GPS坐標時間序列論文文獻綜述

1、文獻綜述摘要：通過對數(shù)據(jù)一系列處理，運用三階自回歸AR（3）模型擬合gps坐標時間序列，由于gps坐標時間序列數(shù)據(jù)之間的相關關系，且歷史數(shù)據(jù)對未來的發(fā)展有一定影響，并對未來的電力增長進行預測。理論準備：拿到一個觀測值序列之后，首先要判斷它的平穩(wěn)性，通過平穩(wěn)性檢驗，序列可分為平穩(wěn)序列和非平穩(wěn)序列兩大類。如果序列值彼此之間沒有任何向關性，那就意味著該序列是一個沒有任何記憶的序列，過去的行為對將來的發(fā)展沒有絲毫影響，這種序列我們稱之為純隨機序列，從統(tǒng)計分析的角度而言，純隨機序列式?jīng)]有任何分析價值的序列。如果序列平穩(wěn)，通過數(shù)據(jù)計算進行模型擬合，并利用過去行為對將來的發(fā)展預測，這是我們所期望得到的結果。

2、可采用下面的流程操作。關鍵字：gps坐標時間序列 時間序列分析 數(shù)據(jù) 預測1、 前言GPS坐標時間序列分析原來是“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”領域當中的一個重要分支，其中有國際著名的學術雜志“時間序列分析”。由于在過去的二十幾年當中，時間序列分析方法在經(jīng)濟學的定量分析當中獲得了空前的成功應用，因此所出現(xiàn)的“時間序列計量經(jīng)濟學”已經(jīng)成為了“實證宏觀經(jīng)濟學”的同意語或者代名詞。由此可見，作為宏觀經(jīng)濟研究，甚至已經(jīng)涉及到微觀經(jīng)濟分析，時間序列分析方法是十分重要的。時間序列分析方法之所以在經(jīng)濟學的實證研究中如此重要，其主要原因是經(jīng)濟數(shù)據(jù)大多具有時間屬性，都可以按照時間順序構成時間序列，而時間序列分析正是分析這些

3、時間序列數(shù)據(jù)動態(tài)屬性和動態(tài)相關性的有力工具。從一些典型的研究案例中可以看出，時間序列分析方法在揭示經(jīng)濟變量及其相關性方法取得了重要進展。目前關于時間序列分析的教科書和專著很多。僅就時間序列本身而言的理論性論著也很多，例如本課程主要參考的Hamilton的“時間序列分析”，以及Box和Jankins的經(jīng)典性論著“時間序列分析”；近年來出現(xiàn)了兩本專門針對經(jīng)濟學和金融學所編寫的時間序列專著，這也是本課程主要參考的教材。另外需要注意的是，隨著平穩(wěn)性時間序列方法的成熟和解決問題所受到的局限性的暴露，目前研究非平穩(wěn)時間序列的論著也正在出現(xiàn)，其中帶有結構性特征的非平穩(wěn)時間序列分析方法更是受到了廣泛重視。二、

4、本實驗采用2000-012004-11月gps坐標時間序列數(shù)據(jù)做時間序列分析模型，數(shù)據(jù)如下：2000.15.4%2001.98.8%2003.513.4%2000.215.3%2001.108.5%2003.613.1%2000.37.1%2001.117.4%2003.715.2%2000.46.9%2001.129.6%2003.815.5%2000.512.8%2002.115.4%2003.915.5%2000.612.5%2002.2-3.2%2003.1014.8%2000.713.5%2002.36.2%2003.1115.6%2000.810.6%2002.410.6%2003

5、.1213.4%2000.97.0%2002.58.5%2004.15.9%2000.109.3%2002.613.4%2004.224.7%2000.119.4%2002.711.4%2004.315.4%2000.128.5%2002.813.7%2004.416.2%2001.10.1%2002.918.6%2004.516.6%2001.212.8%2002.1016.1%2004.614.3%2001.39.8%2002.1117.1%2004.711.7%2001.47.7%2002.1214.6%2004.812.1%2001.57.7%2003.110.7%2004.911.8

6、%2001.68.4%2003.223.2%2004.1015.8%2001.710.2%2003.316.2%2004.1114.4%2001.86.3%2003.414.1%首先對數(shù)據(jù)進行平穩(wěn)性與純隨機性的檢驗與判別（一） 平穩(wěn)性的檢驗我們先采用圖示法，時序圖如下：由圖所示，該序列有很大的波動，周期性不明顯。更重要的是該序列的上升或下降趨勢并不明顯，基本可以確認該序列是平穩(wěn)的，但直觀感受不能認定它就是平穩(wěn)的，需進一步做檢驗。樣本自相關圖如下:根據(jù)序列自相關圖可以看出：該序列具有短期相關性，就是隨著延期數(shù)的增加，平穩(wěn)序列的自相關系數(shù)很快地接近于零，自相關圖大部分都在2倍的標準差范圍內。所以確

7、認該序列就是平穩(wěn)序列。下面進行純隨機性檢驗：由自相關圖可以知道，該序列延遲16期的自相關系是0.285 0.318 0.418 0.288 0.346 0.282 0.212 0.276 0.211 0.185 0.102 0.087 0.164 0.137 0.063 0.019 延遲期的Q 統(tǒng)計值和對應得P值如圖：由于Q統(tǒng)計值都很大，而對應的P值都小a，所以拒絕該序列是白噪聲的假設，故該序列是非純隨機序列。三、對模型的識別，我們做出自相關和偏子相關圖。由于該序列的自相關系數(shù)大部分落入2倍標準差范圍內，而且自相關系數(shù)衰減為零的速度很慢，所以表現(xiàn)出拖尾性，而偏自相關系數(shù)的三階在二倍標準差范圍外

8、，其他衰減為零的速度很快，所以表現(xiàn)出三階截尾性，所以可斷定該模型是AR(3)模型，即三階自回歸模型。一、 我們采用最小二乘法進行參數(shù)估計：從圖中我們可以得出模型為： 二、 對模型進行檢驗（一）參數(shù)的顯著性檢驗，如圖由于以上參數(shù)的t值顯著大于2，p值小于0.05，所以拒絕參數(shù)不顯著的假設，即認為這些參數(shù)是顯著的。（二） 模型的顯著性檢驗主要對殘差的白噪聲檢驗，如圖：由殘差序列的自相關與偏自相關的延遲階數(shù)k下的Q統(tǒng)計值的p值都顯著大于0.05，可認為該擬合模型的殘差序列屬于白噪聲序列，即該擬合模型顯著有效。四、模型優(yōu)化模型優(yōu)化主要有兩個準則AIC和SBC準則我們主要采用施瓦茲準則，分別對AR（1）

9、、AR（2）、AR（3）進行檢驗，結果依次如下：圖表 1AR（1）圖表 2AR（2）圖表 3AR（3）通過比較可知：各模型中的 Schwarz criterion(施瓦茲準則)值在ar(3)模型中最小，所以ar(3)模型是相對優(yōu)化模型。六、預測序列未來走勢根據(jù)模型對未來五年做以下預測，如圖：預測模型12 月 20041 月 20052 月 20053 月 20054 月 2005V2-模型_1預測.1344.0941.1647.1285.1301UCL.2121.1734.2455.2108.2138LCL.0567.0149.0840.0463.0464對于每個模型，預測都在請求的

10、預測時間段范圍內的最后一個非缺失值之后開始，在所有預測值的非缺失值都可用的最后一個時間段或請求預測時間段的結束日期（以較早者為準）結束。同時做出未來五年預測值的置信區(qū)間：故預測未來五年電廠電力增長率分別為：0.1344、0.0941、0.1647、0.1285、0.1301，從數(shù)據(jù)中我們可以發(fā)現(xiàn)增長狀況相對來講波動不算太大，基本趨于穩(wěn)定。5、 gps坐標時間序列具體計算一元ARMA模型是描述時間序列動態(tài)性質的基本模型。通過介紹ARMA模型，可以了解一些重要的gps坐標時間序列的基本概念。1 預期、平穩(wěn)性和遍歷性1.1 預期和隨機過程假設可以觀察到一個樣本容量為的隨機變量的樣本：這意味著這些隨機

11、變量之間的是相互獨立且同分布的。例3.1 假設個隨機變量的集合為：，且相互獨立，我們稱其為高斯白噪聲過程產(chǎn)生的樣本。對于一個隨機變量而言，它是t時刻的隨機變量，因此即使在t時刻實驗，它也可以具有不同的取值，假設進行多次試驗，其方式可能是進行多次整個時間序列的試驗，獲得I個時間序列：，將其中僅僅是t時刻的觀測值抽取出來，得到序列：，這個序列便是對隨機變量在t時刻的I次觀測值，也是一種簡單隨機子樣。定義3.1 假設隨機變量是定義在相同概率空間上的隨機變量，則稱隨機變量集合為隨機過程。例3.2 假設隨機變量的概率密度函數(shù)為：此時稱此時密度為該過程的無條件密度，此過程也稱為高斯過程或者正態(tài)過程。定義3

12、.2 可以利用各階矩描述隨機過程的數(shù)值特征：(1) 隨機變量的數(shù)學期望定義為(假設積分收斂)：此時它是隨機樣本的概率極限：(2) 隨機變量的方差定義為(假設積分收斂):例3.3 (1) 假設是一個高斯白噪聲過程，隨機過程為常數(shù)加上高斯白噪聲過程：，則它的均值和方差分別為：(2) 隨機過程為時間的線性趨勢加上高斯白噪聲過程：，則它的均值和方差分別為：1.2 隨機過程的自協(xié)方差將j個時間間隔的隨機變量構成一個隨機向量，通過隨機試驗可以獲得該隨機向量的簡單隨機樣本。假設函數(shù)為隨機向量的聯(lián)合概率分布密度，則可以類似地定義：定義3.3 隨機過程的自協(xié)方差定義為：上述協(xié)方差可以利用聯(lián)合概率分布密度求解。1

13、.3 平穩(wěn)性定義：假設隨機過程的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)與時間無關，則稱此過程是協(xié)方差平穩(wěn)過程，也稱為弱平穩(wěn)過程。此時對任意時間有：例3.4 (1) 假設隨機過程為常數(shù)加上高斯白噪聲過程：，則它的均值和方差與時間無關，因此該過程是協(xié)方差平穩(wěn)過程。(2) 假設隨機過程為時間的線性趨勢加上高斯白噪聲過程：，則它的均值為：，它依賴時間，因此它不是協(xié)方差平穩(wěn)過程。由于協(xié)方差平穩(wěn)過程僅僅依賴時間間隔，因此有：定義：假設隨機過程滿足條件：對于任意正整數(shù)值，隨機向量的聯(lián)合概率分布只取決于時間間隔，而不依賴時間，則稱該過程是嚴格平穩(wěn)過程，簡稱為嚴平穩(wěn)過程。如果一個隨機過程是嚴平穩(wěn)過程，而且具有有限的二階矩，則該過

14、程一定是協(xié)方差平穩(wěn)過程，即寬平穩(wěn)過程。但是，一個寬平穩(wěn)過程卻不一定是嚴平穩(wěn)過程。例3.4 假設隨機過程是具有高斯分布的高斯過程，如果該過程是寬平穩(wěn)過程，則此過程一定是嚴平穩(wěn)過程。1.4 遍歷性遍歷性是時間序列中非常重要的。對于時間序列而言，我們可以得到一個隨著時間順序的樣本觀測值：，對此可以得到一個時間平均值：定義：假設時間序列是一個平穩(wěn)過程，如果時間平均值按照概率收斂到總體平均值，則稱該隨機過程是關于均值遍歷的。遍歷性是平穩(wěn)時間序列非常重要的一個性質，如果一個平穩(wěn)時間序列是遍歷的，那么它在每個時點上的樣本矩性質(均值和協(xié)方差等)就可以在不同時點上的樣本中體現(xiàn)出來。這就是遍歷性的含義。定理：如

15、果一個協(xié)方差平穩(wěn)過程，如果自協(xié)方差函數(shù)滿足：則隨機過程是關于均值遍歷的。定義：假設時間序列是一個協(xié)方差平穩(wěn)過程，如果樣本協(xié)方差按照概率收斂到總體協(xié)方差，即則稱該過程是關于二階矩遍歷的。高階矩遍歷意味著過程不同時間上的統(tǒng)計性質更接近同一時點上的隨機抽樣性質。例3.4 如果隨機過程是高斯協(xié)方差平穩(wěn)過程，則它是均值遍歷過程，也是二階矩遍歷過程。一般情況下，平穩(wěn)性和遍歷性之間沒有必然聯(lián)系，下面的例子可以說明這一點。例3.5 假設隨機過程的均值過程滿足：其中均值滿足：，是獨立的白噪聲過程。因為，上式表明，該過程是協(xié)方差平穩(wěn)過程，但是由于因此，該過程不是均值遍歷過程。2 移動平均過程2.1 一階移動平均過

16、程假設是白噪聲過程，考慮下述隨機過程：其中和是任意常數(shù)。由于這個隨機過程依賴最近兩個時間階段的的加權平均，因此稱此過程為一階移動平均過程，表示為。下面我們通過求解過程的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)來說明它是一個寬平穩(wěn)過程。求解均值函數(shù)為：一階自協(xié)方差為：對于更高階的自協(xié)方差，則有：上述結果表明，過程是一個平穩(wěn)隨機過程。注意到：因此，也是均值遍歷過程。定義：將協(xié)方差平穩(wěn)過程的第j個自相關系數(shù)表示為，則有：根據(jù)相關系數(shù)的定義：根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式，可知所有自相關系數(shù)絕對值不會超過1。對于MA(1)過程而言，它的自相關系數(shù)為：自相關系數(shù)也被稱為自相關函數(shù)，它度量隨著時間間隔的變化，隨機過程

17、不同時點之間的相關性。即使具有相同的自相關函數(shù)，所對應的隨機過程性質可能也是不同的。2.2 階移動平均過程推廣MA(1)過程中的滯后階數(shù)，可以得到下面表示為的階移動平均過程：其中殘差仍然是白噪聲過程，系數(shù)可以是任意實數(shù)。(1) 過程的均值直接計算均值函數(shù)為：(2) 過程的自協(xié)方差首先計算方差為：其次計算自協(xié)方差，當時間間隔時：當時間間隔時，則有：對于過程而言，則有：，顯然，對于任意階數(shù)的移動平均過程，均是協(xié)方差平穩(wěn)的。因此，移動平均過程的平穩(wěn)性對于參數(shù)沒有任何要求。(3) 過程的自相關函數(shù)根據(jù)自相關函數(shù)(ACF函數(shù))的定義，可以得到過程的自相關函數(shù)為：，上述ACF函數(shù)的典型性質是它僅有兩個突出

18、點，當時間間隔大于2個階段以后，ACF函數(shù)便快速地收斂到零。如果一個隨機過程的ACF函數(shù)體現(xiàn)出這樣的性質，便可以推斷它的數(shù)據(jù)生成過程(data generating process，簡稱為DGP)可能是一個MA(2)過程。2.3 無限階移動平均過程無限階移動平均過程是過程的進一步推廣，令，得到過程的表達式為：為了與有限階移動平均參數(shù)加以區(qū)別，上述移動平均系數(shù)利用符號表示。如果假設移動平均系數(shù)是平方可加的，即：可以證明上述表示按照均方收斂到一個隨機變量，因此確實定義了一個隨機過程?？梢詫τ谙禂?shù)加以更強的條件，即假設是絕對可加的，即滿足：可以證明絕對可加可以推導出平方可加，但是反之不然。系數(shù)絕對可

19、加的無限階移動平均過程是平穩(wěn)過程，其均值和協(xié)方差函數(shù)可以表示為：可以證明，當移動平均系數(shù)絕對可加時，自協(xié)方差也是絕對可加的：因此過程是關于均值遍歷的。3自回歸過程上面我們介紹的移動平均過程是將一個隨機過程表示為隨機殘差的移動平均，當期隨機過程的實現(xiàn)沒有受到過程前期取值的直接影響。如果隨機過程取值對后繼取值產(chǎn)生影響，則可以利用自回歸過程表示這樣隨機過程的基本特征。3.1 一階自回歸過程AR (1)假設隨機過程當期取值依賴前一個階段的取值，如此隨機過程可以利用下面一階自回歸過程AR (1)表示：其中仍然是白噪聲過程。顯然如此自回歸過程可以表示為線性差分方程形式：，根據(jù)線性差分方程的性質可知，如果自

20、回歸系數(shù)，外生擾動的作用將不斷累積，導致該過程具有逐漸增加的均值和方差，因此該過程將不是平穩(wěn)過程。為此，我們限制自回歸系數(shù)滿足：，這是一階自回歸過程平穩(wěn)的約束條件。根據(jù)差分方程解的公式，可以得到：根據(jù)上述過程表達式，可以知道：(1) 過程的均值函數(shù)為：(2) 過程的方差為：(3) 過程的協(xié)方差函數(shù)為：(4) 過程的自相關函數(shù)為：，當平穩(wěn)性條件滿足時，上述自相關函數(shù)收斂到零，但是收斂的方式依賴的符號，如何自回歸系數(shù)是正的，則呈現(xiàn)單調收斂模式；當自回歸系數(shù)是負的時候，呈現(xiàn)震蕩收斂模式。由于的絕對值大小體現(xiàn)了前期過程值對當期值的影響程度，因此的絕對值越大，這個過程保持前期值符號的能力就越強，這樣的性

21、質可以通過對不同值的自回歸過程的模擬當中識別出來。在上述對過程的討論當中，我們采用了無限階移動平均表示，并根據(jù)這樣的表示求解過程的均方差和自協(xié)方差等性質。下面我們在假設過程具有平穩(wěn)性的條件下，簡單的求解這些過程的數(shù)值特征。(1) 對過程兩端求數(shù)學期望，得到：如果過程是平穩(wěn)的，則均值函數(shù)不依賴時間參數(shù)，則得到均值為：(2) 將過程進行“中心化”表示，即將其根據(jù)均值進行平移：上式兩端平方運算以后取數(shù)學期望可以得到：需要注意到：則得到：也可以得到：(3) 當時，在中心化表示兩端乘以因子，然后取數(shù)學期望得到：則得到：，這是自協(xié)方差函數(shù)所滿足的一個一階齊次差分方程，其解為：這同前面利用無限移動過程的推導

22、結果完全一致。3.2 二階自回歸過程二階自回歸過程表示為，模型形式為：采用滯后算子形式表示為：差分方程穩(wěn)定或者上述過程平穩(wěn)的條件是：的所有根落在單位圓外。這時假設逆算子形式為：其中算子多項式的系數(shù)由前面差分方程的討論所確定。利用算子多項式的逆算子，可以將過程表示為無限階移動平均過程：可以直接證明此過程的均值為：并且可以得到：如果假設該過程是平穩(wěn)過程，那么對過程直接求數(shù)學期望，也可以得到類似的均值。過程也存在下述中心化表示：兩端乘以因子，然后取數(shù)學期望得到：利用自協(xié)方差定義得到：，這說明自協(xié)方差滿足二階差分方程，這個差分方程的穩(wěn)定性是要求自回歸系數(shù)落入穩(wěn)定的三角形區(qū)域內。自相關函數(shù)滿足：，令得到

23、：從中可以得到：令得到：從中可以得到：類似地，可以求解出過程的方差：可以表示為：從中解出方差為：或者：3.3 p階自回歸過程如果將解釋變量的滯后階數(shù)擴展，可以得到下述p階自回歸過程，表示為AR (p)：假設算子多項式的特征方程：的根全部落入單位圓外，則AR (p)是協(xié)方差平穩(wěn)的，其無限階移動平均表示為：在AR (p)過程滿足協(xié)方差平穩(wěn)的條件下，取均值為：則均值為：得到上述均值以后，可以將在AR (p)過程進行中心化表示：兩端乘以因子，然后取數(shù)學期望得到：對于給定的參數(shù)，可以求出方差和協(xié)方差的初值狀態(tài)，可以作為上述差分方程的初值，并可以進一步求解出所有階數(shù)的協(xié)方差序列。進一步可以得到自相關函數(shù)方

24、程，這個差分方程被稱為Yule-Walker方程：，如果算子多項式特征方程具有相異根，則協(xié)方差構成的差分方程具有解形式為：其中是下述方程的根：六、參考文獻1 Box, G. E. P. and Jenkins, G. M., Time Series Analysis: Forecasting and Control, Holden Day, 1976. 2 Enders W., Applied Econometric Time Series, John Wiley & Sons, Inc., 1995. 3 Mill, T. C., The Econometric Modelling of Financial Time Series, second edit