初中數(shù)學專題2.2旋轉平移翻折

1、2.2平移、旋轉與翻折與代數(shù)變換的重要性一樣，幾何變換同樣在幾何問題中也起著非常重要的作用.通過幾何變換，可以把 分散的線段、角相對集中起來，從而使已知條件集中在一個我們所熟知的基本圖形中，然后利用新的圖形 的性質(zhì)對原圖進行研究，從而使問題得以轉化.例 1 如圖 2-2-1：設 Z是MBC 的垂心.求證：AI2 + BC2 = BI2 + AC2 = CI2 + AB2.【分析】對于JEC各邊來說，結論是輪換式，于是只需要證得某一等式即可.顯然等式?jīng)]變都是兩線段 的平方和.故考慮構造相應的直角三角形.圖 2-2-1【證明】分別過點3、z作-a 腫的平行線，兩線交于p點.連接PC.由條件可知：四

2、邊形為平行四邊形，從而BP=AI,ZPBC= ZALB=9Q° , PC2 = PB2 + BC2 = AI2 + BC2同理：PI=AB上PIC=ZBNC=90、故 PC2 = CI2 + PI2 = CI2 + AB2, AI2 + BC2 = CI2 + AB2 同理：AI1 + BC1 = BI2 + AC2 AI2 + BC2 = BI2 + AC2 = CI2 + AB2例2已知J5C的三條中線的長為3、4、5.求3C的面積.【分析】設MBC的中線.10=3, BE二4, CF二5?，F(xiàn)考慮平移三條中線集中在一起，構成一個確能的三角形, 再分析而積間的數(shù)量關系.圖 2-2-

3、2【解法一】過點F作FK妙C,連接曲、KE、KB、ZK從而FKgEC ,:.四邊形KFCE為平行四邊形.IKF二EC.又9：EC=AEf:. KFAE f:.四邊形KAEF為平行四邊形，KAEFBC'BDjBCtBK®:.'BKE是厶毎C中線為邊長的三角形.V 52 =32 +42, ：.KE是直角三角形，$皿灶=6【注】可將問題一般化，設肋C三邊上的中線的長度為叫,叭叫 則有4 ! JS皿=昭P(P -m為(p -也.)，= -(/, + /坷 + )【解法二】利用重心的性質(zhì)，構造出三角形，結合UAD,BE,CF為邊長的三角形與英相似，再求而積. 延長GD至點H,使

4、得GDhZD,連接HC.7易證 BDG竺'CDH、椒 BG = GH =±BE 3o7I CG = = CF、GH = 2GD = -AD，故 CG2 = HG2 + HC2,又 G 是J5C 的重心，： Sgc = 8【注】由以上兩個例題可知，圖形經(jīng)過適當?shù)钠揭瓶梢允挂阎獥l件和結論中的圖像元素得以延伸，再通過某些橋梁得以聯(lián)系和統(tǒng)一.例3如圖2-2-3：在“1BC外作等腰R心ABD和等腰RtMCE、且ZBAEMCAE=9V , MM為ZUBC中 邊EC上的中線，連接求證:DE二2LM.【分析】由M是BC的中點，可利用中線倍長得帶AFM,再證4FQE注意到可通過(?妣旋轉得到，

5、故可利用圖形旋轉相關性質(zhì)思考.圖 2-2-3【證明】延長凡“至F，使得二F胚連接9：BM=CM,AM=FM. Z.4MOZFMB.: HAMC竺/FBM：乙F二乙MAC, BF二AC,:.ZABFl -ZBJF-ZF二 180° -ZBJF-ZM4C=180° -(180° -ZDE) = ZDAE又 9：AD=AB9 AE二AC,故 AE二BF:.“ADF竺 ABAF, DE二AF二2AM【注】圖形的旋轉可通過構造全等來實現(xiàn)，旋轉變換即全等變換的一種，在幾何證明題中，常常以圖形 旋轉的觀點來研究,是常用策略.例4如圖224正方形拐CD內(nèi)一點E, E到念B、C三點

6、的距離之和的最小值為忑+曲求正方形的邊長.【分析】利用圖形的旋轉，將三條線段轉換為首尾順次相連，再利用兩點間直線距離最短求最值問題.圖 2-2-4【解】 將厶丄恥繞/點順時針旋轉6（T到連接過M作MP丄EC,垂足為P由題意：1E=4N, ZNAE=6Q° , ：./lNE為等邊三角形：AE二NE,: AE+BE+CE 二MN+NE 十EC 當AE+BE+CE最短時，折線MNEC為線段，且MC = Q + “同理得：為等邊三角形，：AB二BOBM Z妣拐二60°設 AB=x,則 PM=2 2在 RtMPC 中：（血+冏=（討,解得%=2,即 Q2,正方形的邊長為2.例5如圖2

7、-2-5:在正厶吸？內(nèi)有一點P, P到三個頂點兒B、C的距離分別為a、b、c ,求/IBC 的面積.S2-2-5【分析】由于 廿、BP、CP為已知，故可將 腫、BP、CP移至一個三角形為此可分別旋轉ZU腫、 HBPC、HPCA,通過求六邊形JFBDCE的而枳求解HABC的而積.【解】分別將MBP、BPC、PCJ繞著乩C、d順時針旋轉60。，得到CKD、MCE、/BAF. 連結 PD、PE、PF.故邊伽陽心=2S仙因為AP = .1F, ZEF=60。，所以AlPF為等邊三角形，邊長為c從而PF=AP. 因為BF=PC,故的三邊長分別為a, b, c：同理:8©是邊長為b的等邊三角形，

8、ACPF是邊長為c的等邊三角形，由于DPC和EE1的三邊長都分別為e b, C>/3/因此 S,如如 bxe = a +" + L + 3p -b p -c 【注】利用圖形的旋轉可構造等邊三角形或等腰直角三角形，實現(xiàn)線段和角度的轉換，使原來分散 的線段和角集中起來或有序地排列起來，得到新的圖形以方便研究.例6 如圖2-2-6:在厶毎C中是角平分線，恥二CF,點M、N分別是BC和EF的中點求證:MV/JDD M 圖226【分析】利用等腰三角形軸對稱性構造中點.再結合條件中的中點，構造平行四邊形來論證平行關【證明】 過王作的垂線，交于點G,交丄C于點S過B作的垂線，交AD于點H,交

9、 2C于點T.連結GN, HM.因為平分ZBAC.所以ZEAGZSAG.因為ADLES.故ZJG£=ZJGS=90°.所以 HAEG4MSG.故 AE二AS, EG二SG.同理tABW、BH=TH.又因為 N為 EF 的中點，故 GNSF, GN二、SF；同.MH/CT. NdHCT.因為BE=FC.所以ST二FC,從而SF二CT,進而GN砒，GN二HM故四邊形為平行四邊形，所以MV/JD【注】本題是把角平分線作為翻折軸來進行解題的用角平分線作為翻折軸，可以使翻折圖形落至原 來圖形的另一側，而且對應點的連線被角平分線垂直平分這樣不僅可以增加圖形的直觀性，而且增強條件 與結論

10、間的邏輯聯(lián)系.例7 如圖2-2-7:在矩形.1BCD中,-13=20, BC=10若在.IB, JC ±各取一點N、M.使得B伽胚V 的值最小，求這個最小值.圖227【分析】 作B關于zlC的對稱點E,即求折線的最小值，這個最小值為點E到-毎垂線段的距 離.【解】 作E關于直線/C的對稱點E,連結AE. BE. ME.過點£作肋的垂線，交AB. AC于點F、 G.由BWMN二EWMN2EF、所以BWMN的最小值為EF.因為 2Sc = AB 3C = AC BH ,椒BE=2BH=8 所以/居Jab，-bh2 =辭.因為 2Sbe = AB EF = BE AH ,故 &#

11、163;F=16所以B伽庇V的最小值為16,此時N和F重合，M和G重合.例8 如圖22&在“IBC中，ZJ5C=90°, AB=BC, P為三角形內(nèi)一點，分別作P關于EC、CA.的對稱點、B C1若所得AABC中，乙8乂（？二90°,求:的值圖228【分析】由對稱性可得的五邊形而積是3C而積的兩倍，并且AC4B是正方形.JSC為等腰直 角三角形.【解】連結Ek PB、PC. AC. AB BA BC、CA CB由軸對稱性知'AC=AP=ABl.ZC2B二ZPAB, ZB'ACZRiC.因為Z.45C=90°, AB=BC, ZBJC=45%

12、 故 ZB'AC = 90° :同理：Z/TBC = 90。，Z/T3C' = 180。，故C'、B、4 三點共線。所以 AB C'是等腰直角三角形。因為AFC也是等腰直角三角形，所以四邊形為正方形；同理：/TFC為等腰直角三角形。由軸對稱性質(zhì)：Sa5C=2S“b故S*眈S3 BC = "7 "，故 ACS'AC' = "7“445 .一（廣o8lt/2:-6/2=4:5o2 8練習2.21. 證明：如果七條直線兩兩相交,2. 如圖，在”風車三角形''中，那么所得的角中至少有一個角小于26%

13、證：AA =BB =CC = 2 , ZAOB1 = ZBOC9 = ZCOA9 = 60° 。求3如圖：在平行四邊形,松仞 中，由丄向另兩邊作垂線.IP. A0,已知AC=b, H為AAPQ的垂 心，求,0的值。4. 已知直角三角形2BC中，斜邊,拐長為2, ZACB=90三角形內(nèi)一動點到三個頂點的距離之和的最小 值為"，求這個直角三角形的兩個銳角的大小。5. 如圖：在四邊形-18CD 中，Z.45C=30°, Z.WC=60°, AD=AC.證明：BD2 = AB2 + BC2.6 如圖：已知正方形，毎CD的邊長為1, P、0是其內(nèi)兩點，且ZR1O=

14、ZPCO=45求$申3+5；心+二 的值。D7.已知點Z是銳角腦C的內(nèi)心，川，Ci分別是點Z關于BC、CA. AB的對稱點，若點B在AJiBiCi 的外接圓上，求ZABC的度數(shù)。8已知ZUBC額邊,購、JC上分別取點O、P,使得ZPBC=ZOCB=- ZA.求證：BO=CP.29. 已知ZFO430。，/為O0上一點，B為OP上一點,且02=5, 02=12。在02上取點冷，在AO k取點£八設/ = AA,+A42 4-A,求/的最小值。10. 是否存在這樣的二購仞，使之具有如下兩個性質(zhì)：(1) 兩條對角線/C與加的長是互質(zhì)的整數(shù)：(2) 若分別以直線AC.BD為對稱軸作岀&quo

15、t;CQ和BCD的對稱 ACD 和"CP，則線段與AC， 也是互質(zhì)的整數(shù)。練習2.21.在平而上任取一點P，過尸分別作給泄的七條宜線的平行線.形成以P為頂點的相鄰的14個角.如圖: 設這14個角為血，血，心 ，這14個角分別等于七條直線兩兩相交所形成的84個角中的24個.如果每個 a&26°(HL,2,，14),則 +a2+ a14) 14X26°=364°>360 矛盾！故這14個角中至少有一個角小于26。，原命題成立.2將EOU沿BE方向平移2個單位，所移成的三角形記為 B'PR；將MOC沿方向平移2個單位，所移成的三角形記為/

16、ARO.因為 00二0+,0二02+0丄三OP=OB'+B'P=OB' + OB=BBl=2. 且ZOOP=60°,所以0OP為正三角形.所以 PO=OO=OP=2 因為 QR+RP=0C±0C'=CC=2.故 0、A、P 三點共線.所以亠。茨=f x 2- = J3 ,故Sw)tf + S“耐+幾紗 < 羽»所以SoE + S址g + S、cM <羽3取/C的中點O,連結0P.因為HAPC和ZXJOC均為直角三角形，所以OP=OA=OO= - AC= b.2 2故O為ZUP0的外心.過O作OR丄P0 0T丄AO.連結過

17、T作75/JH交H0于& 連結RS. OR. 易知R、T分別為PO. AO的中點.所以PR=lpO=la2 ° 2因為TS/.1H,故TS丄AH且S為的中點.2因為丄P0 OR丄PQ,所以.1H/OR 故 OR/TS.同理Q77/SR因為四邊形ORST為平行四邊形，所以O&TS亠H.2所以AH=20Rmf第3題4設Z2CB二90。購二2, D為動點，連結D、DB、DC.以C為中心，將CD逆時針方向旋 轉60。得CEF,則CDE為正三角形.因此 DE二DC, AD二EF,所以 D4 + DB + DC二EF+ED+DB當E、D任BF上時，DA+DB+DC取最小值，所以二

18、J7.設AC=FC* 則BC二(4-壬因為ZFC5=90°+60o=150°,故 BFFCBG-QFC BCcos乙FCB、所以 7=x2+(4x2) 2丫 J4 - x cos 150°.故 74-7=3 故 44昭 + 3二0因為x>0,所以x=l或x=>/3 ,故cos ABAC二丄或2 2故Z5JC=60°或 30。，ZABC= 30°或 60。，所以兩個銳角為 30。，60°.5 連結/C.因為AD二DC,厶10060。，所以/XADC是正三角形.所以DC=CA =將DC2繞點C順時針旋轉60倒ZUCE的位置，連

19、結BE.所以 DB=AE. CB 二CE, ZBCE=ZACE- ZACB=ZBCD-ZACB =ZACD=60 故&CE為正三角形.所以 BE二BC、ZCBE=60 故 ZJ5E=90°,所以 AE2三 +BE?所以BD2三好+陀第5題6將繞點/順時針旋轉90。至A.1E5, C0D繞點C逆時針旋轉90。至(?",連結PE、PF. 故Z£JP= ZDJO+ ZA1P=45°,所以ZEAP二ZQAP故 ZkEJPAOJP；冋理:0CP9&CP因為 ZABE + Z CBF二 ZADQ + Z CDO=90°,故ZEBF=180

20、即 E、B、F 三點共線，且 BE=DO=BF.所以 Spbe = S、pBF + ' PCQ + *、qad = »eBP + ' PCF ='淬卩+ SgF = ' ,PQ +、FC = 'iPQ所以 SER + S*q7連結 BA> B、BC、由對稱性:AiBMB，ZAiBC=ZIBC,同理GB=IB, "BI二ZAB6故如二CB因為 ZCBI二乙ABI、所以 ZAiBIZCM故厶如刃9'CEL所以AJ= CJ；同理可證:Ail =BJ=C-I. 所以/為UBG的外心.所以 ZJiZCx=2ZJi5iCi 故 2 ZJ151C1+Z-15C=180° 因為 B. Ai. Bi. Ci 四點共圓，故ZJiBCi+ZJi5iCi=180°,所以 2ZJBC + ZJi5iCi=180°. 所以ZABC = ZJx艮C訐60。&因為ZPBC=ZOCB=- ZJ,2故 Z5OC+ZCP5=(ZJ+ZJCB- - ZJ)+ (ZJ+Z.45C- - ZJ)=ZJ+Z5+ZC=180°