初中數學二次函數的最值問題專題復習

1、3的最大值和最小值.觀察圖象的最高點和最低點，由此得x的值.當 X 2 時，y max 5 【例2】當1 x 2時，求函數y2x x 1的最大值和最小值.解：作出函數的圖象.當 x 1時，ymin1，當 x 2 時，ymax5 .二次函數的最值問題二次函數y ax2 bx c (a 0)是初中函數的主要內容，也是高中學習的重要基礎在初中階段大家已經知道：二次函數在自變量x取任意實數時的最值情況(當a 0時,2函數在x b處取得最小值4acb ，無最大值；當a 0時，函數在x b處取得2a4a2a最大值4ac_，無最小值.4a本節(jié)我們將在這個基礎上繼續(xù)學習當自變量x在某個范圍內取值時，函數的最值

2、問題同時還將學習二次函數的最值問題在實際生活中的簡單應用.【例1】當2 x 2時，求函數y x2 2x分析：作出函數在所給范圍的及其對稱軸的草圖，到函數的最大值、最小值及函數取到最值時相應自變量 解：作出函數的圖象.當 x 1時，ymin4 ,第3頁共4頁由上述兩例可以看到， 二次函數在自變量 x的給定范圍內，對應的圖象是拋物線上的一 段.那么最高點的縱坐標即為函數的最大值，最低點的縱坐標即為函數的最小值.根據二次函數對稱軸的位置， 函數在所給自變量 x的范圍的圖象形狀各異. 下面給出- 些常見情況：X = 1【例3】當x 0時，求函數y x(2 x)的取值范圍.解：作出函數y x(2 x)

3、x2 2x在x 0內的圖象.可以看出：當x 1時，丫皿山1，無最大值.1 2 5【例4】當t x t 1時，求函數yx2 x 的最小值(其中t為常數).2 2分析：由于x所給的范圍隨著t的變化而變化，所以需要比較對稱軸與其范圍的相對位 置.1 25解:函數y 2x x 2的對稱軸為x 1.畫出其草圖.(1)當對稱軸在所給范圍左側即t 1時:當 x t 時，ymin 當對稱軸在所給范圍之間即t 11 25當 x 1 時，ymin11 -2 2(3)當對稱軸在所給范圍右側即t 11 2 當 x t 1 時，ymin 2(t 1)2t 10 t 1 時:3;323,t023,0t11 25,-t2t

4、-,t 122綜上所述：y在實際生活中，我們也會遇到一些與二次函數有關的問題：【例5】某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發(fā)現這種商品每天的銷售量m (件)與每件的銷售價 x(元)滿足一次函數 m 1623x,30 x 54 .(1) 寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件銷售價x之間的函數關系式；(2) 若商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件商品的售價定為多少最合適？最大銷售利 潤為多少？解：(1)由已知得每件商品的銷售利潤為(x 30)元,那么m件的銷售利潤為 y m(x 30)，又m 162 3x .2y (x 30)(162 3x)3x 252x 4860,30 x 54(2)

5、由(1)知對稱軸為x 42，位于x的范圍內，另拋物線開口向下2當 x 42 時，ymax3 42252 42 4860 432當每件商品的售價定為 42元時每天有最大銷售利潤，最大銷售利潤為432 元.1. (1)當x1時，ymin1 ;當x5時，ymax37 .(2)當a0時，ymax2710a ；當a0時，ymax2710a .2. 2m1.3. a 2,b24. a1或a1 .5.當t0時，ymax22t，此時 x 1 ； i當t 0時，4二次函數的最值問題答案1. 414 或 2, 322.163. (1)有最小值3,無最大值；(2)有最大值3 314 當X 時，ymin；當X 2時，

6、4 855. y 56.當 x 時，ymin367 當 t時，ymin0 .4B組99，無最小值.4ymax19 .時，ymax3 .ymax2 2t，此時 X 1 .練習A 組21拋物線y x (m 4)x 2m 3，當m = 時，圖象的頂點在y軸上；當m =時，圖象的頂點在 x軸上；當m = 時，圖象過原點.2 用一長度為I米的鐵絲圍成一個長方形或正方形，則其所圍成的最大面積為3.求下列二次函數的最值：2 y 2x 4x 5 ；(2) y (1 x)(x 2).4. 求二次函數y 2x2 3x 5在 2 x 2上的最大值和最小值，并求對應的x的值.5. 對于函數y 2x2 4x 3，當x 0時，求y的取值范圍.6. 求函數y 3 5x 3x2 2的最大值和最小值.7. 已知關于x的函數y x2 (2t 1)x t2 1,當t取何值時，y的最小值為0?B 組21.已知關于x的函數y x 2ax 2在5 x 5上.(1) 當a 1時，求函數的最大值和最小值；22.函數y x(2) 當a為實數時，求函數的最大值.2x 3在m x 0上的最大值為3，最小值為2，求m的取值范圍.3.設a 0,當1 x 1時，函數y2x