專題：極值點(diǎn)偏移問題

1、g北京華羅庚學(xué)校為全國學(xué)生提供優(yōu)質(zhì)教育極值點(diǎn)偏移問題的解法探究極值點(diǎn)偏移問題在高考中很常見，此類問題以導(dǎo)數(shù)為背景考察學(xué)生運(yùn)用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、 轉(zhuǎn)換的思想解決函數(shù)問題的能力，層次性強(qiáng)，能力要求較高極值點(diǎn)偏移（f x0 =0）二次函數(shù) f n Af x2 = x2 = 2x0f x-i = f x2 = x2 2x0 _ xj = x1 x2 2x0、常規(guī)方法對稱化構(gòu)造例1.（2010天津）已知函數(shù) f x二xe.(1)求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)已知函數(shù)g x的圖像與f x的圖像關(guān)于直線X=1對稱，證明：當(dāng)x 1時(shí)，f X g x ;聰明在于勤奮，天才在于積累6(3)如果論=x2，

2、且f % = f x,，證明：x） x2 2 .#¥ i ( 1 ) f :v) = u ' (1 工)f 彳導(dǎo) f (兀)( 8 1)上 / r 在(h -+-3C )上r J ( -v Z（l） = - r 和：e< 2 ）三（兀）的圉像亙7戲（兀）的関像笑于自璉蘢=1 il羽爾的碎I疔式為 A = r2-jc）.2 c_JC > O r Jtt!la O , f9F(K)在(兒 _F=c)上單嗎,斜尸（工）尸（巧=o r即y（兀Ag（j<0 ”C 3 .結(jié)©/（死的車殉性可逞百 ul將科代入（N 7中:式導(dǎo)y(Jca)>T/'(

3、2,文y (jq) /X ) f 故嚴(yán)碼)(2，又巧 vl * 2旳 ul <來源：徹信吃S思 中學(xué)數(shù)學(xué)硏討部海點(diǎn)評：該題的三問由易到難，層層遞進(jìn)，完整展現(xiàn)了處理極值點(diǎn)偏移問題的一般方法一一對稱化構(gòu)造的全過程，有以下三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（1）Xi，X2 的范圍（Xi : 1 ： X2）；（2）不等式 f X f 2 - X x 1 ；（3 ）將X2代入（2 ）中不等式，結(jié)合 f X的單調(diào)性獲證結(jié)論.把握以上三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，就可輕松解決一些極值點(diǎn)偏移問題.- X 2例2. （2016新課標(biāo)I卷）已知函數(shù) f xj： x-2 e a x-1有兩個(gè)零點(diǎn).（1 ）求a的取值范圍；（2）設(shè)X1, X2是f x

4、的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：X1 X2 : 2 .解：（1） 0,，過程略；（2）由（1 ）知 f X 在=,1 上 ，在 1,7 上 ，由 f X1 二 f X2 =0，可設(shè) X1 ：1 沁2 .Fx =fxi亠f2-x構(gòu)造輔助函數(shù) Fx=fx-f2x=x-1 eX，2a1-x e2-2a1 exe2當(dāng) x 1 時(shí)，x T ： 0 , ex - e2： 0，則 F ' x 0，得 F x 在-：-,1 上 ，又 F 1=0 ,故F x : 0 x < 1 ，即 f x : f 2 x x 1 .將X1代入上述不等式中得 f X| = f X2 : f 2-X| ，又X2 1 , 2 -

5、X11 , f x在1,:上 ，故 x1 : 2 -捲,x1 x2 : 2 .注意：極值點(diǎn)偏移問題的結(jié)論不一定總是X1 x : 2X0，也可以是X1X2 H iXo，借鑒前面的解題經(jīng)驗(yàn)，我們就可給出類似的過程.例3.已知函數(shù)f x = xl nx的圖像與直線y=m交于不同的兩點(diǎn) A x1, y, , B x2, y2 ，求證：1XM ： .e證明：(i) f '(X ) = 1 nx +1,得 f (x )在'0,-:上口，在'1,畑 i上;當(dāng) 0 vx v1 時(shí)，f (x)£ 0 ; I e丿匕 丿f 1 ；當(dāng)X >1時(shí)，f （X ） >0 ；當(dāng)

6、XT 0 +時(shí)，f （X戸0 （洛必達(dá)法則）；當(dāng)XT + °O時(shí),1f x J : -，于是f x的圖像如下，得 0 ： x1x2 : 1 .eHi）構(gòu)造函數(shù)尸0） = _/仗）_/；二一；貝1 (=1 +ln xd-1 十 1口c'x I=(1+lnx)- 1當(dāng) Oujcu時(shí)1 + In x < 0 , 1<ee x"0 r 則Ff (x) > 0 r 得戸(巧在| 0.1 ；_tZ r 有I ej° rgD/w</feI0<x<9'（iii梅七代入（1i）中不尊式”一,又衍 >1 r -J> 1e

7、 e*Aq 上/ ,故耳V 命r 來源倔信X中*小結(jié)：用對稱化構(gòu)造的方法解極值點(diǎn)偏移問題大致分為以下三步：step1 :求導(dǎo)，獲得f x的單調(diào)性，極值情況，作出f x的圖像，由f % = f X2得x,x2的取值范圍（數(shù)形結(jié)合）;step2 :構(gòu)造輔助函數(shù)（對結(jié)論 X1 X2 > '2x0，構(gòu)造Fx=fx-f2x（）-x ；對結(jié)論X1X2 >（v）x2，構(gòu)造F（x）=f （x）-f $ i）,求導(dǎo)，限定范圍（X1或X2的范圍），判定符號，獲 IX丿得不等式；step3 :代入X1 （或X2），利用f為=f X2及f x的單調(diào)性證明最終結(jié)論.練習(xí)1 .已知函數(shù)f x =lnx

8、和g x二ax，若存在兩個(gè)實(shí)數(shù) X| , x2，且為=x2，滿足f 洛=g Xi，f X2 i； = g X2，求證:小2(1)為 X2 2e ；( 2) X1X2 e .、偏移新花樣一一拐點(diǎn)偏移拐點(diǎn)偏移f Xq =0f Xif X2 l=2f Xq = % X2 =2xqfXifX2= 2 fXq= X22Xq-Xi=x1 x2 2x0為全國學(xué)生提供優(yōu)質(zhì)教育1,2）也是f x的對稱中心，則有 X1 X2=2，4_X X2 一 x-1 >0,X1X2 -.5-12目北京華羅庚學(xué)校2例4.已知函數(shù)f x =21 n x x x ,若正實(shí)數(shù)x1, x2滿足f x +fx2=4，求證:x1x2

9、。22證明：注意到 f 1 =2，f x1 +f x2 =2f 1 . f x =+2x 10， f x 二 22，xxf 1 =0，則（1,2 ）是f x圖像的拐點(diǎn)，若拐點(diǎn)（證明X1 *2 _2則說明拐點(diǎn)發(fā)生了偏移，作圖如下:仍可用“對稱化構(gòu)造”來處理.不妨設(shè)0 ：為乞1 <x2，要證F x 二 f x f 2 X ,0,1 1,則F x =f x -f 2-x222x 12 2 -x 1x2-x得F x在0,11上單增，有Fx空F1=2'1=4，得證。練習(xí)2.已知函數(shù)f x=1 n xx2 x，正實(shí)數(shù)X1,X2滿足f為 fX2'X1X2=0，求證:聰明在于勤奮，天才在

10、于積累7g北京華羅庚學(xué)校為全國學(xué)生提供優(yōu)質(zhì)教育三、解法賞析例 5. 已知 f X =xlnx_”x ,m R .若f x有兩個(gè)極值點(diǎn)x1, x2，且x-i2X1X2 e （ e為自然對數(shù)的底數(shù)）解法一：齊次構(gòu)造法2 -證法1 :欲證X-X2 - e，需證In x- ln X2 2 .若f x有兩個(gè)極值點(diǎn)x-, x?，即函數(shù) 個(gè)零點(diǎn)又 x =ln x-mx，所以，Xi, x?是方程xi； = O的兩個(gè)不同實(shí)根于是，x2，求證：f X有兩In捲一口捲=0In x2 - mx2 二 0，解得m =In x1In x2xiX2另一方面，由In 為-m% = 0In x2 - mx2 二 0In x2

11、-In xm x2 -洛，從而可得,In x2In x1In 論 In x2X-|x2于是，Inxi+Inx2nX2 一叱"宀)Xi ' XiX2-%程 _1(1 +t )In tIn x-iIn x2 =t Tt 1.Xi又0 ： X ：X2，設(shè)t 呂，則t1 因此,X1(t+1 )I nt2(t1要證 In X! In x2 2，即證：2, t 1 .即：當(dāng) t 1 時(shí)，有 In tt-1t+12f2(t1)、1 2(t+1) 2(t1) (t_1)設(shè)函數(shù) h t AInt, t -1，則 h t22 - 0,t+1t(t+1)t(t+1)所以，h t為1. * 上的增函

12、數(shù).注意到，h 1 =0，因此，h t - h 1 =0.t 1于是，當(dāng)時(shí)，有Int廿.所以，有InX1 InX2 2成立，X1X2 e2.解法二變換函數(shù)法2f X有兩m 0,否證法2 :欲證X1X2 - e，需證In x-i In x2 2 .若f x有兩個(gè)極值點(diǎn) 為,x2，即函數(shù) 個(gè)零點(diǎn)又f x =1 nxmx，所以，X1, X2是方程f x = 0的兩個(gè)不同實(shí)根.顯然則，函數(shù)f x為單調(diào)函數(shù)，不符合題意由7 Xi -mxi二0 , in捲 in x?二m禺 x?,In x? - rnx? 02即只需證明+>2即可即只需證明jq +>.霍® . 如旳號 申學(xué)ife拿W

13、i寸都落菩*ml.e/.2(mx 1)"r .0,-j- JT T即容(工)弋匚;=0 r故廣(x) V匸7由于廠(x) = -tn =匕竺XX<故/x)在仏丄；T k刖丿聰明在于勤奮，天才在于積累11d f x = jq f 則hg) =再K耐解法三構(gòu)造函數(shù)法In xIn x證法3:由xi，x?是方程x =0的兩個(gè)不同實(shí)根得 m，令g x，g x1 = g x2 ，xx由于 g x 二1磐，因此，g x 在 1,e， e,亠i *.設(shè) 1 ： Xi ： e ： x?，需證明 Xix? - e2,x2只需證明x1i0,e，只需證明x2f x? -f0 .即 h x = f x

14、- fg(1,e),(11 n x e -x )h x亍0,故x eh x 在 1,e，故 h x : h e = 0 ,即 f x:ff 2、 e.令 x =x，則 f ( x? )= f (石)< ff 2、 elX站丿2e因?yàn)?x?,e, ：,%2e2x在e；心訥，所以x2，即X1X2e .%解法四換元法證法4:設(shè)mx1-。，曲則由驚覽暑得著右尸,kekk設(shè)心-t? <0，則“亍，"廠2.欲證 X1X2- e ,需證In jq + In x, > 2 .即只需證明心+勺A 2 即乞二丄> 20(1 +丈 2(甘一1)0袒1+-2| 1|<0 設(shè)a

15、1ZZZ/(k) =ir(l +e ) 2(e* l)(Ar< 0) r (Ar) = fe* e*+1 , *() = Ae* < 0故云仏)在 (-x = 0)l r 故(Ze) >£(0) = 0 r 故g(血)在(yo=0) T因此(*)<(0)=0 f 髓題得解法五換元法（二）In x. - mxt = 01 = me"證法 5 :設(shè) t. =ln x.nx2h 則由 |nx2_mx2=0 得 t? = m廠設(shè) 3 = k 0,1 ，貝U t. = k In k ，t?k -1In kt2.欲證x.X2 - e2，需證In x.In x22，即只需證明t. t22，即In_4 二khIn k 一2 k '：0 ,k"k 一122(k)(k)設(shè) g k <nkk=0,g k2 0，故 g k 在 0,k+k(kX)因此g k : g . =0，命題得證.解決極值點(diǎn)偏移問題的以上多種方法，實(shí)質(zhì)上都是把雙