《平行四邊形及其性質(zhì)》知識(shí)講解

1、優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載平行四邊形及其性質(zhì)(提高)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 理解平行四邊形的概念，掌握平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理2能初步運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算，并體會(huì)如何利用所學(xué)的三角形的知識(shí)解 決四邊形的問(wèn)題.3.了解平行四邊形的不穩(wěn)定性及其實(shí)際應(yīng)用.4.掌握兩個(gè)推論：“夾在兩條平行線間的平行線段相等” ?！皧A在兩條平行線間的垂線段相 等” 【要點(diǎn)梳理】 知識(shí)點(diǎn)一、平行四邊形的定義平行四邊形：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形平行四邊形 ABCD 記作“ ABCD,讀作“平行四邊形 ABCD .要點(diǎn)詮釋：平行四邊形的基本元素：邊、角、對(duì)角線 相鄰的兩邊為鄰邊，有四對(duì)；相 對(duì)的邊為對(duì)邊，有兩

2、對(duì)；相鄰的兩角為鄰角，有四對(duì)；相對(duì)的角為對(duì)角，有兩對(duì)；對(duì)角線有 兩條.知識(shí)點(diǎn)二、平行四邊形的性質(zhì)定理平行四邊形的對(duì)角相等；平行四邊形的對(duì)邊相等；平行四邊形的對(duì)角線互相平分；要點(diǎn)詮釋：(1)平行四邊形的性質(zhì)定理中邊的性質(zhì)可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質(zhì)可以證明兩角相等或兩角互補(bǔ)；對(duì)角線的性質(zhì)可以證明線段的相等關(guān)系或倍半關(guān)系.(2) 由于平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容較多，在使用時(shí)根據(jù)需要進(jìn)行選擇(3) 利用對(duì)角線互相平分可解決對(duì)角線或邊的取值范圍的問(wèn)題，在解答時(shí)應(yīng)聯(lián)系三角形 三邊的不等關(guān)系來(lái)解決.知識(shí)點(diǎn)三、平行線的性質(zhì)定理1.兩條平行線間的距離：(1) 定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條

3、直線的距離，叫做這兩條平行 線間的距離.注：距離是指垂線段的長(zhǎng)度，是正值 .2 平行線性質(zhì)定理及其推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等 .平行線性質(zhì)定理的推論： 夾在兩條平行線間的垂線段相等 .【典型例題】類型一、平行四邊形的性質(zhì)ABCD 的周長(zhǎng)為 60cm，對(duì)角線交于 O,AAOB 的周長(zhǎng)比厶 BOC 的周長(zhǎng)大 8cm，求 AB, BC 的長(zhǎng).。1、如圖，平行四邊形E優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載AH【答案與解析】解：四邊形 ABCD 是平行四邊形. AB = CD AD= BC, AO= CQ/ ABCD 勺周長(zhǎng)是 60. 2AB+ 2BC= 60,即卩 AB+ BC= 30,又 AOB 的周長(zhǎng)比厶 B

4、OC 的周長(zhǎng)大 8.即(AO+ OB+ AB) ( BO OO BQ = AB BC= 8, 由有AB+BC = 30二19,解得BC=U. AB BC 的長(zhǎng)分別是 19cm和 11cm.【總結(jié)升華】根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分，利用方程的思想解題.【變式】如圖：在平行四邊形ABCD 中, CE 是/ DCB 的平分線，F(xiàn) 是 AB 的中點(diǎn)，AB= 6, BC=4.求 AE: EF: FB 的值.【答案】解： ABCD 是平行四邊形，所以 AB/ CD / ECD=ZCEBCE 為/ DCB 的角平分線，/ ECD=ZECB :丄ECB=ZCEB BC= BEV BC= 4,所以 BE= 4

5、/ AB= 6, F 為 AB 的中點(diǎn)，所以 BF= 3 EF= BE BF= 1, AE= AB BE= 2 AE: EF: FB= 2 : 1: 3.&2、 平行四邊形 ABCD 勺對(duì)角線相交于點(diǎn) Q 且 AD CD 過(guò)點(diǎn) O 作 OMLAC,交 AD 于點(diǎn) M, 如果 CDM的周長(zhǎng)是 40cm,求平行四邊形 ABCD 的周長(zhǎng).【思路點(diǎn)撥】 由四邊形 ABCD 是平行四邊形，即可得 AB=CD AD=BC OA=OC 又由 OMLAC, 根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，即可得 AM=CM 又由厶 CDM 的周長(zhǎng)是 40cm,即可求得平行四邊形 ABCD 的周長(zhǎng).【答案與解析】 解：四邊形 A

6、BCD 是平行四邊形， AB=CD AD=BC OA=OCOMLAC, AM=CMCDM 的周長(zhǎng)是 40 ,即：DM+CM+CD=DM+AM+CD=AD+CD=40平行四邊形 ABCD 的周長(zhǎng)為：2 (AD+CD =2X40=80 ( cm).平行四邊形 ABCD 的周長(zhǎng)為 80cm.【總結(jié)升華】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)與線段垂直平分線的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載【思路點(diǎn)撥】在平行四邊形 ABCD 中，TAB / / ABE= / CBE，用等量代換可得/ CBE= / 平分/ BCE，因?yàn)榈妊切稳€合一，所以【答案與解析】證明：TAB/ DC / ABE

7、=/ CEB 又TBE 平分/ ABC / ABE=/ CBE / CBE=Z CEB CB=CEBCE 是等腰三角形，又 CO 平分/ BCEBCO/ ECO OB=OEDC , / ABE= / CEB , 又TBE 平分/ ABC ,CEB ,所以 ABCE 是等腰三角形，又因?yàn)?CO【變式】將一張透明的平行四邊形膠片沿對(duì)角線剪開，得到圖中的兩張三角形膠片丿和厶 DEF 將這兩張三角形膠片的頂點(diǎn) B 與頂點(diǎn) E 重合，把 DEF 繞點(diǎn) B 順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn), 這時(shí) AC 與DF 相交于點(diǎn) 0.(1 )當(dāng)厶 DEF 旋轉(zhuǎn)至如圖位置，點(diǎn) B (E), C, D 在同一直線上時(shí)， AF 與 CD

8、 的數(shù)量關(guān)系理由是：在DEF 中AB=DEI/ABC=DEFBF=ECABCADEF( SAS，二 BF=EC AB=DE 二 AF=CD 故答案為： AF=CD(2) 成立，理由是： ABCADEF - AB=DE BC=EF / ABC2DEF,/ABC-/ FBC=/ DEF-/ FBC,ABF=ZDECABF 和厶 DEC 中AB=DEIABF= DECBF=EC ABFADEC( SAS), -AF=CDC%、如圖，在平行四邊形 ABCD 中，/ ABC/ BCD 的平分線相交于點(diǎn) O, BO 延長(zhǎng)線交 CD是(2)當(dāng)厶 DEF 繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖位置時(shí)，(1)中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理

9、由.【答案】解：(1) AF=CD延長(zhǎng)線于點(diǎn) E，求證：OB=OE優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載【總結(jié)升華】本題考查平行四邊形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是知道平行四邊形對(duì)邊平行以及等腰三角形的三線合一.04、如圖 1，P 為 Rt ABC 所在平面內(nèi)任一點(diǎn)(不在直線AC 上)，/ ACB=90 , M 為 AB 的中占I 八、操作：以 PA PC 為鄰邊作平行四邊形 PADC 連接 PM 并延長(zhǎng)到點(diǎn) E,使 ME=PM 連接 DE(1 )請(qǐng)你猜想與線段 DE 有關(guān)的三個(gè)結(jié)論，并證明你的猜想；(2)若將“ Rt ABC 改為“任意 ABC，其他條件不變，利用圖 2 操作，并寫出與線段【思路點(diǎn)撥】(1)連

10、接 BE,證 PMAAEMB 推出 PA=BE / MPAMMEB 推出 PA/ BE.根 據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出 PA/ DC, PA=DC 推出 BE/ DC BE=DC 得出平行四邊形 CDEB 即可；(2)連接 BE,證厶 PMAAEMB 推出 PA=BE / MPAMMEB 推出 PA/ BE 根據(jù)平行四邊 形的性質(zhì)得出 PA/ DC PA=DC 推出 BE/ DC BE=DC 得出平行四邊形 CDEB 即可.【答案與解析】(1)DE/ BC, DE=BC DEL AC,證明：連接 BE/ M 為 AB 中點(diǎn)， AM=MB在厶 PMA EMB 中PM = ME f /PMA= EMB

11、,AM = BMPMAAEMB( SAS, PA=BE/MPA2MEB PA/ BE 四邊形 PAD(是平行四邊形， PA/ DC PA=DC BE/ DC BE=DC四邊形 DEB(是平行四邊形， DE/ BC, DE=BC/ ACB=90, BCLAC,DEI AC.(2) 解：DE/ BC DE=BC【總結(jié)升華】本題考查了平行四邊形性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用.【變式】已知：如圖，在平行四邊形ABCD 中 , DEIAB 于點(diǎn)E , DFLBC 于點(diǎn) F, / DAB 的平分線交 DE 于點(diǎn) M,交 DF 于點(diǎn) N,交 DC 于點(diǎn) P.(1 )求證：/

12、 ADENCDF(2)如果/ B=120 ,求證： DMN 是等邊三角形【答案】證明：(1)v四邊形 ABCD 是平行四邊形，優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載/DABh C, DC/ AB / DELAB 于點(diǎn) E, DF 丄 BC 于點(diǎn) F,/ADE=90 - / DAB / CDF=90 - / C,./ ADENCDF(2)證明：/ DAB 的平分線交 DE 于點(diǎn) M,交 DF 于點(diǎn) N,交 DC 于點(diǎn) P,/DAP=/ BAP / DC/ AB DPAh BARDAP=/ DPA DA=DR/ADE 玄 CDF/DAP 玄 DPA DA=DRDAMADPN - DM=DN/B=120,MDN=360

13、-/DEB-/EFB-ZB=360 -90-90-120=60, DMN 是等邊三角形.類型二、平行線性質(zhì)定理及其推論05、如圖 1,已知直線 m/ n,點(diǎn) A、B 在直線 n 上，點(diǎn) C、P 在直線 m 上；(1)寫出圖 1 中面積相等的各對(duì)三角形： _ ;(2 )如圖，A、B C 為三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn) P 在直線 m 上移動(dòng)到任一位置時(shí)，總有 _與厶 ABC 的面積相等；(3)如圖，一個(gè)五邊形ABCDE 你能否過(guò)點(diǎn) E 作一條直線交 BC (或延長(zhǎng)線)于點(diǎn) M 使四邊形 ABME 勺面積等于五邊形 ABCDE 勺面積.【思路點(diǎn)撥】(1)找出圖中同底等高的三角形，這些三角形的面積相等；(2)因?yàn)閮?/p>

14、平行線間的距離是相等的，所以點(diǎn) C P 到直線 n間的距離相等，也就是說(shuō)厶 ABC 與厶 PAB 的公共邊 AB 上的高相等，所以總有厶 PAB 與 ABC 的面積相等；(3) 只要作一個(gè)三角形 CEM 與三角形 CED 的面積相等即可.【答案與解析】解：(1)Tm/ n,點(diǎn) C P 到直線 n 間的距離與點(diǎn) A B 到直線 m 間的距離相等；又同底等高的三角形的面積相等，圖中符合條件的三角形有： CAB 與 PAB BCP-與 APC ACOWBOP(2) mil n,點(diǎn) C P 到直線 n 間的距離是相等的， ABC 與 PAB 的公共邊 AB 上的高相等，總有 PAB 與厶 ABC 的面

15、積相等；(3) 連接 EC,過(guò)點(diǎn) D 作直線 DM/ EC 交 BC 延長(zhǎng)線于點(diǎn) M,連接 EM 線段 EM 所在的直線 即為所求的直線.【總結(jié)升華】本題主要考查了三角形的面積及平行線的性質(zhì)，利用平行線間的距離相等得到同底等高的三角形是解題的關(guān)鍵.【鞏固練習(xí)】?jī)?yōu)質(zhì)資料歡迎下載A. 紅花，綠花種植面積一定相等B. 紫花，橙花種植面積一定相等C. 紅花，藍(lán)花種植面積一定相等D. 藍(lán)花，黃花種植面積一定相等5.如圖，0 為平行四邊形 ABCD 對(duì)角線 AC BD 的交點(diǎn)，EF 經(jīng)過(guò)點(diǎn) 0,且與邊 AD BC 分別交于點(diǎn) E、F,若 BF=DE 則圖中的全等三角形最多有（）A. 8 對(duì) B . 6 對(duì)

16、 C . 5 對(duì) D . 4 對(duì) 6.在平行四邊形 ABCD 中，點(diǎn) A1 1, A2 2, As s, A4 4和 C1 1, C2 2, Cs s, C4 4分別 AB 和 CD 的五等分點(diǎn)，點(diǎn) B1 1,B2 2和 D1 1, D2 2分別是 BC 和 DA 的三等分點(diǎn)，已知四邊形 A4 4B2 2C4 4D2 2的面積為 1，則平行四邊形 ABCD二.填空題7.如圖，E、F 分別是ABCD 的兩邊 AB CD 勺中點(diǎn)，AF 交 DE 于 P, BF 交CE 于 Q,則 PQAB 勺關(guān)玄阜系是 _:_8.如圖，在一 ABCD 中, E 是 BA 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， AB= AE,連結(jié) EC

17、交 AD 于點(diǎn) F,若 CF 平分/ BCD AB= 3，貝 U BC 的長(zhǎng)為_ .一.選擇題1平行四邊形一邊長(zhǎng) 12cm，那么它的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度可能是A.8cm和 16cm2以不共線的三點(diǎn) A、B、A.13. 平行四邊形兩鄰邊分別為A.54.國(guó)家級(jí)歷史文化名城-B.10cm和 16cmC.8cm和C 為頂點(diǎn)的平行四邊形共有（）B.2C.324 和 16 ,若兩長(zhǎng)邊間的距離為14cm個(gè).)D.8cm和 12cmD.無(wú)數(shù)8,則兩短邊間的距離為（）花壇（如圖），分別種有紅、黃、藍(lán)、綠、橙、紫 BC/GH/ AD,那么下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）B.6C.8D.12金華，風(fēng)光秀麗，花木蔥蘢某廣場(chǎng)上一個(gè)形

18、狀是平行四邊形的6 種顏色的花.如果有 AB/ EF/ DC,面積為（）D 1510.如圖，在 ABCD 中, AB= 3, AD= 4，/ ABC= 60,過(guò) BC 的中點(diǎn) E 作 EF 丄 AB,垂足為點(diǎn) F,與 DC 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) H 則厶 DEF 的面積是_ .11._如圖，在周長(zhǎng)為 20cm的 ABCD 中, ABAD AC BD 相交于點(diǎn) O,OELBD 交 AD 于 E， 則厶 ABE 的周長(zhǎng)為 .12.如圖，在. ABCD 中, AB= 6, AD= 9，/ BAD 的平分線交 BC 于點(diǎn) E,交 DC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F, BGL AE,垂足為 G, AF= 5, BG =

19、4“，則 CEF 的周長(zhǎng)為 _.三.解答題13.如圖，P 是平行四邊形 ABCD 內(nèi)部一點(diǎn)，PA PB, PC, PD 將平行四邊形 ABCD 分成 4 個(gè)三2 23 3角形，它們的面積分別為 a, ar, ar , ar (a 0, r 0),試確定點(diǎn) P 的位置，并說(shuō) 明理由.14.如圖，過(guò)平行四邊形 ABCD 內(nèi)任一點(diǎn) P 作各邊的平行線分別交 AB BC CD DA 于 E、F、G H.求證：S平行四邊形 ABCIABCI-S平行四邊形 AEPAEP=2SAFG.AFG.則 ABCD 的周長(zhǎng)為9.優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載15.如圖，四邊形 ABCD 是平行四邊形， A BD 與厶 ABD 關(guān)于

20、 BD 所在的直線對(duì)稱，AB與DC 相交于點(diǎn) E,連接 AA .（1）請(qǐng)直接寫出圖中所有的等腰三角形（不另加字母）（2）求證：A E=CE【答案與解析】一.選擇題1 【答案】B;【解析】設(shè)對(duì)角線長(zhǎng)為2a,2b，需滿足a b 12，只有 B 選項(xiàng)符合題意2. 【答案】C；【解析】分別以 AB BC, AC 為對(duì)角線作平行四邊形.3. 【答案】D;【解析】過(guò) C 點(diǎn)作 CF 垂直于 BD 的延長(zhǎng)線，CF 就是兩短邊間的距離，如圖所示，/ C= 30,11CF=CD 24=12.224.【答案】C;【解析】 AB/ EF/ DC BC/ GH/ ADGH BD EF 把一個(gè)平行四邊形分割成四個(gè)小平行

21、四邊形，一條對(duì)角線可以把一個(gè)平行四變形的面積一分為二， 據(jù)此可從圖中獲得 S黃=S藍(lán)，S綠=S紅,S （紫+ +黃+ +綠）=S （橙+ +紅+ +藍(lán)）, 根據(jù)等量相減原理知 S 紫=S 橙， A、B、D 說(shuō)法正確，再考查 S紅與 S藍(lán)顯然不相等.故選 C.5【答案】B;【解析】共 6 對(duì)，有 ABDACDB ABCACDA AODACOB AOBACODAOEACOFDOEABOF理由是：四邊形 ABCD 是平行四邊形， AD=BC AB=CD在 ABC 和 CDA 中AB=CDAD=BC,、AC=ACABCACDA 同理 ABDACDB四邊形 ABCD 是平行四邊形， OA=OC OB=OD在 AOD COB 中優(yōu)質(zhì)資料 歡迎下載2OA=OCIMAOD=COB,OB=ODAODACOB 同理， AOBACOD四邊形 ABCD 是平行四邊形， AD/ BC,/AEO=/ CFO在 AOEn COF 中AEO= CFOI