線性代數(shù)-相似矩陣

1、第五章 相似矩陣及二次型 §1 向量的內積、長度、正交性一、向量空間的內積、長度和夾角1內積的定義： 內積的符號：括號或方括號2內積性質（1）對稱性 （2）（3）（4）正定性：，的充要條件是3向量的長度 的單位化向量：4向量長度的性質（1）非負性 （2）齊次性 （3）柯西不等式: （4）三角不等式: 證（3）5向量夾角定義設,是Rn的兩個非零向量，規(guī)定它們的夾角為 （0 ）6向量正交定義 若，則稱正交，即 =二、向量空間的單位正交基1正交向量組定義 一組非零的n維向量，如果他們兩兩正交，則稱之為正交向量組。2定理1 正交向量組線性無關P113例1 已知兩個向量a1=（1,1,1）與a

2、2=（1, -2, 1）正交, 求一個非零向量a3 , 使之這三個向量兩兩正交。解 設a3= (x1, x2, x3), 由正交的定義, a3應滿足 （a1,a3）= 0, （a2, a3）= 0即 x1 x2 x3 = 0, x12x2 x3=0 這是一個齊次線性方程組AX= 0,即，由，得，方程組的通解為，即取c = 1, 則a3=即為所求。3正交基、規(guī)范正交基（單位正交基）正交基由正交向量組構成的基稱為正交基。規(guī)范正交基（單位正交基）正交基中的向量是單位向量。4向量正交化施密特方法：將基改造為正交基（P114）例2 用施密特方法把基正交化（P114）例3 已知 ，求一組非零向量，使兩兩正

3、交。解 應滿足，即解這個齊次線性方程組得，通解為，即，基礎解系為，把基礎解系正交化，于是得三、正交矩陣1定義4 若A是一個n階實矩陣，且滿足，稱A 是正交矩陣。 因為 所以 A是正交矩陣 （充分必要） 2正交矩陣的構造定理 n階正交矩陣列(行)向量組是Rn的單位正交基。證 （略）堂上練習 下列矩陣是不是正交矩陣 ，3正交矩陣的性質P116(1)若A為正交矩陣，則為正交矩陣(2)若A，B為同階正交矩陣，則AB也為正交矩陣(3)若A為正交矩陣，則det(A)=1或det(A)=14正交變換的保形性（略）定義5 若P為正交矩陣，則線性變換Y= PX稱為正交變換正交變換保持向量的內積、長度、夾角P-正

4、交矩陣（PX, PX）= (X, X)| PX | = | X |5. 矩陣的QR分解 （略） 定理5.8 設A是滿秩n階矩陣，則存在n階正交矩陣Q和上三角矩陣R，使得A=QR證明： （略）§2 方陣的特征值與特征向量1. 定義6 (P117) 2. 特征矩陣、特征多項式、特征方程3. 求特征值和特征向量的步驟例 （類似P118 例6）13作業(yè) P134 1, 2(1), 3，4，5，例 8 設是方陣A的特征值，證明（1）是的特征值；（2）當A可逆時，是的特征值證 （1）因為是方陣A的特征值，設p是對應的特征向量，故有 ， 所以是的特征值。 （2）當A可逆時，存在，由，得，因為，所以

5、有，即是的特征值。3特征向量的性質 例9 設三階矩陣A的特征值為1，-1，2，求 A*+3A- 2E的特征值。 解 因為A的特征值不為0，所以A可逆，由 ，得，而，所以 A*+3A- 2E= 從而得的特征值為。 （即P120的定理2） §3 相似矩陣1 定義7 （P121）2 性質 （即定理3 P121）推論 若n 階矩陣A與對角矩陣 相似，則是A的n個特征值。3 矩陣可對角化的條件 定理4 推論4 例11 （P123） 設 ，問x 為何值時，矩陣A可以對角化？ 解 （先求A的特征值，如果A有三個不相等的特征值，那么可以對角化；如果有重根，根據(jù)矩陣A可對角化的充分必要條件：“重根對應

6、相同重數(shù)的特征向量要線性無關”來判斷） 若，那么（第二章 P45例13）§4 對稱矩陣的對角化1 定理 定理5實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)定理6 設是對稱矩陣A的兩個特征值，是對應的特征向量，若，則與正交。 定理7 設A為實對稱矩陣，則存在正交矩陣P，使得為對角矩陣，即 , 是A的特征值。3例已知實對稱矩陣 求正交矩陣Q, 使為對角矩陣。方法步驟：（1） 求A的特征值（2） 求特征值對應的特征向量（3） 把特征向量正交化、單位化，形成單位正交基，即可寫出所求的正交矩陣。解 驗證上述結果。例13 設，求。解 因A是對稱矩陣，所以可對角化，即有可逆矩陣P使，于是，從而。（下面求A的特征值及

7、特征向量，由特征向量組成P）由，得A的特征值。 對應，由，得特征向量；對應，由，得特征向量；并有，在求出，所以。14作業(yè) P135 9, 12, 15, 17，19（1）§5 二次型及其標準形1 定義 二次型的矩陣記號 其中，即A是對稱矩陣。 對稱矩陣A與二次型f存在一一對應的關系：對稱矩陣A稱為二次型f的矩陣， f稱為矩陣A的二次型， A的秩為f的秩。 例2 二次型的標準型（只含平方項） 3. 把二次型化為標準形定理8 任給二次型，總有正交變換使f化為標準形 ，其中是f的矩陣的特征值。例14 §6 用配方法把二次型化為標準形§7 正定二次型15作業(yè)P135 19(1), 26作業(yè)主要問題一 行列式 范德蒙行列式 余子式，代數(shù)余子式 P21 例13行列式性質 P27 8(2)二 矩陣 矩陣乘法，矩陣方程 P55 11(2)(4) 求逆陣：初等變換方法(P64 例2)，伴隨矩陣方法 證明逆陣存在并求逆陣 P56 21 方陣的行列式 三 初等變換 方程組解的討論 通解 求秩 行最簡形 P78 1(4) 方程組解的討論四