二次函數(shù)根的分布和最值

1、二次方程根的分布與二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值歸納1、一元二次方程/+法+。=。根的分布情況設(shè)方程aF+泳+c = O(wO)的不等兩根為即9且$七，相應(yīng)的二次函數(shù)為/(x) = af+瓜+c = 0, 方程的根即為二次函數(shù)圖象與x軸的交點，它們的分布情況見下而各表(每種情況對應(yīng)的均是充要條件)表一：(兩根與。的大小比較即根的正負情況)分布情況兩個負根即兩根都小于0 (%! 0, x2 0, x2 0)一正根一負根即一個根小于0, 一個大于0(內(nèi) 0 0yJyJyJ 1 /vy3支Vy *得出的結(jié)論A0b0A0-0 2a/(0)0/(0)0大 致 圖 象a 0-0 2a/()0-0 2a/()o綜

2、合結(jié)論(不討論4)4A0-00-0 2a/(0)0a/0)0表二：（兩根與攵的大小比較）分布情況，兩根都小于女即xx k, x2 k. x2 k一個根小于k, 一個大于即.5 k ) ayh ./yAvXy八k J3kJ X3 J X得出的結(jié)論A00A0k laJ的0歡0大 致 圖 象a 0k 2aZ)0k 2aJ(k)0/的。綜合結(jié)論(不討論。)0上00-k 2aa/ 0/W0W.表三：(根在區(qū)間上的分布)兩根都在(?,)兩根有且僅有一根在(2,)(圖象有兩種情況，只畫了一種)一根在(?,)，另一根在(p,q), mn p0)mn x)/ n x)tn p / q x得出的結(jié)論*A0 /Wo

3、 /Wo bm - - n 2a/(zn)/(H) 0“)0/(/)/(n)0J(p)/(q)。大 效 圖象a 0 /Wo /Wo bm n2a/(/)/(n)07W。J, 、 或， /(p)0J0/()vO J,5/。綜合結(jié)論(不討論4 )/(?)/() 0 ./(p)/G)，(圖形分別如下) 需滿足的條件是對以上的根的分布表中一些特殊情況作說明：(1)兩根有且僅有一根在(，,)內(nèi)有以下特殊情況：i0若/(。=0或/5)=o,則此時/()/()vo不成立，但對于這種情況是知道了方程有一根為根或，可以求出另外一根，然后可以根據(jù)另一根在區(qū)間(?,)，從而可以求出參數(shù)的值。如方程以2(7 + 2)

4、x+2 = O 22在區(qū)間(1,3)上有一根，因為1) = 0,所以/(7+2)x+2 = (x1)(g一一 2),另一根為一，由iv二32得一2即為所求；320方程有且只有一根，且這個根在區(qū)間(?,)，即 = (),此時由 = ()可以求出參數(shù)的值，然后再將參數(shù)的 值帶入方程，求出相應(yīng)的根，檢驗根是否在給定的區(qū)間內(nèi)，如若不在，舍去相應(yīng)的參數(shù)。如方程4心+ 2? + 6 = 0有且一根在區(qū)間(一3,0),求？的取值范圍。分析：由/(一3卜/(O)vO即 153(14/? + 15)(m + 3) 0 得出一3 加 v - j ：由 = 0 即 16m2 -4(2?+ 6) = 0 得出 m =

5、 -1 或2 =:,當(dāng) ,3/37 = 1時，根工=一2-3,0),即加=一1滿足題意：當(dāng)機=二時，根x = 3e(3,0),故m=5不滿足題意： 22綜上分析，得出一3m一9或7 = 714根的分布練習(xí)題例1、已知二次方程(27 + l)f2a+(?-1) = 0有一正根和一負根，求實數(shù)，的取值范圍。 解：由(27 + 1卜/(0)0即(2z + 1)(l1)v0,從而得；?0一(? + 1)2.2/(0)0 0 = 0m -1m0=/ 3 + 2-72 =m0當(dāng)()時,設(shè)廠f(x)圖象與x軸兩交點為XiVm.次方程f(x)=0的兩根.觀察圖象不難知道.一元二次函數(shù)廠f(X)與X軸交點X：,

6、 X,就是相應(yīng)一元二a 0 A 0使U的x為犬犯，或x x2使 口的 x 為町 x x2便或x)=0的x為爐町，或x=x2a A Q使哈)。的X為肛* X xz使煙;。的犬為外町 或x=x203 + 2立即為所求的范圍。例3、已知二次函數(shù)y = (? + 2)工2一(2?+4)工+(3? + 3)與工軸有兩個交點，一個大于1, 一個小于1,求實 數(shù)？的取值范圍。解：由(；77 + 2)./(1)0 即(7 + 2(26 + 1) 一2? 4(3? + 1) ?0 , =0, a0時，絕對不等式f(x)0解為xR.絕對不等式則0) 方程 ax+bx+x=O 的個根為 a , P (】B ) ,

7、m, n 為常數(shù)，且 nm,方 程根的分布無外乎兩種情況：。，B分居兩區(qū)間時，只考慮端點函數(shù)值的符號，如( -8,打)，J 、J f (n) 0.a, B同居一區(qū)間時，不但要考慮端點函數(shù)值的符號，還要考慮 )。及范圍.2a = b 4&c-0,如：QBE (n, m)2af (m)0,f (n)0.三、好題解給你(1) (1)預(yù)習(xí)題1 .設(shè)有一元二次函數(shù)y=2-8x+L試問，當(dāng)x3, 4時，隨x變大，y的值變大還是變小？由此y=f(x)在3, 4上的最大值與最小值分別是什么？解：經(jīng)配方有y=2(x-2尸-7對稱軸x=2,區(qū)間3, 4在對稱軸右邊，.,.y=f(x)在3, 4上隨x變大，y的值也

8、變大，因此y皿= f (4) =1.y31n=f (3)=-5.2 .設(shè)有一元二次函數(shù)y=2x：-4ax+2+3.試問，此函數(shù)對稱軸是什么？當(dāng)x3, 4時，隨x變大，y的值是變大還是變?。颗ca取值有何關(guān)系？由此，求y=f(x)在3, 4上的最大值與最小值.解：經(jīng)配方有y=2(x-a)+3.對稱軸為x=a.當(dāng)aW3時，因為區(qū)間3, 4在對稱軸的右邊，因此，當(dāng)x3, 4時，隨x變大，y的值也變大.當(dāng)3Va4時，對稱軸x=a在區(qū)間3, 4,此時，若3xWa,隨x變大，y的值變小，但若axW4,隨 x變大，y的值變大.當(dāng)4Wa時，因為區(qū)間3, 4在對稱釉的左邊，因此，當(dāng)x3, 4時，隨x變大，y的值反

9、而變小.(Dm為何值時,(2) m為何值時,(3) m為何值時,(4) m為何值時,(5) m為何值時,根據(jù)上述分析，可知.當(dāng) aW3 時,y皿=f(4)=2-16a+35. y3i.=f (3) =2a：-12a+21.當(dāng) 3VaV4 時，ymn=f(a)=3.其中,aW3.5 時,ys=f(4)=2-16a+35.a23.5 時，y=f(3)=2a:-12a+21.當(dāng) a24 時，y皿=f(3)=2a二-12a+2L ya=f (4) =2a-l6a+35.(2)基礎(chǔ)題例L設(shè)有一元二次方程次方(m-l)x+(m+2)=0,試問： 有一正根、一負根.有一根大于1、另一根小于1.有兩正根.有兩

10、負根.僅有一根在L 4?解：(1)設(shè)方程一正根治，一負根心,顯然x,、X20,依違達定理有m+2V0./.in-2.反思回顧：X，、*V0條件下，ac().(2)設(shè)指L 則 xlIVO, x：-10 只要求(xlI) (xlD VO,即 xix：- (xi+xc)+l0. 依韋達定理有(m+2) +2 (m - 1)+1 VO.解得m0, x：Ot則xs+x20且x- x0,故應(yīng)滿足條件14(m - I)2 -4(m + 2)0,m + 20. i0,0,31叼o依韋達定理有解得Ao,(4)設(shè)XiO, x20,町+幺20,依韋達定理有，-2(m - 2)0.解得 m與叵.乙(5)由圖象不難知道

11、，方程f(x)=O在3, 4內(nèi)僅有一實根條件為f(3) f(4)V0,即 9+6 (m-l) + (m+2) 16+8 (m-1)+(m+2) 0.A (Tm+l) (9m+10) 0.97例2.當(dāng)s為何值時，方程2+4期x +3洛-1 = 0有兩個負數(shù)根？解：負數(shù)根首先是實數(shù)根，ANO,由根與系數(shù)關(guān)系：要使方程兩實數(shù)根為負數(shù)，必須且只需兩根之和為負，兩根之枳為正.由以上分析，有m 12,淀 Q、1滋）一,3 = （4的）2 -4x2x（3-l） 0 一2a 2 = oa 2他e例？ 11的4 L或陽2 1)當(dāng)32時，原方程有兩個負數(shù)根.(3) (3)應(yīng)用題例1. m取何實數(shù)值時，關(guān)于X的方程

12、必+ (m-2) x+5-m=0的兩個實根都大于2? 解：設(shè)f (x)=x+ (m-2) x+5-m,如圖原方程兩個實根都大于2m2 -160, m-2的充要條件是；(-2,解得-5m0,所以當(dāng)-5VmW-4時，方程的兩個實根大于2.例2.已知關(guān)于x方程：x-2ax + a=0有兩個實根。，B,且滿足B 2,求實根a的取值范圍.解：設(shè)f (x)=f-2ax+a,則方程f (x) =0的兩個根。，B就是拋物線y=f (x)與x軸的兩個交點的橫坐 標(biāo)，如圖02的條件是：,（0）0,p0, f （1） 0,即 1-軟0, f 0,4-3a，方程的兩個實根。，B,滿足02.例3.m為何實數(shù)時，關(guān)于x的

13、方程必+ (m-2) x+5-m=0的一個實根大于2,另一個實根小于2.解：設(shè)f (x)=x+ (m-2) x + 5-m,如圖，原方程一個實根大于2,另一個實根小于2的充要條件是f (2) V0,即4+2 (m-2) +5-m0.解得mV-5.所以當(dāng)m-5時，方程的一個實根大于2,另一個實根小于2(4) (4)提高題例1.己知函數(shù)V =(/+4兀-5”2+4(1-幻；0/佑十 5)(上 一1) 00,即，-1)3 79) 0解得：1左19(2)當(dāng)兀2+4后_ 5=0時,=-5或若左=-5,則沙=24x + 3的圖象不可能都在*軸上方，化工-5若左=1,則產(chǎn)3的圖象都在x軸上方由(2)得：1/

14、 0,或上(O) 0, f (1) 0 f (1) 0, f CO) 0, k CD 0解得-12aV0.四、課后演武場L已知方程(bl)x+3k：L=0的兩根都是正數(shù)，則m的取值范圍是(B )- 2 1- - 1- - 1A. 4B. 4C. 4D. 42.方程EK必-1)廿(k2)二0的一個根比1大，另一個根比T小，則的取值范圍是(C )A. 0m2 B. -3ml C. -2m0 D. -lml3 .已知方程化-0-與化=Q有兩個不相等的實數(shù)根，則4的取值范圍是(c ).(村1人；左|比1或上；)(句-1此 0或0左 ；心|一；北0或0此14 .已知關(guān)于x的方程3-+ (m-5) x+7

15、=0的一個根大于4,而另一個根小于4,求實數(shù)m的取值范圍.(m,提示：令f (w) = 3x2 + (m -5)z + 7,由圖象特征可知方程f (x) =0的一根大于4,另一根小于4的充要條件是：f (4) 0)5 .已知關(guān)于x的方程x+2mx + 2m+3=0的兩個不等實根都在區(qū)間(0, 2),求實數(shù)m的取值范圍.25C - m0,f(0)0,F 0,)0 -m ： 2+b=2b=0h+2=5 0時，函數(shù)/(x)在區(qū)間2,3上是增函數(shù)，故，/(x)max=/(3)I。)=(2)當(dāng)avO時，函數(shù)在區(qū)間2,3上是減函數(shù)，故，=a = -lb = 3例2、求函數(shù)/(x) = /-2or+Lxel

16、,3的最小值。解：對稱軸與=。(1)當(dāng) avl 時，yn =/(1) = 2-2；(2)當(dāng) 14,區(qū)3時，)，皿=44)= 1-。2；(3)當(dāng)3時，=7(3) = 10-66/改：1.本題若修改為求函數(shù)的最大值，過程又如何?解：(1)當(dāng)av2時,/(x)max=/(3)= 10-6a；(2)當(dāng)時，/(x)nm =/(l) = 2-2z/.2.本題若修改為求函數(shù)的最值，討論又該怎樣進行？W.解：（1）當(dāng) 41 時，/（力皿=/（3）= 10-6。，/WIlun=/（1）= 2-；當(dāng)K2時，f(x)a=f(3) = 108,=-2；當(dāng) 22時，ynun=/(0=r-4/+3；(2)當(dāng)Y2W/ +

17、1 即 1WY2時，ynun=/(2) = -l：(3)當(dāng) 2，+ 1 即 1V1 時，yn.n=f(t + i) = t2-2t例4、討論函數(shù)/（工）=/+卜一4+ 1的最小值,2解：f（x） = x2+x-a + = ri+Xa+ 一，這個函數(shù)是一個分段函數(shù)，由于上下兩段上的對稱軸分別為 -11 x2-x+a + .x當(dāng)4-1, -時原函數(shù)的圖象分別如下（1）,（2）, （3）1 ( 3因此，(1)當(dāng)時，/(X) f-4：2 v 7m,n I 2j 4當(dāng)一；0【定理1再0,X20,則 ac = 0 .-a例1若一元二次方程（）/ +2（? + 1）、_ = 0有兩個正根，求出的取值范圍。A

18、 = Z?2 - 4cic 0【定理 2】X 0,則 匹+X,=-0、-a【定理3】x 0 x2, WJ-0oc = 0且a2）x 0【定理 1 k x1 0b .一一k2aw.W.A = 5, - 4ac 0【定理21%) x2 0定理 3xxkx2af (Ar) 0/(1)O/氏)0或0fg 0A = - 4ac 0a 0a 0【定理6】klx,x2o或M)0fa2)oki k,2al G 222a1.方程x2+2px+l=0有一個根大于1, 一個根小于1,求p的取值范圍2 .若關(guān)于x的方程x2+(k-2)x+2k-l=0的兩實根中，一根在。和1之間，另一根在1和2之間，求實數(shù)k的取值范圍3 .方程mx2+2(m+l)x+m+3=0僅有一個負根，求m的取值范圍4 .若關(guān)于x的方程kx2-(2k+l)x-3=0在GLD和(L3)內(nèi)各有一個實根，求k的取值范圍5 .己知集合