連續(xù)同假設(shè)的否定五

1、連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的否定五（A）（簡(jiǎn)稱否定五（A）一、摘要：本文用否定連續(xù)統(tǒng)假設(shè)某一個(gè)等價(jià)命題的方法來(lái)否定連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。二、關(guān)鍵詞：（一）單值函數(shù)；（二）函數(shù)序列；（三）可數(shù)集；（四）不可數(shù)集；（五）定義域；（六）值域；（七）無(wú)窮間斷點(diǎn)；（八）映射；（九）連續(xù)；（十）有界。三、連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的等價(jià)命題3（簡(jiǎn)稱命題3）一存在著實(shí)變數(shù)的單值函數(shù)序列fn(x)（n為任意自然數(shù)），使得對(duì)任意不可數(shù)的實(shí)數(shù)集合E，序列中除了有限個(gè)函數(shù)外，所有的函數(shù)都映射E為全體實(shí)數(shù)集合。下面我們證明命題3不成立。四、證明過(guò)程引理一、設(shè)E為某一個(gè)有界不可數(shù)集，E1為E中所有凝聚點(diǎn)的集合，在E1上任意定義一個(gè)單值函數(shù)f(x),f(x)的值

2、域E2為（-，+）的必要條件一：f(x)在E1上存在兩個(gè)異號(hào)無(wú)窮間斷點(diǎn)。證：如果此結(jié)論不成立,必有以下四種可能：（一）f(x)在E1上連續(xù)由于E1為有界閉集二，f(x)既在E1上連續(xù)，則f(x)在E1上有界，即存在一個(gè)正數(shù)M，滿足|f(x)|M，這就和f(x)的值域E2為（-，+）的假設(shè)矛盾，故此種可能性不存在。（二）f(x)在E1上只有一個(gè)無(wú)窮間斷點(diǎn)（包括有兩個(gè)同號(hào)無(wú)窮間斷點(diǎn)的函數(shù)在內(nèi)）在此情況下，f(x)的值域E2必為（a，+）或（-，b）（a、b為有限實(shí)數(shù)），這仍與f(x)的值域E2為（-，+）的假設(shè)矛盾，所以這種可能性也不存在。（三）f(x)在E1上存在跳躍間斷點(diǎn)。（四）f(x)在E1

3、上存在可去間斷點(diǎn)。出現(xiàn)以上兩種情況時(shí)，都不能使f(x)的值域E2為（-，+），故只有一種可能，即f(x)在其定義域E1上存在兩個(gè)異號(hào)無(wú)窮間斷點(diǎn)。引理二、單值函數(shù)f(x)的值域E2為（-，+）的必要條件二：f(x)的定義域E1為不可數(shù)集。證：若f(x)的定義域E1不為不可數(shù)集，則E1為至多可數(shù)集（一），因f(x)為單值函數(shù)，對(duì)于f(x)定義域E1上任一點(diǎn)x，在f(x)的值域E2內(nèi)只有一點(diǎn)f(x)和其對(duì)應(yīng)，因f(x)的定義域E1為至多可數(shù)集，故在f(x)的值域E2內(nèi)，也只有至多可數(shù)個(gè)值和其對(duì)應(yīng)，這就和f(x)的值域E2為（-，+）的假設(shè)矛盾，此矛盾說(shuō)明f(x)的定義域E1必為不可數(shù)集。定理一、設(shè)E

4、為某一個(gè)有界不可數(shù)集，E1為E中所有凝聚點(diǎn)的集合， fn(x)（n為任意自然數(shù)）為任意可數(shù)個(gè)單值函數(shù)序列，則至少存在一個(gè)有界不可數(shù)集E1或E10（E10E1E），使序列中的所有單值函數(shù)都不能把E1（或E10）映射到（-，+）中去（此種序列有無(wú)限個(gè)）。證：證明分以下四部分：（一）假設(shè)序列fn(x)（n為任意自然數(shù)）中所有的單值函數(shù)都在E1上連續(xù)，根據(jù)引理一（一），這些單值函數(shù)都在E1上有界，即存在一個(gè)正數(shù)M，滿足|fn(x)|M，當(dāng)M充分大時(shí)，此不等式就對(duì)序列中所有的函數(shù)在E1上一致成立，也就是說(shuō)，序列中所有的單值函數(shù)都不能把E1映射到（-，+）中去。（二）假設(shè)序列中所有的單值函數(shù)在E1上都有間

5、斷點(diǎn)，或?yàn)橛邢迋€(gè)，或?yàn)榭蓴?shù)個(gè)，但其中沒(méi)有無(wú)窮間斷點(diǎn)，因此序列中所有的單值函數(shù)都是E1上的有界函數(shù)，故存在一個(gè)正數(shù)M，滿足|fn(x)|M，則說(shuō)明序列中至少有一個(gè)單值函數(shù)fn1(x)在E1上存在無(wú)窮間斷點(diǎn)，和假設(shè)矛盾），即序列中所有的函數(shù)都不能把E1映射到（-，+）中去。（三）假設(shè)序列中所有的單值函數(shù)在E1上的間斷點(diǎn)都是無(wú)窮間斷點(diǎn)，下面分三種情況探討：（a）假設(shè)序列中所有的單值函數(shù)在E1上都有兩個(gè)異號(hào)無(wú)窮間斷點(diǎn)，而且都是邊界點(diǎn)，此時(shí)劃分E1為三等分，設(shè)不含間斷點(diǎn)的那一等分為E10，于是序列中所有的單值函數(shù)在E10上都沒(méi)有間斷點(diǎn)，也就是說(shuō)，序列中所有的單值函數(shù)都在E10上連續(xù)，根據(jù)（一），序列中所

6、有的函數(shù)都不能把E10映射到（-，+）中去（f(x)=tgx+c屬于此種情況）。（b）假設(shè)序列中所有的單值函數(shù)在E1上都有兩個(gè)同號(hào)無(wú)窮間斷點(diǎn)（或只有一個(gè)無(wú)窮間斷點(diǎn)），根據(jù)引理一（二），此時(shí)這些函數(shù)的值域E2必為（a，+）或（-，b）（a、b為有限實(shí)數(shù)），也就是說(shuō)，序列中所有的單值函數(shù)都不把E1映射到（-，+）中去（f(x)= |tgx|+c屬于此種情況，c為任意有理數(shù)）。（c）假設(shè)序列中所有的單值函數(shù)在E1上都有有限個(gè)或可數(shù)個(gè)無(wú)窮間斷點(diǎn)，這樣的函數(shù)平時(shí)很難遇到，很可能這樣的函數(shù)根本不存在，因此對(duì)這種情況，本文不作探討。（四）、如序列中所有的單值函數(shù)情況不一，兼有以上兩種或三種性質(zhì)，也能得同樣結(jié)

7、論。根據(jù)以上所述，可以看出，序列中所有的單值函數(shù)在各種不同 情況下，得到一個(gè)共同的規(guī)律：即至少存在一個(gè)有界不可數(shù)集E1或E10（根據(jù)連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的否定（一）（簡(jiǎn)稱否定（一）中的引理二，任何不可數(shù)集中的凝聚點(diǎn)集也是不可數(shù)集E1全由凝聚點(diǎn)組成，故E1為不可數(shù)集，E10為E1的有界子集，且全由凝聚點(diǎn)組成，根據(jù)否定（一）的引理三，E10也是不可數(shù)集），使得序列fn(x)（n為任意自然數(shù)）中所有的單值函數(shù)，都不能將E1或E10（E10E1）映射到（-，+）中去，于是命題3被徹底否定（此種序列共有無(wú)限個(gè)）。五、連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的否定否定了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的推論，或者否定了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的等價(jià)命題，就等于否定了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，到

8、目前為止，筆者一共否定了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的兩個(gè)等價(jià)命題，三個(gè)推論，否定連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的工作已基本完成。注解（一）：我們這里假設(shè)a（可數(shù)集的勢(shì)）和c（不可數(shù)集的勢(shì)）之間沒(méi)有中間勢(shì)，即假設(shè)連續(xù)統(tǒng)假設(shè)成立，命題3是在連續(xù)統(tǒng)假設(shè)成立的假設(shè)下推導(dǎo)出來(lái)的，現(xiàn)在根據(jù)同樣的假設(shè)又證出命題3不成立，這就發(fā)生矛盾，此矛盾說(shuō)連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不成立。參考文獻(xiàn)（一）：連續(xù)統(tǒng)假設(shè) （張錦文 王雪生）合著出版地點(diǎn)：沈陽(yáng)遼寧教育出版社出版時(shí)間：1989年4月參考文獻(xiàn)（三）：實(shí)變函數(shù)論 徐森林著出版地點(diǎn)：合肥中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社出版時(shí)間：2002年2月作者：陳守仁 河北大學(xué)數(shù)學(xué)系本科 六O屆畢業(yè)生退休前擔(dān)任天津市家電五廠職工業(yè)校 數(shù)學(xué)教師連

9、續(xù)統(tǒng)假設(shè)的否定五（B）（簡(jiǎn)稱否定五（B）一、前言：在否定五（A）一文中，已對(duì)序列fn(x)（n為任意自然數(shù)）中所有的單值函數(shù)作了初步探討，在各種不同的情況下，得到一個(gè)共同的規(guī)律：即至少存在一個(gè)有界不可數(shù)集E1或E10（E10E1），使序列中所有的函數(shù)都不能把E1或E10映射到（-，+）中去，本文是否定五（A）的繼續(xù)，本文通過(guò)一個(gè)實(shí)例，把對(duì)一般單值函數(shù)的研討結(jié)論用在一個(gè)特殊函數(shù)上去。二、摘要：本文通過(guò)對(duì)正切函數(shù)序列f(x)= tg(x)( 為任意非零有理數(shù)，x為角度，用弧度表示)的初步探討，把否定五（A）中的部分結(jié)論用在正切函數(shù)序列上去。三、關(guān)鍵詞：（1）正切函數(shù)序列 （2）定義域 （3）值域

10、（4）映射 （5）周期函數(shù)四、對(duì)正切函數(shù)序列f(x)=tg(x) (為任意非零有理數(shù)，x為角度，用弧度表示)的初步探討。當(dāng)0時(shí)，函數(shù)圖象在第一和第三象限，當(dāng)1時(shí)，圖象較瘦，0時(shí)）、或?yàn)椋?，0）（當(dāng)0時(shí)），因此我們得一個(gè)結(jié)論：即在（-/2，/2）中，至少存在一個(gè)不可數(shù)子集（0，/2）（因（0，/2）（-/2，/2），使序列f(x)= tg(x) （為任意非零有理數(shù)）中所有的函數(shù)，都不能把（0，/2）映射到（-，+）中去。本文的定理二和否定五（A）中的定理一很類(lèi)似，那是因?yàn)榉穸ㄎ澹ˋ）中的定理一是對(duì)一般單值函數(shù)來(lái)說(shuō)的，正切函數(shù)序列中的函數(shù)都是單值函數(shù)，因此在相同的條件下，對(duì)一般單值函數(shù)能成立的定

11、理，對(duì)正切函數(shù)序列中的函數(shù)也能成立。正切函數(shù)序列f(x)=tg(x)是周期函數(shù)，周期為/（為任意非零有理數(shù)），當(dāng)x=n/（n為任意非零整數(shù)）時(shí)，所對(duì)應(yīng)的正切函數(shù)為f(x)=tg(x+ n/)，（n/，0）為f(x)=tg(x+ n/)的對(duì)稱中心，f(x)=tg(x)的對(duì)稱中心在原點(diǎn)），f(x)=tg(x+ n/)和f(x)=tg(x)的性質(zhì)完全一樣，只是所處的位置不同，對(duì)此本文不再詳述。注解（一）：充要條件中的x=/2可改寫(xiě)成x=/2，這里的x為（-/2，/2）中右端點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即右端點(diǎn)橫坐標(biāo)和的乘積必須等于/2，只有符合此條件的函數(shù)，才能把（-/2，/2）映射到（-，+）中去，例一中的那兩個(gè)函數(shù)都符合此條件。作者：陳