四種線性代數(shù)模型

1、線性代數(shù)是高等學(xué)校理工科和經(jīng)濟(jì)類學(xué)科相關(guān)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，它不僅是其他數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)，也是物理、力學(xué)、電路等專業(yè)課程的基礎(chǔ)。作為處理離散問題工具的線性代數(shù)，也是從事科學(xué)研究和工程設(shè)計(jì)的科研人員必備的數(shù)學(xué)工具之一。實(shí)驗(yàn)一生物遺傳模型1 .工程背景設(shè)一農(nóng)業(yè)研究所植物園中某植物的基因型為 后代是從每個(gè)親體的基因?qū)χ袀€(gè)繼承一個(gè)基因， 由兩個(gè)基因A、a控制的，那末就有三種基因?qū)?AA、Aa和aa。常染色體遺傳的規(guī)律是： 形成自己的基因?qū)?。如果考慮的遺傳特征是 記為AA、Aa和aa。研究所計(jì)劃采用 Aa(AA)問經(jīng)過若干年后，這種植物的任型的植物與每一種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代。意一代的三種

2、基因型分布如何 ？2 .問題分析6-4所示。n代植物中基因型AA、Aa、aagil的植物占植物總數(shù)的百分率。分析雙親體結(jié)合形成后代的基因型概率，如表則第n代植物的基因型分布為(n)Xanbn，(0) xa。b0表示植物型的初始分布。依據(jù)上述基因型概率矩陣,an 12bnbnC0cn 1 5 cn 0 5anbncn基因?qū)A-AAAA - AaAA 一aaAaAaAa aaaaaaAA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/21表6-4基因型概率矩陣3.模型建立與求解設(shè)an, bn, cn分別表示第矩陣形式anbn1/21/2an bn1/ 21/ 2Mx(n 1)

3、2 (n 2)3 (nM x M x3) L Mn (0)X 。于是問題歸結(jié)為如何計(jì)算 M n ,可將M對(duì)角化。易于計(jì)算 M的特征值為1、1/2、0,其相應(yīng)的特征向量為(1,0,0)T, (0, 1,0)T，(1, 1/21/22,1)To0_ 11 P 。Word文檔于是(n)Xn (0)Xn11/20P 0 1/ 2 1 P 1x(0)1011n0010012 0(1/2)n0010 0100000112x(0)11 1 (1/ 2n) 1 (1/2n1)01/ 2n1/2n 1 x000a0 b0 C0 (1/2n)b0 (1/2n1)C0(1/2n)b0 (1/2n1)C001 (1/

4、2n)b0 (1/2n1)C0(1/2n)b0 (1/2n1)，。當(dāng)n , % 1,bn0 ,因此，可以認(rèn)為經(jīng)過若干年后，培育出的植物基本上呈現(xiàn)AA型。實(shí)驗(yàn)二員工培訓(xùn)問題1 .工程背景某試驗(yàn)性生產(chǎn)線每年一月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計(jì)，然后將1/6熟練工支援其他生產(chǎn)部門，其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊。新、老非熟練工經(jīng)培訓(xùn)及實(shí)踐至年終考核Xn有2/5成為熟練工。若記第 n年一月份統(tǒng)計(jì)的熟練工與非熟練工所占比例分別為n 。yn2 .問題問題1:第n+1年熟練工與非熟練工所占比例Xn 1與第n年熟練工與非熟練工所占比yn 1, Xn , 一 例n的關(guān)系。yn1問題2:若第1年熟練工與非熟練工所占

5、比例為“2 ,求 “1y11yn 123.模型建立與求解依據(jù)題意，有Xn 15217Xn 7(7Xn65 6yn), yn 13/15(6Xnyn)。Word文檔92xnYn10513xYn105xn 1整理化簡(jiǎn)得yn 19_ 2即 xn 110 5xn ,記 AYn 1工 3丫口10 5,一, Xn 1由問題1結(jié)果，有 n 1 Ayn 19 210石，亦有xn1A xn1 3Yn 1Yn10 51xnA2 xn1L An 2。YnYn 112問題歸結(jié)為求 An ,可將A對(duì)角化。易于計(jì)算1、1/2是矩陣A的兩個(gè)特征值，且相應(yīng)的特征向量為 4,1 T,1,1T。92記 P 41 ,則 P 10

6、5 P 1111 310 51 n1 n4 (-)4 4(-)An111221 45 一 1、n一，1、n1 (-)1 4(-)22實(shí)驗(yàn)三多金屬分選流程計(jì)算1.工程背景設(shè)，j原礦產(chǎn)率及第j種產(chǎn)品產(chǎn)率，%,100%;i一原礦中第i種金屬品位，；ij 第j種產(chǎn)品中第i種金屬品位，；.一第j種產(chǎn)品中第i種金屬的理論回收率，；IIWord文檔按照金屬平衡和產(chǎn)率平衡進(jìn)行計(jì)算。為了計(jì)算方便，尾礦視為產(chǎn)品。 金屬平衡，ni j ij, i 1,2,L ,m j i產(chǎn)品平衡，nj 100%j i其中，尾礦產(chǎn)率及金屬品位為n, i in100%解次多元線性方程組求出產(chǎn)品產(chǎn)率。各產(chǎn)品任一金屬回收率j ij j 1

7、2 .問題鋅、硫精礦和尾礦，已化驗(yàn)知各產(chǎn)品的金屬品位（見某鉛鋅礦選礦廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為鉛、 卜表），試計(jì)算各產(chǎn)品產(chǎn)率和回收率。表6-5各產(chǎn)品的化驗(yàn)品位產(chǎn)品名稱品位鉛（金屬1）鋅（金屬2）硫（金屬3）原礦3.143.6315.41鉛71.043.7115.70鋅1.2051.5030.80硫0.380.3542.38尾礦0.340.101.403 .模型建立與求解設(shè)鉛、鋅、硫和尾礦的產(chǎn)率為x1,x2,x3和X4 ,按照金屬平衡與產(chǎn)率平衡，可建立以下線性方程組：71.04% 1.20X2 0.38X3 0.34x4 100 3.143.71X1 51.50x2 0.35x3 0.10x4 100 3.

8、6315.70% 30.80x2 42.38x3 1.40x4 100 15.41x1 x2 x3 x4 100MATLAB源代碼：A=71.041.20 0.38 0.34;3.7151.50 0.35 0.10;15.70 30.80 42.38 1.40;1 1 1 1%創(chuàng)建系數(shù)矩陣b=314363 1541 100' % 常數(shù)列矩陣x=Ab %利用 x=inv(A)*b x =3.86596.459028.204661.4706Word文檔又 x0=repmat(x,1,4);%創(chuàng)建多維數(shù)組B0=repmat(b,1 4)'s=x0.*A'./B0%計(jì)算各產(chǎn)品的

9、理論回收率，最后一列為產(chǎn)率s=87.46233.95113.93863.86592.468491.636112.90966.45903.41332.719477.567128.20466.65601.69345.584661.4706將計(jì)算結(jié)果填入下表表6-6各產(chǎn)品產(chǎn)率及回收率計(jì)算結(jié)果產(chǎn)品名稱產(chǎn)率/%回收率/%鉛鋅硫原礦100100100100鉛3.865987.46233.95113.9386鋅6.45902.468491.63616.4590硫28.20463.41332.719428.2046尾礦61.47066.65601.693461.4706實(shí)驗(yàn)四交通流量模型1 .問題，計(jì)算各線路

10、上車輛數(shù)圖6-8給出了某城市部分單行街道的交通流量(每小時(shí)過車數(shù))x3 100 ,x6i Li I300_4300 _x2 . x5 300-x1 .60b200x7200x8500300 *500 -.x9x10600700圖6-8假設(shè)：(1)全部流入網(wǎng)絡(luò)的流量等于全部流出網(wǎng)絡(luò)的流量.(2)全部流入一個(gè)節(jié)點(diǎn)的流量等于全部流出此節(jié)點(diǎn)的流量.2 .模型的建立與求解由假設(shè)可知，所給問題滿足如下線性方程組Word文檔x2x3x4300x4 x5 500x7x6200x1x2800x,x5800x7x8100x9400xi0x9200xi0600x8x3 %1003 . Matlab程序?qū)崿F(xiàn)A=0,1

11、,-1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0;1,1,0,0,0,0,0,0,0,0;1,0,0,0,1,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,0,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,0,1,0,0,1,0,1,0,0%矩陣Ab=300;500,200;800;800;100;400;200;600,100B=A,b%增廣矩陣BRank(A)%計(jì)算矩陣A的秩Rank(B)%計(jì)算增廣矩陣B的秩，若秩相等，則有解rref

12、(B)%將增廣矩陣B化為最簡(jiǎn)型4 .結(jié)果分析增廣矩陣B =01-1100(100C300001100a05LI000000-11002001100000a0SOO1CID10C000sao0LJLI00011001000000000i040Q00Cl00000T120000a000(1001600Q01Q0101Qq1QQ系數(shù)矩陣的秩Rank(A)=8增廣矩陣的秩 Rank(B)=8<10 ,說(shuō)明該非齊次線性方程組有無(wú)窮多個(gè)解.增廣矩陣的最簡(jiǎn)型為：Word文檔10001&c000SCO100-3口ca000010a0000020000010000500000U0101cu-10&0000110WO000a0a1i1000000000001BOOQQQCQQ0Q00Q0000na0000其對(duì)應(yīng)的齊次同解方程組為 ：x x5 800X2 X5 0x3 200