圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題

1、國 華羅庚數(shù)學(xué)為全國學(xué)生提供優(yōu)質(zhì)教育圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題定點(diǎn)問題求解(或證明)直線和曲1過定點(diǎn)的基本思路是：把:k線或曲線方程中的變3x, y視作常數(shù)，把方程一邊化為零，既然是過定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就是對任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于x, y的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定與八、典例(2017 全國卷 I)已知橢圓 C:y-2= 1(a>b>0),四點(diǎn) pi(1,1), P2(0, 1), P3 1,崢， a b2P4 1,當(dāng)中恰有三點(diǎn)在橢圓 C上.(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A, B兩點(diǎn).若

2、直線 P2A與直線P2B的斜率的和為1, 證明：l過定點(diǎn).思路演示解：(1)由于P3, P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知橢圓C經(jīng)過P3, P4兩點(diǎn).又由+2患知，橢圓C不經(jīng)過點(diǎn)P1,所以點(diǎn)P2在橢圓C上.a b a 4b-1=1b2，a2= 4,x2因此§解得b2_ 1故橢圓C的方程為24+y2=1.A 4b= 1b I，(2)證明：設(shè)直線 P2A與直線P2B的斜率分別為 k1, k2.如果l與x軸垂直，設(shè)l: x= t,由題設(shè)知two,且|t|<2,可得A, B的坐標(biāo)分別為t,也2 一號.則k1+k2=t=-1,得t=2,不符合題設(shè).從而可設(shè) l: y= kx+m(mw1).

3、將 y= kx+m 代入 x4 + y2 = 1 得(4k2+1)x2+8kmx+4m24= 0.由題設(shè)可知A= 16(4k2m2 + 1)>0.設(shè)A(X1, y1), B(x2, y2),則 x1 +8km x2=4k2+1'4m2- 4 x1x2=4k2 + 1 .聰明在于勤奮，天才在于積累3而"人味+三二亡+ /=im1 L.由題設(shè)k1+k2=-1,m+ 14m2 48 km故(2k+ 1)x1x2+(m 1)(x1+ x2) = 0.即(2k+ 1) 4k2+1 + (m- 1) 4k2十=0.解得 k=一當(dāng)且僅當(dāng) m> 一1 時(shí)，60,于是 l: y=

4、m2x+ m,即 y+1 = m2(x2),所以l過定點(diǎn)(2, 1).解題師說 x2(1)本題第(2)問的關(guān)鍵是斜率存在時(shí)，設(shè) l： y=kx+m(mwl),然后與橢圓方程 7+丫2=1聯(lián)立，再設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題目條件“直線P2A與直線P2B的斜率之和為1"，導(dǎo)出k與m的關(guān)系,最后根據(jù)方程特點(diǎn)說明直線過定點(diǎn).(2)圓錐曲線中定點(diǎn)問題的2種解法引進(jìn)參數(shù)法引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量 與參數(shù)何時(shí)沒有美系，找到定點(diǎn)特殊到一般法根據(jù)動點(diǎn)或動線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān)應(yīng)用體驗(yàn)221 .若直線l: y=kx+m與橢圓C: 5+5=1相交于A,

5、 B兩點(diǎn)(A, B不是左、右頂點(diǎn))，且以AB為 43直徑的圓過橢圓 C的右頂點(diǎn)，求證：直線 l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).y= kx+ m, 證明：設(shè)橢圓C的右頂點(diǎn)為A1(2,0), A(x1, y1), B(x2, y2),則A1AXA1B,聯(lián)立方程x2丈7+ 3 = 1,/日o,8km4m2 12得(4k2+3)x2+8kmx+ 4m212=0,則 x+ x2= 北2+3, x1x2= 4k2+ 3 ，所以 Aa A1B = (x1 2)(x2 2)+ y1y2= (x1 2)(x2 2) + (kx + m)(kx2+ m)2 .2 4m212 k2 +18km km - 2,2 _=(

6、k2 + 1) x1x2 + (km 2)(x1 + x2) +4+ m2=4k2 + 3 4k2 + 3 + 4 + m2 = 0,整理得 7m + 16mk+ 4k = 0,解得 m=- 2k 或2k. 4k 372222-當(dāng) m= 7k 時(shí)，y= kx- 7k = kx 7,過te點(diǎn),，0;當(dāng)m=2k時(shí)，y= kx- 2k,過定點(diǎn)(2,0),即過橢圓右頂點(diǎn)，與題意矛盾.2所以直線l過定點(diǎn)0 .定值問題解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等 )的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確定 的值.解決圓錐曲

7、線中的定值問題的基本思路是：定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比 例關(guān)系不受變化的量所影響的一個(gè)值.典例(2018沈陽質(zhì)檢)已知橢圓C: $+y2= 1(a>b>0)的左焦點(diǎn)Fi(乖,0), e=*.(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，設(shè)R(xo, yo)是橢圓C上一動點(diǎn)，由原點(diǎn) 。向圓(x xo)2+(yyo)2 = 4引兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)P, Q,若直線OP, OQ的斜率存在，并記為 ki, k2,求證：kik2為定值；(3)在(2)的條件下，試問|OP|2+|OQ|2是否為定值？

8、若是，求出該值；若不是，請說明理由.思路演示解：(i)由題意得，c=乖,e=-=皆 a 2x2，橢圓C的方程為-4(2)證明：由已知，直線 OP: y=kix,解得a=一，一 .|kixo yo|OQ ： y=k2x,且與圓R相切，/J+ k2化簡得(x04)k22xoyoki+y04= 0,同理,可得(x0 4)k2 2xoyok2+ y2 4= 0, ki , k2是方程(x04)k22x0y°k+y24= 0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,y2 4x0 4.x24w0, 2>0, kik2 =x2212 2x0丁點(diǎn) R(x0, y。)在橢圓 C 上，. 12 + y6=1，即 y0

9、= 6-2x2,kik2= x2_4y= kix,(3)|OP|2+|OQ|2 是定值.設(shè) P(xi, yi), Q(x2y2),聯(lián)立x2 石+解得2 _J2_xi=i + 2k2'212k2%=1 + 2k2'x2 +|OP2+ |OQ2 = x2+y2+x2+y212 1 + k212 1 + k2： 一 c 十 ： 二V1+2k'1 + 2k：d o d . 1 2121 +12 1 + ki十1+ 2k1一2ki218+36k2 ”-=18.21 + 2k'12 1 + k222 12 1+k29 同理 可得 x2+ y2=1 + 2k2 . J 生&#

10、39;"寸 x y 1 + 2k2綜上，|OP|2+ |OQ|2= 18(定值).解題師說定值問題常見的2種求法國華羅庚數(shù)學(xué)為全國學(xué)生提供優(yōu)質(zhì)教育(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān).(2)引進(jìn)變量法：其解題流程為(互£)逐排淳4面瓦瓦疝景遍加病加藏火統(tǒng)M：jr "a， ； .w ,函數(shù)一把袋證明為定值的卡友示成上述受所的曲數(shù)；nr" (定值)一的布國的加數(shù)日比而金逐目句到定宿；應(yīng)用體驗(yàn)2.已知點(diǎn)A, B的坐標(biāo)分別為(乖,0), (<3, 0),直線AP, BP相交于點(diǎn)P,且它們的斜率之積為-3. 3(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;(2)設(shè)點(diǎn)

11、P的軌跡為C,點(diǎn)M, N是軌跡C上不同于A, B的兩點(diǎn)，且滿足 AP/OM, BP/ON,求證： MON的面積為定值.解：(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, v),由題意得,kAP kBP= -y-j f=x+ ,：3 x ,；3一|叱班),聰明在于勤奮，天才在于積累7化簡得，點(diǎn)P的軌跡方程為+ ¥= 1(xw03).32(2)證明：由題意知， M, N是橢圓C上不同于 A, B的兩點(diǎn)，且 AP/OM, BP/ON,則直線AP, BP的斜率必存在且不為 0.2因?yàn)?AP / OM , BP / ON ,所以 koM k0N= kAP kBP= 2.3設(shè)直線 MN的方程為x=my+ t, M,

12、 N的坐標(biāo)分別為(x，yi), (x2, y2),把x=my+1代入橢圓方程x" + yr = 1,得(3+2m|)y|+4mty+2t|6=0,所以 yi+y2=_ jm?, yiy2 = ：； J. 3 23 十 2m3 十 2 ml3,即 2t2=2m2+3.k _yy2=yy= 2t26所以 2t2-6 =ON xx2 m2y1y2+mt y+y2 +t2 3t2-6m2'3t2-6m2又 SaMON =2|t|y1y2|=2|tN 24t2+48m2+723 + 2m2,所以 Sa MON =2 6t2 .164t2 2即 MON的面積為定值"62|升級增

13、分訓(xùn)練|1.已知拋物線 C: y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F(1,0), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A, B是拋物線C上異于O的兩點(diǎn).(1)求拋物線C的方程；1(2)若直線OA, OB的斜率之積為2,求證：直線 AB過x軸上一定點(diǎn).解：(1)因?yàn)閽佄锞€y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),所以p=1,即p = 2.所以拋物線C的方程 為 y2= 4x.一 一， t2 ,_ t2(2)證明：當(dāng)直線 AB的斜率不存在時(shí)，設(shè) A 4, t , B - t .因?yàn)橹本€OA, OB的斜率之積為一Al3 4 t-Tr- 4以 所 1-.22,化簡得t2= 32.所以A(8, t), B(8, t)

14、,此時(shí)直線AB的萬程為x=8.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為 y=kx+b, A(Xa, yA), B(xb, yB),y = 4x,4 b聯(lián)立方程組消去x得ky24y+4b=0.由根與系數(shù)的關(guān)系得yAyB = 4b,y=kx+b,k因?yàn)橹本€OA, OB的斜率之積為一之，所以“空=即Xaxb+2yAyB= 0.即yA yB + 2yAyB= 0,2xa xb24 44b斛得 yAyB = 0(舍去)或 yAyB=32.所以 yAyB= -= 32,即 b= 8k, k所以 y=kx 8k,即 y= k(x8).綜合可知，直線 AB過定點(diǎn)(8,0).2,已知結(jié)論：若點(diǎn) P(x0, y0)為橢

15、圓xl+ y2= 1上一點(diǎn)，則直線l： X°X + y0y= 1與橢圓相切.現(xiàn)過橢 a ba b圓C: x2+y2= 1上一點(diǎn)P作橢圓的切線交直線 x= 955于點(diǎn)A,試判斷以線段 AP為直徑的圓是否恒 過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由.解：首先取兩種特殊情形：切點(diǎn)分別在短軸兩端點(diǎn)時(shí)，求得兩圓的方程為：x-誓 2+(y2)2=80 或 x 嚕 2 + (y+2)2=81.則兩圓相交于點(diǎn) 45, 0),平，0 . 102010205若定點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)F2(V5, 0),則需證：pf21Af1 .設(shè)點(diǎn)P(x。，y0),則橢圓過點(diǎn)P的切線方程是等十字=1,所以點(diǎn)A 955,

16、 20 54y5x0，元=Q5xo, y。)，AF2 =520 45x0> / 廠4V5/-5y0' PF2AF2=(V5-X0) - 5 +(y0)20 4.5x05y0.4V54V5 ,> ,一-4+ -x0 + 4-5-x0= 0,所以 PF2 ± AF2.若定點(diǎn)為Q嚕0 ,則PQ記=*x° (-V5)+(-y0) -200 =號不滿足 題意.綜上，以線段 AP為直徑的圓恒過定點(diǎn)3. (2018湖南五市十校聯(lián)考)已知橢圓C:g 0).x2 y2， 3一 一/+ b2= 1(a>b>0)的離心率為5,過左焦點(diǎn)F且垂直于長軸 的弦長為32.

17、5(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)P(m,0)為橢圓C的長軸上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn) P且斜率為的直線l交橢圓C于A, B兩點(diǎn), 5證明：|PA2+|PB|2為定值.c 3 e=a=5，解：由 2b2 絲a 5 'a2=b2+c2,a= 5,可得b=4, 故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 +匕=1.25 16c= 3,5x2 y2 25) = 0.設(shè) A(xi, yi), B(x2, y2),則 yi+ y2=4尹，8 m2 25 yly2= -25 '(2)證明：設(shè)直線l的方程為x= 4y+m,代入25+ ：y6=1,消去x，并整理得25y2+20my+ 8(m2又易得 1PA|2= (xi

18、m)2+y2=16y2，同理可得 |PB|2=46y2.22 41 2241° c41 4m2 16 m225則1網(wǎng) + 1PB| =16(y2+y2) = 16(y1 + y2)2 2yly2 =16一石25= 4所以|PA|2+|PB|2是定值.x2 y234. (2018石家莊模擬)已知橢圓C: /+$= 1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2,離心率為 彳， 點(diǎn)A是橢圓上任意一點(diǎn)， AF1F2的周長為4+2#.(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)Q( 4,0)任作一動直線l交橢圓C于M, N兩點(diǎn)，記MQ =入QN"一,若在線段 MN上取 一點(diǎn)R,使得MR>=-入R*f,則當(dāng)直線l轉(zhuǎn)動時(shí)，點(diǎn)R在某一定直線上運(yùn)動，求該定直線的方 程.解：(1