根與系數關系知識講解及練習

1、韋達定理：對于一元二次方程ax2 +bx+c = 0(a式0)，如果方程有兩個實數根x1,x2，貝U說明：(1)定理成立的條件.：_0b(2)注意公式重 為冷二-一的負號與b的符號的區(qū)別a根系關系的幾大用處 驗根：不解方程，利用根與系數的關系可以檢驗兩個數是不是一元二次 方程的兩根；？例如：已知方程x2-5x+6 = 0，下列是它兩根的是()A .3，-2 B. -2, 3 C. -2，-3 D. 3, 2 求代數式的值：在不解方程的情況下，可利用根與系數的關系求關于xi和X2的代數式的值，如；？ 求作新方程：已知方程的兩個根，可利用根與系數的關系求出一元二次 方程的一般式.? 求根及未知數系

2、數：已知方程的一個根，可利用根與系數的關系求出另 一個數及未知數系數.(后三種為主)(1 )計算代數式的值例 若x1,x2是方程x2 2x -2007 = 0的兩個根，試求下列各式的值：2 2 1 1(1) x1x2 ；(2)；(3)(為 7)(X2 5); |為72丨.x1 x2解：由題意，根據根與系數的關系得：x1 x22,X1X220072 2 2 2(1) x1x2 (x1 x2) 2x2 = (-2) 2(2007)=4018丄丄=X2X|x2X| x2-2 _ 2-2007 一 2007(捲 _5)(x2 -5) =xx2 -5(x1 x2) 25 - -2007 -5(-2) 2

3、5 - -1972(4) | & 冷 |= J(xi X2)2 = J(Xi +X2)2 4x1X2 = J(-2)2 _4(_2007) = 2J2008說明：利用根與系數的關系求值，要熟練掌握以下等式變形:2 2 2x1x2(x1 x2) -2x1x211x1x2 T=x1x2x1 x222(X1 -X2) =(X1 X2) -4x1X2，|X1-X2h,'(X1X2)2-4X1X2，X1X22X12X2 =X1X2(X1X2)，X13 - X23 =(X1 - X2)3 -3X1X2 (X1 X2)等等.韋達定理體現了整體思想.(2)構造新方程理論：以兩個數上：二為根的一

4、元二次方程是="-51: -例解方程組x+y=5? xy=6?解：顯然，x, y是方程z -5z+6 = 0 的兩根由方程解得z 1=2,z 2=3原方程組的解為 x 1=2,y 1=3? x 2=3,y 2=2顯然，此法比代入法要簡單得多。(3 )定性判斷字母系數的取值范圍例一個三角形的兩邊長是方程m fj的兩根，第三邊長為 2，求k的取值范圍。解：設此三角形的三邊長分別為a、b、c,且a、b為- -的兩根，貝U c=2由題意知2 = k-4 X 2X 2> 0, k> 4 或 k<-4匸為所求?！镜湫屠}】1例1已知關于x的方程x2 -(k 1)x k2 T =

5、 0 ,根據下列條件，分別求出k的值.4(1)方程兩實根的積為5; (2)方程的兩實根x1, x2滿足| x1 |= x2.分析：(1)由韋達定理即可求之；(2)有兩種可能，一是x x2 0 ,二是-捲=x2 , 所以要分類討論.解：(1) T方程兩實根的積為 52 1 23= k .： ： 一，k -42:二(k 1) -4( k 1) _01 41 2論 x2 = k 1=54所以，當k =4時，方程兩實根的積為 5.(2)由 |X1 = X2 得知：3 當x - 0時，為=x2，所以方程有兩相等實數根，故厶=0= k =2 當 x : 0 時，一 X"i = x2 = Xr x

6、2 = 0= k 1=0= k = -1，由于3心“>0二k 滬，故k = -1不合題意，舍去.23綜上可得，k 時，方程的兩實根 洛卞2滿足|人|= X2.2說明：根據一元二次方程兩實根滿足的條件，求待定字母的值，務必要注意方程有兩實根的條件，即所求的字母應滿足0二 2例2已知x, ,x2是一元二次方程4kx - 4kx k 0的兩個實數根.3(1)是否存在實數k ,使(2為-x2)(x1 Exj成立？若存在，求出k的值;2若不存在，請您說明理由. 求使 壘生-2的值為整數的實數k的整數值. x2 x13解： 假設存在實數k，使（2% - 乂2）（% -2x2） 成立.元二次方程4kx

7、2 - 4kx k 1 = 0的兩個實數根4k =0(_4k)2 -4 4k(k 1) = -16k _0= k °，又x1 , x2是一元二次方程4kx2 -4kx k T = 0的兩個實數根x1x2 = 1k +14kx1x2 =2 2 2 (2x- - x2)(x 2x2 2(x1x2 ) - 5x1x 2(x-| x2) - 9x1x24k3925,但k ： 0.3不存在實數k，使（2為-2）（人- 2x2）成立.2 2 2 X1 +X2 _2 *+x2 _2 (X1+X2)_4 一 4k 4 4k+1k + 1X2XiX1X2X1X2要使其值是整數，只需k 1能被4整除，故

8、k1,-2,_4，注意到k 0,要使X1 X2 -2的值為整數的實數k的整數值為-2,-3,-5 .X2 X-i說明：（1）存在性問題的題型，通常是先假設存在，然后推導其值，若能求出，則說明存在，否則即不存在.4（2）本題綜合性較強，要學會對為整數的分析方法.k 1一元二次方程根與系數的關系練習題A 組1.一元二次方程（1 -k）x2 -2x-1 =0有兩個不相等的實數根，則 k的取值范圍是（）A. k 2B. k : 2,且k = 1C. k 2D. k 2,且k = 12112若x1,x2是方程2x2 -6x 3 =0的兩個根，則 一一的值為（）A. 2B. -2C.3已知菱形ABCD的邊

9、長為5,兩條對角線交于 0點，且OA、OB的長分別是關于x的方程x2 (2m -1)x m20的根，則m等于()A. -3B. 5C. 5或- 3D . -5或34. 若t是一元二次方程ax2 bx c = 0 ( a = 0)的根，則判別式 二二b24ac和完全平 方式M =(2at - b)2的關系是()A.莊-MB.厶 MC. ： MD .大小關系不能確疋5. 若實數a = b，且a,b滿足a2 -8a 5 =0,b2 -8b *5=0，則代數式匕一1 - *一的a-1 b-1值為()A. -20B. 2C. 2或-20D . 2或206 .如果方程(b-c)f (c- a) x ( a

10、-b)=啲兩根相等，則a, b, c之間的關系是7. 已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰是方程2x2 -8x 7 = 0的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長是 .8. 若方程2x2 (k+1)x + k+3 = 0的兩根之差為1,貝V k的值是 .9 .設xi, x2是方程x2 p q的兩實根，x-i 1,x2 1是關于x的方程x2 + q x+ p 的兩實根，則 p = , q =10.已知實數 a,b, c滿足 a = 6 b,c2 = ab - 9，貝V a = , b = , c = 11.對于二次三項式x2 -10x 36，小明得出如下結論：無論 x取什么實數，其值都不可能等于10.

11、您是否同意他的看法？請您說明理由.1rm12.若n 0，關于x的方程x2-(m-2n)xmn = 0有兩個相等的的正實數根， 求一4n的值.13. 已知關于x的一元二次方程 x2 (4 m T)x 2m -1 = 0 .(1) 求證：不論為任何實數，方程總有兩個不相等的實數根；111(2) 若方程的兩根為X1,X2，且滿足，求m的值.x,x22114. 已知關于x的方程x2 -(k 1)x k20的兩根是一個矩形兩邊的長.(1) k取何值時，方程存在兩個正實數根？(2) 當矩形的對角線長是-.5時，求k的值.B 組1 已知關于x的方程(k-1)x2 (2k-3)x k T = 0有兩個不相等的實數根 x1, x?.(1) 求k的取值范圍；(2) 是否存在實數k，使方程的兩實根互為相反數？如