【高考理數(shù)】基本初等函數(shù)性質(zhì)及應用(解析版)

1、2020 年高考數(shù)學(理)總復習：基本初等函數(shù)性質(zhì)及應用題型一 求函數(shù)值題型要點解析】已知函數(shù)的解析式， 求函數(shù)值， 常用代入法， 代入時，一定要注意函數(shù)的對應法則與自變量取值范圍的對應關系，有時要借助函數(shù)性質(zhì)與運算性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化1例 1若函數(shù) f(x) a|2x4|(a>0，且 a1)，滿足 f(1) 19，則 f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 ( )A (， 2B 2， )C 2， )D (， 21 1 1 1解析】 由 f(1) 91，得 a2 19，解得 a31或 a 31(舍去 )，即 f(x)1 2x 41 由于 y3|2x4|在( ，2上遞減，在 2，)上遞增，所以 f(x)在(，2

2、上遞增，在 2，)上遞減答案】 B3x2ln 1x2x， x 0，例 2已知函數(shù) f(x)若 f(x1)<f(2x1)，則 x 的取值范3x2ln 1x2x， x<0，圍為x 2x)3x2 ln ( 1x2x)f(x)，同理可得， x<0 時， f( x) f(x)，且 x0 時，f(0)f(0)，所以 f(x)是偶函數(shù)因為當解析】 若 x>0，則 x<0，f ( x) 3(x)2ln ( 1x>0時，函數(shù) f(x)單調(diào)遞增，所以不等式 f(x1)<f(2x1)等價于 |x 1|<|2x1|，整理得 x(x2)>0 ，解得 x>0 或

3、 x<2.答案】(， 2) (0， )例 3 已知5a>b>1，若 logab logba2，ab ba，則 a，b解析】logablogba log ab 151logab 2， log ab 2 或2. a> b>1， log ab<log aa11， log ab 2， ab2.abba， (b2)bbb2，即 b2bbb2.2bb2，b2，a4.13答案】 4； 2題組訓練一 求函數(shù)值1已知函數(shù) f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)，且在區(qū)間 0， )單調(diào)遞增若實數(shù) a 滿足1f(log2 a)f(log2a) 2f(1)，則 a 的最小值是 ()A.3

4、2B 11C.【答案】 13題型二 比較函數(shù)值大小【題型要點解析】三招破解指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)值的大小比較問題(1) 底數(shù)相同，指數(shù)不同的冪用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較；(2) 底數(shù)相同，真數(shù)不同的對數(shù)值用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較；(3) 底數(shù)不同、 指數(shù)也不同， 或底數(shù)不同、 真數(shù)也不同的兩個數(shù)， 常引入中間量或結(jié)合圖2D 211【解析】 log 2a log 2a，f (log 2 a)f (log 2 a)2f(1)，所以 2f(log2 a)2f(1)，所以|log211a| 1，解得 12a2，所以 a 的最小值是 21，故選 C.【答案】 C12若函數(shù) f(x) ax 2 2a(a>

5、0，a 1)的圖象恒過定點 x0, ，則函數(shù) f(x)在0,3上的最 3小值等于 【解析】 令 x20得x2，且 f(2)12a，所以函數(shù) f(x)的圖象恒過定點 (2,1 2a)，1 1 2因此 x02，a31，于是 f(x) 13 x2 32，f(x)在 R 上單調(diào)遞減，故函數(shù) f(x)在0,3 上的最小1值為 f(3) 3.象比較大小例 1 已知 a 12A a<b<cCc<b<a1解析】 因為 a2211513則(b，c)425Bb<c<aDb<a<c421324，b ? bac<abc，B 錯誤；對 C：要比較524，c1 3 2

6、 5 ，顯然有 b<a，又 a34525 343<53 c，故 b<a<c.答案】 D例 2已知 a 3，b 3，c e，則 a、 b、 c 的大小關系為 (A a>b>cBa>c>bCb>c>aD b>a>c【解析】 a 3，b 3，c e，函數(shù) yx是 R 上的增函數(shù)， 且 3>e>1，3>e， 即 b>c>1；設 f(x)x33x，則 f(3)0，x3 是 f(x)的零點， f(x)3x23x· ln ，3f(3) 27 27ln 3<0，f(4)4881ln 3<

7、0，函數(shù) f(x)在(3,4)上是單調(diào)減函數(shù)， f( )f<(3) 0， 3 3<0 ，即 3<3， a<b；又 e<e<3， c<a；綜上 b>a>c.故選 D.答案】 D題組訓練二 比較函數(shù)值大小1若 a>b>1,0<c<1，則 ()Aac<bcBabc<bacCalogbc<blogacD logac<log b c【解析】 對 A：由于 0<c<1，函數(shù) yxc在 R 上單調(diào)遞增，則 a>b>1? ac>bc，A 錯 誤；對 B：由于 1<c 1&l

8、t;0 ，函數(shù) yxc1在(1， )上單調(diào)遞減，又 a>b>1，ac1<bc只需比較ln cbln baln c bln c alogbc和 blogac，只需比較 ln b和 ln aln c和 ，只需 bln b 和 aln a；構(gòu)造函數(shù) f(x)xln x(x>1)，則 f(x)ln x 1>1>0 ， f( x)在 (1， aln a11 )上單調(diào)遞增，因此 f(a)>f(b)>0? aln a>bln b>0? aln a<bln b，又由 0<c<1 得 ln c<0， ln c ln c ln c

9、 ln caln a>bln b? blogac>alogbc，C 正確；對 D：要比較 logac 和 logbc，只需比較 ln a和 ln b，而函11數(shù)yln x在(1， )上單調(diào)遞增， 故a>b>1? ln a>ln b>0? ln a<ln b，又由 0<c<1得 ln c<0， llnn ca>llnn cb? logac>logbc，D 錯誤故選 C.【答案】 C2設函數(shù) f(x)ex2x4，g(x)ln x2x25，若實數(shù) a， b分別是 f(x)，g(x)的零點， 則()A g(a)<0<f

10、(b)Bf(b)<0<g(a)C0<g(a)<f(b)D f(b)<g(a)<0【解析】 依題意， f(0) 3<0，f(1)e2>0，且函數(shù) f(x)是增函數(shù)，因此函數(shù) f(x)的 零點在區(qū)間 (0,1)內(nèi)，即 0<a<1.g(1) 3<0，g(2) ln 23>0，函數(shù) g(x)的零點在區(qū)間 (1,2)內(nèi)， 即 1<b<2，于是有 f(b)>f(1)>0.又函數(shù) g(x)在(0,1)內(nèi)是增函數(shù)， 因此有 g(a)<g(1)<0，g(a)<0<f(b)， 選 A.【答案】

11、A題型三 求參數(shù)的取值范圍【題型要點解析】利用指、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可以求解的兩類熱點問題及其注意點(1) 對一些可通過平移、 對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù)， 在求解其單調(diào)性 (單調(diào)區(qū)間 )、 值域 (最值)、零點時、常利用數(shù)形結(jié)合思想求解(2) 一些對數(shù)型方程、 不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應的函數(shù)圖象問題， 利用數(shù)形結(jié)合法求解(3) 注意點： 利用對數(shù)函數(shù)圖象求解對數(shù)型函數(shù)性質(zhì)及對數(shù)方程、 不等式問題時切記圖象 的范圍、形狀一定要準確，否則數(shù)形結(jié)合時將誤解對于含參數(shù)的指數(shù)、指數(shù)問題，在應用 單調(diào)性時， 要注意對底數(shù)進行討論 解決對數(shù)問題時，首先要考慮定義域， 其次再利用性質(zhì) 求解1 2a x

12、3a，例 1已知 f(x)ln x， x 1x<1，的值域為 R ，那么的取值范圍是 ( )A (， 1B.1,12C. 1,12D.0,12解析】 要使函數(shù) f(x)的值域為R，需使12a>0，1a<2，ln 1 1 2a 3a， 1 aa1，1< 2.故選 C.答案】 C例 2設函數(shù) f(x) xx 1， x 0，2x，x>0，則滿足f(x)f x 1 >1的 x的取值范圍是2解析】1由題意， 當 x> 21時，f (x) f1112x2x >1 恒成立， 即 x> 滿足題意；2221 當 0<x 12時，111f(x)f x2x

13、x 1>1 恒成立，即 0<x 滿足題意；當 x0 時，222f(x) f x 121 1 1 1x1x21>1，解得 x>4，即 4<x 0.綜上，x 的取值范圍是,答案】1,4題組訓練三 求參數(shù)的取值范圍 x 6， x 2， 例 1 若函數(shù) f(x)3log ax，x>2(a>0，且 a1)的值域是 4， )，則實數(shù) a 的取值范圍是 【解析】 當 x2 時， f(x)x6，f(x)在(，2上為減函數(shù)， f(x)4)當 x>2 時，若 a (0,1) ，則 f(x)3logax 在(2， )上為減函數(shù)， f(x)(，3 loga2)，顯示不滿

14、足題意， a>1，此時 f（x）在 （2，）上為增函數(shù)， f（x）（3loga2， ），由題意可 知（3loga2， ）? 4 ， ），則 3log a2 4，即 loga21，1<a2.答案】 （1,2例 2設函數(shù) f（x） 的最小值為 1，則實數(shù) a 的取值范圍是21 x2 2xa，x<2， 4x3，x12解析】1當 x21時， 4x3 為增函數(shù)，最小值為11f 1，故當 x< 時， x2 2x22a 1.分離參數(shù)得 ax22x1 （x 1）2，函數(shù) y（x1）2開口向下，且對稱軸為 x21， 4，11 1，故在, 上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在 x 處有最大值，最大值為2

15、21即 a 1.4答案】專題訓練】、選擇題1定義在 R 上的函數(shù) f（x）滿足 f（x） f（x），f（x2）f（x2），且 x（ 1,0）時， f（x）14D2x 5，則 f（log220）等于 （）A1C 1【解析】 由 f(x 2) f(x2)，得 f(x)f(x4)，因為 4<log 220<5 ，所以 f(log220)f(log220 4) f(4log220)f(log2 54) (2log 254 15) 1.答案】 C2定義在 R 上的偶函數(shù) f(x)滿足：對任意的 x1，x2 (， 0)(x1x2)，都有<0，則下列結(jié)論正確的是 ( )Af(0.32)&l

16、t;f(20.3)<f(log 25)Bf(log25)<f(20.3)<f(0.32)Cf(log25)<f(0.32)<f(20.3)Df(0.32)<f(log 25)<f(20.3)【解析】 對任意的 x1， x2 (，0)，f x1 f x2 且 x1 x2，都有<0 ，x1 x2f(x)在(，0)上是減函數(shù)又 f(x)是 R 上的偶函數(shù)，f(x)在(0， )上是增函數(shù) 0<0.32 <20.3<log 25， f(0.32)<f(20.3)<f(log25)故選 A.f x1 f x2【答案】 A3153

17、已知 f(x)是奇1 函數(shù)，且 f(2x)f(x)，當 x2,3 時， f(x)log2(x1)，則 f3等于()A2 log 23B log23 log 27Clog 27 log 23D log23 2解析】因為 f(x)是奇函數(shù)，且 f(2x)f(x)，所以 f(x2) f(x)，所以 f(x4)f(x)，1所以 f 13f 2 13 f f 4又當 x2,3時， f(x) log 2(x 1)，所以 f 7 log2 73341 log232 log23，191所以 flog23 2，故選 D.3答案】 D14已知函數(shù) y f( x)是 R 上的偶函數(shù)，設 aln ， b(ln 2ln

18、 ，所以 |b|>|a|>|c|，因此 f(c)>f(a)>f(b)，故選 D.【答案】 D5已知函數(shù) y f( x)的圖象關于 y軸對稱，且當 x ( ， 0)時， f( x) xf (x)<0 成立， a (20.2 ) ·f(20.2)， b (log 3) ·f(log 3)， c (log 39) ·f(log 39)，則 a，b，c的大小關系是 ()A b>a>cB c>a>bCc>b>aD a>c>b【解析】 因為函數(shù) yf(x)關于 y軸對稱，所以函數(shù) yxf(x)為奇函

19、數(shù) 因為xf(x) f(x) xf ( x)，且當 x(，0)時， xf(x)f(x)xf (x)<0，則函數(shù) yxf(x)在(，0) 上單調(diào)遞減；因為 y xf (x)為奇函數(shù)，所以當 x (0， )時，函數(shù) y xf( x)單調(diào)遞減因為 1<20.2<2,0<log 3<1， log392，所以 0<log 3<20.2<log39，所以 b>a>c，選 A.【答案】 A)， c ln ，當對任意的 x1，x2(0， )時，都有 (x1x2) ·f (x1) f (x2)<0 ，則 ()Af(a)>f(b)&

20、gt;f(c)Bf(b)>f(a)>f(c)Cf(c)>f(b)>f(a)D f(c)>f(a)>f(b)【解析】 由 (x1x2)f(x1)f(x2)<0 可知，f x1 f x2x <0，所以 yf(x)在(0， )上單調(diào)遞減又因為函數(shù) y f(x)是 R 上的偶函 x1 x21數(shù)，所以 yf(x)在(，0)上單調(diào)遞增，由于 aln ln < 1， b(ln ) 2， cln 6設 a0.23，blog0.30.2，clog30.2，則 a，b，c 大小關系正確的是 ( )A a>b>cB b>a>cCb>

21、c>aD c>b>a【解析】 根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增減性知，因為0<a0.23<0.20 1，blog0.30.2>log0.30.31，clog30.2<log 310，所以 b>a>c，故選 B.【答案】 Ba， a b 2，7對任意實數(shù) a，b 定義運算“ ”： ab設 f(x) 3x 1(1x)，若函b， a b>2，數(shù) f(x)與函數(shù) g(x)x26x 在區(qū)間 (m， m 1)上均為減函數(shù)，則實數(shù) m 的取值范圍是 ( )A 1,2B(0,3C0,2D 1,3 x 1， x>0 ，【解析】 由題意得 f(x) x1

22、3x1，x0，函數(shù) f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，函數(shù) g(x)(x3)29 在( ， 3上單調(diào)遞減，若m0，函數(shù) f(x)與 g( x)在區(qū)間 (m， m 1)上均為減函數(shù)，則得 0 m 2，故選 C.m13，【答案】 Cfx ，x>0，8已知函數(shù) f(x) a|log2 x| 1(a0)，定義函數(shù) F(x)給出下列命題：f x ， x<0， F(x)|f(x)|；函數(shù) F(x)是偶函數(shù)； 當 a<0 時，若 0<m<n<1，則有 F(m)F(n)<0 成立；當 a>0 時，函數(shù) yF(x)2有 4 個零點其中正確命題的個數(shù)為 ( )A 0B1

23、C2D 3fx ，x>0【解析】 函數(shù) f(x)a|log2x|1(a0)，定義函數(shù) F(x)， |f(x)|f x ， x<0|a |log2x| 1|， F(x)|f(x)|，不對；f x ， x<0 F(x)F(x)，函數(shù) F(x)是偶函數(shù)，故正確；fx ，x>0 當 a<0 時，若 0<m<n<1， |log2m|>|log2n|， a|log2m|1<a|log2n|1，即 F(m)<F(n) 成立，故 F(m)F(n)<0 成立，所以正確；f x ， x>0， f(x) a|log2x|1(a0)，定義函

24、數(shù) F(x)f x ， x<0，x>0 時， (0,1)單調(diào)遞減， (1， )單調(diào)遞增，x>0 時， F(x)的最小值為 F(1)1，故 x>0 時，F(xiàn)(x)與 y2有 2 個交點，函數(shù) F(x)是偶函數(shù)， x<0 時， F (x)與 y 2有 2個交點，故 當a>0時，函數(shù) yF(x)2有 4個零點，所以正確答案】 D二、填空題1.已知奇函數(shù) f(x)在 R 上是增函數(shù)， g(x)xf(x)若 ag(log25.1)，bg(20.8)，c g(3)， 則 a，b，c 的大小關系為 【解析】 依題意 a g( log25.1) ( log 25.1) f&#

25、183;( log 25.1) log25.1f(log 25.1) g(log 25.1)因為 f(x)在 R 上是增函數(shù)，可設 0<x1< x2，則 f(x1)<f(x2)從而 x1f(x2)<x2f(x2)，即 g(x1)< g(x2)所以 g(x)在(0， )上亦為增函數(shù)又 log25.1>0,20.8>0,3>0，且log25.1<log283，20.8<21<3，而 20.8<21log24<log25.1， 所以 3> log25.1 > 20.8> 0，所以 c> a>b

26、.【答案】 b<a<c2x，x12已知函數(shù) f(x)若不等式 f(x)5mx 恒成立，則實數(shù) m 的取值ln x 1 ， 1<x 2范圍是 【解析】 設 g(x) 5mx，則函數(shù) g(x) 的圖象是過點 (0,5) 的直線在同一坐標系內(nèi)畫出函數(shù)yf(x)和 g(x) 5 mx的圖象， 如圖所示 不等式 f(x)5mx恒成立， 函 數(shù) yf(x)圖象不在函數(shù) g(x)5mx 的圖象的上方結(jié)合圖象可得， 當 m<0時不成立； 當 m 0時成立； 當 m>0時，需滿足當 x2時， 55g(2)52m0，解得 0<m 2.綜上可得 0m2.實數(shù) m 的取值范圍 是 0， 52 .xln 1x x2，x 03已知函數(shù) f(x)2 ，若 f(a)f(a)2f(1)，則實數(shù) a 的取值范 xln 1 x x2， x<0圍是 ( )A(， 11 ， )B1,0C0,1D 1,1xln 1 x x2，x0解析