廣東省湛江一中等“十校”2013屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)理試題

1、絕密啟用前 試卷類(lèi)型：A“十?！?0122013學(xué)年度高三聯(lián)考數(shù)學(xué)(理科)試題本試卷共4頁(yè)，21小題，滿(mǎn)分150分考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)： 1答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上用2B鉛筆將試卷類(lèi)型(A)填涂在答題卡相應(yīng)位置上 2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上 3非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案,不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液不按以上要求作答的答

2、案無(wú)效一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1.已知集合,為虛數(shù)單位，.則正確的是（ ）A.B. C. D. 2.如果命題“”是假命題，則下列說(shuō)法正確的是()A. 均為真命題B. 中至少有一個(gè)為真命題C. 均為假命題D. 中至少有一個(gè)為假命題3.等差數(shù)列中，已知,則為（ ） A. B. C. D.4. 在中,內(nèi)角、所對(duì)的邊分別是,已知， ,則（ ）A. B.C. D. 5. 函數(shù)滿(mǎn)足，若，則( ). . . .6為了弘揚(yáng)孝道感恩的美德，某學(xué)校準(zhǔn)備組織一批學(xué)生觀看親情勵(lì)志電影孝女彩金.現(xiàn)有張孝女彩金的電影票分給個(gè)班的學(xué)生去觀看，每個(gè)班至少分一張電影票，則不同的分法有（ ）種A. B.

3、 C.D.7.某幾何體的三視圖如圖所示，當(dāng)取最大值時(shí)，這個(gè)幾何體的體積為()A. B.C. D.8定義：關(guān)于的不等式的解集叫的鄰域.已知的鄰域?yàn)閰^(qū)間，其中分別為橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸.若此橢圓的一焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則橢圓的方程為( ) ks5uA. B. C. D.二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿(mǎn)分30分ks5u(一)必做題（913題）9.某單位有職工人，現(xiàn)將所有職工隨機(jī)編號(hào)，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為的樣本，已知號(hào)、號(hào)、號(hào)職工在樣本中，則樣本中還有一個(gè)職工的編號(hào)是 .10.在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是 .11.在中,=2 則 .12在可行域內(nèi)任取一點(diǎn)，

4、規(guī)則如流程圖所示，則能輸出數(shù)對(duì)的概率是 .13.設(shè)函數(shù)在（，+）內(nèi)有意義.對(duì)于給定的正數(shù)K，已知函數(shù)，取函數(shù)=.若對(duì)任意的（，+），恒有=，則K的最小值為 .(二)選做題（1415題，考生只能從中選做一題,兩題全答的，只計(jì)算前一題得分）14.如圖，四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)和相交于點(diǎn).若,則的值為 .15.已知拋物線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）,若斜率為1的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與圓相切，則半徑=_.三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟16. （本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)（1）求的最小正周期、最大值及取最大值時(shí)的集合；（2）若銳角滿(mǎn)足，求的值17. （本小題滿(mǎn)分1

5、2分）某網(wǎng)站用“10分制”調(diào)查一社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名，以下莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉)：（1）指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；（2）若幸福度不低于9.5分，則稱(chēng)該人的幸福度為“極幸?！?求從這16人中隨機(jī)選取3人，至多有1人是“極幸?！钡母怕?；（3）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人，記表示抽到“極幸?！钡娜藬?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望18. （本小題滿(mǎn)分14分） 如圖5，在四棱錐中，平面，是的中點(diǎn). （1）求證：平面；（2）若直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等，求四棱錐的體

6、積.19.（本小題滿(mǎn)分14分）已知數(shù)列、滿(mǎn)足：，.（1）求；（2）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，不等式恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20. （本小題滿(mǎn)分14分）已知的頂點(diǎn)A在射線上 ，、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且線段上有一點(diǎn)滿(mǎn)足.當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)的軌跡為.（1） 求軌跡的方程；（2） 設(shè)點(diǎn),，求證：.21. （本小題滿(mǎn)分14分） 已知函數(shù).數(shù)列滿(mǎn)足,. 數(shù)列滿(mǎn)足,.（1）求的單調(diào)區(qū)間;（2）求證:且;（3）若則當(dāng)時(shí),求證:.“十?！?0122013學(xué)年度高三聯(lián)考數(shù)學(xué)(理科) 試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿(mǎn)分40分.題號(hào)12345678答案ABCAD

7、CDB 二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿(mǎn)分30分其中1415題是選做題，考生只能選做一題 9. 19 10. 10 11.-4 12. 13. 2 14. 15. 三、解答題： 本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟16（本小題滿(mǎn)分l2分）（1）解： 1分 2分 3分故的最大值為；此時(shí)5分最小正周期 6分（2）由得， 7分故， 8分又由得，故，解得11分從而 12分 17.（本小題滿(mǎn)分12分）解：（1）眾數(shù)：8.6；中位數(shù)：8.75 2分（2）設(shè)表示所取3人中有個(gè)人是“極幸福”，至多有1人是“極幸福”記為事件，則 6分（3）的可能取值為0、1、

8、2、3高.考.資.源+網(wǎng) 7分高.考.資.源+網(wǎng) ； ； 分布列為 11分高考資源網(wǎng). 12分另解：的可能取值為0、1、2、3高.考.資., 7分 ，. 9分分布列為 10分所以=. 12分18. （本小題滿(mǎn)分14分）（1）如圖（1），連接，由,得1分是的中點(diǎn)，所以 2分所以 4分而內(nèi)的兩條相交直線，所以平面. 5分（2）過(guò)點(diǎn)作由（1）平面知，平面.于是為直線與平面所成的角，且. 8分由知，為直線與平面所成的角9分由題意，知因?yàn)樗?10分由所以四邊形是平行四邊形，故于是在中，所以于是 12分又梯形的面積為所以四棱錐的體積為 14分解法2：如圖（2），以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為建立空間直角坐

9、標(biāo)系.設(shè)則相關(guān)的各點(diǎn)坐標(biāo)為： 1分. 2分（1）易知因?yàn)樗?4分而是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以 5分(2)由題設(shè)和（1）知，分別是、的法向量. 6分由（1）知， 7分 而直線與所成的角和直線與所成的角相等，所以 8分由故 10分解得. 12分又梯形的面積為，所以四棱錐的體積為 . 14分19.（本小題滿(mǎn)分14分）解：（1） , . 3分（2）解法一. 5分 數(shù)列是以4為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列. 6分 . 8分解法二：猜想：，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明. 4分當(dāng)時(shí)，時(shí)成立； 5分假設(shè)時(shí)， 則時(shí)， 故對(duì)任意，成立. 7分 . 8分 （3）由于，所以，從而.9分11分 由條件可知恒成立即可滿(mǎn)足條件，設(shè)

10、當(dāng)時(shí)，恒成立 12分當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)知不可能成立 13分當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸 ，在為單調(diào)遞減函數(shù)， 時(shí)恒成立 綜上知：時(shí)，恒成立 14分解法二.由于，所以，從而.9分11分 , . 12分 設(shè) ，由于，所以恒成立， 所以遞減，所以，. 14分20（本小題滿(mǎn)分14分）（1）解：因?yàn)锳, B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以AB邊所在直線與y軸平行. 設(shè)M，由題意，得， . 2分 所以, 因?yàn)樗约? 5分所以點(diǎn)M的軌跡W的方程為. 6分（2）證明：設(shè) 因?yàn)榍€關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)， 所以只要證明“點(diǎn)M在軸上方及軸上時(shí)，”成立即可. 以下給出“當(dāng)時(shí)，” 的證明過(guò)程. 因?yàn)辄c(diǎn)M在上，所以.當(dāng)時(shí)，由點(diǎn)M在W上，得點(diǎn), 此時(shí), 所以,則 .9分當(dāng)時(shí)，直線PM、QM的斜率分別為,10分所以. ,11分 因?yàn)?所以,且. 又,所以且, 所以 12分 因?yàn)辄c(diǎn)M在W上，所以,即，所以 ,所以 . 14分21.（本小題滿(mǎn)分14分）（1）解:因?yàn)?所以函數(shù)定義域?yàn)?1分且 , 2分由得所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；由得,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+）. 3分所以的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+）. 4分 (2)先用數(shù)學(xué)歸納法證明,.（1）當(dāng)時(shí),由已知得結(jié)論成立.（2）假設(shè)當(dāng)時(shí),結(jié)論成立,即.則當(dāng)時(shí),因?yàn)闀r(shí),所以在