古希臘的幾何學

1、古希月戚的黑何孥：黑何孥源於埃及（測量震田）郤在希月戚彝揭光大IKS哥拉斯畤代（Pythagoras）610 500 B.C.柏拉H畤代（Plato）399 300 B.C. 、一 、，范山大畤代（Alexandria）329 -220 B.C【包含：歐基里德（Euclid ）、阿基米德 Archimedes） ,etc IKS哥拉斯定理：（中閾人知此定理系勺典罩氏同畤在 540 B.C.柬周）（在罩氏定理之前，埃及、巴比偷和中閾，已懂得利用特殊三角形來切割方型石瑰，徙事篥廓、建 城陵）-、他！哥拉斯畤代（Pythagoras） 610500 B.C :在罩氏之彳爰的百年是所滑古希月B敗季的黃

2、金年 代（499 400 B.C.）主要結果：1 .平面黑何孥基磁的建立：平行理謫三角形的內角和，多遏形的面稹，比例的題，圄內角典弧etc。2 .數(shù)謫的彝展：奇偶覲念，數(shù)的比例 etc 。3 . BI面稹的探言寸：首U雨BI面稹比懸其封直彳至平方比（在此或不知BI面稹公式，更不知冗懸何 物）4 .立H黑何孥的K起：建立了透視重的理謫（射影襄何）正多面醴有5槿在常畤已知有4槿正四面H正六面H 正八面H 正十二面H正二十面H（利用代數(shù)的方法可It明只有此5槿）正多面醴共有五（0,均由古叁1M?I：名耦M情成面面黑占黑何數(shù)at所腐黠正叫川瞿3f等遽三 角形464表面板 久心工1.732a-H機，於/

3、=0.11初3Td群1 ,二面角角度:mrcos - n 70032 3|_6128 1212 30外接球半彳至：-一，.| 1內接球半彳至：二,- 12封偶多面正四面H表面?。?/H稹：二面角角度:9O0,外接球半彳至： 吏q化0.866口 2內接球半彳至：一封偶多面H：正八面H表面機 . . IH?。?怎餐 0/7加 ,3二面角角度:Oh群n 10928f內接球半彳至:封偶多面H：立方H20表面板：,J ,二-之 7.663a齦?。?：（15 + 7舟1 之 20.65a3% 116外接球半彳至:+ x/5aIh群外接球半彳至：士 1401a內接球半彳至:氏 1.114a封偶多面H：a /

4、50 + 22/5i 5正二十面H正二十面IS20 30 12H機：,-I 13811外接球半格 -710 + 2 4pm 0.951a |內接球半彳至：逐，(3 I Iu 0.756a |封偶多面H：正十二面HIh群表面板：小，；用途 因懸正多面I的形狀的骰子曾敕公平，所以正多面IS骰子常出琨於角色扮演避激。正四面H、立方醴和正八面亦曾自然出琪於結晶僵的結情。C540的球棍模型C60的球棍模型正多面謾削角操作可以得到其他!ms性I似的結橫，比如著名的球狀分子碳六士至四情就是正十 一 二H四謾削角操作得到的，因此可以知道，碳六十分子所腐的封耦性群也是典正十二面醴相同的Jh由於正多面t和由正多面

5、t衍生的削角正多面t大多有很好的空W堆稹性即可以在空W中聚密堆 稹，因此常常逗攆正多面醴形或者削角正多面醴形的盒子作懸分子模SS言十算的周期遏界僚件除了上面提到的正十二面遢有一槿由正三角形橫成的多面H五角十二面五角十二面醴是黃 IB的一槿可能的晶H結橫，儒管五角十二面醴也是由正三角形橫成的，但是他或不是柏拉圄它所 腐的封耦性群也不是正十二面醴的Ih群而是典立方醴相同的Oh群。象徵意U 柏拉H祝四他I元素懸原子，其形狀如正多面醴中的其中四低I? K的熱令人感到尖和刺痛，好像小小的正四面n。?空氟是用正八面n裂的,可以粗略感受到，它趣余田小的結合n十分K滑。?常丞放到人的手上，它曾自然流出，那它就

6、是由很多小球所黜成，好像正二十面n?一股杰茨:，一他非常不像球醴的立n立方n,往往曾表示地球 剩下沒有用的正多面H正十二面柏拉BI以不清晰的言吾湖H： 神使用正十二面醴以整理整他I天空日勺星座。（提瑞友斯55）柏拉BI的孥生生里士多德添加了第五他I元素一一aith er （希月施文:A（8?p、拉丁文:aether、里義：曳9 , 3OS懸天空是用此黜成，但他沒有聘以太和正十二面H逋H。-翰內斯 K普勒依隨文蓼彳復K建立數(shù)孥封鷹的傅統(tǒng)，符五低I正多面m寸五他I行星一一水星、金星、 火星、木星和土星，同畤它伸號本身亦封鷹了五他1條圣典元素。5 .瓢理數(shù)的彝？I:常畤巴比偷人：x2=2沒有有理數(shù)解

7、,郤有段解。有理數(shù)解（包含整數(shù)、負數(shù)、 分數(shù)）古希月施三大黑何作圄曲題在數(shù)孥的魔史上有三他曲題始以可的力量箋定了雨千多年。初等襄何孥到琪在至少已有了三千 年的魔史，在適期努力於初等襄何孥之彝展的孥者伸號曾遇到謾很多的而始著簡汁的 郤就是道三（0的題：立方倍稹，化圄懸方和三等分角，而造三他I的題，也就被合耦懸古希月施三大襄何曲堰（i）立方倍稹的題：求作一他正立方n,使其i的正立方醴的2倍。（2）方BI的題：求作一出正方形，使其面稹和半彳至懸 1的圄面稹相等。（3）三等分角曲題：三等分任意已知角。有立方倍稹曲題:信由於立方倍稹的曲題有一他神言舌流健：常年希月施提洛斯（ Delos）島上瘟疫流行，居

8、民恐，濯也向 島上的守神阿波箍（Apollo ）祈神里的55言修女告甑他伸號神的指示：“把神殿前的正立方 形祭增加到二倍，瘟疫就可以停止?！庇纱丝梢姷郎袷呛芟睬笖?shù)孥的。居民得到了道（0指示彳爰非常 高典，立刻勤工做了一他新祭埴，使每一棱的辰度都是售祭堰棱房的二倍，但是瘟疫不但沒停止， 反而更形猖獗，使他伸號都又鷲奇又，濯怕。結果被一他孥者指出了mg： 棱二倍起來H稹就成了八倍，神所要的是二倍而不是八倍。大 家都得道法很封，於是改在神前了典管祭堰同形狀同大小的雨他祭堰，可是瘟疫仍不見 消滋。人伸號困接地再去的神，適次神回答茨:：你伸號所做的祭堰H稹碓是原來的二倍，但形狀郤不 是正方醴了，我所希望

9、的是H稹二倍，而形狀仍是正方H。居民何恍然大悟，就去找常畤大孥者 柏拉Bitt教。由柏拉圈和他的弟子伸耳熱心研究，但不曾得到解決，at且耗費了彳爰代if多數(shù)孥家伸號的月簡汁。而 而此曲題即是解2=X3的代數(shù)曲題。那言青曲X=21/3的畏度是否可以用圄祝直尺所重出呢?由於迨一他僖立方倍稹的題也就被耦懸提洛斯的題。明：段原立方醴的遏1,要作出的立方x, JWx要滿足好二2 ,道他方程式?jīng)]有有理 根，常然就沒有尺規(guī)作圄的x 了。有化圄懸方曲題:方圄的曲題典提洛斯的題是同畤代的，由希月施人K始研究。有名的阿基米得把道曲題化成下述的形式：已知一圄的半彳至是r, BI周就是2冗r,面稹是冗r2。由此若能作

10、一他I直角三角形，其夾直角的雨分別懸已知圄的周H 2冗r及半彳至r, JW道三角形的面稹就是1 X（2冗r）漢=兀r 2典已知BI的面稹相等。由道他I直角三角形不I作出同面稹的正方形來。但是如何作2道直角三角形的遏冗度。即如何作一段使其房等於一已知圄的周道曲題阿基米德可就解不出BA有三等分角曲題:西元前五、六百年希月戚的數(shù)孥家伸號就已想到了二等分任意角的方法，二等分一他已知角既是造麼容易，很自然地曾把曲題略建一下：三等分怎麼檬呢？迨檬，道一他I的題就造麼非常自然地出琪了。封於特別角45、90、135、180等角可以三等分， 但是任意的角或不可以三等分，接著我伸號來看看 如何招90角三等分?！景?/p>

11、例】 90角三等分【已知】某一角/ A= 90【求作】雨直/ A三等分。【作法】步驟一：以A懸BI心，逾常半彳至化弧，交角的雨遏於 R C雨黑占BA f:C步驟二：分別以B、C懸BI心，AB懸半彳至化弧，交BC於D E雨黑占步驟三：逋接AD、AE , UAD、AE / A三等分。注：1837年法閾數(shù)孥家凡？Rff （1814-1848）首次逋用了代數(shù)的方法殿格It明了道他曲題是尺祝作圄不可能的，至此道他I才算攫得解決。但由於封他的研究，使人伸號彝？I了一些特殊的曲,如圄金隹曲蚌蔓蕖等，促迤了圄金隹曲理謫的建立和樊展。人伸號遢彝？I,只要不受尺規(guī)作圄工具的余勺束，倍立 方醴的曲題是可以解決的。二

12、、399330 B.C. Plato （ 柏拉H）畤代：Plato :數(shù)孥或不一定是要看得到摸得著只要能別想像得到便可。粹數(shù)孥是形而上的美妙的、有深度的，而鷹用數(shù)孥是形而下的是粗糙的、唐渙的。（由於他的主弓您 往彳爰雨百年到阿基米德，沒有數(shù)孥家做鷹用數(shù)孥，也因而使粹數(shù)孥的襄何部份有了輝煌的成就）柏拉圄式的愛情=精神上的愛情一月辰相承：赫格拉底（400399 B.C.）柏拉H （427347B.C.）莫里斯多德（370322B.C.）、Alexandria 畤代：代表人物：Euclid（歐基里德），Archimedes（阿基米德）etc.Euclid懸人IS!,謙虛而且仁慈，是 Plato孥院的

13、高材生。夫Plato孥院的孥生要孥算初1、黑何、天文和湖和等BW ,在此四方面Euclid都有巨著，尤其Hement 一害是有史以央流伸久H之作（影簪之大只有可比）夫Ptolpmy （托勒密）三世，有次的Euclid 是否有比孥Element更雷的捷彳至可以通往襄何王閾？ Euclid答：沒有王者之路可以通往襄何王閾。夫有他I人跟Euclid IMS何，孥了第一他I定理便的 Euclid道他I定理有何用慮？ Euclid焉上叫他的 傭人拿了三便士給他，要他走路，因懸其孥也必要有所代。太？的追求近利的人，不逾合 季數(shù)季。所以基本上，Euclid仍深受Plota所影簪。Euclid（ K基里德）的

14、Elements 共有13冊：16冊if的是平面襄何7 8 9冊整數(shù)謫10冊不可測的題11、12、1 3冊立H黑何（垣行閾內初高中的襄何都取材於此害）第一冊：平面黑何（三角形全等、大角封大遏、平行性H ,etc.最彳爰是罩氏定理。） 第二冊：包含14（0定理（沒有一列入教科耆中）第12定理：在金屯角三角形中繪弦定理成立。段1B0中，AB= c, BC= a, AC= b。謾BAC的垂延 垂足懸D,如果D在AC內部，JW BD的:艮 度懸asin C, DC的畏度懸acosC, AD的畏度懸b - acosC。根jt勾股定理:c2 （a sinC）2 + （b a cos C） r = a sj

15、i:C + &1 -2abcosC4/cce?Ct? ?（sin2 C + cos3 C） + b2 - 2abccsCd = / I 戶一 2ab cos C如果D在AC的延上，It明是I似的。同理可以得到其他的等式。6第13定理：在角三角形中繪弦定理亦成立。(上面造雨他I定理往彳爰了三角道境HI地)第三、四冊，主要言寸謫圄的性第三冊：包含37(0定理。第四冊：言寸謫圄的內接和外切多遏形的IB形性U。第五冊：言寸謫數(shù)的比例的題。第六冊：言寸謫三角形、平行四遏形和其它多遏形中its比例的曲題。第七、八、九冊：整數(shù)謫的探言寸，如奇數(shù)、偶數(shù)、U數(shù)、合成數(shù)、完成數(shù)(一數(shù)等於它所有正因數(shù)和之半)/ C

16、 12 3 6 CC 12 47 14 28如：6 ,28 22. SWI相除法求雨數(shù)之最大公祭勺數(shù)。.求多數(shù)之最小公倍數(shù)。.iorngi數(shù)多他I。我伸號數(shù)孥營帚納法來it明u數(shù)的dI數(shù)有瓢限多低Ilemm1 is either a prime or a product of primespf of lemma :利用數(shù)孥營薪田法n=2 O.K.assume封任何正整數(shù)k , 1knk不是H數(shù)就是H數(shù)的乘稹 (*)常k = n若k = n四#數(shù)O.K.k = n不是|教，表示有正的因數(shù) d ,1dnsuch that n = cxd，其中 1c p i i=0,1,2, .,n 故 p 不懸M

17、-但是，p i不是p的因數(shù)，且p不是SWW勺乘稹，由lemma可知p必懸數(shù)-(2)(1) 典(2) 矛盾，因此不存在最大的、. . a .第十冊：時謫不可測的題，包含115dI定理，如能否利用圄祝直尺作出 三整b . c第十一冊：言寸謫立H黑何。第十二冊：含18（0定理，利用鱷翥法（奧琪在的趣限不同）It明雨圄面稹比即懸半彳至平方比，及探言寸 角金隹、BI金隹、BI柱之H稹。第十三冊：言寸謫5他正立方11。正四面H、正六面H、正八面H、正十二面H、正二十面H。以上13冊之elements,Euclid 用了五低I公IS,五dI公理典 23 （0定羲來公理化整他I古希月戚黑何Euclid 的五（

18、0公鼓:：公1S 1：任何一黑占到另一黑占必可做一直。公段2:直可以任意延H。公IS 3：可以任意黑占懸BI心任意H懸半彳至作用。公段4:直角皆相等。夫公段5:（平行公IS）外一黑占恰有一典已知直平行。Archimedes（阿基米德,250B.C.）Archimedes , Newton, Gauss 合耦有史以來三大數(shù)孥家。事跨典成就：1 .流H靜力原理：梅T查金冠是否金。2 .利用捍植原理造了 一他覃人便可操作的械械J嗔利符船行下水典橙。3 .利用原理樊明了不少兵器符強大的箍禹竄除摧在Syracuse（西拉克斯；西西里島上的古都市）連三年之久。（在一（0酗酒的晚上，希月鼠竄民歐灑狂歉之除，

19、箍禹竄除趁械攻城掠 地，有位箍禹士兵撞見在地面上重弄黑何BI形的Archimedes.要他去見箍禹符竄，阿基米德表示等他作完道題再士兵見他不攏，氧而毅之。）4 .他IS懸很多人大懸鷲歌贊賞的器械上成就，只是曾罩數(shù)孥的鷹用而已，可見其封形而下之物 的速低於富美感的數(shù)孥，道黑占典 Plato相同。5 .球的表面稹懸其大BI面稹的四倍。6 .樊明螺用以It明三分角和方圄曲題。螺服 射 oA以0懸BI心，費焉螺以逆畤金十方向作定速度旋樽畤，黑占P由0出彝以定速度向 的40亦耦懸螺Apollonius（阿波箍尼斯210B.C.）天文孥之父Apollonius懸Euclid的孥生，本身除懸數(shù)孥家也是一大文

20、孥家寸大醴有正碓的看法, 其影簪使得天文孥能一日千里。Euclid典Apollonius聘古希月施數(shù)攀加以整理，其中 Euclid 以Eelement 代表做作，Apollonius 以二次金隹”懸代表作，”二次金隹”此害共8冊，含487dI定理，影簪十七世奈己Fermat（菲瑞）代數(shù)解析襄何的典起。Heron（黑熊60 A.D.）:任一三角形面稹典之系。余勺在公元前100年左右，其就已有海熊公式的出？I,海熊公式 ：三角形面稹 1= qs（s a）（s b）（s c）,其中s=- （a b c）,在此a、b、c分別代表二角形二遏的畏度古希月B震何的衰?。海?19B.C.400A.D.）西澳柬晉:除了此畤政治的迂腐和的H僚，比敕合理的茨:法。（一）代數(shù)襄何的困H：常常只用段、面稹來表連黑何的外表，瓢法更深入其中不承四次方是更高以上的數(shù)，重地 自限。（二）著作的不可It性：曾慣