上；當是鈍角三角形時，這點在三角形 外部，所以只有D正確.答案：D4. 三角形的中線(1) 定義：三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段叫做三角形的中線.(2) 描述方法：三角形中線的描述方法有兩種方式，如圖. 直接描述：AD是BC邊上的中線; 間接描述：D是BC邊上的中點.(3) 性質特點：由三角形中線定義可知，有中線就有相等的線段，如上圖中，因為AD是BC邊上的1 1中線，所以 BD = CD(或 BD = 2BC, DC = 2BC).如下圖所示，一個

7、三角形有三條中線，每條邊上各有一條，三角形的三條中線交于 一點不論是銳角三角形 、直角三角形，還是鈍角三角形，三角形的三條中線都交于三角 形內部一點.三角形三條中線的交點叫做三角形的重心.D第四頁共八頁【例4】破疑點三角形的中線的理解三角形的中線也是線段，它是一個頂點和對邊中點的 連線，它的一個端點是三角形的頂點，另一個端點是這個頂點的對邊中點.則BD的長為().A. 2解析：所以BE = EC = 6.又因為DE = 2, 所以 BD = BE DE = 6 2= 4. 答案：C5. 三角形的角平分線(1) 定義：三角形中，一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的 線段叫做三

8、角形的角平分線. 直接描述：AD是厶ABC的角平分線； 在 ABC 中，/ 1 = / 2,且 D 在 BC 上; AD平分/ BAC，交BC于點D.(3) 性質特點： 由三角形角平分線的定義可知，有角平分線就有相等的角，如上圖中，因為AD是 ABC 的角平分線，所以/ 1= / 2(或/ 仁/2= / BAC，或/ BAC=2 / 1=2 / 2). 一個三角形有三條角平分線，三角形的三條角平分線交于一點，不論是銳角三角形、 直角三角形，還是鈍角三角形，這個交點都在三角形內部.解技巧 三角形的角平分線的理解三角形的角平分線也是一條線段，角的頂點是一個端點，另一個端點在對邊上.【例5】下列說法

9、正確的是(). 平分三角形內角的射線叫做三角形的角平分線； 三角形的中線、角平分線都是線段，而高是直線； 每個三角形都有三條中線、咼和角平分線； 三角形的中線是經(jīng)過頂點和對邊中點的直線.A . B . C . D.解析：任何一個三角形都有三條高、中線和角平分線，并且它們都是線段，不是射線 或直線，因此只有正確，故選B.答案：B6. 三角形的穩(wěn)定性(1) 定義：三角形的三邊確定后，這個三角形的大小、形狀就確定不變了，三角形的這 個性質叫做三角形的穩(wěn)定性.(2) 理解：三角形的穩(wěn)定性指的是三角形的大小和形狀不變，這說明一個三角形確定后 它的附屬性質也不變，這不同于四邊形，因而在實際生活中，都是用三

10、角形做支架的.【例6】在建筑工地我們?？煽匆娙鐖D所示，用木條EF固定矩形門框ABCD的情形.這D 矩形的四個角都是直角C正確.A .兩點之間線段最短種做法根據(jù)().C.三角形的穩(wěn)定性 解析：這是三角形穩(wěn)定性在日常生活中的應用,答案：C解技巧 三角形的穩(wěn)定性的理解三角形穩(wěn)定性的 問題都是以實際生活為原型，說明這樣做的道理，一般較為簡單.GZJ y i r I t ,1 I n I - J X JI .1 f7. 三角形三邊關系的應用三角形中“兩邊之和大于第三邊(兩邊之差小于第三邊)”，這是三角形中最基本的三邊 關系.這里的“兩邊之和”指的是“任意兩邊的和”，滿足這一關系是三條線段能否構成 三角形

11、的前提.三角形三邊關系的運用主要有兩方面，一是在已知兩邊的情況下確定第三邊的取值范 圍；二是根據(jù)所給三條線段的長度判斷這三條線段能否構成三角形.解技巧三角形三邊關系的應用當線段a, b, c滿足最短的兩條線段之和大于最長的線段時就可構成三角形；已知兩條線段，可根據(jù)第三條線段大于這兩邊之差，小于這兩邊之和，來確定第三條線段的取值范圍.【例7- 1】以下列長度的三條線段為邊，能組成三角形嗎？(1) 6 cm,8 cm,10 cm ;三條線段長之比為 4 ： 5 : 6;(3) a+ 1, a + 2, a+ 3(a>0).分析：根據(jù)三角形的三邊關系來判斷已知的三條線段能否組成三角形，選擇較短

12、的兩 條線段，看它們的和是否大于第三條線段，即可判斷能否組成三角形.解：(1)因為6+ 8> 10,所以長為6 cm,8 cm,10 cm的三條線段能組成三角形；設這三條線段長分別為4x,5x,6x(x>0)，因為4x+ 5x大于6x，所以三條線段長之比為4 ： 5 : 6時，能組成三角形；(3) 因為 a+ 1 + a + 2= 2a+ 3,當 a> 0 時，2a+ 3> a + 3,所以 a+ 1, a+ 2, a + 3(a> 0)長的線段能組成三角形.【例7- 2已知三角形的兩邊長分別為5 cm和8 cm,則此三角形的第三邊的長x的取值范圍是.解析：根據(jù)三

13、角形三邊關系可知，第三條邊的長x應大于已知兩邊之差且小于已知兩邊之和，所以3 cm<x<13 cm.答案：3 cm<x<13 cm8三角形的高、中線、角平分線的畫法三角形是最基本的圖形，也是應用最多的圖形，因此畫出它們高、中線、角平分線經(jīng) 常用到，是必須掌握的基本技能.(1) 高的畫法：類似于垂線的畫法，用三角板過某一頂點向對邊或對邊延長線畫垂線, 交對邊于一點，所得到的垂線段就是這條邊上的高.(2) 中線的畫法：取一邊中點，連接這點和這邊相對的頂點的線段，就是所求中線.(3) 角平分線的畫法：類似于畫角平分線，作三角形一個角的平分線，交對邊于一點, 這點和角的頂點之間

14、的線段就是所求的角平分線.9. 三角形高的應用從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角 形的高.因為三角形的高是通過作垂線得到的，既有直角，又有垂線段，因此它的應用方向主 要有兩方面：一是求面積問題，高是垂線段，也是點到直線的距離，是求三角形的面積所 必須知道的長度；二是直角，高是垂線段，因而一定有直角，根據(jù)所有直角都相等或互余 關系進行解題是三角形的高應用的另一方向.解技巧 巧證直角背景下兩銳角相等圖形中含有高時，經(jīng)常用"同角(或等角)的余角相等”來證明角相等，這既是一種方法，也是一個規(guī)律.【例8】 如圖 ，已知厶ABC，畫出 ABC中，BC邊上的

15、高、中線和/ BAC的平分線.圖第六頁共八頁分析：因為三角形的高、中線、角平分線都是描述性定義，它們的定義就蘊含了它們的畫法，根據(jù)總結的畫法畫出圖形即可，如圖(2).解：畫法如下：(1) 過A作BC的垂線，垂足為 D, AD即為BC邊上的高；(2) 取BC的中點E,連接AE , AE即為BC邊上的中線；(3) 作/ BAC的平分線，交 BC于點F，連接AF, AF即為 ABC中/ BAC的平分線. 【例9如圖，在厶ABC中，AD , BE分別是邊BC, AC上的高，試說明/ DAC與/ EBC的關系.分析：因為有三角形中的高就有垂直、直角，所以 / ADC , Z BEC都是直角.根據(jù)小 學所

16、學三角形的內角和為 180°所以Z DAC + Z C= 90° Z EBC + Z C= 90°根據(jù)同角的 余角相等，即可得出 Z DAC = Z EBC.解：Z DAC = Z EBC.因為AD , BE分別是邊BC , AC上的高，所以 Z ADC = 90°, Z BEC = 90°.所以 Z DAC + Z C= 90° ° Z EBC + Z C = 90°.所以 Z DAC = Z EBC.思維荷展創(chuàng)新應用10. 三角形中線應用拓展三角形的中線是三角形中的一條重要線段，它最大的特點是已知三角形的中線，

17、圖中 一定含有相等線段，由此延伸出中線的應用：(1)面積問題：三角形的中線將三角形分成面積相等的兩個三角形，如圖，在厶ABC中,1AD 是 BC 邊上的中線，則 &ABD= SAACD = 2® ABC.因為BD = CD, ABD和厶ADC等底同高，所以面積相等，因此通過作三角形的中線 可將三角形分成面積相等的兩部分.周長問題：如圖所示， AD是BC邊上的中線， ABD和厶ACD的周長之差實質上 就是AB與AC的差，這也是三角形中線中常出現(xiàn)的問題.【例10】 有一塊三角形優(yōu)良品種試驗基地，如圖所示，由于引進四個優(yōu)良品種進行對比試驗，需將這塊土地分成面積相等的四塊，請你制定出

18、兩種以上的劃分方案供選擇(畫圖說明).分析：根據(jù)三角形中線將三角形分為面積相等的兩部分的特征，先把原三角形分為兩 個面積相等的三角形，然后再依次等分.解：答案不唯一，如方案 1:如圖(1)，在BC上取點D , E, F，使BD = DE = EF = FC ,連接 AD, AE, AF.D , E, F，連接 DE , EF , DF .方案2:如圖 ，分別取AB, BC, CA的中點方案3:如圖 ，分別取BC的中點D、CD的中點E、AB的中點F，連接AD, AE, DF.方案4:如圖 ，分別取BC的中點D、AB的中點E、AC的中點F,連接AD , DE, DF.11等腰三角形中的三邊關系等腰

19、三角形是特殊的三角形，它最大的特點是兩條邊相等，所以反映在三邊關系中， 就是底與腰的關系：只要兩腰之和大于底就一定能構成三角形；在等腰三角形中，底 的取值范圍是大于 0且小于兩腰之和.因為等腰三角形的特殊性所以在涉及等腰三角形問題時，只要不明確哪是底，哪是 腰，就必須分情況討論，并且要驗證是否能構成三角形.如一個等腰三角形的兩邊長是 2 cm和5 cm,它的周長是多少？情況一：當腰是2 cm底是5 cm時，因為2+ 2<5，兩邊之和小于第三邊，所以此等腰 三角形不存在；情況二：當腰是5 cm底是2 cm時，5+ 2 >5，所以此等腰三角形存在，此時周長為12 cm.解技巧利用三邊關

20、系求等腰三角形的邊長根據(jù)兩邊之和大于第三邊，結合底和腰的關系先判斷等腰三角形是否存在是求解的前提.【例11 1】 等腰三角形的兩邊長分別為 6 cm和9 cm,則腰長為 .解析：兩種情況，一是腰長為6 cm時，底邊就是9 cm,此時6+ 6>9，此三角形存在， 所以腰長可以是 6 cm ;二是腰長為9 cm，此時9 + 6> 9,此三角形也存在，所以腰長也可 以是9 cm,故腰長為6 cm或9 cm.答案：9 cm或6 cm【例11 2】 已知等腰三角形的周長是24 cm,(1) 腰長是底邊長的2倍，求腰長；(2) 若其中一邊長為6 cm，求其他兩邊長.分析：(1)可以通過設未知數(shù)

21、，禾U用周長作為相等關系，列出方程，通過求方程的解從 而求出答案；(2)因為題目中沒有說明這條邊究竟是腰還是底邊，要分兩種情況考慮，并且計算結果還要注意檢查是否符合兩邊之和都大于第三邊.解：(1)設底邊長為x cm,則腰長為2x cm,根據(jù)題意，得 x+ 2x+ 2x = 24,解得x= 4.8 ,所以腰長為 2x= 2X 4.8= 9.6(cm).(2)當長為6 cm的邊為腰時，則底邊為 24 6X 2 = 12(cm).因為6+ 6= 12,兩邊之和等于第三邊，所以6 cm長為腰不能組成三角形，故腰長不能為 6 cm.當長為6 cm的邊為底邊時，則腰長為 (24 6)吃=9(cm),因為6

22、 cm,9 cm,9 cm可以組成三角形，所以等腰三角形其他兩邊長均為9 cm.12.與三角形有關的線段易錯點分析在本節(jié)內容中，易錯點主要表現(xiàn)在以下三個方面：(1)三角形的高、中 線、角平分線都是線段，它們都有長度，這與前面所學的垂線是直 線、角平分線是射線容易混淆.(2)畫鈍角三角形的高時易出錯，如下圖三種畫法都是錯誤的.BBA EC AC e AC圖1圖2圖3圖1中BE不垂直于邊AC,2錯在沒有過點 B畫AC 正確的作法三種情況錯誤的原因都是對三角形的高的定義理解不透徹.錯因是受銳角三角形的影響，誤認為高的垂足必落在對邊上；圖 的垂線段；圖3錯在把三角形的高與 AC邊上的垂線混淆，把線段畫成了射線.是過點B向對邊AC所在的直線畫垂線，垂足為E.因為三角形是鈍角三角形，所以垂足落第七頁共八頁在CA的延長線上，如下圖所示:第八頁共八頁(3) 運用三角形三邊關系時出錯，只有兩邊之和大于第三邊，才能構成三角形，才能進 行其他運算，這是前提特別是等腰三角形在沒