高中數(shù)學(xué)經(jīng)典高考難題集錦解析版

1、2015年10月18日姚杰的高中數(shù)學(xué)組卷一 .填空題（共17小題）1. （2014?永川區(qū)校級(jí)學(xué)業(yè)考試）已知等差數(shù)列an的公差dm 且a1, a3, a9成等比數(shù)列,則上止主曳的值是+ a 10an中,a6+a7=3,則滿足 a1+a2+-+an a1a2an的2. （2013?江蘇）在正項(xiàng)等比數(shù)列最大正整數(shù)n的值為. 一. . . . . .、.一一n1* rrt.r3. （2013?胡南）設(shè) Sn 為數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，Sn=（-1）nan-,nCN,貝 U2，（1） a3=；（2） S1+S2+-+S100=.4.（2012?湖南）對(duì)于n玳*，將n表示為n= XXX+1乂 2，當(dāng)i=

2、k時(shí)，ai=1,當(dāng)0球米-1時(shí)，ai為0或1.定義bn如下：在n的上述表示中，當(dāng) a。，a1, a2,，ak中等于1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，bn=1 ；否則bn=0.（1） b2+b4+b6+b8=；（2）記cm為數(shù)列bn中第m個(gè)為0的項(xiàng)與第m+1個(gè)為0的項(xiàng)之間的項(xiàng)數(shù)，則cm的最大值 是.5. （2012?河北）數(shù)列an滿足 an+1+ （-1） nan=2n - 1,則an的前 60 項(xiàng)和為6. （2012?上海）已知 f Cs）1+k各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an滿足a1 = 1 , an+2=f （an）,若a2010=a2012,貝U a20+a11 的值是7. （2012?上海）已知等差數(shù)列an的首

3、項(xiàng)及公差均為正數(shù)，令歷瓦二缶E*, n -1b - 9(?)-T (g 1i1cT (a)表示非負(fù)實(shí)數(shù)a的整數(shù)部分，例如/k=yk-i4T()-T(M)T (2.6) =2, T (0.2) =0.按此方案，第 6棵樹(shù)種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為 ;第2009 棵樹(shù)種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為 .14. (2008?天津)已知數(shù)列an中，a二L一3工7 (nEN#),貝U1L Ti 3 n.T 1Hm a =. nr 815. (2006?天津)設(shè)函數(shù)f (k)=二7,點(diǎn)A0表示坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) An (n, f (n) (nCN*), x+1若向量，二A心;+入1可+述；,缶是三與i的夾角，(其中(L 0)，設(shè)Sn=t

4、an 例+tan &+-+tan On,貝U lim 乳=.廿816. (2005?上海)已知函數(shù) f (x) =2x+log2x,數(shù)列an的通項(xiàng)公式是 an=0.1n (nCN),當(dāng)|f (an) - 2005|取得最小值時(shí)，n=17. （2006?湖北）將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)Cnr都換成,就得到一個(gè)如下圖所（n+1）示的分?jǐn)?shù)三角形，成為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可看出二-,其中 x=r+1 ,令（n+n C： （n+1） C； nC：.i貝U lira a =L 8“二十1_1_3 12 30 60.I (nK) *.解答題（共13小題）18. (2008?安徽)設(shè)數(shù)列an滿足 ai

5、=a, an+i=can+1 - c, nCN*,其中 a, c 為實(shí)數(shù)，且(I )(n )求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;設(shè)（出）若0van0,數(shù)列an滿足 ai=b, an= （n或）%-1+門(mén)一】（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n, 2an4n+1+1.ai=bi=1,20. (2014?濮陽(yáng)二模)設(shè)an是等差數(shù)列，bn是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且 a3+b5=21 , a5+b3=13(I )求an、bn的通項(xiàng)公式；(n )求數(shù)列11的前n項(xiàng)和Sn.21.(2014秋？渝中區(qū)校級(jí)月考)已知數(shù)列an中，ai=1, an+i =c-(I)設(shè) c=, bn=2二亍，求數(shù)列bn的通

6、項(xiàng)公式;)求使不等式anvan+13成立的c的取值范圍.22. (2010?荔灣區(qū)校級(jí)模擬)設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和.(1)證明曳貯里吐?1品2n+llg C S - 0,使得Si=Lg ( S+-c) 成立?并證明你的結(jié)論.半軸上，且都與直線23. (2010?安徽)設(shè)C1, C2,，Cn, 是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在 x軸的正相切，對(duì)每一個(gè)正整數(shù) n,圓Cn都與圓Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半徑，已知rn為遞增數(shù)列.)證明：rn為等比數(shù)歹U;)設(shè)r1=1,求數(shù)列 的前n項(xiàng)和.24. (2010?湖南)給出下面的數(shù)表序列：裘1表3表311 31 3 54

7、4 12其中表n (n=1 , 2, 3)有n行，第1行的n個(gè)數(shù)是1, 3, 5, -2n - 1,從第2行起，每 行中的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和.(I)寫(xiě)出表4,驗(yàn)證表4各行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推 廣到表n (n耳)(不要求證明)；1, 4, 12，記此數(shù)列為bn求和:(II)每個(gè)數(shù)列中最后一行都只有一個(gè)數(shù)，它們構(gòu)成數(shù)列上2(nCN+)blb2 b2b3bnbn+l1 3 (l+SrL+1) 2 3%)25. (2010?湖北)已知數(shù)列an滿足：ai=-, =,anan+1 0,且a力)的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為f (n) - c,數(shù)列bn (b

8、n0)的首項(xiàng)為c,且前n項(xiàng)和Sn滿足Sn ,仁河+57t (n.(I )求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(n )若數(shù)列一一前n項(xiàng)和為T(mén)n,問(wèn)滿足Tnj幽的最小正整數(shù)n是多少？|bL201027. (2009?江西)數(shù)列an的通項(xiàng)an=n2 (cos也?一sin嗎L ,其前n項(xiàng)和為Sn.(1)求 Sn;(2)bn=,求數(shù)列b n的前n項(xiàng)和Tn .a .28. (2009?重慶)已知4+2=44+廿 4，nEN*, 11gfi(I )求 b1, b2, b3 的值；(n )設(shè)cn=bnbn+1 , Sn為數(shù)列cn的前n項(xiàng)和，求證：Snm7n；(出)求證：電口一/| a1a2an的最大正整數(shù)n的值為 1

9、2 .考點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；一元二次不等式的解法；數(shù)列的函數(shù)特性；等差數(shù)列的前和.專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列.分析：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an首項(xiàng)為a1,公比為q,由題意可得關(guān)于這兩個(gè)量的方程組，解之可得數(shù)列的通項(xiàng)公式和 a1+a2+-+an及a1a2- an的表達(dá)式，化簡(jiǎn)可得關(guān)于 n的不等式, 解之可得n的范圍，取上限的整數(shù)部分即可得答案.解答：解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an首項(xiàng)為a1,公比為q,由題意可得4 15 （14q） =3,解之可得:1a1磷，q=2,故其通項(xiàng)公式為an=2n 6.、*(1 - 2”)記 Tn=a 1+a2+ - +an=-1-22rL - 1251,解得叫129 ,2由于n為正

10、整數(shù)，因此n最大為上匕3的整數(shù)部分，也就是212.故答案為：1212n點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的求和公式和一元二次不等式的解法，屬中檔題.3. （2013?胡南）設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Sn= （-1） nan(1) a3=(2) S1+S2+-+S100=32100-1)考點(diǎn)：數(shù)列的求和；數(shù)列的函數(shù)特性.專題：壓軸題；等差數(shù)列與等比數(shù)列.分析：（1）把給出的數(shù)列遞推式先分 n=1和n或討論，由此求出首項(xiàng)和n或時(shí)的關(guān)系式+ （ -1 ） na 一什工.對(duì)此關(guān)系式再分n為偶數(shù)和奇數(shù)分別得到1仇7 2n當(dāng)n為偶數(shù)和奇數(shù)時(shí)的通項(xiàng)公式，則a3可求;（2）把（1）中求出的數(shù)列的通項(xiàng)公式代入S=(_ 1

11、)虱a_ , n N ,則利用mh 2n數(shù)列的分組求和和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可求得結(jié)果.解答:解：由 一1 :-nn 2 rL,nCN*,當(dāng)n=1時(shí)，有T得/丁二口一 Sn-r（ 一 1）%n2n(1) an- lf 1即若n為偶數(shù)，則L二-（n2） 2所以_ _ 14- 7 nH-1（n為正奇數(shù)）；若n為奇數(shù)，則所以所以（1）七二-j二-116故答案為-L；16（2）因?yàn)?二一一 （n為正奇數(shù)），所以- 工門(mén)又白-n- （n為正偶數(shù)），所以己巾an2rzal-22則- 3勺二2嘲a99+a100=2X-ioci，所以，S1+S2+S3+S4+-+S99+S100-叼+引+（ 一叼爐山口）J

12、 1 (1-4450 Z /。2r1-11-142 1）3 i 21口口故答案為5 （3而一1）.C點(diǎn)評(píng):本題考查了數(shù)列的求和，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，解答此題的關(guān)鍵在于當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)能求出奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)，當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)求出偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)，此題為中高檔題.4. (2012?湖南)對(duì)于n“，將 n表示為 n=w X 2k+ak-1 X 2* 一% X 21+社1 X 2。，當(dāng)i=k時(shí)，ai=i,當(dāng)0球米-1時(shí)，ai為0或1.定義bn如下：在n的上述表示中，當(dāng) a。，ai, a2,，ak中等于1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，bn=1 ;否則bn=0.(1) b2+b4+b6+b8= 3 ;(2)記Cm為數(shù)列bn中第m個(gè)

13、為0的項(xiàng)與第m+1個(gè)為0的項(xiàng)之間的項(xiàng)數(shù)，則cm的最大值 是 2 .考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用；數(shù)列的函數(shù)特性.專題：壓軸題；新定義.分析：(1)由題設(shè)定義可知，2=1X2,4=1X22,6=122+1 X2,8=123,從而b2=1,b4=1 ,b6=0,b8=1,故可求 b2+b4+b6+b8 的值；(2)設(shè)bn中第m個(gè)為0的項(xiàng)為bi,即bi=0,構(gòu)造二進(jìn)制數(shù)(i) 10= (akak-1 a1a0) 2,則akak-1 a1a0中1的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，再進(jìn)行分類(lèi)討論：當(dāng)a2a1a0=000時(shí)，cm=2；當(dāng)a2a1a0=001 時(shí)，cm=0;當(dāng) a2a1a0=010 時(shí)，cm=1;當(dāng) a2a1a0=011

14、時(shí)，cm=0;當(dāng) a2a1a0=100 時(shí)，cm=2 ；當(dāng) a2a1a0=101 時(shí)，cm=0;當(dāng) a0=0,前面有奇數(shù)個(gè) 1 時(shí)，cm=1; 當(dāng) a0=0, 前面有偶數(shù)個(gè)1時(shí)，cm=2;當(dāng)末位有奇數(shù)個(gè) 1時(shí)，cm=1 ；當(dāng)末位有偶數(shù)個(gè) 1時(shí)，cm=0 , 由此可得cm的最大值.解答：解：(1)由題設(shè)定義可知，2=1X2,4=122 ,6=1 X22+12,8=1X23,，b2=1,b4=1 ,b6=0, b8=1b2+b4+b6+b8=3(2)設(shè)bn中第m個(gè)為0的項(xiàng)為bi,即bi=0,構(gòu)造二進(jìn)制數(shù)(i) 10= (akak-1 a1a0) 2,貝U akak-1 a1a0 中 1 的個(gè)數(shù)為偶

15、數(shù)， 當(dāng) a2a1 a0=000 時(shí)，bi+1=1 , bi+2=1, bi+3=0, cm=2 ; 當(dāng) a2a1a0=001 時(shí)，bi+1 =0, cm=0；當(dāng) a2a1a0=010 時(shí)，bi+1=1, bi+2=0, cm=1 ；當(dāng) a2a1a0=011 時(shí)，bi+1 =0, cm=0;當(dāng) a2a1a0=100 時(shí)，bi+1=1, bi+2=1, bi+3=0, cm=2;當(dāng) a2a1a0=101 時(shí)，bi+1 =0, cm=0;當(dāng) a0=0,前面有奇數(shù)個(gè) 1 時(shí)，bi+1=1 , bi+2=0, cm=1 ; 當(dāng) a0=0, 前面有偶數(shù)個(gè) 1時(shí)，bi+1=1, bi+2=1 , bi+3

16、=0, cm=2;當(dāng)末位有奇數(shù)個(gè) 1時(shí)，bi+1=1 , bi+2=0, cm=1 ;當(dāng)末位有偶數(shù)個(gè)1時(shí)，bi+1=1 , bi+2=0, cm=0;故cm的最大值為 2.點(diǎn)評(píng)：對(duì)于新定義型問(wèn)題，正確理解新定義傳遞的信息是解題的突破口.5. (2012例北)數(shù)列J an滿足 an+1+ ( 1) nan=2n - 1,則an的前 60 項(xiàng)和為 1830考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和.專題：計(jì)算題；壓軸題.分析：令 bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4,貝bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n-3+a4n-2+a4n- 2+a4n+16=bn+16可得

17、數(shù)列bn是以16為公差的等差數(shù)列，而an的前60項(xiàng)和為即為 數(shù)列bn的前15項(xiàng)和，由等差數(shù)列的求和公式可求解答：解：:已同+(-1)%n=2n-l令 bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4, a4n+1+a4n+3= ( a4n+3+a4n+2) ( a4n+2 a4n+1) =2, a4n+2+a4n+4= ( a4n+4 a4n+3) + ( a4n+3+a4n+2) =16n+8 ,貝U bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n- 3+a4n- 2+a4n- 1+a4r+16=b n+16，數(shù)列bn是以16為公差的等差數(shù)列，an的前60項(xiàng)和為即為

18、數(shù)列bn的前15項(xiàng)和 bi=ai+a2+a3+a4=10- 1: - . =1830點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的和，等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，解題 的關(guān)鍵是通過(guò)構(gòu)造等差數(shù)列an滿足 a1=1, an+2=f ( an),若6. （2012?上海）已知f （幻二一L,各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列1+工a2010=a2012,貝U a20+a11 的值是考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合.專題：綜合題；壓軸題.根據(jù)f （工）=,各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 an滿足a1=1, an+2=f （an）,可確定a1=1,% .，為夸，a7=T，與胃，a”二得，利用a2010=a2012,可得 知儂西門(mén)（負(fù) 上rJJ

19、CjJZ-b值舍去），依次往前推得到 a20由此可得結(jié)論.2 |解答：解： f （x）=,各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an滿足a1=1, an+2=f （an）,1 + ka2010=a2012,0=二2（負(fù)值舍去），由a2010=-1+a200E得物08=L2依次往前推得到a20=12故答案為:a20+a11=26點(diǎn)評(píng):本題主要考查數(shù)列的概念、組成和性質(zhì)、同時(shí)考查函數(shù)的概念.理解條件an+2=f（an）, 是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，本題綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量較大，屬于中高檔試題.7. （2012?上海）已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)及公差均為正數(shù)，令bn=V%+/a2012-nn2C12） .當(dāng) bk 是數(shù)列b n的最大項(xiàng)

20、時(shí)，k= 1006考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合；等差數(shù)列的性質(zhì).專題：綜合題；壓軸題.分析：設(shè)國(guó)改 歷;二寸由八二嬴二 4,YOM，根據(jù)基本不等式(x+y) 2=x2+y2+2xya2+y2+x2+y2=2(x2+y2),得 bn2=(同+J%/2 口)解答:2 一2 a an+a20i2-n) =2 (2ai006)=4ai006)由此能求出結(jié)果.解：設(shè)同r，后二二，,為二口 12-n (口E N , n2012), 丁.根據(jù)基本不等式(x+y) 2=x2+y2+2xya2+y2+x2+y2=2 (x2+y2), 得 bn2=(-2或(an+a20i2-n) =2 (2ai006) =4ai00

21、6, 當(dāng)且僅當(dāng)an=a20i2-n時(shí)，bn取到最大值， 此時(shí) n=1006,所以 k=1006.故答案為：1006.點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，具體涉及到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、基本不等式的 性質(zhì)等基本知識(shí)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.8. (2011?浙江)若數(shù)列(n (n+4)中的最大項(xiàng)是第k項(xiàng)，則k= 4考點(diǎn)：數(shù)列的函數(shù)特性.專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法.分析:解答:求數(shù)列的最大值，可通過(guò)做差或做商比較法判斷數(shù)列的單調(diào)性處理.解：令9 n4E(n+4)(5)假設(shè)o n+1%1.)42 C 班1) Cn+5)an9 nn (n+4)合J3 n tn+4)則

22、 2 (n+1) (n+5)用n (n+4),即 n2局0,所以 nan,當(dāng) n 必時(shí)，an+1 an,所以a4最大.故答案為：4.點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的最值問(wèn)題，利用做差或做商比較法判斷數(shù)列的單調(diào)性是求數(shù)列最值的 常用方式.9. (2010以津)設(shè)an是等比數(shù)列，公比q二北，Sn為an的前n項(xiàng)和.記 考點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的性質(zhì).an4-l.設(shè)T、為數(shù)列T n的最大項(xiàng)，則JL0專題分析:解答:等差數(shù)列與等比數(shù)列.首先用公比q和ai分別表示出Sn和S2n,代入Tn易得到Tn的表達(dá)式.再根據(jù)基本不 等式得出no17% L （近）n _ai 1-加）筋解:（血），-171-V2因?yàn)椋ㄈ纾?/p>

23、-三8,當(dāng)且僅當(dāng) 萬(wàn)）n=4,即n=4時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)no=4時(shí)Tn有最大值.故答案為：4.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)及平均值不等式的應(yīng)用，屬于中等題.本題的實(shí)質(zhì)是求Tn取得最大值時(shí)的n值，求解時(shí)為便于運(yùn)算可以對(duì)日進(jìn)行換元，分子、分母都有變量的情況下通?？梢圆捎梅蛛x變量的方法求解.10. （2013?湖南）對(duì)于 E=ai, a2,.ai00的子集 X=a ii, ai2,，aik,定義 X 的 特征 數(shù)列”為X1, X2,X100,其中xi1=xi2=-xik=1 ,其余項(xiàng)均為0,例如子集a2, a3的 特征數(shù)列” 為 0, 1, 1, 0, 0,，0（1）子集a1，a

24、3, a5的特征數(shù)列”的前3項(xiàng)和等于 2 :（2）若E的子集P的特征數(shù)列“P1, P2,，P100滿足p1=1 , pi+pi+1=1, 1W99; E的子集 Q 的 特征數(shù)列q1, q2, q100滿足 q1=1 , qj+qj+1+qj+2=1, 1j98,則 PAQ 的元素個(gè)數(shù)為17 .考點(diǎn)：數(shù)列的求和；交集及其運(yùn)算.專題：壓軸題；新定義.分析：（1）利用 特征數(shù)列”的定義即可得出；（2）利用 特征數(shù)列”的定義分別求出子集P, Q的特征數(shù)列”，再找出相同1”的個(gè)數(shù)即可.解答：解：（1）子集a1, a3, a5的 特征數(shù)列”為：1, 0, 1, 0, 1, 0,，0,故前三項(xiàng)和 等于 1+

25、0+1=2 ;（2） . 的子集 P 的特征數(shù)列Pi, P2,P100 滿足 Pi+Pi+1=1, 1W%9, .P的特征數(shù)列為1,0, 1, 0,11, 0.其中奇數(shù)項(xiàng)為1,偶數(shù)項(xiàng)為0.貝U P=a 1, a3, a5,，a99有 50 個(gè)元素，又E的子集Q的特征數(shù)列q1，q2,，q100滿足q1=1 , qj+qj+1+qj+2=1, 1可碼8,可 知：j=1 時(shí)，q1+q2+q3=1, / q1=1,，q2=q3=0；同理 q4=1=q7=- =q3n 2. 子集 Q 的特征數(shù)列”為 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,，1, 0, 0, 1.則 Q=a 1, a4, a7,，a10

26、0則 PAQ 的元素為 a1, a7, a13,，a91, a97. /97=1+(171)4，共有17相同的元素.故答案分別為2, 17.點(diǎn)評(píng)：正確理解 特征數(shù)列”的定義是解題的關(guān)鍵.11.(2010?湖南)若數(shù)列an滿足：對(duì)任意的n CN，只有有限個(gè)正整數(shù) m使得amvn成立， 記這樣的m的個(gè)數(shù)為(an)+,則得到一個(gè)新數(shù)列(an)+.例如，若數(shù)列an是1, 2,3,n,，則數(shù)列 (an) +是0, 1, 2,，n-1已知對(duì)任意的nN + , an=n2,貝U (a5) += 2 ,(an) +) += n2 .考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用.專題：計(jì)算題；壓軸題；新定義.分析：根據(jù)題意，若am5,而a

27、n=n2,知m=1 ,2,.(比)+=2,由題設(shè)條件可知(a1)+)+=1, (a2)+)+=4,(a3)+)+=9, (a4)+)+=16,于是猜想：(an)+)+=n2.解答：解：- am5,而 an=n2,m=1 , 2,(a5) +=2.(a1) =0, (a2) =1 , (a3) =1, (a4) =1 ,(a5)+=2, (a6)+=2, (a7)+=2, (a8)+=2, (a9)+=2,(a10) +=3, (a11) +=3, (a12) +=3, (a13) +=3, (a14) +=3, (a15) +=3, (a16) +=3,. (a1) +) +=1, (a2)

28、+) +=4, (a3) +) +=9, (a4) +) +=16,猜想：(an) +) +=n2.答案：2, n2.點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題.仔細(xì)解答./21112. (2010?遼寧)已知數(shù)列an滿足a1=33, an+1 - an=2n,則=的最小值為 二生 n2考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用.專題：計(jì)算題；壓軸題.分析：由累加法求出an=33+n2- n,所以*二至Fn- 1 ,設(shè)f (n) 口門(mén)- 1 ,由此能導(dǎo)出n nnn=5或6時(shí)f (n)有最小值.借此能得到 手的最小值.解答：解：an= (an an-1) + ( an-1 - an-2

29、) + (a2 a1)+a1=21+2+ + (n 1) +33=33+n2一n所以r I - I n n設(shè) f (n) =-+ n - 1,令 f ( n) =-,nn2則f (n)在(病，+00)上是單調(diào)遞增，在 (0, V33)上是遞減的，因?yàn)閚CN+,所以當(dāng)n=5或6時(shí)f (n)有最小值.又因?yàn)樯冢?二國(guó)色二21,5 一 56 一 6 一 2所以三的最小值為 由二ZLn6 2點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解以及構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，考查了同學(xué)們綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力.13. (2008?北京)某校數(shù)學(xué)課外小組在坐標(biāo)紙上，為學(xué)校的一塊空地設(shè)計(jì)植樹(shù)方案如下：第k棵

30、樹(shù)種植在點(diǎn) Pk (xk, yk)處，其中xi=1, yi=1 ,當(dāng)k或時(shí)，小711+1-5T (?)-T (g 1cT (a)表示非負(fù)實(shí)數(shù)a的整數(shù)部分，例如Vk“Ll+T (丁)-T(M)T (2.6) =2, T (0.2) =0.按此方案，第 6棵樹(shù)種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為(1, 2);第2009棵樹(shù)種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為(4, 402).考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用.專題：壓軸題；規(guī)律型.分析：由題意可知，數(shù)列xn為1,2,3, 4, 5, 1, 2, 3, 4,5,1,2,3,4,5,；數(shù)列yn為 1, 1, 1, 1, 1, 2,2,2, 2, 2, 3, 3, 3, 3,3,4,4,4,4,4,由此入手能

31、夠得到第6棵樹(shù)種植點(diǎn)的坐標(biāo)和第 2009棵樹(shù)種植點(diǎn)的坐標(biāo).解答：解：.I曰_-)-J(_-)組成的數(shù)列為 0, 0, 0, 0, 1,0,0,0,0,1,550, 0, 0, 0, 1 ，k=2, 3, 4, 5,代入計(jì)算得數(shù)列 xn為 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 1 , 2, 3, 4, 5, _*即 xn 的重復(fù)規(guī)律是 x5n+1 = 1 , x5n+2=2 , x5n+3=3 , x5n+4=4 , x5n=5. n CN .數(shù)列yn為 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4,即

32、yn的重復(fù)規(guī)律是y5n+k=n, 05.由題意可知第6棵樹(shù)種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為 (1 , 2);第2009棵樹(shù)種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為(4, 402).點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意創(chuàng)新題的靈活運(yùn)用.14.(2008?天津)已知數(shù)列an中,5二L %十廠(nEM)考點(diǎn)專題分析數(shù)列的求和；極限及其運(yùn)算.計(jì)算題；壓軸題.首先由a.-五二(nEN+)求an可以猜想到用錯(cuò)位相加法把中間項(xiàng)消去，即可II 1 n 3 jqt j得到an的表達(dá)式，再求極限即可.解解：因?yàn)樽鳎?- I 1- 1 二1 _ n所以an是一個(gè)等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和，所以a :L,且q=2.代入， n _ q17所以 Hm a=l

33、+二刀.h n 1-1 53所以答案為工6點(diǎn) 此題主要考查數(shù)列的求和問(wèn)題，用到錯(cuò)位相加法的思想，需要注意. 評(píng)：15. (2006?天津)設(shè)函數(shù)f (k)二一L,點(diǎn)A0表示坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) An (n, f (n) (nCN*), x+1若向量,二A心;+區(qū)1&述；，缶是勾與i的夾角，(其中(L 0)，設(shè)Sn=tan 01+tan (2+ -+tan 0n,則 IE = = 1.得f 8考點(diǎn)：數(shù)列的極限.分析:專題：綜合題；壓軸題.設(shè)函數(shù)f (x)=二j點(diǎn)Ao表示坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) An (n, f (n) (nCN*),則能推導(dǎo)出 u41,由此能導(dǎo)出lim S . loo解答:解：設(shè)函數(shù)f (k)二一

34、R，點(diǎn)A0表示坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) An (n, f (n) (nCN ), x+1曰. T - . . . 1 . . 1 I .*右向里/哪%+A也+%_小乖H，缶是工與i的夾角，1tan 日工=一:(其中”(L 0)， n n n ln+1 J設(shè) Sn=tan 由+tan O2+- +tan 0n=-4-L +,-1 1-2 2-3 n (nH) n+1貝U lim S =1 .L oo點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的極限和運(yùn)算，解題時(shí)要注意三角函數(shù)的靈活運(yùn)用.16. (2005?上海)已知函數(shù) f (x) =2x+log2x,數(shù)列an的通項(xiàng)公式是 an=0.1n (n6N),當(dāng)|f (an) - 2005

35、|取得最小值時(shí)，n= 110 .考點(diǎn)：數(shù)列的函數(shù)特性；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.專題：壓軸題.分析：要使 |f (an) 2005| 取得最小值，可令 |f (an) - 2005|=0,即 2.1n+log20.1n=2005,對(duì) n值進(jìn)行粗略估算可得答案.解答：解：|f (an) - 2005|=|f (0. n) - 2005|=|201n+log20.1n- 2005|, (1)要使(1)式取得最小值，可令(1)式等于0,即|20.1n+|og20.1n- 2005|=0,16.1 n+log20.1n=2005,又 210=1024, 211=2048,則當(dāng) n=100 時(shí)，210=102

36、4, log2103, (1)式約等于 978,當(dāng) n=110 時(shí)，2114048, log211咫，(1)式約等于 40,當(dāng)n 110式(1)式的值會(huì)變大，所以n=110,故答案為：110.點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的函數(shù)特性、指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn) 題的能力.17. (2006?湖北)將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)Cnr都換成,就得到一個(gè)如下圖所Cn+1)%示的分?jǐn)?shù)三角形，成為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可看出二一-一，其中 x=r+1 ,令(n+l) C： (n+1)匚：nCi=h.。3 12 3Q 60 nC、i (n+l)n-8 31211考 數(shù)列的求和；極限及其運(yùn)算

37、.八、專 計(jì)算題；壓軸題；探究型.題：1an解分析.通過(guò)觀察可得（2+_!+!+_!+. 區(qū)4 5 6）答:12二（1 _ I）（1rHi） .匚?*（什1） （n- 1） -n n- 1n+11*11*111 1 , 11 x 12=n n_ 1 n n+1 n_ 1 n n n+1 n_ 1 n+1 n也嗇十卷十噎二十（什；）c：.I一 2、, 2、11 2、 z 1 111 L 1 L , 1 I 1=（1+ 亍 1） + （萬(wàn)如 亨 +（w+后Y）+（%寸后）+T（-2）+（0）=(1+-1+A+.2 3=(1+1+!+.+2 3+n -.1-)+(+_1+工+_!+.+!13 4 5

38、 6 n4n+1(-1+1+.仁)2 3 nn- 1)-(二+_1+，)+(_!+l+l+L+.L_ 2 3 n 3 4 5 6n+1(+=+ +工)=1 2 3二+一n n+1 21+2 n+1 n所以lim 4n8=1- 2答案: 點(diǎn) 本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答.評(píng):二.解答題(共13小題)18. (2008?安徽)設(shè)數(shù)列an滿足ai=a, an+i=can+1 - c, nCN*,其中a, c為實(shí)數(shù)，且 c4(I )求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(n )設(shè)手4，bn(1 一 3/，門(mén)E N*,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn；(出)若0V anV 1對(duì)任意n CN*成立，證明0

39、 v c司.考數(shù)列的求和；數(shù)列的函數(shù)特性.八、專壓軸題.題：分 (I )需要觀察題設(shè)條件進(jìn)行恒等變形，構(gòu)造an - 1=c (an-1 - 1)利用迭代法計(jì)算出數(shù)析：列的通項(xiàng)公式；(n)由(I)的結(jié)論求出數(shù)列的通項(xiàng)，觀察知應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和；(出)由(I )的結(jié)論知an= (a-1) cn 1+1.接合題設(shè)條件得出，(nE n) .然后再用反證法通過(guò)討論得出c的范圍.1 _ 十解 解：(I )由題設(shè)得：n或時(shí)，an1=c(an-1 1) =c2 (an 2- 1) = - =cn 1 (a1 1) = (a 答：-1)cn!所以 an= (a 1) cn 1+1 .當(dāng)n=1時(shí)，a1=a也滿足上

40、式.故所求白數(shù)列an的通項(xiàng)公式為：an= (a-1) cn 1+1.(n )由(I )得：bf Cl - f ?”.Sr二bi+b2Hb/扛2 (y) 2+3，+n聶二弓）4號(hào)）飛（1）十十口 （1）二.工C-）之十由3+ H） &十+（1） n-n山12汴 222222s/i$（曠+ （式+9）0) 51 - (1) nl-n 空)所以0二2 - (口十力6)n(出)證明：由(I )知 an= (a 1) cn 1+1. 若 0V (a1) cn+11,則 0V ( 1 a) c”1v 1. 因?yàn)?0ai=a1, ，0亡” l0對(duì)于任意nCN+成立，知c 0.卜面用反證法證明cW .假設(shè)c

41、1.由函數(shù)f （x） =cx的圖象知，當(dāng)n-+8時(shí)，c1 一+8,所以心口 10,數(shù)列an滿足 a1=b, an= （n或）%-1+n-1（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù) n, 2an4n+1+1.考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；數(shù)列與不等式的綜合.專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列.分析：（1）由題設(shè)形式可以看出，題設(shè)中給出了關(guān)于數(shù)列an的面的一個(gè)方程，即一個(gè)遞推關(guān)系，所以應(yīng)該對(duì)此遞推關(guān)系進(jìn)行變形整理以發(fā)現(xiàn)其中所蘊(yùn)含的規(guī)律，觀察發(fā)現(xiàn)若對(duì) 方程兩邊取倒數(shù)則可以得到一個(gè)類(lèi)似等差數(shù)列的形式，對(duì)其中參數(shù)進(jìn)行討論，分類(lèi)求 其通項(xiàng)即可.（2）由于本題中條件較少，解題思路不宜用綜合法直接分析出，故求解本題可

42、以采 取分析法的思路，由結(jié)論探究其成立的條件，再證明此條件成立，即可達(dá)到證明不等 式的目的.解答：君鵬門(mén)解：（1） . an = （n）,n十門(mén)一工(n當(dāng)b=1時(shí),=：1+% an(n，數(shù)列衛(wèi)是以-L為首項(xiàng)，以i為公差的等差數(shù)列, 力=1+ (n-1) M=n,即 an=1, 4當(dāng)b0,且bM時(shí)，衛(wèi)十二二工(3+工21) (n或)，、1 _ b b L _ b an- i即數(shù)列工上是以_L=1為首項(xiàng)，公比為三的等比數(shù)列,% 1 -b 1 -b b (1 -b)b.上= 3、Y)n-1=i，即a一:、1-b b (1-b) I b n (1 -b)1 - bn1 b=L數(shù)列an的通項(xiàng)公式是 V

43、n匕酊(1-b)且b#t Lb 斛 (2)證明：當(dāng)b=1時(shí)，不等式顯然成立當(dāng)b0,且bM時(shí)，an=_,要證對(duì)于一切正整數(shù) n, 2an巾n+1+1 ,只需l-bn證 2 延一0且，L+2d+ /=212 l+4d+ q =13解得所以d=2, q=2.Oi=1+ (n 1) d=2n - 1, bn=qn 1=2n 1 .%_如_ 1bn 2a 135 2n - 3 2n - 1S=1+-t+f +二+ 二721 22 2r 2 2nSn=3222n- 3 2n- 1r+, 2Vl 2rl-得法=1+2)+-2TL-222 _ 3n- 1S =2+2+-tH-7+,+-7口 2 222*一2 2rl-2 n-22n - 17r7言2+2 X 、一 2n+3=6-2nl點(diǎn)本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和用錯(cuò)位相減法求和. 評(píng)21.(2014秋？渝中區(qū)校級(jí)月考)已知數(shù)列an中，ai=1, a