高二數(shù)學(xué)下9.2　空間的平行直線與異面直線教案

1、課 題：92空間的平行直線與異面直線(一)教學(xué)目的：1.會(huì)判斷兩條直線的位置關(guān)系.2.理解公理四,并能運(yùn)用公理四證明線線平行.3.掌握等角定理,并能運(yùn)用它解決有關(guān)問題. 4.了解平移的概念，初步了解平幾中成立的結(jié)論哪些在立幾中成立 5. 掌握空間兩直線的位置關(guān)系，掌握異面直線的概念，會(huì)用反證法和異面直線的判定定理證明兩直線異面；6.掌握異面直線所成角的概念及異面直線垂直的概念，能求出一些較特殊的異面直線所成的角教學(xué)重點(diǎn)：公理4及等角定理的運(yùn)用異面直線所成的角.教學(xué)難點(diǎn)：公理4及等角定理的運(yùn)用異面直線所成的角.授課類型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 內(nèi)容分析：本節(jié)共有兩個(gè)

2、知識(shí)點(diǎn)，平行直線、異面直線以平行公理和平面基本性質(zhì)為基礎(chǔ)進(jìn)一步學(xué)習(xí)平行直線的性質(zhì)，把平行公理和平行線的傳遞性推廣到空間并引出平移概念，了解了平移的初步性質(zhì)在這一節(jié)還由直線平行的性質(zhì)學(xué)習(xí)異面直線及其夾角的概念 要求學(xué)生正確掌握空間平行直線性質(zhì)和異面直線及其夾角的概念，這樣就為學(xué)生學(xué)習(xí)向量和空間圖形的性質(zhì)打下了基礎(chǔ) 教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入： 把一張紙對折幾次，為什么它們的折痕平行？（答：把一張長方形的紙對折兩次，打開后得4個(gè)全等的矩形，每個(gè)矩形的豎邊是互相平行的，再應(yīng)用平行公理，可得知它們的折痕是互相平行的）你還能舉出生活中的相關(guān)應(yīng)用的例子嗎？二、講解新課：1 空間兩直線的位置關(guān)系（1）相交有且只

3、有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）平行在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；（3）異面不在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；2 平行直線（1）公理4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行推理模式：說明：（1）公理4表述的性質(zhì)叫做空間平行線的傳遞性；（2）幾何學(xué)中，通常用互相平行的直線表示空間里一個(gè)確定的方向；（3）如果空間圖形的所有點(diǎn)都沿同一個(gè)方向移動(dòng)相同的距離到的位置，則就說圖形 作了一次平移（2）空間四邊形：順次連結(jié)不共面的四點(diǎn)A,B,C,D所組成的四邊形叫空間四邊形，相對頂點(diǎn)的連線AC,BD叫空間四邊形的對角線（3）等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等分析：在平面內(nèi)，這個(gè)結(jié)論

4、我們已經(jīng)證明成立了在空間中，這個(gè)結(jié)論是否成立，還需通過證明要證明兩個(gè)角相等，常用的方法有：證明兩個(gè)三角形全等或相似，則對應(yīng)角相等；證明兩直線平行，則同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等；證明平行四邊形，則它的對角相等，等等根據(jù)題意，我們只能證明兩個(gè)三角形全等或相似，為此需要構(gòu)造兩個(gè)三角形，這也是本題證明的關(guān)鍵所在已知：和的邊，并且方向相同，求證：證明：在和的兩邊分別截取，是平行四邊形，同理，即是平行四邊形，所以，(4)等角定理的推論:如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩條直線所成的銳角(或直角)相等. 指出:等角定理及其推論,說明了空間角通過任意平行移動(dòng)具有保值性,因而成為異面直線所成角的基礎(chǔ).3

5、.空間兩條異面直線的畫法4異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線推理模式：與是異面直線證明 ：（反證法）假設(shè) 直線與共面，點(diǎn)和確定的平面為，直線與共面于，與矛盾，所以，與是異面直線5異面直線所成的角：已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)作直線，所成的角的大小與點(diǎn)的選擇無關(guān)，把所成的銳角（或直角）叫異面直線所成的角（或夾角）為了簡便，點(diǎn)通常取在異面直線的一條上異面直線所成的角的范圍：6異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直兩條異面直線 垂直，記作7求異面直線所成的角的方法：（1）通過平移，在一條直線上找一點(diǎn)，過該點(diǎn)做另一直線

6、的平行線；（2）找出與一條直線平行且與另一條相交的直線，那么這兩條相交直線所成的角即為所求三、講解范例：例1 已知四邊形ABCD是空間四邊形，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊CB、CD上的點(diǎn)，且，求證：四邊形EFGH是梯形分析：梯形就是一組對邊平行且不相等的四邊形考慮哪組對邊會(huì)平行呢？為什么？（平行公理）證明對邊不相等可以利用平行線分線段成比例證明：如圖，連接BDEH是ABD的中位線，EH/BD,EH=BD.又在BCD中，F(xiàn)G/BD,FG=BD.根據(jù)公理4，EH/FG又FGEH,四邊形EFGH的一組對邊平行但不相等例2 如圖，是平面外的一點(diǎn)分別是的重心，求證：證明：連結(jié)分別交于，連

7、結(jié)，分別是的重心，分別是的中點(diǎn)，又，由公理4知例3 如圖，已知不共面的直線相交于點(diǎn)，是直線上的兩點(diǎn)，分別是上的一點(diǎn)求證：和是異面直線證（法一）：假設(shè)和不是異面直線，則與在同一平面內(nèi)，設(shè)為，又，同理，共面于，與已知不共面相矛盾，所以，和是異面直線（法二）：，直線確定一平面設(shè)為，且，又不共面，所以，與為異面直線例4 正方體中那些棱所在的直線與直線是異面直線？求與夾角的度數(shù)那些棱所在的直線與直線垂直？解：（1）由異面直線的判定方法可知，與直線成異面直線的有直線，（2）由，可知等于異面直線與的夾角，所以異面直線與的夾角為（3）直線與直線都垂直例5 兩條異面直線 的公垂線指的是 ( )(A)和兩條異面直

8、線都垂直的直線(B)和兩條異面直線都垂直相交的直線(C)和兩條異面直線都垂直相交且夾在兩交點(diǎn)之間的線段(D)和兩條異面直線都垂直的所有直線翰林匯答案：B例6 在棱長為a的正方體中，與AD成異面直線且距離等于a的棱共有 ( ) (A)2條 (B)3條 (C)4條 (D)5條答案：BB1, CC1, A1B1, C1D1共四條故選C.例7若a、b是兩條異面直線，則下列命題中，正確的是 ( ) (A)與a、b都垂直的直線只有一條 (B)a與b的公垂線只有一條 (C)a與b的公垂線有無數(shù)條 (D)a與b的公垂線的長就是a、b兩異面直線的距離翰林匯答案：B例8已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a

9、，則棱A1B1所在直線與面對角線BC1所在直線間的距離是 ( ) （A） （B）a （C） （D）翰林匯答案：A四、課堂練習(xí)：課堂小練習(xí)1 判斷下列命題的真假，真的打“”，假的打“” （1）平行于同一直線的兩條直線平行 . （ ） （2）垂直于同一直線的兩條直線平行 . （ ） （3）過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行 . （ ） （4）與已知直線平行且距離等于定長的直線只有兩條. （ ） （5）若一個(gè)角的兩邊分別與另一個(gè)角的兩邊平行，那么這兩個(gè)角相等（ ） （6）若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等. （ ）（7）向量與，與是兩組方向相同的

10、共線向量，那么 （ ）答案：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）2選擇題 （1）“a，b是異面直線”是指 ab=且a不平行于b； a 平面a，b 平面b且ab= a 平面a，b 平面a 不存在平面a，能使a a且b a成立上述結(jié)論中，正確的是（ ） （A）（B）（C）（D）（2）長方體的一條對角線與長方體的棱所組成的異面直線有（ ） （A）2對（B）3對（C）6對（D）12對（3）兩條直線a,b分別和異面直線c,d都相交，則直線a，b的位置關(guān)系是（ ） （A）一定是異面直線（B）一定是相交直線 （C）可能是平行直線（D）可能是異面直線，也可能是相交直線（4）一條直線和兩條異面直線中的一條

11、平行,則它和另一條的位置關(guān)系是( ) （A）平行（B）相交（C）異面（D）相交或異面答案：（1）C（2）C（3）A（4）D3兩條直線互相垂直，它們一定相交嗎？ 答：不一定，還可能異面4.垂直于同一直線的兩條直線，有幾種位置關(guān)系？答：三種：相交，平行，異面5畫兩個(gè)相交平面，在這兩個(gè)平面內(nèi)各畫一條直線使它們成為（1）平行直線；（2）相交直線；（3）異面直線解：6選擇題 （1）分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線間的位置關(guān)系是（ ） （A）異面（B）平行（C）相交（D）以上都有可能 （2）異面直線a,b滿足aa,bb,ab=，則與a,b的位置關(guān)系一定是（ ） （A）至多與a，b中的一條相交（B）至少與a，b中

12、的一條相交 （C）與a，b都相交 （D）至少與a，b中的一條平行（3）兩異面直線所成的角的范圍是（） （A）（0,90）（B）0,90)（C）（0,90（D）0,90答案（1）D（2）B（3）：C7判斷下列命題的真假，真的打“”，假的打“” （1）兩條直線和第三條直線成等角，則這兩條直線平行 （ ） （2）和兩條異面直線都垂直的直線是這兩條異面直線的公垂線 （ ） （3）平行移動(dòng)兩條異面直線中的任一條，它們所成的角不變 （ ） （4）四邊相等且四個(gè)角也相等的四邊形是正方形 （ ）答案：，五、小結(jié) ：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩條直線的位置關(guān)系（平行、相交、異面），平行公理和等角定理及其推論異面直線的概念、判斷及異面直線夾角的概念；證明兩直線異面的一般方法是“反證法”或“判定定理”；求異面直線的夾角的一般步驟是：“作證算答” 六、課后作業(yè)：1如圖，有哪些直線和直線D1C是異面直線，它們所成的角分別是什么？并求出這些角的大小2如圖正方體中，E、F分別為D1C1和B1C1的中點(diǎn)，P、Q分別為A1C1與EF、AC與BD的交點(diǎn)，（1）求證：D、B、F、E四點(diǎn)共面；（2）若A1C與面DBFE交于點(diǎn)R，求證：P、Q、R三點(diǎn)共線提示：（1）證明四點(diǎn)共面，也就是證明什么？有什么公理或定理可用？（2）證明三點(diǎn)共線的方法是什么？想一想前面我們證明過沒有？關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生自己