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1、中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題 函數(shù)考點(diǎn)一、平面直角坐標(biāo)系1、平面直角坐標(biāo)系 在平面畫兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸,就組成了平面直角坐標(biāo)系。其中,水平的數(shù)軸叫做 x 軸或橫軸,取向右為正方向;鉛直的數(shù)軸叫做 y 軸或縱軸,取向上為正方向;兩 軸的交點(diǎn) O (即公共的原點(diǎn))叫做直角坐標(biāo)系的原點(diǎn);建立了直角坐標(biāo)系的平面,叫做坐標(biāo)平面。 為了便于描述坐標(biāo)平面點(diǎn)的位置,把坐標(biāo)平面被 x 軸和 y 軸分割而成的四個(gè)部分,分別叫做第一象限、第 二象限、第三象限、第四象限。注意: x軸和 y 軸上的點(diǎn),不屬于任何象限。2、點(diǎn)的坐標(biāo)的概念點(diǎn)的坐標(biāo)用( a, b)表示,其順序是橫坐標(biāo)在前,縱坐標(biāo)在后,中間有“,”分開,橫、

2、縱坐標(biāo)的位置不能 顛倒。平面點(diǎn)的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對(duì),當(dāng) a b 時(shí),( a,b )和( b, a)是兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)。考點(diǎn)二、不同位置的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征1、各象限點(diǎn)的坐標(biāo)的特征點(diǎn) P(x,y) 在第一象限x0,y0點(diǎn) P(x,y) 在第二象限x0,y0點(diǎn) P(x,y) 在第三象限x0,y0點(diǎn) P(x,y) 在第四象限x0,y02、坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的特征點(diǎn) P(x,y)在 x 軸上y 0 , x 為任意實(shí)數(shù)點(diǎn) P(x,y)在 y 軸上x 0 ,y 為任意實(shí)數(shù)點(diǎn) P(x,y)既在 x 軸上,又在 y 軸上x,y 同時(shí)為零,即點(diǎn) P 坐標(biāo)為( 0,0) 3、兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征點(diǎn) P(x,y

3、) 在第一、三象限夾角平分線上x 與 y 相等點(diǎn) P(x,y) 在第二、四象限夾角平分線上x 與 y 互為相反數(shù)4、和坐標(biāo)軸平行的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征 位于平行于 x 軸的直線上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同。 位于平行于 y 軸的直線上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同。5、關(guān)于 x軸、y 軸或遠(yuǎn)點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征點(diǎn) P 與點(diǎn) p'關(guān)于x 軸對(duì)稱橫坐標(biāo)相等,縱坐標(biāo)互為相反數(shù)點(diǎn) P 與點(diǎn) p'關(guān)于y 軸對(duì)稱縱坐標(biāo)相等,橫坐標(biāo)互為相反數(shù)點(diǎn) P 與點(diǎn) p'關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)6、點(diǎn)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離點(diǎn) P(x,y) 到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離:(1) 點(diǎn) P(x,y)到 x 軸的距離等

4、于 y2)點(diǎn) P(x,y)到 y 軸的距離等于(3)點(diǎn) P(x,y)到原點(diǎn)的距離等于 x2 y2 考點(diǎn)三、函數(shù)及其相關(guān)概念1、變量與常量 在某一變化過(guò)程中,可以取不同數(shù)值的量叫做變量,數(shù)值保持不變的量叫做常量。 一般地,在某一變化過(guò)程中有兩個(gè)變量 x與 y,如果對(duì)于 x的每一個(gè)值, y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng),那 么就說(shuō) x 是自變量, y 是 x 的函數(shù)。2、函數(shù)解析式 用來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。 使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體,叫做自變量的取值圍。3、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點(diǎn)(1)解析法 兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系,有時(shí)可以用一個(gè)含有這兩個(gè)變量及數(shù)字運(yùn)算符號(hào)的等式

5、表示,這種表示法叫做解 析法。(2)列表法把自變量 x 的一系列值和函數(shù) y 的對(duì)應(yīng)值列成一個(gè)表來(lái)表示函數(shù)關(guān)系,這種表示法叫做列表法。(3)圖像法 用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。4、由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟 (1)列表:列表給出自變量與函數(shù)的一些對(duì)應(yīng)值(2)描點(diǎn):以表中每對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo),在坐標(biāo)平面描出相應(yīng)的點(diǎn)(3)連線:按照自變量由小到大的順序,把所描各點(diǎn)用平滑的曲線連接起來(lái)??键c(diǎn)四、正比例函數(shù)和一次函數(shù)1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念一般地,如果 y kx b(k,b是常數(shù),k 0),那么 y叫做x的一次函數(shù)。特別地,當(dāng)一次函數(shù) y kx b中的 b 為 0 時(shí), y kx ( k

6、為常數(shù), k 0)。這時(shí), y叫做 x 的正比例 函數(shù)。2、一次函數(shù)的圖像 所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征:一次函數(shù) y kx b 的圖像是經(jīng)過(guò)點(diǎn)( 0,b)的直線;正比例函數(shù) y kx 的圖像是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)( 0,0)的 直線。k的符號(hào)b 的符號(hào)函數(shù)圖像圖像特征k>0b>0yo x圖像經(jīng)過(guò)一、二、三象限, y 隨 x 的增 大而增大。b<0y0x圖像經(jīng)過(guò)一、三、四象限, y 隨 x 的增 大而增大。K<0b>0y0x圖像經(jīng)過(guò)一、二、四象限, y 隨 x 的增大而減小b<0yo x圖像經(jīng)過(guò)二、三、四象限, y 隨 x 的增大

7、而減小。注:當(dāng) b=0 時(shí),一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù),正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。4、正比例函數(shù)的性質(zhì) 一般地,正比例函數(shù) y kx 有下列性質(zhì):(1)當(dāng) k>0 時(shí),圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限, y隨 x的增大而增大;(2)當(dāng) k<0 時(shí),圖像經(jīng)過(guò)第二、四象限, y隨 x的增大而減小。5、一次函數(shù)的性質(zhì) 一般地,一次函數(shù) y kx b 有下列性質(zhì): (1)當(dāng) k>0 時(shí), y 隨 x 的增大而增大 (2)當(dāng) k<0 時(shí),y隨 x的增大而減小 6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定確定一個(gè)正比例函數(shù),就是要確定正比例函數(shù)定義式 y kx ( k 0)中的常數(shù) k。確定一個(gè)一次函數(shù)

8、, 需要確定一次函數(shù)定義式 y kx b(k 0)中的常數(shù) k 和b。解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法??键c(diǎn)五、反比例函數(shù)1、反比例函數(shù)的概念y kx 1 的k一般地,函數(shù) y(k 是常數(shù), k 0)叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以寫成x形式。自變量 x 的取值圍是 x 0 的一切實(shí)數(shù),函數(shù)的取值圍也是一切非零實(shí)數(shù)。2、反比例函數(shù)的圖像 反比例函數(shù)的圖像是雙曲線,它有兩個(gè)分支,這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限,或第二、四象限,它們 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。由于反比例函數(shù)中自變量 x 0,函數(shù) y 0,所以,它的圖像與 x軸、y 軸都沒(méi)有交點(diǎn),即 雙曲線的兩個(gè)分支無(wú)限接近坐標(biāo)軸,但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。

9、3、反比例函數(shù)的性質(zhì)反比例函數(shù)ky (k 0)xk 的符號(hào)k>0k<0圖像yo xyox性質(zhì)x 的取值圍是 x 0,y 的取值圍是 y 0; 當(dāng) k>0 時(shí),函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第一、三 象限。在每個(gè)象限, y 隨 x 的增大而減小。 x 的取值圍是 x 0, y 的取值圍是 y 0;當(dāng) k<0 時(shí),函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第二、 四象 限。在每個(gè)象限, y 隨 x 的增大而增大。4、反比例函數(shù)解析式的確定k確定及誒是的方法仍是待定系數(shù)法。 由于在反比例函數(shù) y 中,只有一個(gè)待定系數(shù), 因此只需要一對(duì)對(duì)x應(yīng)值或圖像上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),即可求出 k 的值,從而確定其解析

10、式。5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義k過(guò)反比例函數(shù) y (k 0)圖像上任一點(diǎn) P作 x軸、y軸的垂線 PM,PN,則所得的矩形 PMON 的面積xS=PM ?PN= y ? xxy 。xy k,S考點(diǎn)六 二次函數(shù)1、二次函數(shù)的概念一般地,如果 y ax2 bx c(a,b,c是常數(shù), a 0) ,那么 y 叫做 x 的二次函數(shù)。y ax2 bx c(a,b,c是常數(shù), a 0) 叫做二次函數(shù)的一般式。2、二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于 x b 對(duì)稱的曲線,這條曲線叫拋物線。2a 拋物線的主要特征:有開口方向;有對(duì)稱軸;有頂點(diǎn)。3、二次函數(shù)圖像的畫法 五點(diǎn)法:(1)先根據(jù)函數(shù)解析式

11、,求出頂點(diǎn)坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M,并用虛線畫出對(duì)稱軸2(2)求拋物線 y ax2 bx c 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn):當(dāng)拋物線與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),描出這兩個(gè)交點(diǎn) A,B 及拋物線與 y 軸的交點(diǎn) C,再找到點(diǎn) C 的對(duì)稱點(diǎn) D。 將這五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序連接起來(lái),并向上或向下延伸,就得到二次函數(shù)的圖像。當(dāng)拋物線與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)或無(wú)交點(diǎn)時(shí), 描出拋物線與 y 軸的交點(diǎn) C 及對(duì)稱點(diǎn) D。由 C、M 、D 三點(diǎn)可粗 略地畫出二次函數(shù)的草圖。 如果需要畫出比較精確的圖像, 可再描出一對(duì)對(duì)稱點(diǎn) A、B,然后順次連接五點(diǎn), 畫出二次函數(shù)的圖像。4、二次函數(shù)的解析式有三種形式:1)一般式:y

12、2 axbxc(a, b, c是常數(shù), a 0)2)頂點(diǎn)式:ya(xh)2k (a, h, k是常數(shù), a 0)3)當(dāng)拋物線y2 axbx2c與 x軸有交點(diǎn)時(shí),即對(duì)應(yīng)二次好方程 ax bx c 0有實(shí)根 x1和 x222存在時(shí),根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式 ax bx c a(x x1)(x x2 ) ,二次函數(shù) y ax bx c可轉(zhuǎn)化為兩根式 y a(x x1)(x x2) 。如果沒(méi)有交點(diǎn),則不能這樣表示5、二次函數(shù)的最值,即當(dāng) x b 時(shí),2a如果自變量的取值圍是全體實(shí)數(shù),那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值(或最小值)y最值4ac b24a如果自變量的取值圍是x1 x x2 ,若在此圍,x1 x x

13、2 ,那么,首先要看 b 是否在自變量取值圍2a則當(dāng) x=2a時(shí), y最值4ac b ;若不在此圍,則需要考慮函數(shù)在4ax1 xx2 圍的增減性,如果在此圍,隨x的 增 大 而 增 大 , 則 當(dāng) x x2 時(shí) , y最大2ax2 bx2 c , 當(dāng) xx1 時(shí) ,y最小2ax1bx1當(dāng)xx2 時(shí),y 最小c ;如果在此圍, y 隨 x 的增大而減小, 則當(dāng) ax22 bx2c。x x1 時(shí), y最大2ax1bx1 c ,6、二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)圖像0)a>0a<01)1)二次函數(shù)ax 2 bx c(a,b,c是常數(shù),性質(zhì)2)4ac拋物線開口向上,并向上無(wú)限延伸;對(duì)稱軸是 x= b

14、,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2ab2 );4ab2a( 3)在對(duì)稱軸的左側(cè),即當(dāng) x< b 時(shí),2ax 的增大而減??;在對(duì)稱軸的右側(cè),即當(dāng) x> b 時(shí),y 隨 x 的增大而增大,簡(jiǎn)記左減右 2a增;y隨4)拋物線有最低點(diǎn),當(dāng) x= b 時(shí), y 有最2a小值, y 最小值 4ac b4a2)4ac拋物線開口向下,并向下無(wú)限延伸; 對(duì)稱軸是 x= b ,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2ab2ab2 );4a3)在對(duì)稱軸的左側(cè),即當(dāng) x<b 時(shí),2ax 的增大而增大;在對(duì)稱軸的右側(cè),即當(dāng)x> b 時(shí),y 隨 x 的增大而減小, 簡(jiǎn)記左增右 2a減;(4)拋物線有最高點(diǎn),當(dāng) x= b 時(shí), y 有最2ay隨大值, y最大值 4ac b24a2、二次函數(shù) y ax2 bx c(a,b,c是常數(shù), a 0) 中, a、b、 c的含義:a 表示開口方向: a >0 時(shí),拋物線開口向上a <0 時(shí),拋物線開口向下bb 與對(duì)稱軸有關(guān):對(duì)稱軸為 x= b2ac表示拋物線與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo): (0, c )3、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系 一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。2因此一元二次方程中的b2 4ac ,在二次函數(shù)中表示圖像與 x 軸是否有交點(diǎn)當(dāng) >

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